幻方最优填法

如何填幻方

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

1、奇数阶幻方

n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：

把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：

(1)每一个数放在前一个数的右上一格；

(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方

n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k²个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

1 63 6

2 4 5 59 58 8

56 10 11 53 52 14 15 49

48 18 19 45 44 22 23 41

25 39 38 28 29 35 34 32

33 31 30 36 37 27 26 40

24 42 43 21 20 46 47 17

16 50 51 13 12 54 55 9

57 7 6 60 61 3 2 64