第八节几个重要的特殊数列

第九节 几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。

在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。

年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。

其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n n n B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。

（这个问题的证明我们将在下节课给出） 因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为： 251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nn n B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。

斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。

为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前n 项和12-=+n n F S ；（2）n n n n F F F )1(221-=⋅-++； （3）n n n F F F 6341<<+（3≥n ）；（4）111-++++=n m n m n m F F F F F （1,,*>∈n N n m ）；（5）21212-+-=n n n F F F （1,*>∈n N n ）； 2．分群数列将给定的一个数列{n a }： ,,,,,,654321a a a a a a 按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。

如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将32,a a 作为第二组，将654,,a a a 作为第三组，……依次类推，第n 组有n 个元素，即可得到以组为单位的序列：（1a ），（32,a a ），（654,,a a a ），……我们通常称此数列为分群数列。

一般地，数列{n a }的分群数列用如下的形式表示：（p a a a ,,,21 ），（r p p a a a ,,,21 ++），（s r r a a a ,,,21 ++），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第n 个括号称为第n 群，而数列{n a }称为这个分群数列的原数列。

如果某一个元素在分群数列的第m 个群中，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群中的第k 个元素。

值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。

如对数列{n a }分群，还可以得到下面的分群数列：第n 个群中有12-n 个元素的分群数列为：（1a ），（432,,a a a ），（98765,,,,a a a a a ）…； 第n 个群中有n2个元素的分群数列为：（21,a a ），（6543,,,a a a a ），（14987,,,,a a a a ）…等等。

3．周期数列对于数列{n a }，如果存在一个常数)(*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列{n a }是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。

若10=n ，则称数列{n a }为纯周期数列，若20≥n ，则称数列{n a }为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质：（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；（3）如果T 是数列{n a }的周期，则对于任意的*N k ∈，kT 也是数列{n a }的周期；（4）如果T 是数列{n a }的最小正周期，M 是数列{n a }的任一周期，则必有T|M ，即M=kT （*N k ∈）；（5）已知数列{n a }满足n t n a a =+（,,*N t n ∈t 为常数），n n T S ,分别为{n a }的前n 项的和与积，若*,,0,N r q t r r qt n ∈<≤+=，则r t n S qS S +=，r q t n T T T ⋅=)(；（6）设数列{n a }是整数数列，m 是某个取定大于1的自然数，若n b 是n a 除以m 后的余数，即)(mod m a b n n ≡，且}1,,2,1,0{-∈m b n ，则称数列}{n b 是{n a }关于m 的模数列，记作)}(mod {m a n 。

若模数列)}(mod {m a n 是周期的，则称{n a }是关于模m 的周期数列。

（7）任一k 阶齐次线性递归数列都是周期数列。

4．阶差数列对于一个给定的数列{n a }，把它的连续两项1+n a 与n a 的差1+n a －n a 记为n b ，得到一个新数列}{n b ，把数列}{n b 称为是原数列{n a }的一阶差数列；如果=n c n n b b -+1，则称数列}{n c 是数列}{n b 的一阶差数列，}{n c 是{n a }的二阶差数列；依次类推，可以得到数列{n a }的p 阶差数列，其中*N p ∈。

如果某一数列的p 阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p 阶等差数列。

其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。

高阶等差数列具有以下性质：（1）如果数列{n a }是p 阶等差数列，则它的一阶等差数列是1-p 阶差数列；（2）数列{n a }是p 阶等差数列的充要条件是：数列{n a }的通项是关于n 的p 次多项式；（3）如果数列{n a }是p 阶等差数列，则其前n 项之和n S 是关于n S 的1+p 次多项式。

高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前n 项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。

解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是∑-=+-+=1111)(n k k k n a aa a ；(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项n a 与前n 项和S n 是确定次数的多项式(关于n 的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是a n 能写成n a =f (n +1)－f (n )(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的设数列{n a }不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。

一般地说，如果某一个数列它的1-p 阶等差数列不是等比数列，而p 阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为p 阶等比数列，其中*N p ∈。

0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。

典例分析例1．数列{}n f 的通项公式为5n n n f ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n ∈+Z ．记1212C +C ++C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．（2005年上海竞赛试题）解：记αβ==则()()()()1000S 11n n i i i i i i n n n i i n n n n i i i i n n i i n n C C C C αβαβαβαβ=====--⎫⎤=-=+-+⎪⎦⎭⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦∑∑ 注意到5531==，可得()1121S 3S S n n n n n n n ++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭=-* 因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n 除以8的余数确定11211122122,3S C f S C f C f ==+=，故由(*)式可以算出{}n S 各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83n S n ⇔故当且仅当38n n S 时，例２．设n a 是下述自然数N 的个数，N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1、3或4，求证：n a 2是完全平方数，这里 ,3,2,1,0=n分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。

方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。

设k x x x N 21=，其中}4,3,2,1{,,,21∈k x x x 且n x x x k =+++ 21。

假设4>n ，删去1x 时，则当1x 依次取1，3，4时，n x x x k =+++ 32分别等于4,3,1---n n n ，故当4>n 时，431---++=n n n n a a a a （1）作数列}{n F ：2,121==F F 且n n n F F F +=++`12， ,3,2,1=n现用数学归纳法证明下述两式成立：22n n F a = （2）112++=n n n F F a （3）因为2,132==a a 故当2,1=n 时（2）（3）两式成立。