5.函数展开成幂级数
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
例3 : 把 f ( x)
解
1 x 4x 3
2
展开为 x 1的幂级数.
1 f ( x) ( x 1)( x 3) 1 1 1 1 1 1 2( x 1) 2( x 3) 2 [2 ( x 1)] 2 [4 ( x 1)]
1 1 1 1 4 [1 ( x 1) ] 8 [1 ( x 1) ] 2 4
内能展开成 ( x x0 ) 的幂级数, 即 f ( x)
n 0 1 (n) 则其系数 an f ( x0 ) (n 0,1,2,) n! 且展开式是唯一的 .
a n ( x x0 ) n
若f ( x)有收敛到它的幂级数 , 则一定为泰勒级数 . 4
问题
f ( x)
6.5
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
1
一、泰勒级数
; 1.收敛域可求, 在收敛域内有和函数 幂级数 a0 ( x x0 ) n 特点 :2.各项由幂函数构成 , 计算方便. n 0 3.可逐项积分和微分 .
引言:
问题： 任一函数f ( x)是否可以表示成幂级数 的形式？
? f ( n) ( x0 )
n 0
n!
( x x0 ) n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f ( x) ? 不一定.
3.定理
设f ( x) 在点 x0 的某邻域内有任意阶导数, 则在该邻域内f ( x)能展开成泰勒级数充要条件 : f ( x)在x0点展开的泰勒公式中 lim Rn ( x) 0 .
n
lim Rn ( x) lim[ f ( x) Sn1 ( x)] 0 ;
n
n
6
设f ( x) 在点 x0 的某邻域内有任意阶导 数,
1.能收敛到f ( x)的幂级数只有
2.
n 0
f
( n)
( x0 ) ( x x0 ) n . n!
n 0
f
( n)
(2).写出泰勒级数
n 0
f ( n) ( x0 ) n ( x x0 ) , 并求其收敛半径. n!
n
(3) x ( R, R), 讨论 lim Rn ( x) 0 .
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x).
8
例1 将 f ( x) e 展开成 x 的幂级数.
解
x
f
( n)
x
( x) e , f
x
( n)
(0) 1.
(n 0,1,2,)
n 1
n 1 n 1 e n 1 | x| | x | | x | Rn ( x) | x | e M (n 1)! (n 1)! (n 1)! | x |n 1 是收敛级数, (比值法) (n 1)!
14
2n x2 x4 x6 x cos x 1 (1) n 2! 4! 6! (2n)! x (,)
n 1 x 2 x3 x ln( 1 x) x (1) n 2 3 n 1
m
3
5
2 n 1
x (1, 1]
1 1 x x2 xn 1 x
1 n 2n (arctan x) 2 ( 1) x 1 x n 0
arctan x
x 0
dx 1 x
2
2n
x
0
(1)
n 0
n
x dx
2 n 1 n
2n
n 0
x (1) x dx (1) 0 2n 1 n 0
x n
2 n 1 1 3 1 5 x x x x (1) n x [ 1, 1]. 3 5 2n 1
1 2 1 n e ~ 1 x x x R 2! n!
Rn ( x ) 0. 通项趋向于零 . lim n
x
1 2 1 n (,). 百度文库 1 x x x 收敛域： 2! n! 9
常用函数的马克劳林级数
x x n x sin x x (1) 3! 5! (2n 1)! x (,)
m(m 1) 2 m(m 1) (m n 1) n (1 x) 1 mx x x 2! n! x (1, 1)
x (1, 1)
1 1 x x 2 (1) n x n 1 x
x (1, 1)
10
2. 间接法 直接展开幂级数, 要验证Rn ( x)是否 0, 有许多困难. 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则 运算, 恒等变形, 逐项求导,逐项积分等方法,求 展开式.
例 1 : 把 f ( x) e
解
x2
展开为 x 的幂级数.
t
令： t x
x2
2
1 2 1 n f ( x) e e 1 t t t 2! n! 1 4 1 2n x2 2 f ( x) e 1 x x x 2! n! x (,)
f
(n)
( x0 ) ( x x0 ) n n!
Sn1 ( x)
lim Rn ( x) 0
n
lim Sn 1 ( x) f ( x).
n
即: f ( x) 的泰勒级数收敛于f ( x).
必要性: f ( x) 的泰勒级数收敛于f ( x), lim Sn 1 ( x) f ( x)
f ( n 1) ( ) 其中 : Rn ( x) ( x x0 ) n 1 (n 1)!
(是介于x与x0之间的某个值)
若 | Rn ( x) | 0(n ), 可通过增大n来提高精度.
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f
(n)
想到 :
(1, 3)
(3, 5)
n
1 n x 1 n 1 (1) ( ) 4 n 0 2 8
(1)
n 0
x 1 n (1) ( ) 4 n 0
n
n
(
1 2
n2
1 2
2n 3
)( x 1)
( 1,3)
13
例4 : 把 arctgx 展开为 x 的幂级数.
11
1 例2 : 把 f ( x) 展开为 x 的幂级数. x2
解
1 1 f ( x) x 2 1 2
1 n x n (1) ( ) 2 n 0 2
x ( 1, 1) 2
n 1 x x2 x (1) n n 1 2 4 8 2
x (2, 2)
n
5
证明: 充分性
f ( x) ~ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x)的n阶泰勒公式: f ( n ) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
( x0 ) ( x x0 ) n 能收敛到f ( x) Rn ( x) 0. n!
3.x0 0时,
n 0
f
( n)
(0) n x 称为f ( x)的马克劳林级数 . n!
7
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法) 步骤:
f ( n ) ( x0 ) (1) 求a n ; n!
f ( x)
n 0
an ( x x0 ) n？
1. 如果能展开，怎么确定an ?
2. 展开式是否唯一? 3. 在什么条件下才能展开成幂级数?
2
回忆 : 泰勒公式
f ( x)在x0周围具有直到n 1阶导数, 则 f ( n) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
n 0
f ( n) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
( x0 ) ( x x0 ) n f ( x)(n ) n!
3
数 1.定义 如果 f ( x) 在点 x0 处任意阶可导，则幂级 f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 称为 f ( x) 在点 x0 的泰勒级数. 0 n! n 0 (n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n 记 : f ( x) ~ ( x x0 ) . 称为泰勒系数. n! n! n 0 2.定理 如果函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 内具有任意阶导数, 且在U ( x0 )
例3 : 把 f ( x)
解
1 x 4x 3
2
展开为 x 1的幂级数.
1 f ( x) ( x 1)( x 3) 1 1 1 1 1 1 2( x 1) 2( x 3) 2 [2 ( x 1)] 2 [4 ( x 1)]
1 1 1 1 4 [1 ( x 1) ] 8 [1 ( x 1) ] 2 4
内能展开成 ( x x0 ) 的幂级数, 即 f ( x)
n 0 1 (n) 则其系数 an f ( x0 ) (n 0,1,2,) n! 且展开式是唯一的 .
a n ( x x0 ) n
若f ( x)有收敛到它的幂级数 , 则一定为泰勒级数 . 4
问题
f ( x)
6.5
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
1
一、泰勒级数
; 1.收敛域可求, 在收敛域内有和函数 幂级数 a0 ( x x0 ) n 特点 :2.各项由幂函数构成 , 计算方便. n 0 3.可逐项积分和微分 .
引言:
问题： 任一函数f ( x)是否可以表示成幂级数 的形式？
? f ( n) ( x0 )
n 0
n!
( x x0 ) n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f ( x) ? 不一定.
3.定理
设f ( x) 在点 x0 的某邻域内有任意阶导数, 则在该邻域内f ( x)能展开成泰勒级数充要条件 : f ( x)在x0点展开的泰勒公式中 lim Rn ( x) 0 .
n
lim Rn ( x) lim[ f ( x) Sn1 ( x)] 0 ;
n
n
6
设f ( x) 在点 x0 的某邻域内有任意阶导 数,
1.能收敛到f ( x)的幂级数只有
2.
n 0
f
( n)
( x0 ) ( x x0 ) n . n!
n 0
f
( n)
(2).写出泰勒级数
n 0
f ( n) ( x0 ) n ( x x0 ) , 并求其收敛半径. n!
n
(3) x ( R, R), 讨论 lim Rn ( x) 0 .
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x).
8
例1 将 f ( x) e 展开成 x 的幂级数.
解
x
f
( n)
x
( x) e , f
x
( n)
(0) 1.
(n 0,1,2,)
n 1
n 1 n 1 e n 1 | x| | x | | x | Rn ( x) | x | e M (n 1)! (n 1)! (n 1)! | x |n 1 是收敛级数, (比值法) (n 1)!
14
2n x2 x4 x6 x cos x 1 (1) n 2! 4! 6! (2n)! x (,)
n 1 x 2 x3 x ln( 1 x) x (1) n 2 3 n 1
m
3
5
2 n 1
x (1, 1]
1 1 x x2 xn 1 x
1 n 2n (arctan x) 2 ( 1) x 1 x n 0
arctan x
x 0
dx 1 x
2
2n
x
0
(1)
n 0
n
x dx
2 n 1 n
2n
n 0
x (1) x dx (1) 0 2n 1 n 0
x n
2 n 1 1 3 1 5 x x x x (1) n x [ 1, 1]. 3 5 2n 1
1 2 1 n e ~ 1 x x x R 2! n!
Rn ( x ) 0. 通项趋向于零 . lim n
x
1 2 1 n (,). 百度文库 1 x x x 收敛域： 2! n! 9
常用函数的马克劳林级数
x x n x sin x x (1) 3! 5! (2n 1)! x (,)
m(m 1) 2 m(m 1) (m n 1) n (1 x) 1 mx x x 2! n! x (1, 1)
x (1, 1)
1 1 x x 2 (1) n x n 1 x
x (1, 1)
10
2. 间接法 直接展开幂级数, 要验证Rn ( x)是否 0, 有许多困难. 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则 运算, 恒等变形, 逐项求导,逐项积分等方法,求 展开式.
例 1 : 把 f ( x) e
解
x2
展开为 x 的幂级数.
t
令： t x
x2
2
1 2 1 n f ( x) e e 1 t t t 2! n! 1 4 1 2n x2 2 f ( x) e 1 x x x 2! n! x (,)
f
(n)
( x0 ) ( x x0 ) n n!
Sn1 ( x)
lim Rn ( x) 0
n
lim Sn 1 ( x) f ( x).
n
即: f ( x) 的泰勒级数收敛于f ( x).
必要性: f ( x) 的泰勒级数收敛于f ( x), lim Sn 1 ( x) f ( x)
f ( n 1) ( ) 其中 : Rn ( x) ( x x0 ) n 1 (n 1)!
(是介于x与x0之间的某个值)
若 | Rn ( x) | 0(n ), 可通过增大n来提高精度.
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f
(n)
想到 :
(1, 3)
(3, 5)
n
1 n x 1 n 1 (1) ( ) 4 n 0 2 8
(1)
n 0
x 1 n (1) ( ) 4 n 0
n
n
(
1 2
n2
1 2
2n 3
)( x 1)
( 1,3)
13
例4 : 把 arctgx 展开为 x 的幂级数.
11
1 例2 : 把 f ( x) 展开为 x 的幂级数. x2
解
1 1 f ( x) x 2 1 2
1 n x n (1) ( ) 2 n 0 2
x ( 1, 1) 2
n 1 x x2 x (1) n n 1 2 4 8 2
x (2, 2)
n
5
证明: 充分性
f ( x) ~ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x)的n阶泰勒公式: f ( n ) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
( x0 ) ( x x0 ) n 能收敛到f ( x) Rn ( x) 0. n!
3.x0 0时,
n 0
f
( n)
(0) n x 称为f ( x)的马克劳林级数 . n!
7
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法) 步骤:
f ( n ) ( x0 ) (1) 求a n ; n!
f ( x)
n 0
an ( x x0 ) n？
1. 如果能展开，怎么确定an ?
2. 展开式是否唯一? 3. 在什么条件下才能展开成幂级数?
2
回忆 : 泰勒公式
f ( x)在x0周围具有直到n 1阶导数, 则 f ( n) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
n 0
f ( n) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
( x0 ) ( x x0 ) n f ( x)(n ) n!
3
数 1.定义 如果 f ( x) 在点 x0 处任意阶可导，则幂级 f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 称为 f ( x) 在点 x0 的泰勒级数. 0 n! n 0 (n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n 记 : f ( x) ~ ( x x0 ) . 称为泰勒系数. n! n! n 0 2.定理 如果函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 内具有任意阶导数, 且在U ( x0 )