第3章 布尔代数与逻辑函数化简

布尔代数与逻辑函数化简
三、重要规则
(一) 代入规则
A A A
将逻辑等式两边的某一变量均用同 一个逻辑函数替代，等式仍然成立。
A均用 代替 A均用 代替
B均用C代替 利用代入规则能扩展基本定律的应用。
布尔代数与逻辑函数化简
例2 证明 A B C A B C 解
_________
__________ __
_
_
_ _
所以
F B C D AC D A B D A B C
_ _
_ _
布尔代数与逻辑函数化简
吸收法
运用A+AB =A 和 AB AC BC AB AC ， 消去多余的与项。
&
≥1 F
(c)
A B A C
≥1
&
≥1
F
Hale Waihona Puke Baidu
A C
(d)
(e)
图 3 –1 同一逻辑的五种逻辑图
( a ) F AB A C与或表达式; (b) F AB A C与非表达式;
( c ) F A B A C 与或非表达式 ( d ) F ( A B )( A C )或与表达式;
(2) 与或非式。 首先求出反函数
_
_
F AB A C A B A C
_
_
_
_ _
然后再取反一次即得与或非表达式
F A B AC
_
_ _
布尔代数与逻辑函数化简
(3) 或与式。 将与或非式用摩根定律展开， 即得或与表达式如下：
F A B A C A B A C ( A B )( A C )
变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。
原运算次序为 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法： 利用反演规则或摩根定律。
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(三) 对偶规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“· ”换成 “+”，“+”换成“· ”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶式 Y 。
列 真 值 表 方 法
出输入变量的各种取值组合。
(2) 分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格。
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例如 求函数 Y AB CD 的真值表。
输 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 入 变 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 量 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 输出变量 Y 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
ABC D ABC D BC D ABC D ABC D AB D
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
A B C D A B C D AC D A B C D A B C D A B C
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _
A B C
A BC
A B C
&
B C
B
图3-3 F原函数的逻辑图
布尔代数与逻辑函数化简
但如果将函数化简后其函数式为 F=AC+B
只要两个门就够了， 如图3 - 4所示。
A C B
&
≥1 F
图 3 – 4 函数化简后的逻辑 图
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三、代数化简法
运用逻辑代数的基本定律和 公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用 AB AB A，
将两项合并为一项，并消去一个变量。 任何两个相同变量的逻辑项， 只有一个变量取值不同(一项 以原变量形式出现， 另一项以反变量形式出现)， 我们称为逻辑 相邻项(简称相邻项)。如果函数存在相邻项，可利用吸收律， 将 它们合并为一项，同时消去一个变量。
Y ABC ABC AB
0 0
1
0 1
0
1
0 0 1
1
1
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Y A B AB A B
与或表达式(可用 2 个非门、 异或非表达式(可用 1 个异 2 个与门和 1 个或门实现) 或门和 1 个非门实现) (3) 画逻辑图
设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。
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二、逻辑函数式化简的意义与标准
用与门个数最少 与门的输入端数最少
最简与非式标准 (1)非号个数最少 (2)每个非号中的变量数最少 用与非门个数最少 与非门的输入端数最少
布尔代数与逻辑函数化简
F AB C A B C A B B BC
_
_
_
如直接由该函数式得到电路图，则如图3 - 3所示。
F
&
&
&
≥1
&
A B
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例1 图示为控制楼道照明的开关电路。两 个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和 楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关 灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼 后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑 电路。 解：(1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表 设开关 A、B合向左侧时为 0 方法： 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表 找出输入变量和输出函数， 示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时 对它们的取值作出逻辑规定， 为 0 状态。则可列出真值表为 然后根据逻辑关系列出真值表。 (2) 根据真值表写出逻辑式 A B Y
辑电路。 逻辑函数的表达形式通常可分为五种： 与或表
达式、 与非-与非表达式、与或非表达式、或与表达式、 或非-或非表达式。
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_
例 4 将函数与或表达式 F AB A C 转换为其它形式。 解 (1) 与非-与非式。 将与或式两次取反，利用摩根定律可得
F AB A C AB A C
对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 变换时注意：(1) 变量不改变 (2) 不能改变原来的运算顺序 A + AB = A
A · + B) = A (A
应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。
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四、基本公式应用 1. 证明等式
例 3 用公式证明 A B A B A B AB 解
4 个输入 变量有 24 = 16 种取 值组合。
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2.
逻辑函数式
表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。
真值表 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 逻辑式 (3)将这些与项相加即得逻辑式。
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_
___
_
_
( e) F A B A C 或非表达式
_
________
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3.2 逻辑函数的代数法化简
一、逻辑函数及其表示方法
逻辑函数描述了某种逻辑关系。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。 1. 真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对 应输出逻辑函数值的表格称真值表。 (1)按 n 位二进制数递增的方式列
逻辑变量与常量的运算公式
0–1律 0+A=A 1+A=1 1· =A A 0· =0 A
重叠律
A+A=A A· =A A
互补律
还原律
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二、基本定律
(一) 与普通代数相似的定律
交换律 结合律 分配律 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A (B + C) = AB + AC A· =B· B A (A · · = A · · B) C (B C) A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！ 逻辑等式的 证明方法 利用真值表
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A B AB A B AB ( A B )( A B)
A A AB A B B B AB A B
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2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以 用多种形式的逻辑函数来表示， 每一种函数对应一种逻
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第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 基本公式和法则 3.2 逻辑函数的代数法化简
3.3 卡诺图化简
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3.1 基本公式和规则
一、基本公式
逻辑常量运算公式 0· =0 0 0· =0 1 1· =0 0 1· =1 1
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
_
_
_
A B A B 这是两变量的求反公式， 若将等
A B C A B C A B C
__________ __ _ _______ _ _ _
_
_
式两边的B用B+C代入便得到
这样就得到三变量的摩根定律。
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(二) 反演规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“· ”换成 “+”，“+”换成“· ”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量 换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 Y 。
F AC AC C
_ _ _ _
_ _ _
_
_
_ _
_
利用等幂律，一项可以重复用几次。
布尔代数与逻辑函数化简
F A B C D A B C D A B CD A B C D A B C D,
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_ _
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_ _
其中 A B C D与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 解
例如 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 1
逻辑式为
ABC
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3. 逻辑图
例如 画
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 的逻辑图 相加项用或门实现
反变量用非门实现
与项用与门实现 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。 根据逻辑式画逻辑图的方法: 将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。
Y A( BC BC ) A( BC BC ) AB C A( B C ) A
布尔代数与逻辑函数化简
F AB C AB C
解
_
_
令 B C G, 则
_
F A G AG A
_
F A B C A B C A B C AB C
解
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(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
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(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式：
摩根定律(又称反演律) 推广公式： A+B A B A· B A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0 0 思考：(1) 若已知 A + B = 1 + C，则 B = C 吗？ 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ 1 1 0 0 1 1 0 0
化 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 简 从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 意 义 高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取 最简与 - 或式，然后通过变换得到所需最简式。
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最简与 - 或式标准
(1)乘积项(即与项)的个数最少 (2)每个乘积项中的变量数最少
(4) 或非-或非式。
将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次得或非 -或非表达式
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F ( A B )( A C ) A B A C
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布尔代数与逻辑函数化简
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
(b) A B ≥1 ≥1 ≥1 F
&
(a)
A B A C
利用基本公式和基本定律
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例1 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C) 解： 真值表法 A B C A + BC (A + B) (A + C) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 公式法 右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开 = AA + AC + BA + BC = A + AC + AB + BC = A (1 + C + B) + BC = A · +BC 1 = A + BC = 左式