第八节几个重要的特殊数列

第九节 几个重要的特殊数列

基础知识

1．斐波那契数列

莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？

这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。 现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n n n B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。 （这个问题的证明我们将在下节课给出） 因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12

+=x x ，其特征根为： 251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为n

n n B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2

251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。 这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数

列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）

（1）斐波那契数列的前n 项和12-=+n n F S ；

（2）n n n n F F F )1(2

21-=⋅-++； （3）n n n F F F 6341<<+（3≥n ）；

（4）111-++++=n m n m n m F F F F F （1,,*>∈n N n m ）；

（5）21212-+-=n n n F F F （1,*>∈n N n ）

； 2．分群数列

将给定的一个数列{n a }： ,,,,,,654321a a a a a a 按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将32,a a 作为第二组，将654,,a a a 作为第三组，……依次类推，第n 组有n 个元素，即可得到以组为单位的序列：（1a ），（32,a a ），（654,,a a a ），……我们通常称此数列为分群数列。 一般地，数列{n a }的分群数列用如下的形式表示：（p a a a ,,,21 ），（r p p a a a ,,,21 ++），（s r r a a a ,,,21 ++），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第n 个括号称为第n 群，而数列{n a }称为这个分群数列的原数列。如果某一个元素在分群数列的第m 个群中，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群中的第k 个元素。

值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列{n a }分群，还可以得到下面的分群数列：

第n 个群中有12-n 个元素的分群数列为：（1a ），（432,,a a a ），（98765,,,,a a a a a ）…； 第n 个群中有n

2个元素的分群数列为：（21,a a ），（6543,,,a a a a ），（14987,,,,a a a a ）…等等。

3．周期数列

对于数列{n a }，如果存在一个常数)(*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列{n a }是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。若10=n ，则称数列{n a }为纯周期数列，若20≥n ，则称数列{n a }为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质：

（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；

（3）如果T 是数列{n a }的周期，则对于任意的*N k ∈，kT 也是数列{n a }的周期；

（4）如果T 是数列{n a }的最小正周期，M 是数列{n a }的任一周期，则必有T|M ，即M=kT （*N k ∈）；

（5）已知数列{n a }满足n t n a a =+（,,*N t n ∈t 为常数），n n T S ,分别为{n a }的前n 项的和与积，若*,,0,N r q t r r qt n ∈<≤+=，则r t n S qS S +=，r q t n T T T ⋅=)(；

（6）设数列{n a }是整数数列，m 是某个取定大于1的自然数，若n b 是n a 除以m 后的余数，即)(mod m a b n n ≡，且}1,,2,1,0{-∈m b n ，则称数列}{n b 是{n a }关于m 的模数列，记作)}(mod {m a n 。若模数列)}(mod {m a n 是周期的，则称{n a }是关于模m 的周期数列。

（7）任一k 阶齐次线性递归数列都是周期数列。

4．阶差数列

对于一个给定的数列{n a }，把它的连续两项1+n a 与n a 的差1+n a －n a 记为n b ，得到一个新数列}{n b ，把数列}{n b 称为是原数列{n a }的一阶差数列；如果=n c n n b b -+1，则称数列}{n c 是数列}{n b 的一阶差数列，}{n c 是{n a }的二阶差数列；

依次类推，可以得到数列{n a }的p 阶差数列，其中*N p ∈。

如果某一数列的p 阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p 阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。 高阶等差数列具有以下性质：

（1）如果数列{n a }是p 阶等差数列，则它的一阶等差数列是1-p 阶差数列；

（2）数列{n a }是p 阶等差数列的充要条件是：数列{n a }的通项是关于n 的p 次多项式；

（3）如果数列{n a }是p 阶等差数列，则其前n 项之和n S 是关于n S 的1+p 次多项式。

高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前n 项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。解决问题的基本方法有：

(1)逐差法：其出发点是∑-=+-+=1111)(n k k k n a a

a a ；

(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项n a 与前n 项和S n 是确定次数的多项式(关于n 的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得