河海大学文天学院09级离散数学期中考试试卷答案
大学《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
离散数学考试试题（A、B卷及答案）
离散数学考试试题（A、B卷及答案）离散数学考试试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取(Q->p)证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律( A∧(P?Q))∨C(A∧(P?Q))→C2) ?(P↑Q)??P↓?Q。
证明:?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。
二、分别用真值表法与公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式,并写出其相应的成真赋值与成假赋值(15分)。
主析取范式与析取范式的区别:主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明:公式法:因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P ∨R∨?R) (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)4M使(非P析取Q析取R)为0所赋真值,即100,二进制为4M∧6M∧50m∨1m∨2m∨3m∨7m所以,公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式,其相应的成真赋值为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
真值表法:0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0111111111111111111为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
离散数学试卷 答案.doc
一、判断下列命题对错(每小题前标记/或X)(总20分)(V) 1.集合的交运算关于对称差运算满足分配律。
(X ) 2.对于集合A, A®A=Ao(X) 3.集合的差运算满足结合律。
(X) 4.集合A上的关系都是自反的。
(V) 5.若R,S都是A上的自反关系，则复合关系RoS也是自反关系。
(X) 6.若局,/?2都是A上的等价关系，则复合关系&。
尺2也是等价关系。
(X) 7.合取范式都不是析取范式。
(X)&命题的主析取范式不是唯一的。
(V) 9.无向图的总度数是偶数。
(V) 10.无回路的无向连通图称为树。
二、填空题题目(每空3分，总30分)1. 设集合A的阶数|A|=3,则幕集|P(A)I= 8 。
2. 设A是全集E的子集，则A€BE= A-E 。
3. 若集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}, R是A上模为3的同余关系，则等价类[1]R= {1,4,7}, 商集A/R= {{1,4,7}, {2,5,8}, {3,6}}。
4. 偏序关系是指满足自反、反对称、传递的二元关系。
5. 命题P-Q的主合取范式是-.PV0 。
6. 有向连通图是欧拉图的充分必要条件是图中每个顶点的入度和出度相等o7. 设赋权图的顶点集是V={a,b,c,d,e,z},令T={ b,c,d,e,z },已知指标DT(b)=6, DT(c)=8,DT(d)=8, DT(e)=7, DT(z)=8,则 a 到 b 的最短路长是 6 。
& 命题逻辑中，吸收律是指如下两个等价式：PV(P/\Q)=P和PA(PVQ)=P 。
三、(10分)设集合A={1,2,3,4,6,8,12,16}, R是A上的整除关系，证明R是A上的偏序关系并画出R的哈斯图。
证明：R是A上的整除关系，即当a,b€A, a能整除b时，(a,b) €R。
易知a能整除a,得(a,a)GR,即R是自反的二元关系；易知(b,a)吃R,即R是反对称的二元关系；当ceA, c能整除a时,c也能整除b,即若(c,a) GR, (a,b) eR时，有(c,b) GR,即R是传递的二元关系。
09级离散数学参考答案及评分标准B (1)
离散数学参考答案及评分标准(B)09级计算机学院各专业 2011年1月 一、判断题（每小题2分，共10分）判断下面论述是否正确，并在括号内填“对”或“错”。
1、设R 和S 是集合A 上的关系，若R 和S 是自反的，则R ￮S 也是自反的。
（ 对）2、公式p →(q →r ) 与(p ∧q )→r 等值。
（ 对 ）3、集合{Z n n∈|2}关于普通加法运算能构成半群。
（ 对） 4、无向完全图是每对顶点之间都有一条边的无向图。
（ 错） 5、公式(∀x )(∃y )P (x , y )与公式(∃ y )(∀ x )P (x , y ) 等值 。
（ 错） 二、填空题（每小题2分，共10分）1、设R ={<1,2>,<2,3>,<1,4>}，则R -1 = {<2,1>,<3,2>, 4,1>}2、设A ，B 为有限集合，f 是从A 到B 的函数，则：f 是单射的必要条件为|A|≤|B|；3、无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且无奇度顶点。
4、设公式A ⇔（p ∧q ）∨r 的主析取范式为m 1 ∨m 3 ∨m 5 ∨ m 6∨m 7，则A 的主合取范式为M 0 ∧ M 2∧ M 45、设Z 4={ 0,1, 2,3}，⊗为模4乘法，即x ⊗y =(xy )mod 4，则<Z 4, ⊗>的运算表为三、 试解下列各题（每小题5分，共20分）1、设集合A ={a ,b ,c }，R 是A 上的二元关系，已知R 的关系矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110110001R M(1) 写出R 的集合表达式；(2) 画出R 的关系图.；(3) 说明R 具有哪些性质。
解 (1)R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>} (2) R 的关系图(3) R 是自反的，对称的，传递的。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
《离散数学》题库及答案解析
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是_______________________________________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1∙R2 =________________________,R2∙R1 =____________________________,R12=________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是_______________________________.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
河海大学文天学院09级离散数学期中考试试卷答案
2010-2011学年第一学期离散数学期中考试试卷答案一、（本题满分12分）在命题逻辑中将下列命题符号化。
（1）小王边走路边听音乐。
（2）除非a能被2整除，a才能被4整除。
（3）派小张、小李中的一人去开会。
（4）小张和小李是同学。
（5）今天是星期一仅当明天是星期二。
（6）若2+24，则3+36；反之亦然。
解：（1）令p：小王走路；q：小王听音乐。
符号化为p∧q （2）令p：a能被2整除；q：a能被4。
符号化为q→p（3）令p：派小张去开会；q：派小李去开会。
符号化为（p∧┐q）∨（┐p∧q）（4）令p：小张和小李是同学。
符号化为p（5）令p：今天是星期一；q：明天是星期二。
符号化为p→q（6）令p：2+2=4；q：3+3=6。
符号化为┐p┐q二、（本题满分12分）在一阶逻辑中将下列命题符号化。
（1）有的有理数能被2整除。
（2）没有不犯错误的人。
（3）人都不一样高。
（4）说火车比汽车跑的快是不对的。
（5）4>2与3≥1互为充要条件。
（6）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：（1）令F(x)：x为有理数；G(x)：x能被2整除。
符号化为x(F(x)∧G(x))（2）令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误，则命题符号化为：x（F（x）→G(x)）（3）令F(x)：x是人；H(x,y)：x与y一样高。
符号化为xy（F（x）∧F（y）→┐H（x，y））（4）令F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快，┐xy（F（x）∧G（y）→H（x，y））（5）令F(x,y)：x>y，G(x,y):x≥y，a:4，b:2，c:3，d:1。
符号化为F(a,b)G(c,d)（6）令F(x)：x是东北人，G(x)：x怕冷，a：李键，符号化为┐G（a）→F（a）三、（本题满分8分）给出公式(q → r) ∧( p→ p)的真值表并求出成真赋值和成假赋值。
解：真值表如下p q r q → r p→ p (q → r) ∧ ( p→ p)0 0 01110 0 11110 1 00100 1 11111 0 01111 0 11111 1 00101 1 1111成真赋值：000、001、011、100、101、111；成假赋值：010、110四、（本题满分10分）设p:2能整除5，q:太阳从西方升起，r:一年分四季。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。
答案：命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。
若命题P和Q等价，则记作P⇔Q。
蕴含关系是指如果命题P为真，则命题Q也为真，但Q为真时P不一定为真。
若命题P蕴含Q，则记作P→Q。
2. 证明：若集合A和B的交集非空，则它们的并集包含A和B。
答案：设x属于A∩B，即x同时属于A和B。
根据并集的定义，若元素属于A或B，则它属于A∪B。
因此，x属于A∪B。
由于x是任意属于A∩B的元素，所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素，即A∪B包含A和B。
3. 给定一个有向图G，如何判断G中是否存在环？答案：判断有向图G中是否存在环，可以采用深度优先搜索（DFS）算法。
在DFS过程中，记录每个顶点的访问状态，如果遇到一个已访问过的顶点，且该顶点不是当前路径的直接前驱，则表示存在环。
4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。
答案：有限自动机由以下几部分组成：输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。
输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合；状态集合包含了自动机所有可能的状态；转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下，自动机如何转移到下一个状态；初始状态是自动机开始工作时的状态；接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。
5. 什么是图的连通分量？如何确定一个无向图的连通分量？答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。
在一个无向图中，如果两个顶点之间存在路径，则称这两个顶点是连通的。
确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法。
从任一顶点开始搜索，搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。
重复此过程，直到所有顶点都被访问过，即可确定图中所有连通分量。
离散数学试卷及答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（）个。
A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<A∧>)(||||}s({t,,|A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、选择题1. 在一个聚会中，有9名男生和11名女生。
问这些学生中，至少有一个女朋友的学生人数的奇偶性是怎样的？答案：奇数2. 设A、B、C是三个命题。
已知命题A为真，命题B为假，命题C为真，则下列命题中，一定为假的是：A) A → (B ∨ C)B) (A → C) ∨ BC) (A ∧ B) ∨ CD) A ↔ (B ∧ C)答案：D) A ↔ (B ∧ C)3. 设集合A={x | -3 < x ≤ 2}，集合B={y | -4 ≤ y < 3}，则下列集合中，既是A的子集又是B的子集的集合是：A) {-2, -1, 0, 1, 2}B) {-3, -2, -1, 0, 1, 2}C) {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}D) {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}答案：B) {-3, -2, -1, 0, 1, 2}4. 设A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，C={4, 5, 6, 7}，则(A ∪ B) ∩ C等于：A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}B) {3, 4, 5, 6}C) {4}D) {4, 5, 6}答案：C) {4}二、填空题1. 一个完全图有9条边，则该完全图的顶点数为________。
答案：52. 若一个集合有n个元素，则该集合的幂集的元素个数为________。
答案：2^n3. 设a是整数，若3a-5能被4整除，则a的一个可能的取值是________。
答案：24. 设n为正整数，若C(n, 3) = 1，则n的值为________。
答案：4三、解答题1. 证明：设A、B、C为三个集合，要证明A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (A ∩ C)。
解答：对于任意元素x，若x ∈ A ∩ (B ∪ C)，则x ∈ A 且 x ∈ (B∪ C)。
根据集合的交和并的定义，可得x ∈ A 且 (x ∈ B 或 x ∈ C)。
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《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
大学《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
2009级(软件工程)离散数学试题答案
2009级离散数学A卷试题参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）1．q→ｐ2．∀x∀y(S(x)∧T(y)→H(x,y))/ ∃x∃y(S(x)∧T(y)∧H(x,y)) 3．(F(1, 1）∧F(1, 2)）∨( F(2, 1) ∧F(2, 2)) 4．45．f |f: B → A的函数6．1、2、3、67．交换群、半群、分配律8．D是强连通图且每个结点的出度等于入度9．deg（u）+ deg（v）≥ n 10．n-1二、判断题（每小题2分，共20分，正确的划v，错误的划×）1．v 2．v 3．v 4．×5．×6．×7．×8．v 9．v 10．×三、计算题（每小题5分，共15分）1．Ｍ０１０（Ｍ２）2．R1 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<2，3>，<3，2>，<2，4>，<4，2>，<3，4>，<4，3>}R2 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<1，3>，<3，1>，<1，4>，<4，1>，<3，4>，<4，3>}R3 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<1，2>，<2，1>，<1，4>，<4，1>，<2，4>，<4，2>}R4 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<1，2>，<2，1>，<1，3>，<3，1>，<2，3>，<3，2>}R5 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<1，2>，<2，1>，<3，4>，<4，3>} R6 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<1，3>，<3，1>，<2，4>，<4，2>} R7 ={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<1，4>，<4，1>，<2，3>，<3，2>} 3．6四、证明题（共45分）1．对于任意z∈C，由fοg是满射，必存在x∈A，使得z=fοg（x）=g（f（x））；由f是A到B的函数，必存在y∈B，使得f（x）=y。
离散数学试卷及问题详解
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（）个。
A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P （A ）/ R=（ ）A ．A ；B ．P(A) ；C ．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D ．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ ）7、下列函数是双射的为（ ）A ．f : I →E , f (x) = 2x ；B ．f : N →N ⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C ．f : R →I , f (x) = [x] ；D ．f :I →N, f (x) = | x | 。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案离散数学是一门涉及离散结构和逻辑推理的数学学科。
它在计算机科学、信息技术和其他领域中具有重要的应用价值。
离散数学考试试题涵盖了离散数学的各个方面，包括集合论、图论、逻辑、代数结构等。
本文将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
一、集合论1. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。
答案：A与B的交集为{3,4,5}，并集为{1,2,3,4,5,6,7}，A与B的差集为{1,2}。
2. 设集合A={x|x是正整数，1≤x≤10}，B={x|x是偶数，2≤x≤8}，求A与B的笛卡尔积。
答案：A与B的笛卡尔积为{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),...,(10,2),(10,4),(10,6),(10,8)}。
二、图论1. 给定图G，其邻接矩阵如下：| 0 1 1 0 || 1 0 0 1 || 1 0 0 1 || 0 1 1 0 |判断图G是否是连通图，并给出其连通分量。
答案：图G是连通图，其连通分量为{1,2,3,4}。
2. 给定图G，其邻接表如下：| 1 | 2 || 3 | 2 4 || 4 | 3 |判断图G是否是树，并给出其生成树。
答案：图G是树，其生成树为{1-2, 2-3, 3-4}。
三、逻辑1. 判断命题逻辑公式((p∨q)→r)∧(¬p∨¬q)的真值。
答案：命题逻辑公式((p∨q)→r)∧(¬p∨¬q)的真值为真。
2. 判断命题逻辑公式∀x(P(x)∧Q(x))→(∀xP(x)∧∀xQ(x))的真值。
答案：命题逻辑公式∀x(P(x)∧Q(x))→(∀xP(x)∧∀xQ(x))的真值为假。
四、代数结构1. 设集合S={0,1,2,3,4}，定义运算*如下：a*b = (a+b)%5其中%表示取余运算。
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2010-2011学年第一学期离散数学期中考试试卷答案
一、（本题满分12分）在命题逻辑中将下列命题符号化。
（1）小王边走路边听音乐。
（2）除非a能被2整除，a才能被4整除。
（3）派小张、小李中的一人去开会。
（4）小张和小李是同学。
（5）今天是星期一仅当明天是星期二。
（6）若2+24，则3+36；反之亦然。
解：（1）令p：小王走路；q：小王听音乐。
符号化为p∧q
（2）令p：a能被2整除；q：a能被4。
符号化为q→p
（3）令p：派小张去开会；q：派小李去开会。
符号化为（p∧┐q）∨（┐p∧q）
（4）令p：小张和小李是同学。
符号化为p
（5）令p：今天是星期一；q：明天是星期二。
符号化为p→q
（6）令p：2+2=4；q：3+3=6。
符号化为┐p┐q
二、（本题满分12分）在一阶逻辑中将下列命题符号化。
（1）有的有理数能被2整除。
（2）没有不犯错误的人。
（3）人都不一样高。
（4）说火车比汽车跑的快是不对的。
（5）4>2与3≥1互为充要条件。
（6）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：（1）令F(x)：x为有理数；G(x)：x能被2整除。
符号化为x(F(x)∧G(x))
（2）令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误，则命题符号化为：x（F（x）→G(x)）
（3）令F(x)：x是人；H(x,y)：x与y一样高。
符号化为x y（F（x）∧F（y）→┐H（x，y））（4）令F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快，┐x y（F（x）∧G（y）→Ｈ（x，y））（5）令F(x,y)：x>y，G(x,y):x≥y，a:4，b:2，c:3，d:1。
符号化为F(a,b)G(c,d)
（6）令F(x)：x是东北人，G(x)：x怕冷，a：李键，符号化为┐G（a）→Ｆ（a）
三、（本题满分8分）给出公式(q →r) ∧ ( p→p)的真值表并求出成真赋值和成假赋值。
解：真值表如下
p q r q → r p→ p(q → r) ∧ ( p→ p)
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1
成真赋值：000、001、011、100、101、111；成假赋值：010、110
四、（本题满分10分）设p:2能整除5，q:太阳从西方升起，r:一年分四季。
求下列复合命
题的真值：
（1）((p ∨q) → r)∧(r→ (p ∧q)) （2）((┐q p) → (r∨p)) ∨ ((┐p ∧┐q) ∧r)
解：由题意，p、q、r的真值分别为0、0、1。
（1）的真值为0；（2）的真值为1。
五、（本题满分12分）使用等值演算法判断公式下列公式的类型。
（1）(p q) ∧ (q r) ∧p →r（2）p ∧ (((p ∨q) ∧┐p) →q)
解：（1）（（p→ｑ）∧（q→ｒ）∧p）→ｒ┐（（┐ｐ∨q）∧（┐ｑ∨r）∧p）∨r （p∧┐ｑ）∨（q∧┐ｒ）∨┐ｐ∨r （p∨┐ｐ）∧（┐ｑ∨┐ｐ）∨（q∨r）∧（┐ｒ∨r）（┐ｑ∨┐ｐ）∨（q∨r）
┐ｑ∨┐ｐ∨q∨r1。
所以该公式为重言式。
（2）p∧(((p∨q) ∧┐p) →q)p∧(┐((p∨q) ∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨（q ∧┐ｐ）)∨q) p∧(┐（0∨（q ∧┐ｐ））∨q) p∧(┐（q ∧┐ｐ）)∨q) p∧（┐q ∨p）∨q)
p∧1p 。
所以该公式为非重言式的可满足式。
六、（本题满分10分）将公式p (q r)化成与之等值且仅含有┐和∧这两个联结词的公式。
解：使用等值演算法可得p (q r) ┐(p ∧q ∧┐r)
七、（本题满分12分）求公式（p q）∧（q r）的主析取范式与主合取范式，并分别写出
公式的成真赋值和成假赋值。
解：主析取范式为：m0∨m1∨m3∨m7；主合取范式为：M2∧M4∧M5∧M6；
公式的成真赋值为：000，001，011，111；公式的成假赋值为：010，100，101，110。
八、（本题满分12分）在命题逻辑中构造下面推理的证明：只要今天天气不好，考生就不能提前进入考场；考试准时进行当且仅当考生提前进入考场。
所以，如果考试准时进行，那么今天天气就好。
解：令p：今天天气好；q：考生提前进入考场；r：考试准时进行；
前提：p q，q r
结论：r p
证明：
①q r前提引入
q r r q①置换
②()()
③r q②化简
④p q前提引入
⑤q p④置换
⑥r p③⑤假言三段论
九、（本题满分12分）在命题逻辑中解决如下问题：有人问甲、乙、丙、丁四人谁的成绩最
好，甲说“不是我”，乙说“是丁”，丙说“是乙”，丁说“不是我”。
已知四人的回答只有一
人符合实际，问谁的成绩最好？
解：设p：甲成绩最好，q：乙成绩最好，r：丙成绩最好，s：丁成绩最好
则甲所说符合实际：A=┐p∧┐s∧┐q∧s0
乙所说符合实际：B=p∧s∧┐q∧s p∧s∧┐q
丙所说符合实际：C=p∧┐s∧q∧s0
丁所说符合实际：D=p∧┐s∧┐q∧┐s p∧┐s∧┐q
易见只有丁所说符合实际，即甲最好。
附加题（本题满分5分）一个人起初说“占据空间的，有质量的而且不断变化的叫做物质”；后来他改说“占据空间的有质量的叫做物质，而物质是不断变化的”，问他前后主张的差异在
什么地方，试在命题逻辑中加以分析。
解：p：它占据空间，q：它有质量，r：它不断变化，s：它是物质
这个人起初主张：（p∧q∧r）s；后来主张：（p∧q s）∧（s→ｒ）
不同点在于：后来认为如有p∧q则必有r，开头时并没有这样的主张。