4-2 第二节 幅相特性曲线
控制工程基础第4章控制系统的频率特性
插值计算可大致确定闭环截止频率为 b
=1.3rad／s。
非单位反馈系统的闭环频率特性
对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可
写为
X X
o i
j j
1
G j G j H
j
H
1
j
1
G j H j G j H j
在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画
出 G j H j 的轨迹，由轨迹与M轨线和N轨
频域法是一种工程上广为采用的分析 和综合系统间接方法。另外，除了电路 与频率特性有着密切关系外，在机械工 程中机械振动与频率特性也有着密切的 关系。机械受到一定频率作用力时产生 强迫振动，由于内反馈还会引起自激振 动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归 结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为
通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
X
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
(4.27)
该式就是一个圆的方程，其圆心为
M2
，半径为 M 。如下图。
[
M
2
, 1
j0]
M 2 1
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定 的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。下 图表示的一族等M圆。由图上可以看出，当 M>1时，随着M的增大M圆的半径减小，最后 收敛于点（-1,j0）。当M＜1时，随着M的 减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点 （ 1/2,j0）且平行于虚轴的直线。
2第二节频率特性的几种表示方法
− ∞...
0
−2 − 0.01
−1 − 0.1
0 1
1 10
2 100
log ω
ω
ω 由于 以对数分度，所以零频率线在 − ∞ 处。
Monday, May 30, 2011
4
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以log A(ω )或20 log A(ω ) 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A(ω ) 或 20 log A(ω ) 值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。 当幅值特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 = 20 log(幅值) 幅值 1 1.26 2 1.56 4 2.00 6 2.51 8 3.16 10 5.62 15 10.0 20
Monday, May 30, 2斯特曲线） 它是在复平面上用一条曲线表示ω 由 0 → ∞ 时的频率特性。 即用矢量 G ( jω ) 的端点轨迹形成的图形。 ω 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 ω Q(ω ) 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
A(ω ) ϕ (ω ) ω =∞
P(ω )
ω =0
G(s) =
s +1 s2 + s +1
由于 | G ( jω ) |是偶函数， 所以当 ω 从 − ∞ → 0 和 0 → ∞ 变化时，奈魁 斯特曲线对称于实轴。 3
Monday, May 30, 2011
二、对数频率特性曲线（又称波德图） 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。 波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度： 横坐标分度：它是以频率 ω 的对数值 log ω 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
关于示波器的幅频特性曲线
1，基于 RC 理论模型的示波器幅频特性曲线 示波器的带宽被称为示波器的第一指标，而示波器的幅频特性曲线则直接证明了示波器带宽指标是否
符合要求，表征了示波器模拟前端放大器的重要特性。
当示波器输入幅值恒定但频率变化的正弦波时，示波器测量到的峰峰值将随着输入频率而变化，这种 幅值随频率变化的关系就是示波器的幅频特性。其实和示波器的幅频特性相对应的还有相频特性，在高端 示波器信号保真度的讨论中时有提及。
众所周知，示波器的模拟前端放大器是低通滤波器特性。低通滤波器用一阶 RC 电路模型等效之后如图 1 所示。
图 1 低通滤波器的一阶 RC 电路模型
鼎阳硬件设计与测试智库
图 2 低通滤波器的幅频特性曲线 该 RC 电路的传递函数是：
文档编号：HWTT0012
假设： 则传递函数可写成：
幅频特性为：
据此画出一阶 RC 电路的幅频特性曲线如图 2 所示。图示中的转折频率点就是输出电压降低到输入的 70.7%的频率，也就是-3dB 频率点。示波器的模拟带宽就是以此转折频率点来确定的。
从数学的角度，示波器的频率响应函数 H( jw) 等于输出 y(t)的傅氏变换 Y( jw)与输入 x(t)的傅氏变换 X( jw)的比值：H( jw) = Y( jw) / X( jw)，一般 H( jw)是一个复数，它的模是“幅频特性”，它的幅角就是 “相频特性”。通过对数坐标表示幅频特性的图形称为波特图。
3，幅频特性曲线的绘制方法之江湖纷争 幅频特性曲线绘制方法，笔者在江湖上遇到过的有四种：扫频点描法，扫频 FFT 法，快沿 FFT 法，底
噪 FFT 法。（需要说明一下：这些方法的命名是笔者个人定义的，大家不要去搜索这几个词了。）
其中，底噪 FFT 法就是示波器不输入任何信号，仅对示波器本底噪声做 FFT 运算，因为本底噪声是随 机噪声，可能包括了各种不同的频率成分，因此其 FFT 结果的高频成份越丰富，说明示波器带宽越高。这 种方法存在的漏洞非常明显，是一种典型地在中国市场上示波器供应商忽弄用户的。
控制工程4-2
不稳定 稳定
不稳定 稳定 不稳定 稳定
s 2 (T 2 s + 1) K
3
s K ( T1 s + 1 )( T 2 s + 1 )
3
s K ( T 5 s + 1 )( T 6 s + 1 ) 7 )G ( s ) = s ( T1 s + 1 )( T 2 s + 1 )( T 3 s + 1)( T 4 s + 1 ) 8)G ( s ) =
习题
习题
求出最小相位系统开环传递函数。 求出最小相位系统开环传递函数。
稳定 K , ( K > 1) T1 s − 1 稳定 K 9 )G ( s ) = , ( K < 1) 不稳定 T1 s − 1
K s ( Ts − 1)
10 ) G ( s ) =
不稳定
对数频率特性的稳定性判据
1、对数频率特性的稳定性判据的原理 、
2、对数频率特性的稳定性判据 、
变到+∞时 在所以L 当ω从0变到 时，在所以 (ω)≥0的频率范围 从 变到 的频率范围 对数相频特性曲线φ 内，对数相频特性曲线 (ω)在-π线上的正负穿 在 线上的正负穿 越次数之差等于q/2（ 为系统开环右极点数）， 越次数之差等于 （ q 为系统开环右极点数）， 闭环系统就是稳定的。 闭环系统就是稳定的。 例4.10：教材 ：教材P151
幅值裕量
ϕ (ω g ) = − π
+ ϕ (ω c )
K (ω g ) = − 20 lg A (ω g )
闭环系统稳定条件
γ (ω c ) > 0 K (ω g ) > 0
习题
例4.11：已知系统开环传递函数为： ：已知系统开环传递函数为：
关于.二阶系统的幅频和相频特性曲线的实验
关于.二阶系统的幅频和相频特性曲线的实验二阶系统的幅频、相频特性曲线一．实验目的在理论学习的基础上，通过本实验熟悉matlab 编程，了解二阶系统的频率特性，加深对二阶系统的幅频和相频特性曲线的理解。
二．实验原理按二阶系统的微分方程（1-1）作拉普拉斯变换，并整理后得到幅频和相频特性的表达式（1-2）和（1-3）。
)11(2)()()(222-++==nn n s s k s X s Y s H ωξωω)21()(4)(1|)(|)(2222-+-==n n kJ H A ωωξωωωω)32()(1)(2arctan)()(2---=∠=nnJ H ωωωωξωωφ三．实验内容实验内容为选取ξ为0.1、0.2、 0.3、0.5、0.7、1.0时对应的n ωω取值范围在0.1~10的幅频和相频特性曲线。
四．仿真实验1.幅频特性曲线代码。
其中z 表示nωω，w1、w2、w3、w4、w5、w6表示换算过程的变量，A1、A2、A3、A4、A5、A6表示)(ωA 。
开始：clear all clcx=0.1:0.1:0.9; y=1.0:1.0:10; z=[x y];%w/wn w1=1-z.^2; i=0.1;w2=2*i*z; w3=w1.^2; w5=w2.^2;w6=w3+w5;w4=sqrt(w6); A1=1./w4;%i=i+0.2;w21=2*i*z;w31=w1.^2;w51=w21.^2;w61=w31+w51; w41=sqrt(w61); A2=1./w41; %i=i+0.2;w22=2*i*z;w32=w1.^2;w52=w22.^2;w62=w32+w52; w42=sqrt(w62); A3=1./w42;%i=i+0.2;w23=2*i*z;w33=w1.^2;w53=w23.^2;w63=w33+w53; w43=sqrt(w63); A4=1./w43;%i=i+0.2;w24=2*i*z;w34=w1.^2;w54=w24.^2;w64=w34+w54; w44=sqrt(w64); A5=1./w44;%i=i+0.2;w25=2*i*z;w35=w1.^2;w55=w25.^2;w65=w35+w55; w45=sqrt(w65); A6=1./w45;N=plot(z,A1,z,A2,z,A3,z,A4,z,A5,z,A6);M=[0.1;0.2;0.5;1.0;2;5;10]; set(gca,'xtick',M);xlabel('w/wn'); % x 轴注解ylabel('A(w)'); % y 轴注解title('fupintexingquxian');grid on 2.图形3.相频特性曲线代码。
(完整版)幅相频率特性
⑹ 振荡环节
G(s)
wn2 s2 2wns wn2
(
s
1
)2 2
s
wn2
1 (s 1)(s 2 )
G(
jw)
1
w2 wn2
G
1
j2 w 1 wn
(1
w2 wn2
)
wn j2 w
wn
(1
w2 wn2
)2
(2
w wn
)2
wn
G( j0) 10 G( j) 0 180
[1
w2 wn2
(ms 1) (Tn s 1)
,
(
n
m)
（1）起点（低频段）：
G(
j0
)H
(
j0
)
lim
w0
(
K jw)v
可得低频段乃氏图：
w 0
（ １ ）
(2)终点（高频段）：此时 w ，这时频率特性与分子分 母多项式阶次之差n m有关。分析可得如下结论：
终点处幅值： lim G ( jω) 0 ω
终点处相角：lim ω
例 系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。
K
由曲线形状有
G(s)
s2
wn2
2
s
wn
1
由起点： G( j0) K0 K 2
K
G
[1
w2 w n2
]2
[2
w wn
]2
2 w
G arctan
wn w2
1 - wn2
由(w0)： G( jw0 ) 90 w0 wn 10
由|G(w0)|：
G(w0 )
1 G
1 w2T2 G arctanwT
4-2开环频率曲线(代课)
（2）幅频特性 相频特性
G ( j ) H ( j ) k 1
2
1
2T12 1
1
2T22 1
G ( j ) H ( j ) 180 arctgT1 arctgT2
（3）起点、终点、交点
当＝0时 ， 开 ( j 0) , G开 ( j 0) 1800 G 当＝时 ， 开 ( j ) 0, G开 ( j ) 3600 G
Im
幅相曲线的起点： （系统型别影响起点） • 若系统不含有积分环节，起 点为（K,0）。 • 若系统含有积分环节，曲线 起点为无穷远处，相角为 v×(-900)，其中v积分环节个 数。
2
0
Re
1
图4-17 开环幅相曲线起点
开环系统的幅相曲线
幅相曲线的终点： （传函分子分母阶次影响终点） •一般，系统开环传递函数分母的阶 Im 次n总是大于或等于分子的阶次m， n>m 时 , 终 点 在 原 点 ， 且 以 角 度 n-m=3 n-m=2 n-m=0 (n-m)*（-900）进入原点； Re •n=m时，曲线终止于正实轴上某点， 该点距原点的距离与各环节的时间常 n-m=1 数及开环增益k等参数有关。 • 起点和终点的范围：画图时要确定是在 图4-17 开环幅相曲线终点 实轴上方或下方，虚轴左边或右边，这 时只要取一个ω 代入计算就可确定符号。
-20-40-20+20
3
练习
已知系统的开环传递函数为
KV G( s) H ( s) (0 1) 2 2 s(T s 2Ts 1)
试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。
解: 系统的开环传递函数可写成
1 1 G ( s ) H ( s ) KV 2 2 s T s 2Ts 1
幅相频率特性图奈奎斯特Nyquist图
第二章控制系统的数学模型1．本章的教学要求1）使学生了解控制系统建立数学模型的方法和步骤；2）使学生掌握传递函数的定义、性质及传递函数的求取方法；3）掌握典型环节及其传递函数；4）掌握用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是传递函数的定义、性质；用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。
3．本章的教学安排本课程预计讲授10个学时第一讲2.1 线性系统的微分方程1．主要内容：本讲介绍数学模型定义、特点、种类；主要介绍控制系统最基本的数学模型——微分方程，通过举例说明列写物理系统微分方程的基本方法和步骤。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先给出数学模型定义，说明为什么建立数学模型；介绍建立数学模型的依据；介绍数学模型特点，重点说明相似系统的概念、模拟的概念，由此引出今后研究控制系统问题都是在典型数学模型基础上进行的；介绍数学模型种类，说明本课程主要介绍微分方程、传递函数、频率特性形式数学模型。
其次，本讲主要以电气系统为例介绍列写物理系统微分方程的方法和步骤，通过例题的详细讲解，使学生了解微分方程是描述控制系统动态性能的数学模型，熟悉在分析具体的物理系统过程中，要综合应用所学过的物理、力学、机械等学科的知识。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应说明列写物理系统微分方程的依据是系统本身的物理特性，本课程主要讲授物理系统微分方程列写的方法和步骤。
5．课时安排：1学时。
6．作业：p47 2-17．思考题：复习拉普拉斯(Laplace)变换2.2 拉普拉斯变换的基本知识1．主要内容：本讲简要回顾拉普拉斯(Laplace)变换定义、拉普拉斯反变换、常用函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的基本运算定理等基本知识；主要介绍应用拉普拉斯变换法求解微分方程。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先简要回顾拉普拉斯(Laplace)变换定义、拉普拉斯反变换、介绍拉氏变换的特点及应用，重点介绍常用函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的基本运算定理等基本知识，强调本课程只要求记住结论，推导过程自己看参考书。
计算机控制技术4-2
•波纹–只能保证系统在采样点上的稳态误差为零，而在采样点之间的输出响应可能是波动的，这种波动通常称为波纹–波纹不仅造成采样点之间存在有偏差，而且消耗功率，浪费能量，增加机械窘损。
•最少拍无波纹设计的要求–系统在典型的输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，达到稳态，且输出在采样点之间没有波纹。
一、波纹产生的原因及设计要求•波纹产生原因–系统输出在采样点之间存在着波纹，是由控制量输出序列的波动引起的。
其根源在于控制变量的z变换有非零的极点–或者说数字控制器的输出序列u(k))经过若干拍后，不为常值或零，而是振荡收敛的。
–要使系统输出为最少拍无波纹，就必须在有限拍内使U(z)达到稳态。
一、波纹产生的原因及设计要求•设计要求闭环脉冲传递函数 Φ(z)包含G(z)的全部零点，即最少拍无波纹系统的设计要求是，除了满足最少拍有波纹系统的一切设计要求以外，还须使得中Φ(z)包含G(z)所有的零点增加了调整时间，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数()()()z P z A z Φ=二、设计无波纹系统的必要条件•使被控对象必须有能力给出与系统输入r(t r(t))相同的、平滑的输出c(t c(t))•针对特定输入函数来设计无波纹系统–其必要条件是被控对象 中必须含有无波纹系统所必需的积分环节数•例如，单位速度输入函数进行设计为了产生的单位速度输出Gc(s)的传递函数中必须至少有一个积分环节。
输入为单位加速度函数时，Gc(s)的传递函数中必须至少有一个积分环节()c G s三、最少拍无波纹系统Φ(z (z))的一般确定方法•其必要条件是被控对象中必须含有无波纹系统所必需的积分环节数•闭环脉冲传递函数()c G s 1110111()(1)()w m q v iq v i z z b z z z −−−−−++−=Φ=−Φ+Φ++Φ∏L三、最少拍无波纹系统Φ(z(z))的一般确定方法•当G(z)中有z=1的极点时，待定系数的个数小于q+v个。
4-2频率特性图形表示
1 ) 2
ξ
= −90 + arcsin
0
ξ
1−ξ 2
振荡环节的幅值特性曲线如图 所示。在 0 <ω <ωr 的范 围内，随着ω的增加， M(ω) 缓慢增大；当 ω =ωr 时， (ω)达到 M 最大值 Mr ；当 ω > ωr时，输出幅值衰减很快。 当阻尼比 ξ >1 时，此 时振荡环节可等效成两个 不同时间常数的惯性环节 的串联， 即
2
Tω = v(ω) 2 2 1+T ω
则有
1 2 u(ω) − + [v(ω)] 2 1 1 −Tω 1 = − + = 2 2 2 2 2 1+T ω 1+T ω 2
2 2 2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 2 ,0 ，半径为 。且 2 当ω由 0 →∞时，∠G( jω) 由 0° → −90° ，说明惯性环节的频率特 性在 [G( jω)] 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。惯性环 节是一个低通滤波环节 相位滞后环节 低通滤波环节和相位滞后环节 低通滤波环节 相位滞后环节。在低频范围内，对 输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内， 幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为90゜ 。
K 即 G(s) = 2 2 ，其对应频率特性 G( jω) 的起点 为 T s + 2ξTs +1
G( j0) = K, ∠G( j0) = 00
(ω = 0)
（五） 一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为
G(s) = τs +1
其中τ为微分时间常数、1为比例项因子，由于实际的物理系 理想微分环节或纯微分环节（即不含比例项）是不存在的， 统中理想微分环节或纯微分环节 理想微分环节或纯微分环节 因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。
掌握这三“点”，绘制幅相频率特性曲线图soesay！
掌握这三“点”，绘制幅相频率特性曲线图soesay！大家好，我是宝刀君，很高兴，我们又见面了~如题，众所周知，幅相频率特性曲线图又叫奈奎斯特曲线、奈氏曲线、幅相特性，有些参考书上也叫极坐标图。
不管说哪个，只要是提到绘制这些概念的，意思就是让你绘制下面形状的图：在正式讲解幅相特性曲线图怎么画之前，我个人觉得有些基础知识点需要你在头脑中有个概念，回忆起当年学习自控时，好多人一时半会儿摸不到门的原因是对基本的概念不清。
基础知识点1复数的幅值和相角的计算、共轭复数复数这个知识点其实是复变函数里面讲的，就是说我们平时见到的任意一个数，其实都可以写成实部+虚部的形式，平时我们见到的大部分数都是实数。
百度百科的解释：复数的模的计算：根号下实部的平方加虚部的平方。
共轭复数就是实部一样，虚部互为相反数的复数。
一个复数和它的共轭复数相乘，产生的结果就变成实数了，有点像数学公式里的平方差公式，因为 i 的平方等于 -1 嘛，所以第二项就为正的了。
除了以上概念，我们还要明白：复数的实部、虚部与它的模值、角度之间的关系式。
由上面的公式可以看出，实部是模值与余弦函数相乘得到的，假如这个角度为0，那么这个复数整体就只有实部，就是我们常见的实数。
而如果角度为90度，那么就只有虚部。
或许有同学会问，那这个角度怎么求啊？给你一个复数，虚部除以实部就是这个角度的正切函数啊！所以你只需要一个灵巧的计算器计算下它的反正切就知道角度了呢~ 因此，如果知道了模值、角度，我们就可以很轻松的写出这个复数的指数形式。
基础知识点2开环传递函数的幅值和相角的计算明白了上面有关复数的概念，接下来我们谈谈频率域中的开环传递函数 G(jw) 的模值和角度的计算，如下图所示：计算模值时，把每一个小环节的模值表达式写出来，然后依次序乘在一起即可。
相角呢，角度怎么计算？还是之前说的，整体的角度等于分子的角度减去分母的角度，这个在之前发的文章[深度]详解根轨迹的8大规则中讲解的如何巧妙计算起始角和终止角的思路一致，都是分子角-分母角、或者叫零点角-极点角（我自创的刀法，我自己经常这样叫，现在传授给你）哈哈哈，这样叫是不是很有意思啊~就像有些学生做不定积分/定积分时，看到那个不定积分的符号，长得像S，做题之前都要先大喊一声：Shit！当然，你也可以用另外一个方法计算：借助于上下同乘以各个环节的共轭复数，这样就把分母化简成一个实数，把分子化简成了具有一个实部和一个虚部的复数形式，此时， G(jw) 整体就变成了一个复数，这时利用定义计算其模值和相角也可以。
频率特性的几种表示方法
Monday, July 06, 2020
1
频率特性可以写成复数形式：G( j) P() jQ() ，也可 以写成指数形式：G( j) | G( j) | G( j)。其中，P() 为实 频特性，Q()为虚频特性；| G( j) |为幅频特性，G( j) 为相频
特性。
Q( )
A( ) ( )
P( )
G(s)
s2
s 1 s 1
根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和0 变化时，乃奎 斯特曲线对称于实轴。
Monday, July 06, 2020
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值 1
A( )
增益 0
1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 2 4 6 8 10 15 20
4
二、对数频率特性曲线（又称波德图）
它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图（Nichols图）
对数幅相特性图(Nichols图)是描述系统频率特性的第三种图示方法。
该图纵坐标表示频率特性的对数幅值，以分贝为单位；横坐标表示频率特性的相位角。
对数幅相特性图以频率ω作为参变量，用一条曲线完整地表示了系统的频率特性，一些基本环节的对数幅相特性特性图如图4-41所示。
对数幅相特性图很容易将伯德图上的幅频曲线和相频曲线合并成一条来绘制。
对数幅相特性图有以下特点：
①由于系统增益的改变不影响相频特性，故系统增益改变时，对数幅相特性图只有简单地向上平移（增益增大）或向下平移（增益减小），而曲线形状保持不变；
②G（ω）和1／G（jω）的对数幅相特性图相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一个符号；
③利用对数相幅特性图，很容易由开环频率特性求闭环频率特性，可以尽快确定闭环系统的稳定性及方便地解决系统的校正问题。
图4-41 一些基本环节的对数幅相图。
典型环节幅相频率特性(Nyquist图)
3．积分环节
158
图 5-9 微、积分环节
积分环节的传递函数为 其频率特性为
G(s) = 1 s
G( jω) = 0 + 1 = 1 e− j90° jω ω
（5-20）
⎪⎧ ⎨
A (ω
)
=
1 ω
⎪⎩ϕ(ω) = −90°
（5-21）
积分环节的幅值与ω 成反比，相角恒为- 90° 。当ω = 0 → ∞ 时，幅相特性从虚轴 − j∞ 处
图 5-14 振荡环节极点分布和幅相特性
（1） 谐振频率 ωr 和谐振峰值 M r
162
由图 5-14 可看出，ξ 值较小时，随ω = 0 → ∞ 变化，G( jω) 的幅值 A(ω) 先增加然后 再逐渐衰减直至 0 。 A(ω) 达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记为 M r ；对应的频率 称为谐振频率，记为 ωr 。以下推导 M r ， ωr 的计算公式。
（5-48）
式中
⎧ A(ω) ⎨⎩ϕ (ω )
= =
A1 (ω ) ϕ1(ω)
A2 (ω) L Al (ω) + ϕ2 (ω) +L + ϕl
(ω
)
（5-49）
Ai (ω) ，ϕi (ω) (i = 1 , 2 , L , l) 分别表示各典型环节的幅频特性和相频特性。
式(5-48)表明，只要将组成开环传递函数的各典型环节的频率特性叠加起来，即可得出 开环频率特性。在实际系统分析过程中，往往只需要知道幅相特性的大致图形即可，并不需
3 s +1 3
图 5-11 某环节幅相特性曲线
惯性环节是一种低通滤波器，低频信号容易通过，而高频信号通过后幅值衰减较大。
幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线是一个表示幅值和相位关系的曲线。
它可以帮助人们了解声音的频率特性。
幅相特性曲线可以分为三个部分：幅值曲线、相位曲线和频率曲线。
幅值曲线表示声
音的振幅随频率变化的情况，相位曲线表示声音相位随频率变化的情况，频率曲线表示声
音频率随频率变化的情况。
幅相频率特性曲线的主要作用是了解声音在不同频率下的表现。
通过幅相频率特性曲线，
人们可以了解声音的振幅和相位随频率的变化情况，从而了解声音的频率特性。
幅相频率
特性曲线主要用于语音信号的处理，如语音增强、语音合成等应用。
幅相频率特性曲线是一个重要的工具，可以帮助人们了解声音的频率特性。
声音的频率特
性随频率的变化而变化，幅相频率特性曲线可以帮助人们更好地了解声音的频率特性。
通过幅相频率特性曲线，人们可以了解声音的振幅和相位随频率的变化情况，从而了解声音的频率特性。
幅相频率特性曲线主要用于语音信号的处理，如语音增强、语音合成等应用。
典型环节幅相频率特性(Nyquist图)
图 5-10 惯性环节的极点分布和幅相特性曲线
式(5-27)表明：惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上 1／2 处，半径为
1/2。从式(5-25)还可看出， X 为正值时， Y 只能取负值，这意味着曲线限于实轴的下方，
只是半个圆。
例 5-2 已知某环节的幅相特性曲线如图 5-11 所示。当输入频率ω = 1 的正弦信号时，
求式(5-35)中 A(ω) 的极大值相当于求
⎡ ⎢1 ⎣
−
ω2 ωn2
⎤ ⎥ ⎦
2
+
4ξ 2
ω2 ωn 2
的极小值，令
d dω
⎧⎪⎨ ⎡⎢1 − ⎪⎩⎣
ω2 ωn2
⎤2 ⎥ ⎦
+
4ξ
2
ω2 ωn2
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=
0
推导可得
ωr = ωn 1 − 2ξ 2
( 0 < ξ < 0.707 )
（5-36）
化规律，可以确定幅相特性曲线的变化趋势。如图 5-12（a）、（b）所示。 可见，与稳定惯性环节的幅相特性相比，不稳定惯性环节的幅值不变，但相角不同，相
角变化的绝对值比相应的稳定惯性环节要大，故称其为“非最小相角环节”。
5．一阶复合微分环节 一阶复合微分环节的传递函数为
G(s) = Ts + 1
其频率特性为
频率特性为
G( jω) = e− jτω
⎧A(ω) = 1 ⎩⎨ϕ(ω) = −τω
（5-47）
其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆，如图 5-20 所示，ω 值越大，其相角滞后量越大。
5.2.2 开环系统幅相特性曲线的绘制
设开环传递函数 G(s) 由 l 个典型环节串联组成，系统频率特性为
4-2频率特性图形表示
[G]
1
ω =∞
Re
ω =0
轴的交点处 交点处的频率。 交点处 将 ωr 代入 G( jω) 得 到谐振峰值 Mr 为
Mr = G( jωr ) = 1 2ξ 1−ξ 2 (0 < ξ <
图
ωn
ωn
Mr
ωr
振荡环节的频率响应
将 ωr 代入 ∠G( jω) 得到谐振相移φr为
φr = ∠G( jωr ) = −arctg
m−2 h h
( jω ) ∏
v i =1
n −2l −v
Ti 2 ( jω )2 + 2ζ iTi ( jω ) + 1 ( jωTi + 1) ∏ i =1
l
（一） 放大环节（比例环节） 放大环节的传递函数为 G(s) = K 其对应的频率特性是 G( jω) = K 其幅频特性和相频特性分别为
）
当 ω = 0 时， G( jω) =1 ， ∠G( jω) = 00 当 ω = 1 时，G( jω) = 1 ， G( j∞) = −900 ∠ 2ξ T 当 ω = ∞ 时， ( j∞) = 0 ， ∠G( j∞) = −1800 G 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，不 同阻尼比的频率特性曲线如图所示。 当阻尼比较小时，会产生谐振 谐振，谐振峰值 Mr (Mr > 1)和谐振 谐振 频率 ωr 由幅频特性的极值方程解出，谐振时幅值大于1 大于1 大于
幅频特性和相频特性分别是
G( jω) =
1 1+T 2ω2
∠G( jω) = −arctgTω
当 ω = 0 时， G( j0) =1 ∠G( j0) = 00 当ω = 当 ω = ∞ 时， G( j∞)
信号幅频相频特性的画法(频率响应法)
1、频率响应法•基本思想是把系统中的信号分解为多种不同频率的正弦信号，这些信号经过控制系统时，会以一定的规律产生幅值和相位的变化，通过分析这些变化规律就能得出关于系统运动的性能指标。
•由于幅值和相位的变化称频率特性函数可以绘制在图形上，因此该方法非常直观。
另外，可以用实验法建立系统的模型，也可以据开环频率特性分析闭环系统的特性。
该方法具有很高的工程价值，深受工程技术人员欢迎。
6 频率响应分析法22、频率特性的图示方法•为了直观地分析系统的特性，通常把幅频和相频特性以图形的形式表示出来：1.幅相频率特性（奈氏图）2.对数频率特性（Bode图）3.对数幅相特性（尼氏图）6 频率响应分析法52.1 幅相频率特性图•极坐标图：奈奎斯特(Nyquist)图，幅相特性图，当频率连续变化时，频率特性函数在复平面的运动轨迹。
G(jω)=x(ω)+ j y(ω)ω：0→+∞6 频率响应分析法62.2 对数频率特性（Bode图）•对数坐标图：伯德(Bode)图，由两辐图组成。
对数幅频特性图+对数相频特性图，横坐标为频率的(以10为底数)对数，单位是10倍频程(dec)。
–对数幅频图的纵坐标为幅频的对数，单位为分贝(dB)–对数相频图的纵坐标为相频值，单位为弧度6 频率响应分析法86 频率响应分析法10伯德(Bode)图的优点•对数坐标图有如下优点：–把乘、除的运算变成加、减运算。
串联环节的Bode 图为单个环节的Bode图迭加。
–K 的变化对应于对数幅频曲线上下移动，而相频曲线不变。
–一张图上可以同时画出低、中、高频的特性。
•因此在工程上得到了广泛的应用6 频率响应分析法112.3 对数幅相特性(尼氏图)对数幅相图•尼科尔斯(Nichols)图，以对数幅频特性为纵坐标（分贝），相频特性为横坐标，频率ω为参变量。
6 频率响应分析法126 频率响应分析法146 频率响应分析法203.7 用Matlab绘制频域特性图•sys = tf(num,den);•伯德图–bode(sys); [mag,phase,w] = bode(sys);•奈奎斯特图–nyquist(sys); [re,im,w] = nyquist(sys);•尼科斯图–nichols(sys); [mag,phase,w] = nichols(sys);6 频率响应分析法23对数频域特性图与频域性能指标分贝对应的频率：截止频率-3分贝对应的频率：带宽6 频率响应分析法5. 开环传递函数的频率特性5.1 开环对数频率特性的绘制①以典型环节的频率特性为依据进行迭加；②首先考虑积分环节和比例环节；③充分利用环节的特征点。
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对于Ⅰ型系统，当w → 0时，幅相特性曲线
有一条平行于虚轴的渐进线，该直线与实轴
的交点坐标u ，可以用下式确定。
ua
=
u0
=
lim
w→0
Re
⎡⎣G
(
jw)⎤⎦
例 1： G (s) = K ⎡⎣S (TS +1)⎤⎦
G(
jw)
=
(
K
jw) (1 +
jTw)
( ) =
−
1
KT + T 2w2
−
j
w
K 1+ T 2w2
出幅角超前输入幅角（导前）。
6、二阶振荡环节
G(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
wn——无阻尼自然频率 ξ ——阻尼比
G
(
jw)
=
(
jw)2
+
wn 2
2ξ wn (
jw)
+
wn 2
=
1
⎛⎜1 − ⎝
w2 wn 2
⎞ ⎟
+
⎠
j
2ξ w
wn
⎡ = ⎢1
⎢ ⎣
⎛ ⎜1
−
⎝
w2 wn2
⎞2 ⎟ ⎠
（3）曲线的中间形状取决于分子的一阶、
二阶微分环节的个数及G ( jw)中各因子的系
数。 一般标准传递函数的典型幅相特性曲线
如下图。
而对于非标准的传递函数则只能按照基 本定义进行分析。
例 1：绘制G (s) = K 的幅相特性曲线。
TS −1
G( jw) =
K =− K jTw −1 1+ T 2w2
+ a1s + a0 + b1s + b0
式中
Tai > 0
Tbi > 0
λ ——系统的型号
λ = 0， 对应 0 型系统。
λ = 1， 对应Ⅰ型系统。
λ = 2， 对应Ⅱ型系统。
K ——系统的增益，K > 0；
( ( )()( ) ) G
(
jw)
=
(
K 1+ jTan w
jw)λ 1+ jTbn
+
8ξ
2
⎠
w wn 2
⎤ ⎥ ⎦ w=wr
=0
得：wr = wn 1− 2ξ 2
（谐振频率）
( ) Amax = M r = 1 2ξ 1− ξ 2 （谐振峰值）
可见只有1− 2ξ 2 > 0，即ξ < 0.707才存在
极限值。wr，Amax 对应于极坐标图上距原点最 远点的w， A。
7、延时环节
+
v2
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞2 ⎟⎠
又：w从0 → ∞时,u ≥ 0,v ≤ 0。
所以：该环节幅相特性曲线为以⎛⎜⎝
1 2
，0 ⎞⎟⎠
为圆
心，半径为1 / 2的位于第四象限的半圆。
5、一阶微分环节（导前
环节）
G(s) = TS +1 G ( jw) = 1+ jTw ∠G ( jw) = arctgTw 当w从0 → ∞时,∠G ( jw)从0 → 90 ，输
曲线− 1
与惯性环节幅相特性曲线
TS + 1 s= jw
1
关于原点对称，可以理解为向右平
TS + 1 s= jw
移一个单位。（如上右图）
2、描点法（最基本、最简单的方法。）
给出不同的w值，求得对应的u (w)、v(w) 或 A(w)、Φ(w)值，描在复平面上，连接这些
点，即得到幅相特性曲线。
通常为了大致分析曲线的变化趋势和分
ϕ (w) = −90 。即特性曲线与负虚轴交点所对
应的频率为系统的自由振荡频率 wn 。
此外： A(w) =
1
⎛⎜1 − ⎝
w2 wn 2
⎞2 ⎟ ⎠
+
4ξ
2
⎛ ⎜ ⎝
w wn
⎞2 ⎟ ⎠
幅频特性曲线如下图，求其极值，有
⎡⎛ ⎢2⎜1
−
⎣⎝
w2 wn 2
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
−2
w wn 2
⎞ ⎟
所以：ua
=
u0
=
lim
w→0
⎛ ⎜⎝
− KT 1+ T 2w2
⎞ ⎟⎠
=
−KT
幅相特性曲线和渐进线如下图。
（2）w → ∞时；
⎧0
A(w)
=
G(
jw)
w→∞
=
⎪⎨常数 ⎩⎪∞
m > n⎫ m = n⎪⎬ m < n⎭⎪
一般可控系统的m > n，所以通常可控系
统的 A(w) = 0。 幅角：Φ(∞) = −(m − n) ⋅90
第二节 幅相特性曲线（乃奎斯特曲线）
若系统的传递函数为：
G(s)
=
A(s) B(s)
=
an s n bm s m
+ an−1sn−1 + + bm−1sm−1 +
+ a1s + a0 + b1s + b0
式中m ≥ n，a和b均为实常数。
这时总可以将其分解为一系列的典型因
子相乘。即系统可分解为一些环节串联而成。
1 + jTan−1 w w 1 + jTbn−1 w
上述标准形式传递函数，其幅相特性曲
线具有以下规律；
（1）w = 0时；
G
(
jw)
=
(
K
jw)λ
G(
jw)
=
K wλ
∠G ( jw) = −λ ⋅90
λ 系统类型 起点幅值 起点幅角
00
K
0
1Ⅰ
∞
−90
2Ⅱ
∞ −180
曲线的起点可见完全是由K 和λ 决定。
G ( s) = e−τs
G ( jw) = e− jτw 可见； G ( jw) = 1
∠G ( jw) = −τ w
其幅相特性曲线为单位圆。
二、一般传递函数的幅相特性曲线 对于一般的传递函数，其幅相特性曲线
的绘制方法有解析法和描点法。 1、解析法
若G ( jw) = u (w) + jv(w)，设法消去u (w)， v(w)中的参变量w，就可以得出u (w)，v(w)的
这些环节主要有以下几种典型因子形式：
K
，S
，1 S
，TS
+
1， 1 TS +
， 1S
2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
，
⎛ ⎜ ⎝
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
⎞⎟−1，e−τ s ⎠
一、典型环节幅相特性曲线
1、比例环节（K ）
G(s) = K
G ( jw) = K w从0 → ∞时，G ( jw) = K （K 为常数）
−
KTw j 1+ T 2w2
当w → 0时；
G ( jw) = −K
∠G ( jw) = −180
当w → ∞时；
G( jw) = 0
∠G ( jw) = −90
注意：对于难以直接求得起始点和终点
的幅角时，往往把G ( jw)写为u (w) + jv(w)的
形式进行判断，这样不易出错。
析曲线在起点（w = 0）和终点（w → ∞）附
近的形状，需要对频率传递函数进行一般规
律的讨论。
设系统的传递函数为
( ) G
s
=
an s n bm s m
+ +
an−1sn−1 + bm−1sm−1 +
( )( ) = K Tan s +1 Tan−1s +1 ( )( ) sλ Tbn s +1 Tbn−1s +1
2、积分环节
G(s) = 1
S
G ( jw) = 1 = 1 e− j90
jw w w从0 → ∞时，乃氏曲线为负虚轴。 3、微分环节
G(s) = S G ( jw) = jw = we j90
w从0 → ∞时，乃氏曲线 为正虚轴。
4、惯性环节
G(s) = 1
TS +1
G ( jw) = 1
1+ jTw
+
4ξ
2
⎛ ⎜ ⎝
w wn
⎞2 ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
−
⋅e
jarc
⎛ ⎜⎜⎝1−
w2 wn2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
当w从0 → ∞时, 该环节幅值和幅角如下
表所示，其幅相特性曲线如下图所示。
w 0 wn
∞
A(w) 1 1 (2ξ ) 0
Φ(w) 0° -90° -180°
可见不论ξ 值如何，当 w = wn 时，均有
( ) u = u2 v2 1+ u2 v2
= u2 u2 + v2
⇒ u2 − u + v2 = 0
⇒
⎛ ⎜⎝
u
−
1 2
⎞2 ⎟⎠
+
v2
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞2 ⎟⎠
当w从0 → ∞时,u ≥ 0,v ≥ 0。
所以幅相特性曲线为：
或者，由G (s) = TS = − 1 +1，而