中考专项(二次函数,找规律,阴影面积,应用题)
二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
中考数学总复习《二次函数与面积问题综合》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《二次函数与面积问题综合》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，二次函数2=+43y x x --的图像与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 左侧） 与y 轴交于C 点．(1)直接写出A B 两点的坐标：A B ；(2)当03x <<时 y 的取值范围是 ；(3)点P 在二次函数2=+43y x x --的图像上 ABP 的面积是ABC 面积的两倍 求点P 的坐标．2．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A B （点B 在点A 右侧）A 点坐标为()3,0- 对称轴为直线=1x - 顶点为C 连接AC BC ，．(1)求点B C 的坐标；(2)求ABC 的面积．3．已知抛物线2y ax bx c =++（a b c 为常数 0a ≠） 与x 轴交于点()3,0A - 点B 两点 与y 轴交于点()0,3C 对称轴为=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限 连接AM MC AC 求MAC △面积的最大值．4．如图，抛物线2y ax bx c =++的图像与x 轴交于点A 点C 与y 轴交于点B 且2,4OA OC OB ===．(1)求这个二次函数的解析式 并求出顶点D 的坐标；(2)若点M 为第一象限内抛物线上一点 求M 点坐标为多少时 BCM 的面积最大 并求出这个最大面积．5．如图，在Rt ABC △ 90ABC ∠=︒ 该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A - (0,2)B (4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点 当BCP 的面积最大时 求P 点的坐标．6．二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(2,0)A (6,0)B 两点 与y 轴交于点C 顶点为E ．(1)求点E 的坐标；(2)如图① D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点 当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时 求点D 的坐标；(3)如图① P 是该二次函数图象上的一个动点 连接OP 取OP 中点Q 连接QC QE CE 当CEQ 的面积为12时 求点P 的坐标．7．如图，二次函数 ²y ax bx c =++的图像与x 轴的交于点(10)A -， (30)B ， 与y 轴的交于点C 且顶点P 在直线22y x =+上．(1)求该二次函数的表达式；(2)求APC △的面积．8．将拋物线()212y x =-+平移到图中2l 的位置 且与直线1l 交于()0,1A - ()2,1B 两点．(1)抛物线2l 是由抛物线()212y x =-+向左平移______个单位 再向下平移______个单位得到的；(2)求抛物线2l 的顶点坐标；(3)动点P 在直线1l 下方的抛物线2l 上 求以点O A P B ，，，为顶点的四边形的最大面积．9．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交 A B 两点 对称轴是y 轴 顶点C 在y 轴ABM与MDE的面积的和是否为定值11．如图① 四边形ABCD 中，AD BC ∥ DC BC ⊥ 6cm AD = 8cm DC = 12cm BC =．动点M 在CB 上运动 从C 点出发到B 点 速度为每秒2cm ；动点N 在BA 上运动 从B 点出发到A 点 速度为每秒1cm ．两个动点同时出发 当其中一个点到达终点时 另一个点也随即停止 设两个点的运动时间为t （秒）．(1)当t 为何值时 BMN 是直角三角形？(2)设DMN 的面积为S 求S 与t 之间的函数关系式；(3)如图① 连接BD 是否存在某一时刻t 使MN 与BD 互相垂直？若存在 求出这时的t 值；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A - 与x 轴交于点()4,0B 连接AB .把PAB的面积分成请说明理由．22:EM y k x b =+交抛物线于点G E 且121k k =- 点P 和点Q 分别为线段GE 和线段DF 的中点 求证：直线PQ 过定点 并求出这个定点的坐标．14．综合与探究如图1 抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C 与x 轴的另一个交点为A 连接AC BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1 点D 是线段AC 的中点 连接BD ．点E 是抛物线上一点 若ABE BCD S S =△△ 设点E 的横坐标为x 请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P 使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．ACO从点的三角形记为DEFPB．BCP的面积是当BCP面积最大时参考答案： 1．(1)(1,0)；(3,0)(2)31y -<≤(3)点P 坐标为(27,6)+-或(27,6)--2．(1)()10B , ()1,4C -； (2)83．(1)223y x x =--+(2)2784．(1)()219122y x =--+ 顶点D 的坐标为91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)点M 的坐标为()2,4 BCM 面积的最大值为45．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时 ()23P ，．6．(1)(4,)1-(2)(4,329)+ 或(4,329)-(3)(10,8)或()6,24-7．(1)223y x x =-++(2)18．(1)12 134(2)顶点坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)四边形OAPB 的最大面积是215．(1)215466y x x =-++ (2)221633y x x =-+ (3)72。
中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知顶点为325,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线过点()3,2D ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 、点P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线AD 上方时，求PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．2．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点(6,0)E ，y 的最大值为9，点A 在x 轴正半轴上，点A 向右平移2个单位得到点B ，过点A ，B 作x 轴的垂线分别交抛物线于点D ，C ，设A 的坐标为(,0)t ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若OAD △与BCE 的面积分别记作1S 和2S ，当04t <<时，求12S S +的值；(3)若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积记作S ．①当04t <<时，求S 的最大值；①当3t ≥时，直接写出14S =时t 的值．4．如图，直线210y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和B ，点C 为OB 的中点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 是直线AB 上方的抛物线上的一点，且ABD 的面积为452． ①求点D 的坐标；①点P 为抛物线上一点，若APD 是以PD 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．5．如图，在Rt ABC △，90ABC ∠=︒该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A -，(0,2)B 和(4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点，当BCP 的面积最大时，求P 点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(4,0)B 和(0,4)C 三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标：(2)在抛物线的对称轴上探求一点M 的坐标，使得点M 到点A 、点C 的距离之和最小；(3)在直线BC 上方的抛物线上探求一点P ，使得PBC 的面积最大，并求出PBC 的面积的最大值．7．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，求PBC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线向上平移433个单位得到新的抛物线，点E 是新抛物线上一点，点F 是已知抛物线对称轴上一点，若以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，写出点E 的坐标，并把求其中一个点E 的过程写出来．8．抛物线2y ax x c =-+与x 轴交于点()4,0A -和()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，点D 的横坐标为m ，四边形AOCD 的面积为S ．求S 关于m 的函数解析式，并求出S 的最大值．9．已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0和()()1,3,1,5A B --三点．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ．以OC 为直径作M ，如果过抛物线上一点P 作M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交于点E ，连接MD ．已知点E 的坐标为()0,m ，求四边形EOMD 的面积．（用含m 的代数式表示）(3)延长DM 交M 于点N ，连接,ON OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得DON EOMD S S =△四边形？请求出此时点P 的坐标．10．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点()1,0A -和点()0,5B -．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP 的周长最小，请求出点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M ，使ACM ABC SS =若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．为抛物线上一点，且ABP的面积为13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()4,0A -，()0,4B -和()2,0C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式(3)求出S 的最大值；14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(2)3y x k =--+（k 为常数）的顶点为C ，与x 轴交于点(1,0)A -和点B ；点D 在抛物线上，且位于抛物线上点A ，C 之间（不与点A ，C 重合），回答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)求ACB △的面积；(3)若ACD 的周长为14，则四边形ABCD 的周长为________．15．抛物线22y x x m =-++与x 轴交于点A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．(1)求m 的值；(2)求BCD △的面积；(3)若点P 是抛物线上的一点，当点P 在直线BC 的上方的抛物线上运动时，PBC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第 11 页 共 13 页参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)PAD S ∆有最大值4，此时点P 的坐标为()13，．2．(1)抛物线的函数表达式为26y x x =-+(2)当04t <<时1216S S +=(3)①当2t =时，S 有最大值16；①3t =或 5.5t =3．（1）24y x x =-+；（2）()2520299y x =--+；（3）()44D ,或()4,7D 或()4,1D -或()1,1D -- 4．(1)265y x x =-+-(2)①()2,3D ；①0或152+或512- 5．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时()23P ，．6．(1)234y x x =-++ 325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)当点P 坐标为()2,6时，PBC S 最大，最大值为8．(2)PBC的面积取值最大值为点E的坐标为．(1)1y=-2第12页共13页第 13 页 共 13 页 14．(1)(5,0)(2)18(3)20 15．(1)3m =(2)3(3)PBC S 有最大值，最大值为278 315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭。
中考数学二次函数专题复习超强整理
中考数学二次函数专题复习超强整理初三——二次函数归类复一、二次函数与面积面积的求法：1.公式法：S=1/2*底*高2.分割法/拼凑法1.如何表示各图中阴影部分的面积？插入图一至图六）2.抛物线y=-x^2-2x+3与x轴交于A、B（点A在B右侧），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，连接BD，CD。
1）求四边形BOCD的面积。
2）求△BCD的面积。
（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）3.已知抛物线y=(1/2)x^2-x-4与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B。
1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；2）求四边形ABMC的面积.4.已二次函数y=x^2-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B 的左边），与y轴交于点C，顶点为P。
1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得△NAB的面积=S△ABC，若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存在点N，使得△NAB的面积=S△ABC，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由。
变式二：在双曲线y=3/x上是否存在点N，使得△NAB 的面积=S△ABC，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由。
5.抛物线y=-x^2-2x+3与x轴交于A、B（点A在B右侧），与y轴交于点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，点E运动到什么位置时，△XXX的面积最大，并求出此时点E的坐标和△XXX的最大面积．模拟题训练】1.（2015•三亚三模）如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，1）．1）求B、C两点坐标；2）求该二次函数的关系式；二、二次函数与相似相似知识梳理】在平面直角坐标系中，二次函数常用待定系数法求解析式，解析式中的系数与函数的图像有关。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。
中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)
中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图， 当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ， 得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动， 如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ， 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ， 则 P 1M =3，BM =3 ， 在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4， 把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0， 得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0） （3）解：存在．在△ODF 中． （ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2） 由﹣ 12 x 2+x+4=2， 得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）． （ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0， 解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)， 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中， 得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1； （2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0）， 将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)． （2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23， 过点P 作PQ ⊥AB ， 当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意， 当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4） 设直线AB 的解析式为 y =kx +b ， 把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ； （2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4） （3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且 设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ， 当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2， 根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ， 则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值， 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得： 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ， 综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ， 故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ， 将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ）， 在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似， 故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2， 由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ， 则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2， 解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去）， 故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）； 当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ； 当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4， 整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ； 综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象交于点A （1，m ）和B （﹣2，4），与y 轴交于点C ．(1)求k ，b ，a 的值； (2)求△AOB 的面积．2． 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A (2，0)，B (0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，﹣4）、B （2，0），交反比例函数y 6x=（x ＞0）的图象于点C ，点P 在反比例函数的图象上，横坐标为n （0＜n ＜3），PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．(1)求一次函数的表达式和C点坐标；(2)求△DPQ面积的最大值．4．如图，抛物线2y x bx c=-++交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线122y x=-+经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．△求△PBC面积最大值和此时m的值；△Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．5．图1，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)设M 为该抛物线的顶点，D 为抛物线的对称轴与x 轴的交点，如图2所示，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN △的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与y 轴交于C 点．(1)A 点的坐标是_____________；B 点坐标是________________； (2)求直线BC 的解析式；(3)点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；(4)若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积最大，若存在，求出点F 的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标．(4)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，C ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线214y x bx c =-++经过点A 、C ．(1)求抛物线解析式及顶点M 坐标；(2)P 为抛物线第一象限内一点，使得PAC △面积最大，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)当1m x m +≤≤时，（1）中二次函数有最大值为2-，求m 的值．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax x c =-+的图像与x 轴交于点A (2-，0)、B (4，0)，与y 轴交于点C ．(1)求a 和c 的值；(2)若点D （不与点C 重合）在该二次函数的图像上，且ABD ABC S S =△△，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且BPABPCS S=，直接写出点P 的坐标．11．如图，抛物线()214y x =--的图像与x 轴交于的A 、B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．(1)求点A 、B 、C 坐标； (2)求ABC 的面积；(3)点P 是抛物线上一动点，当ABP △的面积为6时，求所有符合条件的点P 的坐标；12．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点A (2，0)，B (-2，4)，(-4，0)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 在直线AB 上方的抛物线上运动，当ΔABM 的面积最大时，求点M 的坐标； (3)若点F 为平面内的一点，且以点,,,B E C F 为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F 的坐标．13．如图，直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=23x2+bx+c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC=14S△BOC时，求点E的坐标；(3)若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC取值在什么范围时，对应的点F有且只有两个？14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－8的图像与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q 的坐标；如果没有，请说明理由．15．如图，已知抛物线2y ax bx c ++＝交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C （0，6），且顶点坐标为（4，﹣2）．直线x ＝m 分别交直线BC 和抛物线于点E 、P ．(1)求该抛物线的解析式及A 、B 两点坐标； (2)当0＜m ＜6时，求△BCP 面积的最大值； (3)当△BPE 是等腰三角形时，直接写出m 的值．16．已知二次函数242y ax x =++的图象经过点()3,4A -．(1)求a 的值；(2)直接写出函数y 随自变量的增大而减小的x 的取值范围．(3)设242y ax x =++的顶点为M ，与y 轴相交于C ，连结MC 、MA 、AC ，求AMC S △．17．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ，将ACD △沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．(1)求抛物线解析式；(2)连接BE ，求BCE 的面积；(3)拋物线上是否存在一点P ，使PEA BAE ∠=∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴负半轴于点A ，交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，且OA =OC =3OB ．(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第三象限抛物线上的点，设点P 的横坐标为t ，△P AC 面积S ，求S 与t 的函数解析式（直接写出自变量t 的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，Q 为CA 延长线上的一点，若P 到x 轴的距离为d ，△PQB 的面积为2d ，且△P AQ =△AQB ，求点P 的坐标．19．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -．解答下列问题．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ，求线段BD 的长；(3)点F 在抛物线上运动，是否存在点F 使FAB 的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．20．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；(3)点P 在直线AB 上方的抛物线上，当△P AB 的面积最大时，直接写出点P 的坐标．参考答案：1．(1)k =−1，a =1，b =2(2)S △AOB =32．(1)21462y x x =-+- (2)63．(1)一次函数的表达式：y =2x -4，点C （3，2）；(2)DPQ 面积的最大值是4．4．(1)2722y x x =-++(2)△最大值为8，m ＝2；△存在，⎝⎭或⎝⎭5．(1)A (﹣1，0)，B (3，0)，C (0，3) (2)31524P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)存在，(14N -+，或(14--，6．(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN △的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,37．(1)()-2,0，()8,0(2)直线BC 的解析式为142y x =-+ (3)存在点P ，使PBC ∆的面积最大，最大面积是16，理由见详解(4)满足条件的点M 的坐标为(8,0)-，(4,0)，(50)，(5，0)8．(1)y ＝﹣12x 2+x +4(2)存在，四边形ABFC 的面积最大为16，F （2，4）(3)P 点坐标为（3，1）或（，2）或（2(4)存在，P 点坐标为（1或（1，或（1，1）或（1，或（1，49．(1)211344y x x =-++，顶点M 的坐标为149,216⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)最大值为2，此时P 点坐标为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)5-或510．(1)142a c ==-，4)或(14)或(2，-4)(3)(-6，20)11．(1)()1,0A -，()3,0B ，()1,4C -(2)8(3)()0,3-或()2,3-或()1或()112．(1)2142y x x =--+(2)（0，4）(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）13．(1)y ＝23-x 2+53x +4(2)E 1)，E 2)，E 34222，，E 44222， (3)当S △BFC ＞163时，对应的点F 有且只有两个．14．(1)抛物线解析式为y ＝122x +3x ﹣8；(2)点F 的坐标是F （﹣4，﹣12）；(3)存在，点Q 有坐标为（0，0，﹣0，﹣4）或（0，0）．15．(1)21462y x x =-+，点A （2，0），点B （6，0） (2)S △BCP 的最大值为272(3)当△BPE 是等腰三角形时，m 的值为2或416．(1)2242y x x =-++(2)1x >(3)617．(1)2y x 2x 3=-++(2)2(3)存在，()2,3或()4,5-18．(1)y =－x 2－2x +3(2)S =23922t t +(t <－3) (3)P 的坐标为（－4，－5）19．(1)223y x x =+-(2)(3)存在，点F 的坐标为：()1-或()1-或()0,3-或()2,3-- 20．(1)2y x 2x 3=-++(2)点D 的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P （12，154）。
最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(面积问题)含答案
2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（面积问题） 1．如图，过1,0A 、()3,0B 作x 轴的垂线，分别交直线y ＝4－x 于C 、D 两点．抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．2．综合与探究如图，已知抛物线()220y ax x c a =++≠与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的顶点为D ，直线y ＝x ＋b 与抛物线交于A ，F 两点，过点D 作DE △y 轴交直线AF 于点E ．(1)求抛物线和直线AF 的解析式；(2)在直线AF 上方的抛物线上有一点P ，使3PAE PDE S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点M 为抛物线上一动点，试探究在直线AF 上是否存在一点N ，使得以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M ，使27MBC S =若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在抛物线上是否存在一点P ，使得ACP OCB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD SS =，求点P 的坐标．5．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，点(,0)M m 为线段OA 上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；(2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；(3)若BPN△与OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(−3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点N为第二象限内抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，在Rt ABC∠=︒，8AC=cm，CD为AB边上的高，点Q从点AAB=cm，4∆中，90ACB出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2t s t<<．cm/s．设运动时间为()(04)解答下列问题：∥；(1)当t为何值时，PQ BC(2)当PQ中点在CD上时，求t的值；(3)设四边形QPBC的面积为2)(S cm，求S与t的函数关系式，并求S最小值；=，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使得PQ PC8．如图，抛物线23=++与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一y ax bx点．(1)B点坐标为______；(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接P A、PD．△请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）△求△P AD面积的最大值；(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且△ADQ=45°，请直接写出点Q 坐标______．B，与y轴交于点C，连接AC，有一动点9．已知抛物线23y ax bx=++的图象与x轴相交于点A和点(1,0)D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AE 、CE ，当ACE 的面积最大时，点D 的坐标是 ；(3)当2m =-时，在平面内是否存在点Q ，使以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求a ，b 的值；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，是否存在点Q ．使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与AOC △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．11．在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．(1)如图△，若动点Q 从点C 出发，在对角线CA 上以每秒3cm 的速度向A 点匀速移动，同时动点P 从点B 出发，在BC 上以每秒2cm 的速度向点C 匀速移动，运动时间为t 秒()03t ≤<，t 取何值时，四边形ABPQ 的面积最小？(2)如图△，若点Q 在对角线CA 上，CQ ＝4cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 运动至点C 停止．设点P 运动了t 秒，当t 为何值时，以Q 、P 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？12．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的3,4，且AC平行于x轴．坐标为()(1)求直线AB的解析式；(2)求过B，C两点的抛物线2=-++的解析式；y x bx c(3)抛物线2=-++与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；y x bx c(4)若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．14．如图，已知二次函数23=+-的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交y ax bx于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．(1)求抛物线和直线AC 的函数表达式；(2)若抛物线上的动点E 在直线AC 的下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△BPQ 为等边三角形时，求直线AP 的函数表达式．15．图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，其对称轴为1x =-．(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴上．△当P A △NA ，且P A ＝NA 时，求此时点P 的坐标；△求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．16．图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点且横坐标为1，点C 的坐标为（0，3），P 为线段MB 上一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若PD m =，PCD ∆的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)是否存在点P 满足DC PC =，若存在，请求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线经过点(10)A -，，(03)C ，两点，对称轴为52x =．(1)求抛物线的表达式；(2)若过点C 的直线l 的表达式为3y kx =+，当直线l 与抛物线有两个不同交点时，求k 的取值范围；(3)在（2）条件下，当直线l 与BC 垂直时，与对称轴交于点E ．此时抛物线上是否存在点P ，使得ABP ABE S S =△△，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式；(2)动点D 在直线BC 上方的二次函数图象上，连接,DC DB ，设BCD △的面积为S ，求S 的最大值；(3)当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，请求出点Q 的坐标．19．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()4,0A ，()1,0C -两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物线上的动点，连接AB ，BC ，P A ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设APQ 的面积为1S ，BCQ △的面积为2S ，当215S S -=时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使45PAB CBO ∠+∠=︒，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说明理由．20．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．答案1．(1)y =-43x 2+133x(2)存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32 (3)132．(1)2y x 2x 3=-++，1y x =+(2)(2P(3)()10,1N ，()22,3N ，3N ⎝⎭，4N ⎝⎭3．(1)2y x 2x 3=-++(2)存在，(6,21)M -(3)存在，(4,5)P -4．(1)2(1)4y x =--+(2)C (-1，0)；D (3，0)；6(3)()11-或()11-5．(1)239344y x x =-++；对称轴为直线32x =； (2)当2m =时，以点P 、N 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形；(3)M （1，0）6．(1)抛物线的函数解析式为y =-x 2-2x +3；(2)△BCN 的面积最大值为278，N (−32，154)； (3)存在，P 的坐标是（-5，-12）或（3，-12）或（-1，4）．7．(1)2t =； (2)83t =s ；(3)22)S t -+S 取得最小值为 (4)存在某一时刻43t =s ，使得PQ PC =8．(1)（6，0）(2)△211242n n -++；△274(3)（1，－6）或（－5，6）9．(1)223y x x =--+； (2)3322⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (3)当Q 点为(3,0)或(1,0)-或(3,6)-时，以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．10．(1)2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)存在，点35,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点(2,2)Q -或321(,)48-11．(1)284cm 5 (2)当t 为4或1.6或5.5时，以Q ，P ，C 为顶点的三角形是等腰三角形12．(1)4y x =-+(2)234y x x =-++(3)BD OC =(4)(21-)或(21)或(1，6)13．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-214．(1)223y x x =--；y ＝x ＋1； (2)258，315,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)y x =或y =15．(1)223y x x =--+， (1,4)-(2)△()1,2P ；△758， 315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(1)2y x 2x 3=-++ (2)213(04)42S m m m =-+<≤(3)不存在17．(1)215322y x x =-++ (2)52k ≠(3)存在，点P 的坐标为8⎫-⎪⎪⎝⎭或8⎫-⎪⎪⎝⎭18．(1)2y x 2x 3=-++ (2)278(3)存在；Q 的坐标为(0,0)或(9,0)19．(1)234y x x =-++ (2)16P （，）或26P（，） (3)()3,4P20．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭。
中考数学专题复习6二次函数及其运用(解析版)
二次函数及其运用复习考点攻略考点一 二次函数相关概念1. 二次函数：一般地.形如y =ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）的函数.叫做二次函数．2. 二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a .b .c 为常数.a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a .h .k 为常数.a ≠0）.顶点坐标是（h .k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2）.其中x 1.x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标.a ≠0 【例1】若y =（a –1）x 2–ax +6是关于x 的二次函数.那么a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠1且a ≠0D ．无法确定【答案】【答案】B【解析】根据二次函数的定义.a –1≠0.即a ≠1．故选B ．考点二 二次函数的图像和性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）对称轴x =–2b a顶点 （–2b a .244ac b a-） a 的符号a >0a <0图象开口方向 开口向上 开口向下 最值当x =–2ba 时. y 最小值=244ac b a -当x =–2b a时. y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点 抛物线有最高点增减性当x <–2ba时.y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时.y 随x 的增大而增大 当x <–2ba时.y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时.y 随x 的增大而减小 字母的符号图象的特征 aa >0 开口向上 a <0 开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点 c >0 与y 轴正半轴相交 c <0与y 轴负半轴相交【例2】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示.则反比例函数y x=与一次函数y cx b =-+在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：根据二次函数图象与y 轴的交点可得c ＞0.根据抛物线开口向下可得a ＜0.由对称轴在y 轴右边可得a 、b 异号.故b ＞0.则反比例函数ay x=的图象在第二、四象限. 一次函数y cx b =-+经过第一、二、四象限.故选：C ．【例3】如图.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论：①abc ＜0；②3a ＜﹣c ；③若m 为任意实数.则有a ﹣bm ≤am 2+b ； ④若图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】解：由图象可知：a ＜0.c ＞0.12ba-=- .∴b ＝2a ＜0.∴abc ＞0.故①abc ＜0错误； 当x ＝1时.y ＝a +b +c ＝a +2a +c ＝3a +c ＜0.∴3a ＜﹣c .故②3a ＜﹣c 正确； ∵x ＝﹣1时.y 有最大值.∴a ﹣b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数）. 即a ﹣b ≥am 2+bm .即a ﹣bm ≥am 2+b .故③错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的一个交点为（﹣3.﹣2）.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的另一个交点为（1.﹣2）.即x 1＝1.x 2＝﹣3.∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5.故④正确．所以正确的是②④；故选：C ．【例4】若二次函数2y a x bx c =++的图象经过A （m .n ）、B （0.y 1）、C （3–m .n ）、D 2.y 2）、E （2.y 3）.则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．231y y y ＜＜ B ．132y y y ＜＜ C ．321y y y ＜＜ D ．123y y y ＜＜【答案】A【解析】∵经过A （m .n ）、C （3–m .n ）.∴二次函数的对称轴x =32. ∵B （0.y 1）、D 2.y 2）、E （2.y 3）与对称轴的距离B 最远.D 最近. ∵|a |>0.∴y 1>y 3>y 2；故选A ．考点三 二次函数图像的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ） 2+k .顶点坐标为（h .k ）． 2．保持y =ax 2的形状不变.将其顶点平移到（h .k ）处.具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减.左加右减”的原则.据此.可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移.可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度.那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0.–2）.∵向右平移3个单位长度.∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3.–2）.∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．考点四二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）.当y=0时.就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根.抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根.抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根.抛物线与x轴没有交点．【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示.则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分.则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1.∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3.0）.∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1.0）.∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点五二次函数的综合运用1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题.一般先假设该点存在.根据该点所在的直线或抛物线的表达式.设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式.求出该点的坐标.然后判别该点坐标是否符合题意.若符合题意.则该点存在.否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题.要把问题拆分.分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式.进而确定函数图象；解答二次函数综合题.要把大题拆分.做到大题小做.逐步分析求解.最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题.首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动.运动速度是多少.结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度.最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．【例8】如图.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1.与y 轴交于点B （0.﹣2）.点A （﹣1.m ）在抛物线上.则下列结论中错误的是（ ）A ．ab ＜0B ．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.当实数t ＞13时.y 1＜y 2 【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上.∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1. ∴b ＝﹣2a ＜0.∴ab ＜0.所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1.抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0.0）与（﹣1.0）之间. ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2.0）与（3.0）之间.∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间.所以B 选项的结论正确； 把B （0.﹣2）.A （﹣1.m ）代入抛物线得c ＝﹣2.a ﹣b +c ＝m .而b ＝﹣2a . ∴a +2a ﹣2＝m .∴a ＝23m +.所以C 选项的结论正确； ∵点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时t ≥1；当P 1在直线x ＝1的左侧.点P 2在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时0＜t ＜1且t +1﹣1＞1﹣t .即12＜t ＜1. ∴当12＜t ＜1或t ≥1时.y 1＜y 2.所以D 选项的结论错误；故选：D ． 【例9】如图.抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-.并且与y 轴交于点()03，C .与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1.设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D .点E 为直线BC 上一动点.过点E 作y 轴的平行线EF .与抛物线交于点F .问是否存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在.求出点E 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）22(2)143y x x x =--=-+；（2）（222）或（22）或（1.2）或（4.-1）．【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为(21)-，.所以该抛物线的解析式为2(2)1y a x =--.又该抛物线过点(03)C ，.代入2(2)1y a x =--得：学=科网 413a -=.解得1a =.故该抛物线的解析式为22(2)143y x x x =--=-+．（2）假设存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似． 由（1）知.该抛物线的解析式是y =x 2-4x +3.即y =（x -1）（x -3）. ∴该抛物线与x 轴的交点坐标分别是A （1.0）.B （3.0）． ∵C （0.3）.∴易求直线BC 的解析式为：y =-x +3． ∴∠OBC =∠OCB =45°．又∵点D 是对称轴上的一点.∴D （2.1）． 如图.连接DF ．∵EF ∥y 轴.∴只有∠EFD =∠COB =90°．∵以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似. ∴∠DEF =∠FDE =45°. ∴只有△EFD ∽△COB ．设E （x .-x +3）.则F （x .1）. ∴1=x 2-4x +3. 解得x =2±2.当x 2时.y =-x +3=12 当x =22.y =-x 2∴E 1（222）、E 2（2.12）．∠EDF =90°；易知.直线AD ：y =x -1.联立抛物线的解析式有： x 2-4x +3=x -1.解得 x 1=1.x 2=4； 当x =1时.y =-x +3=2； 当x =4时.y =-x +3=-1； ∴E 3（1.2）.E 4（4.-1）．∴综上.点E 的坐标为（222）或（2.12）或（1.2）或（4.-1）．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1. 函数y =21(1)m m x ++是二次函数.则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1C ．–1D ．以上都不对【答案】B【解析】∵函数y =21(1)m m x++是二次函数.∴m 2+1=2且m +1≠0.解得m =1．故选B ．2.一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：A 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴右侧.∴a>0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第一、三、四象限.A 错误；B 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴左侧.∴a>0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、三象限.B 正确；C 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴右侧.∴a<0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、四象限.C 错误；D 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴左侧.∴a ＜0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第二、三、四象限.D 错误．故选：B ．3.在函数2(1)3y x =-+中.当y 随x 的增大而减小时.则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．0x >C ．3x <D ．1x ≤【答案】D【解析】二次函数2(1)3y x =-+的对称轴为直线1x =. ∵0a >.∴1x ≤时.y 随x 的增大而减小.故选D.4.把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位长度.再向下平移2个单位长度.得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y =12（x +1）2–3B ．y =12（x –1）2–3C ．y =12（x +1）2+1D ．y =12（x –1）2+1【答案】B【解析】∵把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位.再向下平移2个单位.∴得到的抛物线的解析式为y =12（x –1）2–3.故选B ．5.如图.一次函数 (a>0)的图象与x 轴交于A.B 两点.与y 轴正半轴交于点C.它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）A.B.C.D. 当(n 为实数)时.【答案】 D 【解析】解：A 、∵图象开口向上.∵a>0.∵对称轴在y 轴左侧. ∵x=-<0, ∵b>0；∵图象与y 轴的交点在y 轴上方. ∵c>0. ∵abc>0, 不符合题意；B、∵抛物线与x轴有两个交点.∵ .即,不符合题意；C、设图象的顶点为（1.k）,∵k<0.则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,∵c=a+k,∵c-a=k<0,不符合题意；D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0,.∵x=-n2-2,由对称的性质可知这时的y≥c. 故答案为：D.6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣3 2t2．在飞机着陆滑行中.滑行最后的150m所用的时间是（）s．A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A【解析】当y取得最大值时.飞机停下来.则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600.此时t=20.飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y=600﹣150=450时.即60t﹣32t2=450.解得：t=10.t=30（不合题意舍去）.∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10.故选A．7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形.两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时.大孔水面宽度为10米.孔顶离水面1.5米；当水位下降.大孔水面宽度为14米时.单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度为20米.则单个小孔的水面宽度为（）A．3B．2米C．13D．7米【答案】B【解析】解：如图.建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可得MN=4.EF=14.BC=10.DO=32.设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32.∵BC =10.∴点B （﹣5.0）.∴0=a ×（﹣5）2+32.∴a =-350. ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32.设点A （b .0）.则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2.∵EF =14.∴点E 的横坐标为-7.∴点E 坐标为（-7.-3625）. ∴-3625=m （x ﹣b ）2.∴x 1615m +b.x 2615m -+b.∴MN =4.∴615m -b -（615m-b ）|=4 ∴m =-925.∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2. ∵大孔水面宽度为20米.∴当x =-10时.y =-92.∴-92=-925（x ﹣b ）2.∴x 1522b .x 2=-522+b . ∴单个小孔的水面宽度=|522b ）-（522b ）|=2（米）.故选：B ．8.已知二次函数()()2221y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.则关于x 的一元二次方程()()22210a x a x --++=的两根之积为（ ） A ．0 B ．1-C ．12-D ．14-【答案】D【解析】解：∵二次函数2(2)(2)1y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.可知二次函数图像的对称轴为直线x=0.即y 轴.则()202(2)a a -+-=-.解得：a=-2.则关于x 的一元二次方程2(2)(2)10a x a x --++=为2410x -+=.则两根之积为14-.故选D.9.如图.正方形四个顶点的坐标依次为（1.1）.（3.1）.（3.3）.（1.3）.若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点.则实数a 的取值范围是（ ）A ．139a ≤≤ B ．119a ≤≤ C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 【答案】A【解析】解：当抛物线经过（1.3）时.a=3. 当抛物线经过（3.1）时.a=19.观察图象可知19≤a≤3.故选：A ． 10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示.下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】解：由图象知.抛物线与x 轴有两个交点.∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根.∴b 2﹣4ac ＞0.故①正确.由图象知.抛物线的对称轴直线为x ＝2.∴﹣2ba＝2.∴4a +b ＝0.故③正确.由图象知.抛物线开口方向向下.∴a ＜0.∵4a +b ＝0.∴b ＞0.而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上.∴c ＞0.∴abc ＜0.故②正确.由图象知.当x ＝﹣2时.y ＜0.∴4a ﹣2b +c ＜0.故④错误. 即正确的结论有3个.故选：B ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．设点()1,P m y .()23,Q y 在抛物线上.若12y y <.则m 的取值范围 ．【答案】当a ＞0时.13m -<<；当a ＜0时.1m <-或3m >．【解析】∵抛物线的对称轴为1x =.∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -. 当a ＞0时.若12y y <.则-1＜m ＜3； 当a ＜0时.若12y y <.则m ＜-1或m ＞3.12.将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C .抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为 【答案】22y x =--【解析】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x .即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.13.如图是抛物线形拱桥.当拱顶高离水面2 m 时.水面宽4 m.水面下降2.5 m.水面宽度增加【答案】2 m【解析】如图.建立平面直角坐标系.设横轴x 通过AB .纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点.则通过画图可得知O 为原点.抛物线以y 轴为对称轴.且经过A .B 两点.可求出OA 和OB 均为AB 的一半.即OA =OB =2 m.抛物线顶点C 坐标为（0.2）.设顶点式y =ax 2+2.把A 点坐标（–2.0）代入得a =–0.5.∴抛物线解析式为y =–0.5x 2+2.当水面下降2.5 m.通过观察图上的抛物线可得当y =–2.5时.对应的抛物线上两点之间的距离.也就是直线y =–1与抛物线相交时两点之间的距离.把y =–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x 2+2.解得：x =±3.2×3–4=2.所以水面下降2.5 m.水面宽度增加2 m ．14. 若A （–3.5.y 1）、B （–1.y 2）、C （1.y 3）为二次函数y =–x 2–4x +5的图象上三点.则y 1.y 2.y 3的大小关系是__________． 【答案】y 2>y 1>y 3【解析】对称轴为直线x =–2b a =–42(1)-⨯-=–2.∵a =–1<0.∴当x <–2时.y 随x 的增大而增大.当x >–2时.y 随x 的增大而减小.∵–2–（–3.5）=–2+3.5=1.5.–1–（–2）=–1+2=1.1–（–2）=1+2=3.∴y 2>y 1>y 3．故答案为：y 2>y 1>y 3．15. 如图.抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A （-1.P ）.B （3.q ）两点.则不等式2ax mx c n ++>的解集是__________．【答案】3x <-或1x >【解析】∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -.()3,B q 两点.∴m n p -+=.3m n q +=.∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p .()3,Q q -两点.观察函数图象可知：当3x <-或1x >时.直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c=++的下方.∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．16.如图.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、B .顶点为C .对称轴为直线1x =.给出下列结论：①0abc <；②若点C 的坐标为1,2.则ABC 的面积可以等于2；③()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上两点()12x x <.若122x x +>.则12y y <；④若抛物线经过点(3,1)-.则方程210ax bx c +++=的两根为1-.3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④ 【解析】解：①开口向下.∴ a<0.对称轴x=1,a<0,∴ b>0.抛物线与y 轴的交点在y 的正半轴上.∴ c>0. abc<0.正确． ②从图像可知.AB>4,12ABC y S AB C ∆=⨯⨯>1422⨯⨯.2ABC S ∆∴> .故错误． ③122x x +>.∴从图像可知 1x 到1的距离小于2x 到1的距离.从图像可知.越靠近对称轴.函数值越大；12y y ∴> .故错误．④把点（3.-1）代入抛物线得931a b c ++=- .即21ax bx c ++=- .∴210ax bx c +++=.即x=3.是方程210ax bx c +++=的解.根据抛物线的对称性.所以另一解为-1.故正确．第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17.如图.一名男生推铅球.铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m ？【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为3m ；（2）该男生把铅球推出的水平距离是10m ． 【解析】（1）221251(4)3123312y x x x =-++=--+. ∵1012-<. ∴y 的最大值为3.∴铅球在行进中的最大高度为3m ． （2）令0y =得：212501233x x -++= 解方程得.110x =.22x =-（负值舍去）． ∴该男生把铅球推出的水平距离是10m ．18. 已知：二次函数223y x x =++与一次函数35y x =+． （1）两个函数图象相交吗？若相交.有几个交点？（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.使直线与抛物线只有一个交点.求k 的值． 【答案】（1）见解析；（2）94k = 【解析】（1）22335y x x y x ⎧=++⎨=+⎩. 解得.12x y =-⎧⎨=⎩或211x y =⎧⎨=⎩. 即两个函数图象相交.有两个交点；（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.得直线35y x k =+-. 令22335x x x k ++=+-. 得220x x k --+=.∵直线与抛物线只有一个交点.∴△22414(2)1840b ac k k =-=-⨯-+=+-=.解得.94k =． 19. 如图.在平面直角坐标系中.二次函数 图象的顶点是A.与x 轴交于B.C两点.与y 轴交于点D.点B 的坐标是(1.0).（1）求A.C两点的坐标.并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象.使点D恰好落在点A的位置上.求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】（1）1<x<3；（2）y=-(x-4)2+5【解析】（1）解：把B(1.0)代入y=ax²+4x-3.得0=a+4-3. 解得a=-1.∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1.∴点A坐标为(2.1).∵抛物线的对称轴为直线x-2.且点C与点B关于对称轴对称.∴点C(3.0).∴当y>0时.x的取值范围是1<x<3（2）解：D(0.-3).∴点D移到点A时.抛物线向右平移2个单位.向上平移4个单位.所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+520.如图.直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点.并且点M在第一象限内.连接AM、BM.设点M 的横坐标为m.△ABM的面积为S.求S与m的函数表达式.并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下.当S取得最大值时.动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（3）（.）【解析】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.则点A、B的坐标分别为：（1.0）、（0.3）.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0.3）.则a+4＝3.解得：a＝﹣1.故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H.设点M（m.﹣m2+2m+3）.﹣S⊥OAB﹣S⊥AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣则S＝S梯形BOHMm2+2m+3）]＝﹣m2+m.∵0.故S有最大值.当m＝时.S的最大值为：；（3）当S取得最大值时.此时.m＝.则y＝﹣m2+2m+3＝.故点M′的坐标为：（.）．21.如图.在平面直角坐标系中.已知二次函数图象的顶点为A.与y轴交于点B.异于顶点A的点C(1.n)在该函数图象上.（1）当m=5时.求n的值.（2）当n=2时.若点A在第一象限内.结合图象.求当y 时.自变量x的取值范围.（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方.且在线段OD上时.求m的取值范围. 【答案】（1）（2）1≤x≤5 .（3）0≤m＜1或1＜m＜2 .【解析】（1）解：当m＝5时.y＝.当x＝1时. n＝.（2）解：当n＝2时.将C(1.2)代入函数表达式y＝.得2＝.解得m1＝3. m2＝－1(舍去).∵此时抛物线的对称轴为直线x=3.根据抛物线的轴对称性.当y＝2时.有x1＝1 .x2＝5.∵x的取值范围为1≤x≤5.（3）解：∵点A与点C不重合. ∵m≠1.∵抛物线的顶点A的坐标是(m.4) .∵抛物线的顶点在直线y＝4上.当x＝0时.y＝.∵点B的坐标为(0. ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前.m减小.点B沿y轴上向上移动.当点B 与点O 重合时.＝0. 解得 m 1＝ .m 2＝ .当点B 与点D 重合时.如图2.顶点A 也与点B.D 重合.点B 到达最高点.∵点B 的点坐标为（0.4）.∵＝4.解得 m ＝0.当抛物线从图2位置继续向左平移时.如图3点B 不在线段OD 上.∵ B 点在线段OD 上时.m 的取值范围是0≤m ＜1或1＜m ＜2.22.如图.二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,.()10B ,.交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点.PM x ⊥轴.交直线AC 于点M .交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段AO 上运动.如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动.则在y 轴上是否存在点Q .使以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形．若存在.请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）①94.②存在.123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【解析】解：（1）把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中.得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-． （2）设直线AC 的表达式为y kx b =+.把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得.03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组.得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--． ∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∵10a =-<.∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动.且3302-<-< ∴当32m =-时.MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--（i ）当以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形.则有MN=MC .如图.∵C （0.-3）∴222(0)(33)2m m m -+--+= ∴223=2m m m --整理得.432670m m m ++=∵20m ≠.∴2670m m ++=.解得.132m =-.232m =-∴当32m =-.CQ=MN=322.∴OQ=-3-(322)=321-∴Q(0.321-)； 当m=32-时.CQ=MN=-322.∴OQ=-3-(-322)=321∴Q(0.321-)； (ii)若2MC MN =.如图.则有223=22m m m --.432650m m m ++= ∵20m ≠.∴2650m m ++=.解得.11m =-.25m =-当m=-1时.MN=CQ=2.∴Q （0.-1）.当m=-5时.MN=-10＜0（不符合实际.舍去）综上所述.点Q 的坐标为123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --.。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图所示，二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式； (2)求点B 、点C 的坐标；(3)若抛物线的顶点是M ，求△ACM 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式； (2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆= ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数23y ax bx =++的图像与x 正半轴相交于点B ，负半轴相交于点A ，其中A 点坐标是（－1，0），B 点坐标是（3，0）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD x轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1△2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．4．如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点A （-2，0）．与点C （0，4）．与x 轴的正半轴交于点B ．(1)求抛物线的表达式；(2)如果D 是抛物线上一点，AD 与线段BC 相交于点E ，且AD 将四边形ABDC 分成面积相等的两部分，求DEAE的值； (3)如果P 是x 轴上一点，△PCB =△ACO ，求△PCO 的正切值．6．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．8．如图，二次函数23=++的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．y ax bx(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23=++图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当y ax bxS△PCD=3时，求出点P的坐标；(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的Rt MCD，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ()0,3-，顶点为()1,4D -．(1)求抛物线的表达式；(2)若平行于x 轴的直线与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的对称轴交于点H ，若点H 到x 轴的距离是线段MN 长的12，求线段MN 的长；(3)若经过C ，D 两点的直线与x 轴相交于点E ，F 是y 轴上一点，且AF ∥CD ，在抛物线上是否存在点P ，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分？如果存在, 求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理．11．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l 与抛物线交于A、D 两点，与y 轴交于点E，点D 的坐标为（4，3）．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接P A、PD，求△P AD 面积最大值；(3)由（2）并求出点P的坐标．13．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点． △直线EF 的解析式是______；△点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．14．如图，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AC 的函数表达式；(2)若D 是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD 的面积等于△AOC 的面积，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD ，试判断在抛物线上是否存在点M ，使△MDA ＝△ACO ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究线交x 轴于另一点C ，且2OA OC =，点F 是直线AB 下方抛物线上的动点，连接F A ，FB ．(1)求抛物线解析式；(2)当点F 与抛物线的顶点重合时，ABF 的面积为______；． (3)求四边形F AOB 面积的最大值及此时点F 的坐标．(4)在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点M ，使得以A ，F ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．抛物线224y ax ax =--交x 轴于(2,0)A -、B 两点，交y 轴于C ；直线AD 交抛物线于第一象限内点D ，且D 的横坐标为5，(1)求抛物线解析式；(2)点E 为直线AD 下方抛物线上一动点，且21ADES=，求点E 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使PCO DAO CBO ∠+∠=∠，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，抛物线与x 轴交于点()2,0B -、()4,0C 两点，与y 轴交于点()0,2A ；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求AMC S △的最大值；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围；19．如图，已知抛物线2=++与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，y x bx cOA=OC=3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分ABP△的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；(3)在y轴上是否存在一点N，使得45∠+∠=︒，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说BCO BNO明理由．C-．20．已知二次函数2(0)y x bx c a=++≠的图像与x轴的交于A、(1,0)B两点，与y轴交于点(0,3)(1)求二次函数的表达式及A点坐标；(2)D是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；(3)M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．答案1．(1)2y x 2x 3=-++(2)()0,3C 、()1,0B -(3)32．(1)223y x x =-- (2)254(3)存在，点P 的坐标为(12) 或(12)或()12-或(12)-3．(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为：(1,0)、(5,0)、)2,0、()2- 4．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198） 5．(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4； (2)14DE AE =； (3)△PCO 的正切值13或3．6．(1)223y x x =+-(2)()14P --，或()23--，(3)存在，坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-7．(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ，4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-8．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M9．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．10．(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -，15)16-，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分 11．(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6 (2)152(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）12．(1)（1）y =-14x 2+x +3，y =12x +1 (2)274(3)(1,154) 13．(1)24y x =-+ (2)232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)△y x =；△414．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，24y x =+(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)15．(1)2142y x x =-- (2)3 (3)FAOB S 四边形有最大值12，此时点F 的坐标为()2,4-(4)存在，点Q 的坐标()18,2Q -，()26,6Q -，()35,3Q -，()41,1Q -16．(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；E 2（2，-4） (3)存在，（8，20）17．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭18．(1)211242y x x =-++ (2)2(3)34m -≤-或32m -≤≤19．(1)223y x x =+-(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）20．(1)223y x x =+-，(3,0)A - (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)。
中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)
中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）2．下列函数图象不属于中心对称图形的是（ ） A ．20222023yxB ．220222023yx x C ．2023y =- D ．2022xy =-3．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．22y x =-B ．y =C ．31y x =-D ．1y x=4．若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．a<0D ．0a >5．已知点1(4)y -，、2(1)y -，、353y ⎛⎫⎪⎝⎭，都在函数245y x x =--+的图象上，则123y y y 、、的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >> 6．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（ ） A ．221y x x =-+ B ．221y x x =--- C ．221y x x =-+-D ．221y x x =-++7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A ．0,0,0a b c >>> B ．0,0,0a b c <<= C ．0,0,0a b c <D ．0,0,0a b c >>=8．二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．12±9．已知点 A （−1，a ），B （1，b ），C （2，c ）是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>c>bB ．b>a>cC ．b>c>aD ．c>a>b10．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．25411．如图，已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b，其中是负数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x+4）2+7C．y=（x﹣4）2﹣25D．y=（x+4）2﹣2513．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2B．k＞2C．k≥2D．k≤214．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4B．1或3C．-1或1D．无实根15．二次函数图像如图所示，下列结论：①0abc >，①20a b +=，①，①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0，①3a ﹣b ＝0，①a ＋b ＋c ＝0，①9a ﹣3b ＋c ＜0，①b 2﹣4ac ＞0.其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①17．将抛物线y=2x2向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A ．y=2（x+1）2B ．y=2（x ﹣1）2C ．y=2x2﹣1D ．y=2x2+118．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac <0；①2a ﹣b=0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3；①30a c +=；①对于任意实数m ，2am bm a b +≥+总是成立的．正确的说法有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．519．如图是二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象，若y 1与y 2交于点A (4，yA )，则下列命题中，假命题是( )A ．当x ＞4时，12y y ＞B ．当1x <-时，12y y ＞C ．当12y y ＜时，0＜x ＜4D ．当12y y ＞时，x ＜020．如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12， 且经过点（2，0），下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．2-4ac<0bC ．a+b=1D ．当x ＞2或x ＜-1时，y ＜0二、填空题21．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 22．抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______． 23．抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______． 24．抛物线y ＝－（x －1）2－2的顶点坐标是________．25．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______． 26．将抛物线2yx 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是______；27．若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．28．抛物线 245y x x =-+，当34x -≤≤时，y 的取值范围是___________ 29．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．30．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B ，C 作一条直线l ． （1）ABC ∠的度数是______；（2）点P 在线段OB 上，且点P 的坐标为()2,0，过点P 作PM x ⊥轴，交直线l 于点N ，交抛物线于点M ，则线段MN 的长为______．31．如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m ＝_____．32．二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．33．如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ①BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA AB =3，①OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持①DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．34．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是_____．35．已知点A(－3，m)在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________．36．若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为：________．此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.37．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表下列结论：①ac ＜0； ①当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小； ①当2x =时，5y =； ①3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.38．如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，下列结论中：0abc >①； 40a c +>②；③若t 为任意实数，则有2a bt at b -≥+； ④若函数图象经过点()2,1，则311222a b c ++=；⑤当函数图象经过()2,1时，方程210ax bx c ++-=的两根为1x ，212()x x x <，则1228x x -=-．其中正确的结论有______．39．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．则四边形EFGH 面积的最小值为___．40．如图，已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ，MN 是该抛物线的对称轴，点P 在射线MN 上，连结PA ，过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ，过A 作AC MN ⊥于点C ，连结PB ，在点P 的运动过程中，抛物线上存在点Q ，使QAC PBA ∠∠=，则点Q 的横坐标为______．三、解答题41．已知抛物线y =x 2+（b -2）x +c 经过点M （-1，-2b ）． （1）求b +c 的值．（2）若b =4，求这条抛物线的顶点坐标．42．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？43．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x 的函数中，是“D 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D 函数”的打“×”，my x=（0m ≠）（_______）；31y x =-（_______）；2y x =（_______）．(2)若点A （1，m ）与点B （n ，4-）是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++（0a ≠）的一对“D 点”，且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围；(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=；①()()2230c b a c b a +-++<；求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．44．（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度；（2）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝50m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，求居民楼AB 的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣32t2，求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．45．已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个．求：()1求k的取值范围；()2当1k=时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；()3观察图象，当x取何值时0y>？46．如图，抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y t=恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得PAB的面积为3，求出点P的坐标；①当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．47．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是AB 上的一点（不与点A、B 重合），DE①BC，交AC 于点E.设△ABC 的面积为S，△DEC 的面积为S'.（1）当D是AB中点时，求SS'的值；（2）设AD=x，SS'=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM①x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC 的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．49．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A 、B 的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM 的最小值及点M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ，，()10B -，，0(3)C ，三点，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点G 在y 轴上，且OGB OAB ACB ∠+∠=∠，求AG 的长；(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上，过D 作DE BC ⊥于E ，M 在直线DE 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在，请求出点M 、N 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．【详解】解：①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称，①其顶点在y 轴上，当0x =时，1y =-，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．2．B【分析】分别根据一次函数图象，二次函数图象，常数函数的图象的对称性分析判断即可得解．【详解】解：A ．直线20222023y x 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．抛物线220222023y x x 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．直线2023y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．直线2022x y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，常数函数的图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【详解】22y x =-符合二次函数的定义，故A 符合题意；y B 不符合题意； 31y x =-是一次函数，故C 不符合题意；1y x=中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键．5．C【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可；【详解】解：①245y x x =--+，①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ①当<2x -时，y 随x 的增大而增大， 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y ， ①17413-<-<-， ①213y y y >>；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．【详解】解：①()222112y x x x =+-=+-，①抛物线的顶点坐标为()1,2--，①将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2，1a =-，①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值．7．D【详解】试题分析：由题意得，二次函数经过原点可知，,又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可知，故选D.考点：二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8．A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-， ①41634m m-=-， 解得1m =．故选A ．9．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：①抛物线y =-x 2+2x =-（x -1）2+1，①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，而A （-1，a ）离直线x =1的距离最远，B （1，b ）在直线x =1上，①b ＞c ＞a ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．B【分析】易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE BE AB=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题．【详解】若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°，∴∠CFE ＝∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB=，BE ＝CE ＝x ﹣52，即525522x y x -=-， ∴225()52y x =-， 当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72， ∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52＝5； 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键．11．B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a ＜0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号，所以b ＜0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c ＞ 0,直线x ＝－1是抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴，所以－b 2a＝－1,可得b ＝2a ,由图知，当x ＝－3时y ＜0,即9a －3b ＋c ＜ 0,所以9a －6a ＋c ＝3a ＋c ＜0,因此①abc ＞0;①a －b ＋c ＝a －2a ＋c ＝c －a ＞ 0;①a ＋b ＋c ＝ a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜ 0;①2a －b ＝2a － 2a ＝ 0;①3a －b ＝3a － 2a ＝ a ＜0所以①①小于0,故负数有2个，故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数，解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12．C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．13．C【详解】试题分析：根据二次函数的增减性可得：当x≤k 时，y 随x 的增大而减小，则k≥2．考点：二次函数的性质14．B【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，分别求出a 、b 的值，即可求出方程的解.【详解】由题意得：29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得：142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得：121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.15．C【详解】试题分析： ①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，①0b <，①抛物线与y 轴交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，所以①正确； ①2b x a=-=1，即2b a =-，①20a b +=，所以①正确； ①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），①当3x =时，0y <，①，所以①错误． ①抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①①正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，①①正确．①正确的答案为：①①①①．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16．B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解：①抛物线开口朝下，①a ＜0，①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a ＜0，①3a ﹣b ＝0，故①正确；①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，①c ＞0，①abc ＞0，故①错误；①抛物线的对称轴x =3-2，与x 轴的一个交点为（-4，0）， ①抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），①a +b +c =0，故①正确；根据图象知道当x =-3时，y =9a -3b +c ＞0，故①错误；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac ＞0，故①正确．①正确答案为：①①①．故选：B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．17．B【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x-1）2，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．18．D【分析】根据二次函数系数与图像性质，二次函数与方程，二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论，从而得出答案．【详解】①由图像可知，抛物线的开口向上，①a ＞0，①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，①c ＜0，①ac ＜0，故此选项正确；①由图像可知，对称轴为x=1， ①12b x a=-=， ①-b=2a ，①2a+b=0，故此选项错误；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；①由图像可知，方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，且对称轴为x=1， ①1212x x +=， ①2122(1)3x x =-=--=，故此选项正确；①由①可知，12133c x x a==-⨯=-， 3c a ∴=-，30a c ∴+=，故此选项正确；①由图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++，∴当x=1时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ，∴2ax bx c a b c ++≥++，当x=m 时，则有2am bm c a b c ++≥++，∴2am bm a b +≥+，故此选项正确；①正确的说法有①①①①①共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点，要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=-1时对应的y 值是解题的关键．19．D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．【详解】由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜-1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；根据对称轴求出b=-a ；把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关. ．【详解】：①二次函数的图象开口向下，①a<0，①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，①c>0，①对称轴是直线x=12，①−2b a =12， ①b=−a>0，①abc<0.故A 错误；①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ，①a+b=0，故C 错误；故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21．1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等． 故答案为：1y x =． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．22．()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：()269y x =-++的顶点为()6,9-， 故答案为：()6,9-．【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标，解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ，． 23．2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【详解】解：①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-，①该抛物线的对称轴是直线2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．(1，－2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，． 【详解】由y ＝－（x －1）2－2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()12-，故答案为：()12-，． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，，掌握顶点式是解题的关键．25．-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，①a+b−1=1，①a+b=2，①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26．()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．【详解】解：①抛物线2y x 向左平移2个单位，①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为：()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 27．x =3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4）， ①两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=，即x =3． 故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．28．126y ≤≤【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①2245(2)1y x x x =-+=-+，①抛物线开口向上，对称轴为直线=2x ，函数有最小值1，当3x =-时，26y =，当=4x 时， 5.y =，①当34x -≤≤时，y 的取值范围是126y ≤≤；故答案为：126y ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．29．14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠，且判别式0∆>，求解不等式即可．【详解】解：①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠，且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->，0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为：14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．30． 45°； 2【分析】（1）分别求出A,B,C 的坐标，得到OB OC =，故可求解；（2）先求出直线l 的解析式，再得到M,N 的坐标即可求解．【详解】（1）当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，①点A 在点B 的左侧， ①点A 坐标为()1,0-，点B 坐标为()3,0．当0x =时，=3y -，①点C 坐标为()0,3-，①OB OC =，①=45ABC ∠︒．（2）设直线l 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， ①直线l 的函数表达式为3y x =-；当2x =时，31=-=-y x ，①点N 的坐标为2,1；当2x =时，22232433=--=--=-y x x ，①点M 的坐标为()2,3-；①()132=---=MN ．故答案为：45°；2．【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标． 31．m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而即可求值．【详解】①一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），①点O （0,0），A 1（3,0）①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．①C 13的解析式与x 轴的坐标为（36,0）、（39,0）①C 13的解析式为：y ＝﹣（x －36）（x －39）当x ＝37时，m=y ＝﹣1×（﹣2）＝2故答案为：2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，解题的关键是得出二次函数平移后的解析式．32．y ＝2（x+2）2﹣5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2，即y ＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+2）2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2﹣5，即y ＝2（x+2）2﹣5．故答案为：y ＝2（x+2）2﹣5．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．33．213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA Rt①ABM 中，已知①OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证①ODE ①①AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ①x 轴于M ．在Rt①ABM 中，①AB =3，①BAM =45°，①AM =BM =2， ①BD =14OA ，OA ∴=，①BC =OA﹣AM =，CD =BC ﹣BD ，①D ，3OD ∴== ． 连接OD ，则点D 在①COA 的平分线上，所以①DOE =①COD =45°．又①在梯形DOAB 中，①BAO =45°，①由三角形外角定理得：①ODE =①DEA ﹣45°，又①AEF =①DEA ﹣45°，①①ODE=①AEF ，①①ODE ①①AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为：213y x =-．故答案为：213y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（1，﹣4）【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】①抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），①抛物线的对称轴方程为直线x＝022+＝1，①当x＝1时，y＝﹣4，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．35．(－1，7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标，再利用抛物线的对称性即可得出答案.解：把点A(－3，m)代y＝x2＋4x＋10得，m＝(-3)2＋4×(-3)＋10=7,①点A(－3，7),①对称轴42 22ba-=-=-，①点A(－3，7)关于对称轴x＝2的对称点坐标为（－1，7）.故答案为（－1，7）.36．11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0，由此可求解m的值；代入m值后，分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点，利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称，①对称轴为x=0， ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1，代入原方程得：21y x =-+当y=0时，210x -+=，x=±1，当x=0时，y=1，则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37．①①①．【详解】试题解析：①x =-1时y =-1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，①1{35a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得1{33a b c -＝＝＝，①y =-x 2+3x +3，①ac =-1×3=-3＜0，故①正确；对称轴为直线x =-33212=⨯-（）， 所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故①错误； 当x =2时，y =-4+4+3=3；故①正确.方程为-x 2+2x +3=0，整理得，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b -1）x +c =0的一个根，正确，故①正确.综上所述，结论正确的是①①①．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．38．①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．【详解】解：由抛物线开口向上，因此0a >， 对称轴是直线12b x a=-=-，因此a 、b 同号，所以0b >， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <． ，所以0abc <，故①不正确； 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =， 由图象可知，当1x =时，0y a b c =++>，即20a a c ++>，30a c ∴+>，又0a >，40a c ∴+>，因此①正确；当=1x -时，y a b c =-+最小值，∴当()1x t t =≠-时，2a b c at bt c -+<++，即2a bt at b -<+，x t ∴=（t 为任意实数）时，有2a bt at b -≤+，因此①不正确；函数图象经过点()2,1，即421a b c ++=，而2b a =，231a b c ∴++=，311222a b c ∴++=， 因此①正确；当函数图象经过()2,1时，方程21ax bx c ++=的两根为1x ，212()x x x <，而对称轴为=1x -， 14x ∴=-，22x =，122448x x ∴-=--=-，因此①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故答案为：①①①．【点睛】本查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提． 39．8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），再证明四边形EFGH 是正方形，设AE ＝x ，则AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，在Rt①EAH 中，由勾股定理得EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，所以S 四边形EFGH ＝EH 2＝2（x ﹣2）2+8，可知当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，【详解】解：设AE ＝x ，则AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，①正方形ABCD ，边长为4，①AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），①①AEH +①BEF ＝90°，①EFB +①GFC ＝90°，①FGC +①HGD ＝90°，①①HEF ＝①EFG ＝①FGH ＝90°，①EF ＝EH ＝HG ＝FG ，①四边形EFGH 是正方形，在Rt ①EAH 中，EH 2＝AE 2+AH 2，即EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，①S 四边形EFGH ＝EH 2＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40．53【分析】通过作辅助线，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，先证明AOB 与ACP 相似，得到ABP AOC ∠∠=，再证QDA 与CAO 相似，设出点Q 的坐标，通过相似比即可求出点Q 坐标．【详解】如图，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数的综合应用含参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数的综合应用1．在我市开展的创建文明城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长18m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC 边长为()x m ，花园的面积为2()y m （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到2200m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？2．随着人们的生活水平不断提高，人们越来越注重生活品质，注重食物营养。
水果罐头在保存鲜度和营养方面得天独厚，仅次于现摘水果，水果罐头不仅果肉好吃，水果的本色本味完全融入到糖水中，罐头水的风味甚至比果汁还要浓郁。
某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元。
（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的57的还要多3元．调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大?最大利润为多少?（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱?3．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．销售量y （千克）…32.53535.538…售价x （元/千克）…27.52524.522…（1）某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m 元，写出m 与售价x 之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？4．某商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，试解答下列问题：（1）直接写出该商品销售量y（个）与售价x（元）（12≤x≤30）之间的函数关系式；（2）为了让利给顾客，并同时获得840元的利润，售价应定为多少元？（3）当售价定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少元？5．为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系.（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？6．在这春暖大地百花将开的季节，安徽省利辛县市民健身公园吸引了不少的游客，一个商家发现了商机，设计了一款成本为10元/件的工艺品进行试销．经过一段时间试营业，得到如下数据：销售单价x（元/件）…2030405060…每天销售量（y件）…5040302010…（1）猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）利辛县物价部门规定，在不亏本的情况下该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，该商家试销该工艺品每天获得的利润最大？最大值为多少？7．某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在30元每千克的基础上一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）.假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去.死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出.（1）若放养8天后出售，则活虾的市场价为每千克元.（2）若放养x天后将活虾一次性售出，总共获得的销售总额y元，求y与x的函数关系式；（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当x≤≤时，经销商总获利的最大值为1800元，求a的值（总获利=日销售总额-收购成本-其他费用）20308．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款体恤衫，其成本为每件80元，当售价为每件140元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5件，设每件体恤衫的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件.（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于7475元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定体恤衫的销售单价？9．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为12m，宽为5m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；（2）一大型货运汽车装载大型设备后高为6m，宽为4m．如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？10．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利90元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低70元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品80件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？最大利润是多少？11．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格：x（元/个）…30405060…销售量y（万个） (5432)同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元.（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的之间有关知识求y（万个）与x（元/个）之间的函数解析式.（2）求该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？12．海鲜门市的某种海鲜食材，成本为10元/千克，每天的进货量p（千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式1102p x=+，从市场反馈的信息发现，该海鲜食材每天的市场需求量q（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：销售价格x（元/千克）1012 (30)市场需求量q（千克）3028 (10)（已知按物价部门规定销售价格x不低于10元/千克且不高于30元/千克）（1）请写出q与x的函数关系式：；（2）当每天的进货量小于或等于市场需求量时，这种海鲜食材能全部售出，而当每天的进货量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的海鲜食材，剩余的海鲜食材由于保质期短而只能废弃.①求出每天获得的利润y（元）与销售价格x的函数关系式；②为了避免浪费，每天要确保这种海鲜食材能全部售出，求销售价格为多少元时，每天获得的利润（元）最大值是多少？13．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．14．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．15．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）．（提示：请先根据题目条件在给定的平面直角坐标系中画出示意图）（1）求抛物线的对称轴方程（用含a的代数式表示）；（2）若AB≥12，求a的取值范围；（3）当0＜a＜1时，该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意可得，()2402240y x x x x =⋅-=-+，>00<40−2≤18解不等式得11≤x ＜20即2240(1120)y x x x =-+≤<（2）解：不能，理由：将200y =代入2240y x x =-+，得2200240x x =-+，解得，121011x x ==<，答：花园面积不能达到2200m ；（3）解：∵222402(10)200y x x x =-+=--+，∴函数图象的顶点为()10,200，开口向下，当10x <时，y 随x 的增大而增大，当10x >时，y 随x 的增大而减小，由题意可知，1120x ≤<，∴当11x =时，y 最大，此时198y =，答：当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m .2．【答案】（1）解：设甲种水果的单价为x 元/千克，则乙种水果的单价为(x+2)元/千克由题：18000240002x x =+解得：x=6经检验，x=6为方程的根且符合题意而6+2=8∴甲的单价为6元/千克，乙的单价为8元/千克（2）解：由(1)每听罐头的水果成本为：6×0.5+8×0.5=7元由题，每听罐头的总成本为7+7×57+3=15元设降价m 元，则利润W=(28-m-15)(3000+1000m)=-1000m²+10000m+39000=-1000(m-5)2+64000∴当m=5时，W 有最大值为64000∴当售价为23元时，利润最大，为64000（3）解：由(2)，W=-1000(m-5)2+64000=60000解得：m=7或者3但是，降价幅度不超过定价的15%，即m 2815%∴m≤4.2∴m=3∴售价为28-3=25元答：售价为25元时，利润为6万元3．【答案】（1）解：设该一次函数解析式为y kx b=+则25+=3522+=38，解得：160k b =-⎧⎨=⎩∴60y x =-+（1540x ≤≤）∴当28x =时，32y =，∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克（2）解：由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+-270600x x =-+-，当400m =时，则270600400x x -+-=整理得：27010000x x -+=解得：120x =，250x =∵1540x ≤≤∴20x =所以这天芒果的售价为20元4．【答案】（1）解：由题意可得，y ＝180﹣10（x ﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30），即该商品销售量y （个）与售价x （元）（12≤x≤30）之间的函数关系式是y ＝﹣10x+300（12≤x≤30）（2）解：由题意，得（x ﹣10）•y ＝（x ﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10x 2+400x ﹣3000＝840，解得，x 1＝16，x 2＝24，∵让利给顾客，答：售价应定为16元（3）解：设获得的利润为W 元，W ＝﹣10x 2+400x ﹣3000＝﹣10（x ﹣20）2+1000，∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝20时，W 取最大值，最大值为1000，答：售价定为20元时，获得利润最大，最大利润是1000元5．【答案】（1）解：∵y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，由题意得：9750088000k b k b +=⎧⎨+=⎩解之：50012000k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数解析式为：y=-500x+12000.（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w 元，∵苹果的销售量不少于6500千克，∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11，∴7≤x≤11，而w ＝y （x ﹣4）＝（﹣500x+12000）（x ﹣4）＝﹣500（x ﹣14）2+50000，∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x ＝14，∴7≤x≤11在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，∴x ＝11时，w 有最大值为45500元6．【答案】（1）解：根据表格中的数据，猜想y 与x 成一次函数关系，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b （k≠0），把（20，50）和（30，40）分别代入，得：20+=5030+=40，解得：=−1=70，∴y 与x 成一次函数关系，函数关系式为y ＝﹣x ＋70；经检验：符合题意．（2）解：设每天的利润为w 元，由题意得：w ＝（﹣x ＋70）（x ﹣10）＝2+80-700x x -＝()2-40900x -+，∵二次项系数为负，对称轴为直线x ＝40，∴当x ＜40时，w 随x 的增大而增大．∵在不亏本的情况下该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，∴10≤x≤35，∴当x ＝35时，w 最大＝875，答：当销售单价定为35元时，该商家试销该工艺品每天获得的利润最大，最大值为875元．7．【答案】（1）34（2）解：由题意得，()()300.5100010200y x x x =+-+，∴y 与x 的函数关系式为2540030000y x x =-++（3）解：设总获利为w 元，根据题意得，()()300.510001020030000w x x x ax =+-+--，且2030x ≤≤，整理得()25400w x a x =-+-，对称轴40010ax -=，当0100a ≤≤时，当30x =w 有最大值，则()4500304001800a -+-=，解得190a =（舍去）；当200a ≥时，当20x =时，w 有最大值，则()2000204001800a -+-=，解得210a =；当100200a <<时，当40010ax -=时，w 取得最大值，21(800160000)20w a a =-+最大值，由题意得21(800160000)180020a a -+=解得400a =±（均不符合题意，舍去）；综上，a 的值为2108．【答案】（1）解：由题意可得：y ＝100+5（140﹣x ）＝﹣5x+800（2）解：由题意，得w ＝（x ﹣80）（﹣5x+800）＝﹣5（x ﹣120）2+8000∵﹣5＜0，w 有最大值，即当x ＝120时，w 最大值为8000，∴应降价140﹣120＝20（元）.答：当销售单价降低20元时，每月获得的利润最大，最大利润是8000元（3）解：由题意，得﹣5（x ﹣120）2+8000＝7475+400解得：x 1＝115，x 2＝125，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝120，∴当115≤x≤125时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x ＝115.答：销售单价定为115元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠9．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax 2+8，∵函数经过点（6，5），∴5=a×62+8，得a=112-，即该抛物线的解析式为y=21812x -+（﹣6≤x≤6）（2）解：∵该隧道内设双向行车道，∴该货车只能走一个车道，∴将x=4代入y=21812x -+，得y=263，∵263＞6，∴这辆货车能安全通过10．【答案】（1）解：设该工艺品每件的进价为x 元，则标价为（x+90）元，依题意有[0.85（x+90）﹣x]×8=（x+90﹣70﹣x ）×12，解得x=310，所以x+90=400．所以每件工艺品的进价为310元，标价为400元（2）解：设每件工艺品应降价m 元，所获利润为W ，则W=（80+4m ）（90﹣m ）=﹣4m 2+280m+7200=﹣4（m ﹣35）2+12100，∴当m=35时，每天所获利润最大，为12100元，答：每件工艺品降价35元出售，每天获得的利润最大，最大利润是12100元11．【答案】（1）解：根据表格中数据可得出：表中的y 与x 之间的对应关系为一次函数关系，设y=kx 十b ，由题意得30+=540+=4，解得=−0.1=8，故y （万个）与x （元/个）的函数解析式为y=-0.1x+8（2）解：由题意得z=（x-20）y-40=（x-20）（-0.1x 十8）-40=-0.1x 2+10x-200，即z=-0.1x 2十10x-200为这种计算器的净得利润Z （万元）与销售价格x （元/个）的函数解析式∵z=-0.1x 2+10x-200=-0.1（x-50）2+50，∴当x=50时，Z 最大值=50，即销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元.12．【答案】（1）q=-x +40（2）解：①当p q ≤时，110402x x +≤-+，解得20x ≤∵1030x ≤≤∴1020x ≤≤当1020x ≤≤时，211(10)(10)(10)510022y x p x x x x =-=-+=+-当p q >时，110402x x +>-+，解得20x >∵1030x ≤≤∴2030x <≤当2030x <≤时，21(40)10(10)351002y x x x x x =-+-+=-+-综上所述：=122+5−100(10≤≤20)−2+35−100(20<≤30)②要确保海鲜全部售出，所以p≤q∴221122*********y x x x =+-=+-（）∵1020x ≤≤，a>0，对称轴5x =-∴当x=20时，y 取最大值2122520520022y =+-=（）（元）答：销售价格为20元时，每天获得的利润最大值是200元.13．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200﹣2x ）（x+40﹣30）=﹣2x 2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=−22+180+2000(1≤<50)−120+12000(50≤≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y 最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，当x=50时，y 最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x ＜50时，y=﹣2x 2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元14．【答案】（1）解：由题意得：2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）：（2）解：由（1）中的y 与x 的解析式变形可得：210( 5.5)2402.5y x =--+，10<0a =- ，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5，015x <≤ ，且x 为整数，当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元），∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；（3）解：由题意得：()()()()2210105040101101021010y x x a x a x a =-+--=-+-+-，函数的对称轴为：1(11)2x a =+，售价每件不低于57元时，即57507x ≥-=，即临界点为：1(11)72x a =+=，解得：3a =，故：13a <≤．15．【答案】（1）解：依题意得：把C （0，1），A （1，0）分别代入解析式得到c=1，b=﹣（a+1），∴抛物线的解析式为y=ax 2﹣（a+1）x+1，∴对称轴为12a x a+=（2）解：当y=0时，ax 2﹣（a+1）x+1=0，解得：x 1=1，21x a =，∵AB≥12，∴分情况讨论：②AB=1﹣1a ≥12时，解得：a≥2，③AB=1a ﹣1≥12时，解得：0＜a≤23，综上所述，a≥2或0＜a≤23（3）解：证明：∵0＜a ＜1，∴对称轴为11122a a x a a --+=-=>，∴11212a a AB a a +-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，把y=1代入y=ax 2﹣（a+1）x+1得ax 2﹣（a+1）x=0，解得1210,a x x a +==，∴1a CD a +=，∴S1﹣S2=S△PCD﹣S△PAB=S△ACD﹣S△CAB=1122CD OC AB OC ⨯⨯-⨯⨯=11111122a aa a+-⨯⨯-⨯⨯=1，∴S1﹣S2为常数，这个常数为1。
人教版九年级数学中考复习：二次函数综合题专项训练(面积问题)
人教版九年级数学中考复习：二次函数综合题专项训练（面积问题）1．如图①，已知抛物线y ＝ax 2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点C 坐标为(0，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作DH ①x 轴于点H ，过点A 作AE ①AC 交DH 的延长线于点E ．(1)求a ，c 的值；(2)求线段DE 的长度；(3)如图①，试在线段AE 上找一点F ，在线段DE 上找一点P ，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，求当①CPF 的周长最小时，①MPF 面积的最大值是多少？2．已知顶点为A 抛物线21()22y a x =--经过点3(,2)2B -，点5(,2)2C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若①OPM＝①MAF，求①POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN①y轴，过点E作EN①x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将①QEN沿QE翻折得到①QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当P A①NA，且P A＝NA时，求此时点P的坐标；①当四边形P ABC的面积最大时，求四边形P ABC面积的最大值及此时点P的坐标．4．如图二次函数2y x bx c=-++的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D(1)求二次函数的解析式；(2)写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求ADE∆的面积5．如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求CDCO的最大值．(3)若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝1x2＋bx＋c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和2点B（0，﹣2）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当①MAB的面积最大时，直接写出2MN＋ON 的最小值．7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点，直线y＝2x＋b′经过点A，交抛物线于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在线段AD上，且满足S△BDE＝2S△ABE，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t 为何值时，①FBE的面积最大？并求出最大值；(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求出点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m①AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH①m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．(1)抛物线的解析式为；(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点B（﹣4，0），C（2，0），与y轴交于点A，在抛物线上有一动点P，连接AP，BP，AB，CP．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若P点在第二象限的抛物线上，当△ABP的面积是92时，求△BCP的面积；(3)点D是线段AC上的一点，过D作DE①BC于点E，点F在线段AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF和EF，线段EF的长度是否有最小值，如果有请直接写出这个最小值，若没有最小值请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，一次函数y ＝﹣x＋3的图象与x轴交于点B，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象过点B，C，点D是抛物线在第一象限部分上一个动点，连接AD，交BC于点E，连接BD，CD，S△BDE＝mS△ABE（m是常数）．(1)求二次函数的表达式；(2)当点D恰好是抛物线的顶点时，求点E的坐标，并直接写出此时m的值；(3)当m最大时，将线段BD绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），旋转后点D的对应点为点F，连接AF，如果AF①BD，请直接写出cosα的值．11．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线C1的表达式及点D坐标；(2)将抛物线C1平移到抛物线C2，点B，C对应的点分别是B′，C′，此时以B，C，B′，C′为顶点的四边形是面积为24的矩形，请求出抛物线C2的表达式，并写出平移过程．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2)，点P是第一象限抛物线上一个动点．(1)求直线DE和抛物线的表达式；(2)在y轴上取点F(0,1)，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN，动点Q从点P出发，沿P M N A→→→的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．14．如图，抛物线y＝1x2＋2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接2AC，BC．(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由；①设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m（0＜m＜3），求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2)找出图中与①DAB相等的一个角，并证明；(3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标．17．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；(2)求四边形ABDC的面积；(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC35S△ABC时，求点P的坐标；(4)在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得①BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．(1)求该抛物线解析式；(2)如图1，点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；(3)如图2，点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP，求BP的最小值并求此时点P的坐标．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1,0)，且OA=OC=3OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断①ADC的形状并且求①ADC的面积；(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE①AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．参考答案：1．(1)ac (2)DE ＝(3)①MPF 2．(1)抛物线的解析式为：21()22y x =--； (2)①POE 的面积为13或115；(3)点Q 的坐标为5342⎛⎫- ⎪⎝⎭，或⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2或⎫⎪⎪⎝⎭2． 3．(1)抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3，顶点坐标为(-1，4)；(2)①P ，2)①当x ＝−32时，S 四边形P ABC 最大=758，此时P (-32，154)． 4．(1)223y x x =--+(2)2x <-或1x >(3)45．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)34(3)274，F 1（32，152），F 2﹣32），F 3，﹣﹣32） 6．(1)213222y x x =+- (2)存在，点P 的坐标为（﹣2﹣，1）或（﹣2，﹣3）7．(1)y ＝2x 2﹣8x +6(2)当 32t = 时，FBE S 有最大值为94(3)（5，16）或 （﹣1，16）或 （3，0）8．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)E （﹣32，154）(3)存在，点Q 坐标为（﹣12，154，﹣154154）9．(1)233642y x x =--+ (2)814或454 (3)存在，EF 最小值为245 10．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)点E 的坐标为（13，83），12 (3)328711．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3；D （1，﹣4）(2)y ＝x 2+6x +9或y ＝x 2﹣10x +17；平移的过程为：将抛物线C 1的图象向左，向上各平移了4个单位长度或向右，向下各平移4个单位长度可得．12．(1)(3,0)、(0,3)、(1,4)；(2)2EF =； (3)3(2P ，15)4． 13．(1)y =x -1；213222y x x =-++ (2)点P (2，3)或325,28⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)N 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭14．(1)A （﹣6，0），B （2，0），C （0，﹣6），直线AC 的函数表达式为y ＝﹣x ﹣6，直线BC 的函数表达式为y ＝3x ﹣6(2)①存在，点E 的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣；15．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)D （1，2） (3)758；点P 的坐标为（32，154） 16．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）(2)①ACB ，(3)点P 坐标为（32-，154） 17．(1)y 12=-x 2+3x +8，y ＝﹣x +8(2)70(3)点P 的坐标为（2，12）或P （6，8）(4)存在，点M 的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，）或（3，5﹣ 18．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3．(2)M （﹣2，3）或（83-，119）．(3)最小值为AC ＝P （﹣1，2）． 19．(1)y =x 2+2x -3(2)直角三角形；3(3)315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；8。
2023年九年级数学中考专题训练二次函数与面积问题含答案解析
中考专题训练——二次函数与面积问题1．如图，直线4y x =-+交x 轴于点B 、y 轴于点C ，抛物线经过点B ，点C ，且过()30A -，，连接AC BC ，，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC 的面积最大？若存在，请求出符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由； 2．已知二次函数2()20y ax x c a =++≠的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A ，B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，3OA OC ==．(1)求二次函数的表达式及B 点坐标；(2)点D 位于第三象限且在二次函数的图象上，求DAC △的面积最大时点D 的坐标． 3．如图在平面直角坐标系中，抛物线2132y x bx =+-分别交x 轴于A 、B 两点、交y 轴于点C 、交直线OD 于点D ，直线OD 的解析式为34y x =，D 点的横坐标是4．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 在第二象限的抛物线上，连接PC 、PD 、CD ，设P 点的横坐标是t ，△PCD 的面积是S ，求S 与t 的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，点E 在y 轴正半轴，点F 在射线OD 上，若OP EF =，180OEF POF ∠+∠=︒，2OF OE =，求点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与直线332y x =+交于y 轴上的点C ，直线332y x =-+与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接PC 、PD ，当PCD △的面积最大时，求点P 的坐标； (3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE 、BE ，若直线l 上存在使sin BEO ∠最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（1-，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积MCB S △．6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且33OB OA OC ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线交y 轴于点E ，点P是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，连接BC ，当点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，若PBC 的面积为，求点P 的坐标； (3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 的长为半径做H ，点Q 为H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值． 7．二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于()2,0A ，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．(1)求这个二次函数的表达式：(2)如图△，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标； (3)如图△，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标．8．如图，已知抛物线与x 轴交于()0A 1，，()30B -，两点，与y 轴交于点()03C ，，抛物线的顶点为P ，连接AC ．(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得2MAPACPS S=若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，一次函数y ＝﹣x +b 与反比例函数y ＝﹣kx（x ＞0）的图象交于点A （m ，4）和B （4，1）．(1)求b 、k 、m 的值；(2)根据图象直接写出﹣x +b ＜﹣kx（x ＞0）的解集；(3)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD △x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的最大值和最小值．10．如图1，已知抛物线2y ax bx =+经过点A （4，0）、B （12-，94-）．(1)直接写出抛物线的解析式和顶点G 的坐标；(2)如图2，点C 、D 是线段OA 上的两点（不含端点），过C 、D 分别作x 轴的垂线，交抛物线于点E 、F ．设P 是第三象限内抛物线上任意一点，连接PE 和PF ，分别交y 轴于点M 、N ．求证：MC ∥ND ； (3)如图3，直线y ＝kx （k ＞0）交抛物线于另一点于Q ．当△OQG ＝90°时，求k 的值．11．已知抛物线241y x x m =++-的顶点P 在x 轴上，交y 轴于点C ，直线y =n 交抛物线于A ，B （点A 在点B 的左侧）两点．(1)求抛物线的解析式；(2)当n =9时，在抛物线上存在点D ，使DABAPCSS=，求点D 的坐标．12．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B (1,0)两点，与y 轴交于()0,3D ，直线与抛物线交于B 、C 两点，其中()2,3C -(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PE BC ⊥，抛物线上是否存在一点P 使得线段PE 最大，若存在，请求出点P 的坐标和线段PE 的最大值，若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的解析式及B 点坐标；(2)若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；(3)如图2，若P 点是半径为2的B 上一动点，连接PC 、PA ，当点P 运动到某一位置时，12+PC PA 的值最小为 ．（直接写出结果）14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为(1,4)-且与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)过点(0,6)D 作直线MN x ∥轴，点P 在直线MN 上，当2PAC DBC S S =△△时，连接CP 交x 轴于点Q ，直接写出Q 点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．16．抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴正半轴于点C ，且OB OC =(1)如图1，已知()0,3C ． △直接写出a ，b ，c 的值；△连接AC ，BC ，P 为BC 上方抛物线上的一点，连接AP 交BC 于点M ，若AC AM =，求点P 的坐标； (2)如图2，已知1OB =，D 为第三象限抛物线上一点，直线DO 交抛物线于另一点E ，EF y ∥轴交直线DC于点F ，连接BF ，当CF BF +的值最小时，求出此时DEF 的面积．17．如下图，抛物线213y ax x c =-+与x 轴交于点()6,0A -和B ，与y 轴交于点()0,8C -，点D 是线段OC 上一个动点，且不与点O ，C 重合.连接AD ，在BOC 内部做矩形DEFG ，其中点E 在OB 边上，点F ，G 在BC 边上．(1)求抛物线213y ax x c =-+的函数表达式；(2)设OD m =，ACD 的面积为1S ，矩形DEFG 的面积为2S ，12S n S =，则n 与m 的函数表达式为__________（写出自变量的取值范围）；(3)在下图的平面直角坐标系中，点P 在（2）中得出的函数图象上，作PM m ⊥轴于点M ，连接OP ，当上图中DF =POM 与上图中AOD △相似，请直接写出此时下图中点P 的坐标．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （9，0），与y 轴交于点C ，连接AC ．BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)将△AOC 以每秒一个单位的速度沿x 轴向右平移，平移的时间为t 秒，平移后的△A 1O 1C 1与△ABC 重叠部分的面积为S ．当A 1与B 重合时，停止平移，求S 与t 的函数关系式； (3)点M 在抛物线上，当△MAB ＝2△ACO 时，请直接写出点M 的横坐标．19．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线()()()580y a x x a =+-≠分别交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，13tan tan 5CAB CBA ∠+∠=．(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点P 第一象限抛物线上一点，连接PC 、PA ，设PAC △的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，作PE BC ⊥于点E ，交x 轴于点F ，连接PB ，G为PB 的中点，点H 在GD 的延长线上，连接HP 、HE 、HF ，若tan HEG ∠=PDHF 的面积等于214PH ，求点P 的坐标．20．如图，二次函数212y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （-2，0）和点B （4，0），与y 轴交于点E ，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点M 是x 轴上一动点，连接CM ，过点M 作MN △MC ，与AD 边交于点N ，与y 轴交于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)在第一象限的抛物线上任取一点P ，连接EP 、PB ，请问：△EPB 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值．参考答案：1．(1)211433y x x =-++ (2)1023⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)()14，或⎝⎭【分析】（1）先求出B 、C 的坐标，然后把抛物线解析式设为交点式，代入C 点坐标求解即可；（2）如图所示，过点P 作PE x ⊥轴交x 轴于E ，交BC 于F ，设点P 的坐标为211433m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，则点F 的坐标为()4m m -+，，则21433PF m m =-+，求出()228233PBC S m =--+△，据此利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P 的坐标为211433n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，则点Q 的坐标为()4n n -+，，则由勾股定理得225AC =，222225AQ n n =-+，22CQ n =，然后分三种情况：当AC AQ =时，当AC CQ =时，当AQ CQ =时，建立方程进行求解即可．【解析】（1）解：对于直线4y x =-+，令0x =，则4y =，令0y =，则4x =，△点B 的坐标为()40，，点C 的坐标为()04，， 设抛物线解析式为()()43y a x x =-+，代入点C 坐标得：()434a ⨯-⨯=， △13a =-， △抛物线解析式为()()2111434333y x x x x =--+=-++； （2）解：如图所示，过点P 作PE x ⊥轴交x 轴于E ，交BC 于F ，设点P 的坐标为211433m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，则点F 的坐标为()4m m -+，， △()221114443333PF m m m m m =-++--+=-+， △PBC PCF PBF S S S =+△△△()()1122P C B P PF x x PF x x =⋅-+⋅- ()12B C PF x x =⋅- 2PF =22833m m =-+ ()228233m =--+， △203-<， △当2m =时，PBC S 有最大值，△点P 的坐标为1023⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）解：设点P 的坐标为211433n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，则点Q 的坐标为()4n n -+，， △()()222300425AC =--+-=，()()2222342225AQ n n n n =--+-=-+，()222442CQ n n n =+-+-=， 当AC AQ =时，△2222525n n -+=，解得1n =或0n =（舍去），△点P 的坐标为()14，； 当AC CQ =时，△2225n =，△n =n =，△点P 的坐标为⎝⎭；当AQ CQ =时，△2222225n n n =-+， △252n =（舍去）； 综上所述，点P 在运动过程中，存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形，此时点P 的坐标为()14，或⎝⎭．【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．2．(1)223y x x =+-，()10B , (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令0y =，解方程求解即可；（2）连接,AD CD ．先求出直线AC 解析式，过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为()2,23+-x x x ，则(),3G x x --，表示出DG 的长度，再根据12ACD S DG OA =⋅⋅△列出函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可解答．【解析】（1）根据题意得，()30A -,，3c =-， 把()30A -,，3c =-，代入2y ax 2x c =++，得，9630a --=， 解得，1a =，△二次函数的解析式为223y x x =+-；令0y =，得到2230x x +-=，解得3x =-或1，△()10B ,． （2）如图1，连接,AD CD ．设直线AC 解析式为：y kx b =+，△()30A -,，()0,3C - △330b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得，13k b =-⎧⎨=-⎩， △直线AC 的解析式为3y x =--；过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为()2,23+-x x x ，则(),3G x x --， △点D 在第三象限，△()2223233233DG x x x x x x x x =---+-=----+=--， △()2113322ACD S DG OA x x =⋅⋅=--⨯△2239332722228x x x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭-， △当32x =-时，278S =最大，点315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， △DAC 面积取得最大时，315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键．3．(1)211322y x x =-- (2)24S t t =-(3)(4,7)P -【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）11()22S PR DH CJ PR OK =⨯-=⋅求解即可； （3）证明()OPG SFE AAS ∆≅∆，得到4,3OK DK ==，而,OES DOK ∠=∠则3tan tan 4OES DOK ∠=∠=，进而求解．【解析】（1）解：（1）△直线OD 的解析式为34y x =，D 点的横坐标是4． △3434y =⨯=，故D （4，3）， 将点D 的坐标代入2132y x bx =+-得：1164332b ⨯+-=， 解得12b =-， △抛物线的解析式为211322y x x =--； （2）过P 点作PR △x 轴交DC 的延长线于点R ，垂足是I ，PG △y 轴，DH △PR ，PR △CJ ，DK △x 轴，△P 点的横坐标是t ，则四边形PGCJ 、HDKI 、都是矩形，△4DH KI t ==-，CJ OI t ==-，设直线CD 的解析式为y kx m =+，则433k m m +=⎧⎨=-⎩，解得323k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，△直线CD 的解析式为33,2yx ， △R （t ，32t ﹣3）， 则22111131()3(3)44222222S PR DH CJ PR OK t t t t t ⎡⎤=⨯-=⋅=----⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦； （3）作ES △OD 于S ，△180OEF POF ︒∠+∠=，△POG EFS ∠=∠，△PG △y 轴，△90PGO ESF ︒∠=∠=，△OP EF =，△()OPG SFE AAS ∆≅∆，△ES PG t ==-，而D （4，3），△OK ＝4，DK ＝3，△OES DOK ∠=∠， △3tan tan 4OES DOK ∠=∠=， △33,44OS t OE t =-=-， △OF ＝2OE ， 即2113532()2244t t t t ---=⨯-， 解得：4t =-或32t =（舍去）， △P （﹣4，7）．【点评】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数与几何图形结合的综合能力，解题的关键是利用点的坐标的意义表示出线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．(1)233384y x x =-++ (2)153,8P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(-或(2,--【分析】(1)设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，把点()0,3C 代入解析式，确定a 值即可．(2)连接PO ，则PCD PCO PDO CDO S S S S =+-△△△△，设点P 的坐标为233384m m m ⎛⎫ ⎪+⎝-+⎭，，构造二次函数，运用函数最值计算即可．(3)分点E 在x 轴的上方和下方，两种情况求解．（1）解：用交点式函数表达式得：()()()22428y a x x a x x =+-=--， 当=0x 时，=3y ，则()0,3C ，即83a -=， 解得：38a =-． 则函数的表达式为233384y x x =-++； （2）332y x =-+，令=0y ，则=2x ，即点()2,0D ，连接OP ，设点233,384P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， PCD PDO PCO OCD S S S S =+-△△△△2133112332328422m m m ⎛⎫=⨯-+++⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 2327(3)88m =--+， 308-<， △当=3m 时，PCD S △有最大值，此时233153848m m -++=， △点153,8P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin BEO ∠最大，过圆心F 作HF x ⊥轴于点H ，则122OH OB OA ===，4OF EF ==，HF ∴=E 的坐标为(-；同样当点E 在x 轴的下方时，其坐标为(2,--；故点E的坐标为(-或(2,.--【点评】本题考查了抛物线的解析式，构造二次函数求最值，构造圆求最值，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值，圆的基本性质是解题的关键．5．(1)245y x x =-++(2)15【分析】（1）把A （1-，0），C （0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可．（2）先求出M 、B 、C 的坐标，根据MCB MCE OBC MEOB S S S S =--△△△梯形即可解决问题．【解析】（1）解△ 二次函数2y ax bx c =++的图象经过（1-，0），C （0，5），（1，8）， △+=0=5++=8a b c c a b c -⎧⎪⎨⎪⎩，△=1=4=5a b c -⎧⎪⎨⎪⎩，△抛物线的解析式为245y x x =-++（2）解：令y =0，则2450x x -++=，△11x =-，25x =，△B （5，0），2245(2)9y x x x =-++=--+，△M （2，9），如图中，过M 作ME △y 轴于点E ，△2ME =，4EC =，9EO =，5CO =，5BO =，△MCB MCE OBC MEOB S S S S =--△△△梯形 =111(25)92455222⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．【点评】本题考查二次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．6．(1)2133y x =-(2)（-4）或（--3）(3)最小值=【分析】（1）求出A 、B 、C 的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可；（2）先求出直线BC 的解析式，设P （m ，2133m -），G （m ，-3），表示出PG 的长，然后利用三角形面积公式列方程求解即可．（3）首先求出△H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK =14，此时158K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由HQ 2=HK •HA ，可得△QHK △△AHQ ，推出14KQ HQ AQ AH ==，可得KQ =14AQ ，推出14AQ +QE =KQ +EQ ，可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，由此求出点E 坐标，点K 坐标即可解决问题． （1）解：由题意)A ，()B -，()0,3C -，设抛物线的解析式为(y a x x =+，把()0,3C -代入得到1=3a ．故抛物线的解析式为(211333y x x x =+=-． （2） 解：如图，设PF 与BC 交于点G ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B ，C的坐标代入得03b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故直线BC 的解析式为y=-3， 设P （m ，2133m -），G （m，-3）， 则PG=-3-（2133m -）=213m -， △PBC的面积为()B -， △PBC S =12PG OB=21123m ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭=解得1m =2m =-当m =2133m -=-4，当m =-2133m -=-3， 故P点坐标为（-4）或（--3）．（3）解：△2133y x =-， △对称轴是直线x= △PF 是对称轴，△()F ．△)A，()B -， △AF=△tan△OAC△△OAC =60°，△AD 平分△OAC ，△△OAD =30°，△OD =tan△OAD， △D (0，-1)．设直线AD 的解析式为y =kx +b ，△01b b +==-⎪⎩，△1k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩△1y x =-， 当x=12y =-=-，△()2H -，△AH4=． △AH AE ⊥，△60EAO∠=︒，△3EO =，△()0,3E ，△()0,3C -，△2HC ==，24AH FH ==，△112QH CH ==， 在HA 上取一点K ，使得14HK =，则AK =154． 作KG △AB 于点G ，则KG PF ∥， △AK AG AH AF=，△1544=△AG△OG当x =1y x =-=158-，△158K ⎛⎫- ⎪⎝⎭， △21HQ =，1HK HA ⋅=，△2HO HK HA =⋅， △HQ KH AH HQ=， △QHK AHQ ∠=∠，△QHK AHQ △∽△， △14KQ HQ AQ AH ==， △14KQ AQ =， △14AQ QE KQ EQ +=+，△当E 、Q 、K 共线时，14AQ QE +的值最小，最小值==【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．(1)21234y x x =-+(2)(4,3或(4,3(3)()10,8或()6,24-【分析】（1）由于二次函数的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，把A ，B 两点坐标代入23y ax bx =++，计算出a 和b 的值即可求出抛物线解析式；（2）由线段垂直平分线的性质可得出CB CD =，设()4,D m ，由勾股定理可得22224(3)63.m +-=+解方程可得出答案；（3）设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，设直线CQ 的解析式为3y kx =+，由21313822n n nk -+=+，求出M 的坐标，再由面积公式可求出n 的值．则可得出答案．（1）解：将()2,0A ，()6,0B 代入23y ax bx =++，得423036630a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴二次函数的解析式为21234y x x =-+； （2）如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB CD =．设()4,D m ，()0,3C ，△OC ＝3，由两点间的距离可得：22224(3)63m +-=+．解得3m =±∴满足条件的点D的坐标为(4,3或(4,3； （3）如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，设点21,234P n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， △OP 的中点为点Q ，△由中点坐标公式得到点2113,282Q n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 设直线CQ 的解析式为3y kx =+，则21313822n n nk -+=+， 解得1324k n n=--， △直线CQ 的解析式为：13234y n x n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当4x =时，131242354y n n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭， 124,5M n n ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，124ME n n =--． 1111124122222CQE CEM QEM S S S n ME n n n ⎛⎫=+=⨯⋅=⨯⋅--= ⎪⎝⎭， 24600n n ∴--=，解得10n =或6n =-，当10n =时，21234n n -+＝8， △()10,8P ，当6n =-时，21234n n -+＝24， △()6,24P -．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为()10,8或()6,24-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．8．(1)223y x x =--+(2)存在，()116M -，，()212M -，【分析】（1）设抛物线的解析式为()()31y a x x =+-，再把()03C ，代入求出a 的值即可； （2）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点M 的坐标，利用待定系数法求出直线AP 的解析式，求出E 点的坐标，所以可得出ACP △的面积，进而得出点M 的坐标．（1）解：△抛物线与x 轴交于()0A 1，，()30B -，两点， △设抛物线的解析式为()()31y a x x =+-，△过点()03C ，， △33a -=，解得1a =-，△抛物线的解析式为()()31y x x =-+-，即223y x x =--+；（2）解：△抛物线的解析式为223y x x =--+；△其对称轴=1x -，顶点P 的坐标为()14-，， △点M 在抛物线的对称轴上，△设()1M m -，， △()0A 1，，()14P -，， △设过点A 、P 的直线解析式为()0y kx b k =+≠，△04k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得22k b =-⎧⎨=⎩， △直线AP 的解析式为22y x =-+，△直线AP 与y 轴的交点的坐标为()02E ，， △321CE OC OE =-=-=， △111111*********ACP ACE PEC SS S CE CE =+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=， △2MAP ACP S S =，△1222MP ，解得2M P =， 当点M 在P 点上方时，42m -=，解得6m =，△此时()16M -，； 当点M 在P 点下方时，42m -=，解得2m =，△此时()12M -，，综上所述，可得：()116M -，，()212M -，．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．9．(1)b ＝5，k ＝﹣4，m ＝1(2)0＜x ＜1或x ＞4(3)最大值是258，最小值为2【分析】（1）根据反比例函数和一次函数图像上的点的特征代入解析式即可求得,,b k m 的值；（2）根据函数图象的交点直接写出直线在双曲线下方时，自变量x 的范围即可；（3）点P 是线段AB 上一点，设P （n ，﹣n +5），由1≤n ≤4，且S ＝12OD •PD ＝12•n （﹣n +5）＝﹣12（2n ﹣5n ）＝﹣12252n ⎛⎫- ⎪⎝⎭+258，根据二次函数的性质得到最值即可． （1）解：将B （4，1）代入y ＝﹣x +b 得：1＝﹣4+b ，解得b ＝5，△一次函数的解析式为y ＝﹣x +5，将B （4，1）代入y ＝﹣k x得： 1＝﹣4k ， 解得k ＝﹣4，△反比例函数的解析式为y ＝4x-； 将A （m ，4）代入y ＝﹣x +5得：4＝﹣m +5，解得m ＝1，△A （1，4），△b ＝5，k ＝﹣4，m ＝1．（2）由（1）可知点A 的坐标是（1，4），B （4，1）， 由图可得，﹣k x＞﹣x +b 得解集为：0＜x ＜1或x ＞4； （3）△点P 是线段AB 上一点，设P （n ，﹣n +5），△1≤n ≤4，△S ＝12OD •PD ＝12•n （﹣n +5）＝﹣12（2n ﹣5n ）＝﹣12252n ⎛⎫- ⎪⎝⎭+258， △a ＝﹣12＜0，且1≤n ≤4，△当n ＝52时，S 有最大值，且最大值是258， △52－1＝4－52＝1.5, △当n ＝1或n ＝4时，S 有最小值，且最小值是﹣1221.5⨯+258＝2． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．10．(1)y ＝﹣x 2+4x ，顶点G 的坐标为（2，4）(2)见解析(3)k ＝1【分析】（1）使用待定系数法求解即可；（2）设()()2,0,,4C c P t t t -+，及PE 直线的解析式y =kx +m ，联立求解4,k t c m ct =--=.得出OM ct =-，从而tan△OCM =t ，同理也可得到tan△ODN =-t ，由△OCM =△ODN ，证得MC ∥ND ．；（3）联立y =kx 和抛物线解析式，可计算Q 坐标()24,4k k k --，根据O ，G ，Q 坐标可用k 表示OG ，GQ ，OQ 的长度，根据勾股定理可解得k .（1） 解：将19(4,0),(,)24A B --代入2y ax bx =+，22911422044a b a b ⎧⎛⎫-=--⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=+⎩解得14a b =-⎧⎨=⎩， △抛物线的解析式为()22424y x x x =-+=--+，顶点G 的坐标为：（2，4）．（2）设(),0C c ，则E ()2,4c c c -+， △点P 是第三象限内抛物线上一点，故可设()2,4P t t t -+，其中t ＜0，设PE ：y ＝kx +m ，则2244c c kc m t t kt m ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 解得：4k t c m ct =--⎧⎨=⎩， △PE ：y ＝（4﹣t ﹣c ）x +ct ，令x ＝0，得y ＝ct ，即M （0，ct ），△OC ＝c ，OM ＝﹣ct ，在Rt △OCM 中，tan△OCM ＝OM OC＝﹣t ， 同理：tan△ODN ＝﹣t ，OCM ODN ∴∠=∠，△MC ∥ND ．（3）解方程组24y x x y kx ⎧=-+⎨=⎩， 得：1100x y =⎧⎨=⎩，22244x k y k k=-⎧⎨=-⎩， △Q （4﹣k ，4k ﹣k 2），根据O ，G ，Q坐标可求OGOQ =GQ =△△OQG ＝90°，△222OQ GQ OG =+，即2222224424420k k k k k k -+-+--+-（）（）（）（）＝，△22224(4)(4)(2)(2)20,k k k k k -+-+-+-=令k ﹣2＝t ，则22224(2)(2)(2)20t t t t t -++-++=，展开化简得42320t t t --=，进行因式分解得2(1)(2)0t t t +-=，△t ＝0或者t ＝﹣1或t ＝2，△k ＝2或者k ＝1或k ＝4，当k ＝2时，Q （2，4）与G 重合，不符题意，舍去，当k ＝1时，Q （3，3），符合题意，当k ＝4时，Q （0，0）与原点重合，不符题意，舍去，△k ＝1．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式及顶点坐标，两直线平行的判定，求正切，一次函数表达式k 的求法以及勾股定理求k 的值等，在第三小问中，用代换法解高次方程是解题的关键．11．(1)抛物线的解析式为244y x x =++；(2)D 点的坐标为(0,4)或(4,4)-或(2-14)或(2-14)．【分析】（1）根据题意△244(1)0m =--=，求得5m =，即可得到抛物线的解析式；（2）作AM x ⊥轴于M ，求得A 、B 、C 、P 的坐标，根据ΔΔΔAPC APM POC AMOC S S S S =--梯形求得ΔΔ15DAB APC S S ==，即可得到Δ1161522DAB S AB h h =⋅=⨯⨯=，解得D 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标． （1）抛物线241y x x m =++-的顶点P 在x 轴上，∴△244(1)0m =--=， 解得5m =，∴抛物线的解析式为244y x x =++；（2）作AM x ⊥轴于M ，2244(2)y x x x =++=+，(2,0)P ∴-，(0,4)C ，9y n ==，2944x x ∴=++，解得11x =，25x =-，(5,9)A ∴-，(1,9)B ，=6AB ，()()ΔΔΔ1119459252415222APC APM POC AMOC S S S S ∴=--=+⨯-⨯⨯-+-⨯⨯=梯形， ΔΔDAB APC S S =， 设D 点到AB 的距离为hΔ1161522DAB S AB h h ∴=⋅=⨯⨯=， 解得5h =，D ∴的纵坐标为4或14，把4y =代入244y x x =++得0x =或4-，把14y =代入244y x x =++得2x =-D ∴点的坐标为(0,4)或(4,4)-或(2-+14)或(2-14)．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．12．(1)223y x x =--+(2)存在，P 点坐标115(,)24-，PE【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）连接PC 、PB ，过P 点作PN △x 轴于N 点，交BC 于M 点，过C 点作CG △PN 于G 点，先求出直线BC 的解析式，再根据B 、C 的坐标求出BC ，设P 点坐标为2(,23)m m m --+，则可得N 点坐标为(m ,0)，G 点坐标为(m ,3)，M 点坐标为(,1)m m -+，G 点坐标为(m ,3)，则有CG =m +2，BN =1-m ，22PM m m =--+，根据PE △BC ，可得12BPC S PE BC =⨯⨯△，即有12BPC S PE =⨯⨯△，当△BPC 的面积最大时，即有PE 最大值，再根据1122BPC MPC BPM S S S PM CG PM BN =+=⨯⨯+⨯⨯△△△， 22731()822BPC S m =-+△，即有当12m =-时，△BPC 的面积最大为278，则P点坐标可求，再根据12BPC S PE =⨯⨯△，即可求出最长的PE ． （1）△抛物线2y ax bx c =++过点B (1,0)、C (-2,3)、D (0,3)，△04233a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，△抛物线的解析式为223y x x =--+；（2）存在，理由如下，连接PC 、PB ，过P 点作PN △x 轴于N 点，交BC 于M 点，过C 点作CG △PN 于G 点，如图，设直线BC 的解析式是为y kx t =+，△B (1,0)、C (-2,3)，△023k t k t +=⎧⎨-+=⎩，解得11k t =-⎧⎨=⎩，△直线BC 的解析式是为1y x =-+，△B (1,0)、C (-2,3)，△22(21)(30)32BC =--+-=，△P 点在直线BC 上方的抛物线223y x x =--+上，则设P 点坐标为2(,23)m m m --+，△PN △x 轴，CG △PN 于G 点，M 点是PN 与BC 的交点， △N 点、G 点、M 点的横坐标均于P 点相等，均为m ，△N 点坐标为(m ,0)，△C (-2,3)，CG △PN ，△G 点坐标为(m ,3)，△M 点在直线BC ：1y x =-+上，△M 点的纵坐标为1m -+，△M 点坐标为(,1)m m -+，△C (-2,3)，G 点坐标为(m ,3)，△CG =m +2，△N 点坐标为(m ,0)，B (1,0)，△BN =1-m ，△P点坐标为2(,23)m m m --+，M 点坐标为(,1)m m -+，△2223(1)2PM m m x m m =--+--+=--+，△PE △BC ，△12BPC S PE BC =⨯⨯△，△32BC =，△1322BPC S PE =⨯⨯△，△当△BPC 的面积最大时，即有PE 最大值，△1122BPC MPC BPM S S S PM CG PM BN =+=⨯⨯+⨯⨯△△△，△111()222BPC S PM CG PM BN PM CG NB =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+△，△22PM m m =--+，BN =1-m ，CG =m +2，△211()(2)(21)22BPC S PM CG NB S m m m m =⨯⨯+==⨯--+⨯++-△，即22233912731(2)[()]()2242822BPC S m m m m =⨯--+=⨯-+=-+△，△当12m =-时，△BPC 的面积最大为278，即P 点坐标为：115(,)24-，△12BPC S PE =⨯⨯△△27182PE =⨯⨯△PE =当P 点在115(,)24-时，PE 【点评】本题考查了待定系数法求解抛物线解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识，求PE 最大值转为为求△BPC 面积最大值，并得到BPC MPC BPM S S S =+△△△是解答本题的关键．13．(1)抛物线解析式为265y x x =-+，(5,0)B(2)4(3,)M -时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18；【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，然后令0y =，解一元二次方程即可求得B 的坐标； （2）过点M 作MH x ⊥轴于点H ，设(M m ，265)(15)m m m -+<<，22|65|65MH m m m m =-+=-+-，求得22(3)8ABM S m =--+，进而可得22(3)18ABC ABM AMBC S S S m ∆∆=+=--+四边形，根据二次函数的性质即可求解； （3）在x 轴上取点(4,0)D ，连接PD 、CD ，证明PBD ABP ∽△△，可得12PD AP =，则当点C 、P 、D 在同一直线上时，12PC PA PC PD CD +=+=最小，勾股定理求得CD 即可求解． (1)解：直线55y x =-+，0x =时，5y =，(0,5)C ∴，550y x =-+=时，解得：1x =，(1,0)A ∴，抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，∴105b c c ++=⎧⎨=⎩，解得：65b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为265y x x =-+，当2650y x x =-+=时，解得：11x =，25x =，(5,0)B ∴；(2)如图1，过点M 作MH x ⊥轴于点H ，(1,0)A ，(5,0)B ，(0,5)C ，514AB ∴=-=，5OC =，11451022ABC S AB OC ∆∴=⋅=⨯⨯=， 点M 为x 轴下方抛物线上的点，∴设(M m ，265)(15)m m m -+<<，22|65|65MH m m m m ∴=-+=-+-，222114(65)212102(3)822ABM S AB MH m m m m m ∆∴=⋅=⨯-+-=-+-=--+， (2210[23)82(3)18ABC ABM AMBC S S S m m ∆∆⎤∴=+=+--+=--+⎦四边形，∴当3m =，即4(3,)M -时，四边形AMBC 面积最大，最大面积等于18；(3)如图2，在x 轴上取点(4,0)D ，连接PD 、CD ，541BD ∴=-=，4AB =，2BP =， ∴12BD BP BP AB ==， PBD ABP ∠=∠，PBD ABP ∴∽， ∴12PD BD AP BP ==， 12PD AP ∴=， 12PC PA PC PD ∴+=+， ∴当点C 、P 、D 在同一直线上时，12PC PA PC PD CD +=+=最小，CD CO =，12PC PA ∴+【点评】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，阿圆问题，掌握以上知识是解题的关键．14．(1)2=23y x x --(2)Q 点的坐标为(1,0)或(5,0)【分析】（1）利用顶点坐标，根据对称轴公式可求出b 的值，进而将顶点坐标代入抛物线解析式中可求出c的值，最后得出抛物线解析式．（2）将PAC △与DBC △的面积表示出来，进而根据2PAC DBC S S =△△，求出AQ 的长度，最后转化为Q 点的坐标．(1) 解：抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为(1,4)-∴对称轴12b x =-=，解得：2b =- 则抛物线解析式为：22y x xc =-+将点(1,4)-代入抛物线22y x x c =-+中得：3c =-∴抛物线解析式为2=23y x x --(2)解：由（1）可知抛物线解析式为2=23y x x --，令0y =，则2230x x --=解得：121,3x x =-=∴(1,0)B -,(3,0)A令0x =，则(0,3)C -(0,6)D9,1,3,3DC OB OC OA ∴====119191,92222DBC PAC S DC OB S AQ ∴==⨯⨯==⨯⨯△△, 2PAC DBC S S =△△2AQ ∴=∴Q 点的坐标为(1,0)或(5,0)【点评】本题主要考查了二次函数与几何的综合问题，熟知待定系数法求函数解析式以及灵活运用“数形结合”的思想思考问题是解决本题的关键．15．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(2【分析】（1）由抛物线26y ax bx =++，得抛物线过点()0,6，设抛物线解析式()()26y a x x =+-，将()0,6代入上述解析式，求得a 的值，整理化简即可．（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C 点坐标，再算得CDB S △，设点P 在射线DE 上，连接PB ，设DP 交x 轴于点F ，设()2,P p ，则()114822PDB S DP BF p =⨯⨯=⨯-△，令CDB PDB S S =△△，解得关于p 的方程即可得到点P 的坐标．（3）由直线BC 解析式为6y x =-+，设(),6M m m -+，其中26m ≤≤，同理，设21,262N n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，其中2n ≥，分两种情况分别讨论，求解即可．(1)解：△抛物线26y ax bx =++，△抛物线过点()0,6．△抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，△设抛物线()()26y a x x =+-，△抛物线过点()0,6，△将点()0,6代入()()26y a x x =+-中，得()()60206a =+- ，解得12a =-， 故抛物线解析式为()()1262y x x =-+-， △抛物线解析式为21262y x x =-++． (2)解：连接CD 、BD ，设点P 在射线DE 上，连接PB ，设DP 交x 轴于点F ，△抛物线解析式为21262y x x =-++，与y 轴交于点C ，顶点为D ， △()0,6C ，()2,8D ．△()0,6C ，()6,0B ，△直线BC 为：6y x =-+，△BC 交抛物线的对称轴l 于点E ，△()2,4E ，△()2,8D ，()2,4E ，△4DE =， △()11461222CDB B C S DE x x =⨯⨯-=⨯⨯=△． △CDB PDB S S =△△，△12PDB S =△．设()2,P p ，△()2,8D ，点P 在射线DE 上，△8DP p =-，△DP 交x 轴于点F ，△()2,0F ，△()6,0B ，()2,0F ，△4BF =，△8DP p =-， △()114816222PDB S DP BF p p =⨯⨯=⨯-=-△， △12PDB S =△，△16212p -=，解得2p =，故P 点坐标()2,2．(3)解：△直线BC 为：6y x =-+，()2,4E ，又△点M 是线段BE 上的一点，△设(),6M m m -+，其中26m ≤≤，又△21262y x x =-++，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点， △设21,262N n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，其中2n ≥． △EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，△分两种情况进行讨论：△如图1，当90MEN ∠=︒，EM EN =时，过点N 作NK △DE 于点K ，过点M 作ML △DE 于点L ，△90MEN ∠=︒，△90NEK MEL ∠+∠=︒，△ML △DE ，△90EML MEL ∠+∠=︒，△90NEK MEL ∠+∠=︒，△NEK EML ∠=∠．△NK △DE ，ML △DE ，△90NKE ELM ∠=∠=︒，△EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，△EN EM =，△NEK EML △≌△，△KN EL =，KE LM =．△(),6M m m -+，21,262N n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，()2,4E ， △2126422246n n m n m ⎧-++-=-⎪⎨⎪-=+-⎩，解得44m n =⎧⎨=⎩或22m n =-⎧⎨=-⎩， △26m ≤≤，2n ≥，△22m n =-⎧⎨=-⎩舍去， △M 点坐标为()4,2．△如图2，当90EMN ∠=︒，ME MN =时，△EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，△45NEM ∠=︒．△()6,0B ，()0,6C ，△OB OC =，△90BOC ∠=︒，△45OBC NEM ∠=︒=∠，△EN OB ∥，△N E y y =．△()2,4E ，△4N E y y ==， △21,262N n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，2n ≥， △当212642n n -++=，解得2n =± △2n ≥，△2n =+2N x =+△EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，△22E N M x x x =+= △直线BC 为：6y x =-+，()2,4E ，又△点M 是线段BE 上的一点，△M 点坐标为(2．综上，满足题意的M 点坐标为()4,2或(2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．16．(1)△1a =-，2b =，3c =△811,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)5027【分析】（1）△先由C (0,3),得c =3，然后求得B 的坐标为(3,0)，再把A (-1,0)，B (3,0),c =3代入y =ax 2+bx +c ，求出a 、b 即可；△过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，证PAB ACO ∠=∠，从而得tan tan PAB ACO ∠=∠，则13PQ OA AQ OC ==，所以3AQ PQ =，然后设()2,23P t t t -++，则223PQ t t =-++，1AQ t =+，所以()21323t t t +=-++，解得11t =-（舍），283t =，即可求得出点P 坐标； （2）过点F 作FG y ⊥轴于点G ，作点C 关于FG 的对称点H ，连接FH ，先用待定系数法求出抛物线解析式y =-x 2+1，设点()21,D m m -+，()2,1E n n -+，可求得直线DE 的解析式为()1y m n x mn =-+++，同理，可求得直线DC 的解析式为1y mx =-+，从而求得1GH CG ==，又CF BF FH BF BH +=+≥，所以当CF BF +的值最小时，点F 恰好在BH 上，此时13FG GH OB OH ==，从而可求得()3,8--D .18,39E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求得109EF =，最后由()12DEF E D S EF x x =⋅-△求解即可． (1)解：△△C (0,3),△c =3，OC =3，△OB =OC =3，△B (3,0)，把A (-1,0)，B (3,0),c =3代入y =ax 2+bx +c ，得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩， △1a =-，2b =，3c =；△过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，△OB OC =，△45OBC OCB ∠=∠=︒，△AC AM =，△ACM AMC ∠=∠，△45ACM ACO OCB ACO ∠=∠+∠=∠+︒，45AMC PAB OBC PAB ∠=∠+∠=∠+︒，△PAB ACO ∠=∠，△tan tan PAB ACO ∠=∠， △13PQ OA AQ OC ==， △3AQ PQ =，设()2,23P t t t -++，则223PQ t t =-++，1AQ t =+，△()21323t t t +=-++，解得11t =-（舍），283t =， △811,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)解：△OB =1，△OC =OB =1，B （1，0），C （0，1），把()1,0A -，()10B ,，()0,1C 代入y =ax 2+bx +c ，得 001a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：101a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩, △抛物线的解析式为y =-x 2+1，过点F 作FG y ⊥轴于点G ，作点C 关于FG 的对称点H ，连接FH ，如图，设点()21,D m m -+，()2,1E n n -+，可求得直线DE 的解析式为()1y m n x mn =-+++， 同理，可求得直线DC 的解析式为1y mx =-+，△直线DE 经过原点，△10mn +=，△1mn -=，△EF y ∥轴，△当F E x x n ==时，12F y mn +-==，△2G F y y ==，△1GH CG ==，△CF BF FH BF BH +=+≥，△当CF BF +的值最小时，点F 恰好在BH 上，此时13FG GH OB OH ==， △1133E F x x FG OB n =====, △13m n=-=-， △()3,8--D . △18,39E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， △109EF =， △()11101050229327DEF E D S EF x x =⋅-=⨯⨯=△． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，一次函数图象性质，解直角三角形，线段最短，本题属二次函数综合题意，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．17．(1)211863y x x =-- (2)308n m m=<<（）(3)2⎛ ⎝或2⎭，【分析】（1）将()6,0A -和()0,8C -代入213y ax x c =-+中,利用待定系数法即可求解； （2）分别表示出1324S m =-+，228S m m =-，再求比例即可；（3） 在Rt DEF △中，根据勾股定理得：222DE EF DF +=，得)(222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即可得到m 值，再利用△POM 和△AOD 相似,利用三角比即可求出点P 坐标．（1）解：将()6,0A -和()0,8C -代入213y ax x c =-+中,得 03628a c c =++⎧⎨-=⎩，解得168a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ lc = —8 △抛物线解析式为211863y x x =--． （2）当y =0时，2118063x x --= △x 1= —6,x 2= 8△B 点坐标为(8,0)△OB =OC =8△△OCB 为等腰直角三角形△△OBC =△OCB = 45°△四边形DGFE 为矩形△△DGF =△EFG =△DEF =△EDG =90°,DG =EF△△EFB = 180°-△EFG =90°,△DGC = 180°—△DGF = 90°△△OBC =△OCB =45°..△DGC 、△EFB 为等腰直角三角形△CG =DG =EF =BF△△CDG =45°，△BEF =45°△△ODE =180°-△CDG -△EDG =180°-90°-45°=45°△△ODE 为等腰直角三角形△OD = OE△点D 是线段OC 的动点，且不与点O 、C 重合，OD = m△0 <m <8△A (—6,0)，C (0,—8)，△AO = CO =6,CD =OC -OD =8-m△S △ACD =()()11683832422AO CD m m m ⋅=⨯-=-=-+ 即:1324S m =-+△sin sin 458DG DG DCG CD m ∠===︒=-△)8DG m =-。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与面积问题
中考专题训练——二次函数与面积问题1．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标； (3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）2．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，10AC =3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的3坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得⊥M1BC、⊥M2BC、⊥M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．5．如图1，二次函数2y ax bx c =++（a<0）顶点为A （2-，4），二次函数的图像与y 轴交于点B ，BC 平行x 轴，过点B 作射线BD 交二次函数的图像于点D ，BC 平分⊥ABD ． （1）用含a 的代数式分别表示b ，c ； （2）求证：BDAB为定值； （3）若直线4y kx =+与y 轴及该抛物线的交点依次为P 、M 、N ，其中线段MN 长为m ，当满足14OPM OPNSS=，且3335m ≤≤a 的取值范围．6．函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OB ＝OC ．点D 在函数图像上，CD x 轴，且CD ＝2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b ，c 的值；（2）如图⊥，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标；（3）如图⊥，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于点1,0A ，点()3,0B ，交y 轴于点()0,3E ，直线2y x =--交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若N 点是抛物线上一动点，求当CDN △是以CD 边为直角边的直角三角形时N 点的横坐标；（3）若点M 是抛物线上不同于点A ，点B 的另一点，Q 是抛物线对称轴上一动点，求以A ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为平行四边形时点M 的坐标；（直接写出答案） （4）若P 点是y 轴右边抛物线上一动点，求使PCD 的面积最小时点P 的坐标及此时PCD 面积的最小值．8．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()5,0A -，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若E 是线段AC 上方抛物线上一点，过点E 作EH x ⊥轴，交AC 于H ，F 是EH 的右侧，线段AC 上方抛物线上一点，过点F 作FQ x ⊥轴，交AC 于Q ，EH 与FQ 间的距离为2，连接EF ，当四边形EHQF 的面积最大时，求点E 的坐标以及四边形EHQF 面积的最大值；（3）将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点N 是平面内一点，点M 为新抛物线对称轴上一点．B ，C 也随之平移，若以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，9．二次函数2y 23(0)ax ax a a =-->的最小值为4-． （1）求二次函数解析式；（2）P 为二次函数图像上一点，以P 为圆心的⊥P 与两坐标轴都相切，求P 点的坐标； （3）如图2，（1）中的抛物线与直线y=x 交于E ，F 两点，与直线12y x t =+交于点M ，N 两点，点D 为MN 中点，EFD △的面积为m ，当m 每取一个值时，满足条件的t 值是唯一的；⊥点D 的横坐标为___； ⊥求m 的取值范围．10．如图所示，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A 点的坐标为()1,0-，()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）y 轴上有一点M ，若MBC 的面积等于6，求点M 的坐标；（3）点P 是线段BC 上的动点，作PE x ⊥轴交抛物线于点E ，求线段PE 长度的最大值．11．如图，抛物线27y ax bx =+-与x 轴交于A （1，0）、B （7，0）两点，D 是y 轴上一点，连接DA ，延长DA 交抛物线于点E ． （1）求此抛物线的解析式；（2）若E 点在第一象限，过点E 作EF⊥x 轴于点F ，⊥ADO 与⊥AEF 的面积比为116ADO AEF S S ∆∆=，求出点E 的坐标； （3）若D 是y 轴上的动点，过D 点作与x 轴平行的直线交抛物线于M 、N 两点，是否存在点D ，使2·DA DM DN =？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交于(20)A -，，0(6)B ，两点，直线l 与抛物线交于A ，C 两点，其中点C 的横坐标为4．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式．(2)点M 是线段AC 上的点(不与A ，C 重合)，过点M 作//MF y 轴交抛物线于点F ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MF 的长．(3)在(2)的条件下，连接FA ，FC ，是否存在m ，使AFC △的面积最大．若存在，直接写出m 的值．若不存在，请说明理由．13．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点的坐标是（8，6）． （1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x 轴于C 点．连接BC ，并延长BC 交抛物线于E 点，连接BD ，DE ，求BDE 的面积．（4）如果P 为抛物线B 、E 间的一个动点，问是否存在点P 使PBE 面积最大？如果存在，求PBE 面积的最大值及此时P 点的坐标；如果不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线2()y a x h k =-+的伴随直线为()y a x h k =-+．例如：抛物线22(1)3y x =+-的伴随直线为2(1)3y x =+-，即21y x =-．（1）在上面规定下，抛物线()214y x =+-的顶点为 ，伴随直线为 ； （2）若顶点在第一象限的抛物线()214y m x m =--与其伴随直线相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），抛物线与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 的左侧）． ⊥若90CAB ∠=︒求m 的值；⊥如果点(,)P x y 是直线BC 上方抛物线的一个动点，PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值274时，求m 的值．15．如图，直线1122y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C ，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）过点A ，B ，C ，点A 坐标为()1,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，连接CD ，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点（不与B ，C 重合），当点P 运动到何处时，四边形PCDB 的面积最大？求出此时四边形PCDB 面积的最大值和点P 坐标；（3）在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q ，使QCD 是以CD 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直⻆坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与直线AB 交于A 、B 两点，A （1，﹣92）、B （﹣2，0），其中点A 是抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点，交y 轴于点D ．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P 是第四象限抛物线上一动点，若⊥PBA ＝⊥BAD ，抛物线交x 轴于点C ．求△BPC 的面积；（3）如图2，点Q 是第三象限内抛物线上一点（不与点B 、D 重合），连接BQ ，以BQ 为边作正方形BEFQ ，当顶点E 或F 恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q 点的坐标．17．在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点()8,0A 、()2,0B 两点，与y 轴交于点C ．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 、PC 、AC ，若点P 的横坐标为t ，PAC ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（并求出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PB 并延长交y 轴于点D ，过点P 作//PH y 轴，交x 轴于点H ，交AC 于点E ，连接DE ，射线DP 关于DE 对称的射线DG 交AC 于点G ，交抛物线于点F ，当点G 为AC 中点时，求GE 的长． 18．如图，抛物线252y ax bx =++与直线AB 交于点A （﹣1，0），B （4，52）．点D 是抛物线A ，B 两点间部分上的一个动点（不与点A ，B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD ，BD ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，⊥ADB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C 的坐标；（3）当点D 为抛物线的顶点时，若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点，判断有几个位置能使以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．19．如图，抛物线与x 轴交于A ， B 两点，点A 在点 B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且()60A -，，(28)D --，．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A ，C 重合，过点 P 作 x 轴的垂线交 AC 于点E ，求ACP ∆面积的最大值及此时P 点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ACM ∆为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图（1），抛物线y ＝ax 2+bx 经过A 和B （3，﹣3）两点，点A 在x 轴的正半轴，且OA ＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线上一动点，且在直线OB 的下方（不与O 、B 重合），过M 作MK ⊥x 轴，交直线BO 于点N ，过M 作MP ⊥x 轴，交直线BO 于点P ，求出⊥MNP 周长的最大值及周长取得最大值时点M 的坐标；（3）如图（2），过B 作BD ⊥y 轴于点D ，交抛物线于点C ，连接OC ，在抛物线上是否存在点Q 使得S △OCD ：S △OCQ ＝3：2，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+- (2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--【分析】（1）运用待定系数法进行计算即可；（2）先求出点A 的坐标，过点D 作DF x ⊥轴交AC 于点E ，用待定系数法求出直线AC 的解析式，设点D 的坐标为2(,23)m m m +-，则点(,3)E m m --，则23DE m m =--，然后表示ACD 的面积的表达式，根据二次函数求最大值即可；（3）由题意可知点M 的横坐标为1-，设点2(,23)N n n n +-，分三种情况讨论：⊥当,MN OB 为平行四边形的对角线时；⊥当,MB ON 为平行四边形的对角线时；⊥当,MO NB 为平行四边形的对角线时；分别讨论即可． （1）解：⊥二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像经过0(1)B ，，(03)C -，， ⊥023a cc =++⎧⎨-=⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩，⊥抛物线的解析式为：223y x x =+-； （2）解：令0y =，则2230x x +-=， 解得：3x =-或1x =， ⊥点(3,0)A -，过点D 作DF x ⊥轴交AC 于点E ，设直线AC 的解析式为y kx b =+， 则033k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得13k b =-⎧⎨=-⎩，⊥直线AC 的解析式为3y x =--， ⊥D 是二次函数图像上，⊥设点2,23()D m m m +-，则(,3)E m m --， ⊥223(23)3DE m m m m m =---+-=--， ⊥21111(3)32222AEDDCES SSDE AF DE OF DE OA m m =+=+==⨯--⨯， 即2233327(3)()2228S m m m =-+=-++，⊥32m =-时，S 有最大值278，此时，点315(,)24D --；（3）存在点N ，使以,,,M N B O 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： ⊥2223(1)4y x x x =+-=+-， ⊥抛物线的对称轴为直线=1x -， ⊥M 点的横坐标为1-， 设点2(,23)N n n n +-，⊥当,MN OB 为平行四边形的对角线时，11n -=， ⊥2n =，⊥()2,5N ；⊥当,MB ON 为平行四边形的对角线时，11n -+=， ⊥0n =， ⊥(0,3)N -；⊥当,MO NB 为平行四边形的对角线时，101n -+=+， ⊥2n =-， ⊥(2,3)--N ；综上所述：点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--．【点评】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质，平行四边形的性质是解本题的关键．2．（1）223y x x =--+；（2）（32-，154）；（3）（12-，154）或231--，154-）或231-+，154-） 【分析】（1）根据OB =OC =3OA ，AC 10，利用勾股定理求出OA ，可得OB 和OC ，得到A ，B ，C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断出四边形BACP 的面积最大时，⊥BPC 的最大面积，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，求出直线BC 的表达式，设点P （x ，-x 2-2x +3），利用三角形面积公式S △BPC =23922x x --，即可求出S △BPC 面积最小时点P 的坐标；（3）分类讨论，一是当BP 为平行四边形对角线时，二是当BP 为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q 的坐标．【解析】解：（1）⊥OB =OC =3OA ，AC 10 ⊥222OC OA AC +=，即()222310OA OA +=，解得：OA =1，OC =OB =3，⊥A （1，0），B （-3，0），C （0，3），代入2y ax bx c =++中，则00933a b ca b c c=++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，⊥抛物线的解析式为223y x x =--+；（2）如图，四边形PBAC 的面积=⊥BCA 的面积+⊥PBC 的面积，而⊥ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要⊥BPC的最大面积即可，过点P作y轴的平行线交BC于点H，⊥B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，则033m nn=-+⎧⎨=⎩，解得：13mn=⎧⎨=⎩，⊥直线BC的表达式为y=x+3，设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），S△BPC=12PH OB⨯=()2123332x x x⨯--+--⨯=23922x x--，⊥32-<，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，此时x=32-，代入223y x x=--+得154y=，⊥P（32-，154）；（3）若BP为平行四边形的对角线，则PQ⊥BM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，⊥Q（12-，154）；若BP为平行四边形的边，如图，QP ⊥BM ，QP =BM ， 同上可得：Q （12-，154）；如图，BQ ⊥PM ，BQ =PM ， ⊥点Q 的纵坐标为154-，代入223y x x =--+中， 解得：231x --231x -+=（舍）， ⊥点Q 231--，154-）；如图，BP ⊥QM ，BP =QM ， ⊥点Q 的纵坐标为154-，代入223y x x =--+中， 解得：231x --231x -+ ⊥点Q 231-+，154-）；综上：点Q的坐标为（12-，154231--，154-231-+，154-）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（1）y＝﹣23x2+43x+2；（2）存在．当a＝74时，S△CDM有最大值为4924；（3）F点坐标为（3，0）或（﹣1，07070）．【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出D点坐标，然后设M（x，﹣23x2+43x+2），则N（x，﹣x+2），求出MN，然后表示出22127274922333424CDMS MN x x x⎛⎫=⨯⨯=-+=--+⎪⎝⎭△，根据二次函数的性质即可求出面积的最大值；（3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1得到E（1，0），讨论：当CM⊥EF时，则M（2，2），利用平行四边形的性质得CM＝EF＝2，从而得到此时F点坐标；当CE⊥MF时，由于点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，所以点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，设F（t，0），则M（t＋1，-2），然后把M（t＋1，-2）代入y＝﹣2 3x2+43x+2得()()2241+1+2=-233t t-++，则解方程求出得到此时F点坐标．【解析】解：（1）⊥抛物线经过点A（﹣1，0），点C（0，2），⊥()2210 32b cc⎧-⨯--+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，⊥抛物线的解析式为y ＝﹣23x 2+43x +2；（2）存在． 当y ＝0，﹣x +2＝0， 解得x ＝2，则D （2，0），设M （x ，﹣23x 2+43x +2），则N （x ，﹣x +2），⊥MN ＝﹣23x 2+43x +2﹣（﹣x +2）＝22733x x -+，⊥22127274922333424CDMS MN x x x ⎛⎫=⨯⨯=-+=--+⎪⎝⎭△， ⊥a ＝23-＜0，⊥当a ＝74时，S △CDM 有最大值为4924；（3）⊥抛物线的对称轴为直线431223x ==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ⊥E （1，0），当CM ⊥EF 时，则M （2，2），⊥以C 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形， ⊥CM ＝EF ＝2，⊥F 点坐标为（3，0）或（﹣1，0）； 当CE ⊥MF 时，⊥以C 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形， ⊥CE ＝MF ，⊥点C 向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E 点， ⊥点F 向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M 点， 设F （t ，0），则M （t +1，﹣2），把M （t +1，﹣2）代入y ＝﹣23x 2+43x +2，得到()()2241+1+2=-233t t -++， 解得t 17t 27此时F 70），70），综上所述，F 点坐标为（3，0）或（﹣1，07070）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质是解题的关键．4．（1）211433y x x =-++；（2）PN 2（m ﹣2）222，当m ＝2时，PN 22；（3）M 1（2，103）、M 2（223﹣2）、M 3（2﹣2，232，S ＝83．【分析】（1）由二次函数交点式，即可求解． （2）由PN ＝PQ sin⊥PQN 213m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解．（3）由三角形的面积公式和平行线的性质知，点M 1、M 2、M 3在与直线BC 平行且与抛物线相交的直线上．利用待定系数法确定直线BC 的解析式，然后通过二次函数图象与几何变换规律求得符合条件的直线，再联立方程组，求得直线与抛物线的交点即可．【解析】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ， 即：﹣12a ＝4， 解得：a ＝﹣13，则抛物线的表达式为211433y x x =-++；（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4），⊥OB ＝OC ，⊥⊥ABC ＝⊥OCB ＝45°＝⊥PQN ， PN ＝PQ sin⊥PQN 213m 2+13 m +4+m ﹣42m ﹣2）222，⊥﹣26＜0， ⊥PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为23． （3）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把B （4，0），C （0，4）代入，得404k b b +=⎧⎨=⎩．解得14k b =-⎧⎨=⎩ ⊥y ＝﹣x +4设与直线BC 平行的直线的解析式为：y ＝﹣x +n ．联立得：2411433y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩． 消去y 得：x 2﹣4x +3b ﹣12＝0． 当直线与抛物线只有一个公共点时， ⊥＝16﹣4（3b ﹣12）＝0．解得b ＝163． 即：y ＝﹣x +163．此时交点M 1（2，103）．直线y ＝﹣x +163是由直线y ＝﹣x +4向上平移163﹣4＝43个单位得到．同理，将直线y ＝﹣x +4向下平移43个单位可得直线y ＝﹣x +83．联立28311433y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩．解得112222223x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩222222223x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩⊥M 2（223﹣2），M 3（2﹣2，232．综上所述，符合条件的点的坐标分别是：M 1（2，103）、M 2（223﹣2）、M 3（2﹣2，232． 此时S ＝83．【点评】此题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 5．（1）4b a =，44c a =+；（2）3BD AB =，见解析；（3）22a -≤≤2299a -≤≤- 【分析】（1）可设抛物线的顶点式2(2)4y a x =++＝2444ax ax a +++，即可解答； （2）过A 作AF⊥BC 于F ，DE⊥BC 交BC 延长线于E ，证明⊥AFB⊥⊥DEB ，则AB AF BFBD DE BE==，设D(x ，2444ax ax a +++)，根据题意得出点E 、B 、F 的坐标，再由AF BFDE BE=解得x 值，进而可证得结论； （3）由14OPM OPNSS=得14M N x x =，联立方程组，利用根与系数关系求得M x =1，k=﹣a 或M x =﹣1，k=﹣9a ，再由两点间距离公式及m 取值范围求得k 的取值范围，进而求得a 的取值范围．【解析】解：（1）由题意设抛物线的顶点式2(2)4y a x =++（a<0）， 即2444y ax ax a a =+++， ⊥4b a =，44c a =+；（2）过A 作AF⊥BC 于F ，DE⊥BC 交BC 延长线于E ，则⊥AFB=⊥DEB=90°， ⊥BC 平分⊥ABD ，⊥⊥ABF=⊥DBE, ⊥⊥AFB⊥⊥DEB ，⊥AB AF BFBD DE BE==， 当x=0时，y=44a + ，⊥B(0，44a +)， 设D(x ，2444ax ax a +++)， ⊥BC 平行x 轴，⊥F （﹣2，44a +），E(x ，44a +)，⊥AF=4﹣（44a +）=﹣4a ，BF=2，DE=(44a +)﹣（2444ax ax a +++）=24ax ax --，BE=﹣x ， 由AF BF DE BE =得：2424a ax ax x-=---， 解得：x=﹣6，⊥BE=6， ⊥2163AB BF BD BE ===， 即3BDAB=是定值；（3）如图，⊥14OPM OPNS S=， ⊥14M Nx x =， ⊥N x =4M x ，联立方程组24444y kx y ax ax a =+⎧⎨=+++⎩得：2(4)40ax a k x a +-+=， ⊥24x 5=41M N M M N M a k x x a x x x -⎧+=⎪⎨⎪⋅==⎩， 解得：M x =1，k=﹣a 或M x =﹣1，k=﹣9a ，21M N k x +-21k +3335m ≤≤ ⊥2333135k +22k ≤或22k -≤≤当M x =1，k=﹣a 时，由a ＜0得：k ＞0，⊥22a -≤≤ 当M x =﹣1，k=﹣9a ，由a ＜0得：k ＞0， ⊥292a -≤-≤-即229a -≤≤ 综上，a 的取值范围为22a -≤≤-2299a -≤≤-．【点评】本题考查二次函数的综合，主要涉及抛物线的顶点式、相似三角形的判定与性质、图形与坐标性质、一元二次方程的根与系数关系、两点间距离公式、一元一次不等式、一元二次不等式等知识点，解答的关键是认真审题，寻找相关知识的联系，借助数学结合思想进行推理、探究和计算．6．（1）2b =-，3c =-；（2）点F 的坐标为(0,2)-；（3）存在满足题意的点Q ，坐标为115(,)24-或315(,)24-．【分析】（1）CD ＝2，则函数对称轴112x b ==-，即：2b =-，则函数表达式为：22y x x c =-+，OB ＝OC ，则点B 坐标为(,0)c -，把点B 坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线BE 的表达式为：26y x =-，把2x =代入上式得：2262y =⨯-=-，即：点坐标为(2,2)F '-，即可求解；（3）设点P 的坐标为(,0)n ，可表示出PN 、PA 、PB 的长，作QR PN ⊥，垂足为R ，则可求出QR 的长，用n 可以表示出 Q 、R 、N 的坐标，在Rt QRN 中用勾股定理可求出关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可以求出Q 点的坐标 【解析】（1）CD ＝2，则函数对称轴112x b ==-，即：2b =-，则函数表达式为：22y x x c =-+，OB ＝OC ，则点B 坐标为(,0)c -， 把点B 坐标代入函数表达式，解得：3c =-或0c 舍去）， 答：2b =-，3c =-；（2）二次函数表达式为：2=23y x x --， 函数对称轴为1x =，则顶点E 坐标为(1,4)-， 把点E 、B 坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：304m n m n +=⎧⎨+=-⎩，解得：26m n =⎧⎨=-⎩，则直线BE 的表达式为：26y x =-，由题意得：点F '的横坐标为2，把2x =代入上式得：2262y =⨯-=-即：点坐标为(2,2)F '-，⊥点F 的坐标为(0,2)- （3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++；如图，作QR PN ⊥，垂足为R⊥PQN APM S S =△△，⊥211()()()221323n n n n QR +-=-++⋅ ⊥1QR =⊥当点Q 在直线PN 的左侧时，点Q 的坐标为24)1,(n n n --，R 点的坐标为2(,4)n n n -,N 点的坐标为2(,23)n n n --⊥在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，⊥当32n =时，NQ 取得最小值1，此时Q 点的坐标为115(,)24-；⊥当点Q 在直线PN 的右侧时，点Q 的坐标为()21,4n n +-，同理221(21)NQ n =+-， ⊥当12n =时，NQ 取得最小值1，此时Q 点的坐标为315(,)24-； 综上可知存在满足题意的点Q ，坐标为115(,)24-或315(,)24-．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、三角形面积计算、二次函数的性质、分类讨论的思想等知识点，解本题的关键在于通过坐标确定线段的长度，本题考查的知识点较多，综合性较强，难度总体较大．7．(1)243y x x =-+；（2）N 点的横坐标为52122或52122或5522或552（3）点M 的坐标为(0，3)、(4，3)；（4）P 点坐标为33(,)24-，PCD 面积的最小值为114．【分析】（1）利用待定系数法将A 、B 、E 三点坐标代入2y ax bx c =++，可即求得抛物线解析式；（2）分别从⊥NCD =90°和⊥NDC =90°两种情况进行计算，利用相似三角形的判定及性质可列出关于x 的方程，求解后即可求出点N 的横坐标；（3）根据平行四边形的对边相等，可得m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（4）根据平行于CD 且与抛物线相切，可得P 点坐标，根据面积的和差，可得答案． 【解析】解：将点1,0A ，()3,0B ，()0,3E 代入2y ax bx c =++得： 09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，⊥抛物线的函数表达式为243y x x =-+； （2）⊥直线CD 的解析式为2y x =--， ⊥当0x =时，=2y -， 当0y =时，2x =-， 则()2,0C -，()0,2D -， ⊥2OC OD ==．当CDN △是以CD 边为直角边的直角三角形时，可分为以下两种情况： ⊥当NC ⊥CD 时，即⊥NCD =90°，如图：过点C 作FG ⊥x 轴，过点N 作NF ⊥y 轴交FG 于点F ，过点D 作DG ⊥FG 于点G ，⊥9090NCD NFC ，， ⊥9090FCN DCG FCN CNF ，，⊥DCG CNF ， ⊥90NFCCGD ，⊥CFN DGC ∽， ⊥FN CFCGDG， 设2(,43)N x x x ， ⊥2OC OD ==，⊥2CG DG ==，()22FN x x =--=+，243CF x x ，⊥2432x x x ，即2510x x -+=， 解得15212x =，25212x = 即点N 的横坐标为52122或52122； ⊥当ND ⊥CD 时，即⊥NDC =90°，如图：过点N 作NG ⊥x 轴，过点D 作FG ⊥y 轴，NG 与FG 相交于点G ，过点C 作CF ⊥FG 于点G ，⊥9090NDC DFC ∠=︒∠=︒，，⊥9090CDF NDG CDF FCD ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ⊥NDG FCD ∠=∠， ⊥90NGD CFD ∠=∠=︒， ⊥NDG DCF ∽， ⊥NG DGDF CF， 设2(,43)N x x x ， ⊥2OC OD ==，⊥2DF CF ==，DG x =，2243245NGx x x x ，⊥245x x x ，即2550x x -+=， 解得15522x ，25522x ， 即点N 的横坐标为5522或552 综上所述，当CDN △是以CD 边为直角边的直角三角形时N 点的横坐标为52122或52122或5522或552 （3）由题意可知：点Q 在对称轴上，点M 在抛物线上，所以当以A 、B 、M 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，只能以AB 作为平行四边形的边。
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1． 把正方体摆放成如图（5）的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，……，则第n 层有＿＿＿个正方体.
2．如图（6），都是由边长为1的正方体叠成的图形。
例如第①个图形的表面积为6个平方单位，第②个图形的表面积为18个平方单位，第③个图形的表面积是36个平方单位。
依此规律，则第⑤个图形的表面积 个平方单位。
3. 图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如
图（3）所示的第3个图形。
如此继续作下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是
……
4. 木材加工厂堆放木料的方式如图所示：依此规律可得出第6堆木料的根数是 。
5. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你
观察图中正方形A 1B 1C 1D 1、A 2B 2C 2D 2、A 3B 3C 3D 3……每个正方形四
条边上的整点的个数，推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共
有 个.
图（1） 图（2） 图（3）
3．（2013•重庆）一次函数y=ax+b （a≠0）、二次函数y=ax 2
+bx 和反比例函数y=（k≠0）
在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确
的是（ ）
A ． b=2a+k
B ． a =b+k
C ． a ＞b ＞0
D ．
a ＞k ＞0 1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+
b ﹣
c ，N=4a ﹣2b+c ，
P=2a ﹣b ．则M ，N ，P 中，值小于0的数有（ ）
2．如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y=ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺 时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）
A ．
（，） B ． （2，2） C ． （，2） D ． （2，）
4．若正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是（ ）
A
．
B ．
C ．
D ．
7．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：、
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小， 其中正确结论的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．
4 8．（2013•深圳）已知二次函数y=a （x ﹣1）2﹣c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图象可能是（ ）
A ． 3个
B ． 2个
C ． 1个
D ． 0个 A ． B ． C ． D ．
例1 （2009年四川凉山州）如图l，将ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'使点A、B、C'在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为_______cm2．
例2 （2010年浙江杭州，有改动）如图2，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则由DG，GE 和 ED围成的图形面积（图中阴影部分）为__________．
例5 (2010年浙江台州)如图5，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则阴影部分面积为(结果保留π)_______．
例11 (2009年湖南娄底)如图11，⊙O的半径为2，C1是函数y＝1
2
x2的图象，C2是函数y＝－
1
2
x2的图象，则
阴影部分的面积是_______．
例14 (2010年四川巴中)如图14所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_______．
例15 (2010年云南昆明)如图15，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )
氧化碳约18kg；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg.甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议.2010年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg.
（1）2010年两校响应本校倡议的人数分别为多少人？
（2）2010年到2012年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量，乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分比增长.2011年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍，2012年两校响应本校倡议的总人数比2011年两校响应本校倡议的总人数多100人.求2012年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量.
2.为了倡导节能低碳生活，某工厂对集体宿舍用电收费作了如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过
a a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交
100元.某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元.
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
3.“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元. （1）第一批玩具每套的进价为多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价都相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？。