高考数学分布列专题及复习资料
高考数学复习考点题型专题讲解48 随机变量及其分布
高考数学复习考点题型专题讲解专题48 随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.答案16 35 127解析由题意知P(ξ＝2)＝C12C24＋C22C14C37＝1635.ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝C26C37＝1535＝37，P(ξ＝3)＝C23C37＝335，P(ξ＝4)＝1C37＝135，所以ξ的分布列为E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.2.(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)解(1)甲在以往的10次比赛成绩中，有4次比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)，故由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.(2)设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.5.X的可能取值为0，1，2，3，故P(X＝0)＝P(A－1A－2A－3)＝0.6×0.5×0.5＝320，P(X＝1)＝P(A1A－2A－3)＋P(A－1A2A－3)＋P(A－1A－2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝820＝25，P(X＝2)＝P(A1A2A－3)＋P(A1A－2A3)＋P(A－1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝7 20，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝220＝110.∴X的分布列为∴E(X)＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为1 4，甲获得9.80的概率为1 10，乙获得9.78的概率为1 6 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑n i ＝1[x i－E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ). 例1 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则( ) A.m ＝0.1 B.n ＝0.1 C.E (Y )＝－8 D.D (Y )＝－7.8(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E (ξ)＝D (ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )A.a ＝13B.a ＝23C.k ＝12D.k ＝32答案 (1)BC (2)D解析 (1)由E (X )＝1×m ＋2×0.1＋3×0.2＋4×n ＋5×0.3＝3，得m ＋4n ＝0.7， 又由m ＋0.1＋0.2＋n ＋0.3＝1， 得m ＋n ＝0.4，从而得m ＝0.3，n ＝0.1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6， 所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23.4，故D 选项错误. (2)由题意得E (ξ)＝ka ＋(k －1)(1－a )＝k －1＋a ，D (ξ)＝[k －(k －1＋a )]2·a ＋[k －1－(k －1＋a )]2·(1－a )＝a (1－a ). 因为E (ξ)＝D (ξ)， 所以k －1＋a ＝a (1－a )， 所以k ＝1－a 2，又⎩⎨⎧a ≥0，1－a ≥0，所以0≤a ≤1， 所以k ＝1－a 2∈[0，1]，故k ＝32不成立.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1 (1)(2022·温州模拟)已知随机变量X ，Y 的分布列如下：则( )A.D(X)＝3D(Y)B.D(Y)＝3D(X)C.D(X)＝9D(Y)D.D(Y)＝9D(X)(2)(2022·长沙模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：则下列方差值中最大的是( )A.D(ξ)B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1)D.D(2|ξ|＋1)答案(1)D (2)C解析(1)从表中可知Y＝3X－1，∴D(Y)＝D(3X－1)，∴D(Y)＝9D(X)，故选D.(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝1 6，E(ξ)＝－1×16＋0×13＋2×12＝56，E(|ξ|)＝1×16＋0×13＋2×12＝76，D(ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－562＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－562＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－562＝5336，D(|ξ|)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫1－762＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－762＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－762＝2936.D(ξ)>1>D(|ξ|)，D(2ξ－1)＝4×5336＝539，D(2|ξ|＋1)＝4×2936＝299.所以D(2ξ－1)最大.热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，E(X)＝n·M N .考向1 二项分布例2 (2022·南昌模拟)接种新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率.某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种.假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.(1)求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)记四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的事件为M ， 则P (M )＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，所以四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率为3281. (2)由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝k )＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0，1，2，3，4)，故随机变量X 的分布列：故E (X )＝4×13＝43.考向2 超几何分布例3(2022·烟台模拟)2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240)的人数为X，求X的分布列和数学期望.解(1)由题意，40×(0.000 5＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.006 5)＝1，解得a＝0.004. 由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×(0.000 5＋0.002＋0.004＋0.006＋0.006 5)＝0.76.观看时长在240分钟以下占比为0.76＋40×0.004＝0.92.所以85%分位数位于[200，240)内，85%分位数为200＋40×0.85－0.760.92－0.76＝222.5.(2)由题意，观看时长[200，240)、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.于是抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3.所以，P(X＝1)＝C14·C22C36＝15，P(X＝2)＝C24·C12C36＝35，P(X＝3)＝C34C36＝15.X的分布列为所以，E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.训练2(2022·茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16.(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望. 解 (1)由题意知，甲得0分的概率为1－13－25－15＝115，乙得0分的概率为1－14－12－16＝112，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为 13×14＋25×12＋15×16＋115×112＝2990. (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P (X ＝0)＝115×112＝1180，P (X ＝1)＝115×16＋15×112＝136，P (X ＝2)＝115×12＋15×16＋25×112＝110，P (X ＝3)＝115×14＋15×12＋25×16＋13×112＝1990，P (X ＝4)＝15×14＋25×12＋13×16＝1136， P (X ＝5)＝25×14＋13×12＝415，P(X＝6)＝13×14＝112，所以，随机变量X的分布列为所以E(X)＝0×1180＋1×136＋2×110＋3×1990＋4×1136＋5×415＋6×112＝4712.热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例4 (1)(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X＜2)＜1 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·沈阳模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16).P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则下面结论正确的是( )A.σ＝4B.P(496≤X≤504)＝0.954 5C.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋D.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的一定不多于14袋答案(1)B (2)AC解析(1)当μ＝1时，根据正态曲线的对称性可知P(X＜2)＞1 2，故μ≥1不是P(X＜2)＜12的充分条件；反之，若P(X＜2)＜1 2，由对称性可知μ≥1，故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要条件；故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要不充分条件.故选B.(2)对于A，∵袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16)，∴σ＝4，故A正确；对于B，P(496≤X≤504)＝P(500－4≤X≤500＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，故B错误；对于C，∵P(500≤X≤504)＝12P(496≤X≤504)＝12×0.682 7＝0.341 35，P(492≤X≤500)＝12P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝12×0.954 5＝0.477 25，∴P(492≤X≤504)＝P(492≤X≤500)＋P(500≤X≤504)＝0.818 6，10 000×0.818 6＝8 186，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋，故C正确；对于D，P(X≤488)＝12[1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)]＝12(1－0.997 3)＝0.001 35，10 000×0.001 35＝13.5，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的约为13.5袋，但抽取时有可能多于14袋，故D错误.故选AC.规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).训练3 (1)设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0≤ξ≤1)等于( )(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)A.0.158 7B.0.135 9C.0.271 8D.0.341 3(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案(1)B (2)0.14解析(1)∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，即一元二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，∴Δ＝4＋4ξ＜0，即ξ＜－1，又f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，∴P (ξ＜－1)＝0.5，由正态曲线的对称性知μ＝－1， ∴ξ～N (－1，1)，∴μ＝－1，σ＝1，∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1， ∴P (－2≤ξ≤0)≈0.682 7，P (－3≤ξ≤1)≈0.954 5，∴P (0≤ξ≤1)＝12[P (－3≤ξ≤1)－P (－2≤ξ≤0)]≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9.(2)因为X ～N (2，σ2)， 所以P (X >2)＝0.5，所以P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.一、基本技能练1.(2022·金华模拟)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则数学期望E (ξ)为( ) A.45B.910 C.1 D.65答案 D解析 ξ可取0，1，2， P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 12C 13C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，∴E(ξ)＝0×110＋1×610＋2×310＝65，故选D.2.(2022·海南模拟)已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X＜0)·P(X＞6)＝0.04，则P(0＜X＜3)＝( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1答案 B解析因为随机变量X～N(3，σ2)，所以曲线关于x＝3对称，且令P(X＜0)＝P(X＞6)＝t，∴t2＝0.04，∴t＝0.2，即P(X＜0)＝P(X＞6)＝0.2，∴P(0＜X＜3)＝0.5－P(X＜0)＝0.3，故选B.3.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝59，则D(Y)等于( )A.4B.5C.6D.7 答案 A解析由题意可得，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝5 9，解得p＝1 3，则D(X)＝np(1－p)＝2×13×23＝49，D (Y )＝32D (X )＝4.故选A.4.(2022·武汉模拟)已知随机变量X ～N (1，σ2)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式中常数项为( ) A.－240 B.－60 C.240 D.60 答案 D解析 根据正态分布曲线关于直线x ＝1对称，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，可得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，通项为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x6－3r 2，若此项为常数项，则6－3r ＝0，解得r ＝2， 所以常数项为(－2)2C 26＝60，故选D.5.(2022·广州二模)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N (10，σ2)，根据检测结果可知P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米2 000袋，则大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B解析 因为大米质量ξ～N (10，σ2)，且P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98， 则P (ξ＞10.02)＝1－P （9.98≤ξ≤10.02）2＝0.01，所以大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为2 000×0.01＝20.故选B.6.(多选)若随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，E (X )，D (X )分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A.P (X ＝1)＝23B.E (3X ＋2)＝4C.D (3X ＋2)＝2D.D (X )＝49答案 ABC解析 ∵随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，∴P (X ＝1)＝23，E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29，在A 中，P (X ＝1)＝23，故A 正确；在B 中，E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝3×23＋2＝4，故B 正确；在C 中，D (3X ＋2)＝9D (X )＝9×29＝2，故C 正确；在D 中，D (X )＝29，故D 错误.7.已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，P (ξ≤6)＝0.84，则P (ξ≤0)＝________. 答案 0.16解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)， 所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16.8.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为________；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件A，则P(A)＝________.答案12 7 6 7解析由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝C33C37＝135，P(X＝1)＝C14C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34C37＝435，∴E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝1235＋1835＝67.9.(2022·宁波二模)一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球(m∈N*)，从中任取3个球.记取出的白球个数为ξ，若P(ξ＝1)＝15，则m＝________，E(ξ)＝________. 答案 2 2解析根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为P(ξ＝1)＝C12mC2mC33m＝15，解得m＝2.所以袋中有2个红球，4个白球，则取出的三个球中白球个数ξ的可能取值为1，2，3，所以P(ξ＝1)＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C36＝15，∴E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.10.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________.答案0.18解析由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C23×0.62×0.4×0.5×0.5＋C13×0.6×0.42×0.5×0.5＝0.18.11.(2022·唐山模拟)甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？解(1)由题意知：ξ的可能取值为3，4，5.则P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28；P(ξ＝4)＝C13×0.4×0.63＋C13×0.6×0.43＝0.374 4；P(ξ＝5)＝C24×0.42×0.62＝0.345 6. 则ξ的分布列为∵0.374 4＞0.345 6＞0.28，∴进行四局比赛的可能性最大.(2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜，若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为p 1＝0.63＋C13×0.4×0.63＋C24×0.42×0.62×0.5＝0.648；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为p 2＝0.62＋C12×0.4×0.6×0.5＝0.6；∵p1＞p2，∴作为甲队领队，希望采用五局三胜制.12.(2022·济宁模拟)血液检测是诊断是否患疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0＜p＜1).现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若p ＝13，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围. 解 (1)由题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝1681；P (X ＝1)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝3281；P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝2481＝827；P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝881；P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为(2)方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4.方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6. 每组两个样本化验呈阴性的概率为(1－p )2，设x ＝(1－p )2. 则P (Y ＝2)＝x 2；P (Y ＝4)＝C 12x (1－x )； P (Y ＝6)＝(1－x )2.所以E (Y )＝2×x 2＋4×C 12x (1－x )＋6×(1－x )2＝6－4x .若方案二比方案一更“优”，则E (Y )＝6－4x ＜4，解得x ＞12，即x ＝(1－p )2＞12，解得0＜p ＜1－22.所以当0＜p ＜1－22时，方案二比方案一更“优”. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏州模拟)已知随机变量X 服从二项分布B (4，p )，其数学期望E (X )＝2，随机变量Y 服从正态分布N (p ，4)，且P (X ＝3)＋P (Y ＜a )＝1，则( ) A.p ＝14B.p ＝12C.P (Y ＞1－a )＝14D.P (Y ＞1－a )＝34答案 BD解析 由题意知E (X )＝np ＝4p ＝2，即p ＝12，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－3＝14，∴P (Y ＜a )＝34，由于Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，对称轴x ＝12，所以P (Y ＞1－a )＝P (Y ＜a )＝34.故选BD.14.(多选)(2022·南京模拟)下列命题中，正确的命题的选项为( ) A.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ≤0)＝12－pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 答案 BCD解析 对于A ，⎩⎨⎧E （X ）＝np ＝30，D （X ）＝np （1－p ）＝20，解得⎩⎨⎧p ＝13，n ＝90，A 错误； 对于B ，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B 正确；对于C ，ξ服从正态分布N (0，1)，P (－1＜ξ≤0)＝P (0≤ξ＜1)＝12－P (ξ＞1)＝12－p ，C 正确；对于D ，X ～B (10，0.8)，则P (X ＝k )＝C k 100.8k ×0.210－k， 由⎩⎨⎧C k 100.8k ×0.210－k ≥C k －1100.8k －1×0.211－k，C k 100.8k ×0.210－k ≥C k ＋1100.8k ＋1×0.29－k，解得395≤k≤445，因为k∈N*，所以k＝8.D正确.15.(多选)(2022·福州模拟)在某独立重复试验中，事件A，B相互独立，且在一次试验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，其中p∈(0，1).若进行n次试验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是( )A.E(X)＝E(Y)B.D(X)＝D(Y)C.E(Z)＝D(X)D.n·D(Z)＝D(X)·D(Y)答案BC解析因为E(X)＝np，E(Y)＝n(1－p)，即A错误；因为D(X)＝np(1－p)，D(Y)＝n(1－p)p，即B正确；因为A，B相互独立，所以P(AB)＝p(1－p)，所以E(Z)＝np(1－p)＝D(X)，即C正确；因为nD(Z)＝n2p(1－p)[1－p(1－p)]，D(X)D(Y)＝n2p2(1－p)2，即D错误.故选BC.16.(2022·徐州模拟)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n，p)，记p k＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究p k的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，p k＝p k－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分时，则p k是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为________的概率最大.答案 18解析 继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫80，16，由k ＝(n ＋1)p ＝81×16＝272＝13.5，结合题中的结论可知，当k ＝13时，概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次， 所以出现18次的概率最大.17.(2022·日照模拟)春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20～10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20～9：40记作区间[20，40)，9：40～10：00记作[40，60)，10：00～10：20记作[60，80)，10：20～10：40记作[80，100]，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X 为9：20～10：00之间通过的车辆数，求X 的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据：若T～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)＝0.997 3.解(1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.(2)结合频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.所以P(X＝0)＝C46C410＝114，P(X＝1)＝C14C36C410＝821，P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C410＝435，P(X＝4)＝C44C410＝1210.所以X的分布列为所以E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.(3)由(1)得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100)通过的车辆数，由T～N(64，182)，得P(64－18≤T≤64＋2×18)＝P（μ－σ≤T≤μ＋σ）2＋P（μ－2σ≤T≤μ＋2σ）2＝0.818 6，所以估计在9：46～10：40之间通过的车辆数为1 000×0.818 6≈819(辆).。
离散型随机变量及其分布列、数字特征-高考数学复习
0.8 .
解析：由结论2易得 E （ X ）＝0.8.
目录
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
分布列的性质
【例1】 （1）（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列
如下表所示，则下列各式正确的是（
ξ
－1
0
）
1
2
3
P
D. P （ξ＜0.5）＝0
目录
1
1
1
3
3
3
3
3
2
1
1
＋ d ≤ ，所以－ ≤ d ≤ .
3
3
3
目录
解题技法
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围
内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【例2】 （多选）设离散型随机变量 X 的分布列为
X
P
0
q
1
0.4
2
0.1
3
0.2
4
0.2
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有（
）
A. q ＝0.1
B. E （ X ）＝2， D （ X ）＝1.4
C. E （ X ）＝2， D （ X ）＝1.8
D. E （ Y ）＝5， D （ Y ）＝7.2
（2） E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ， D （ aX ＋ b ）＝ a 2 D
（ X ）；
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解20 超几何分布与二项分布(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解 考点20 超几何分布与二项分布一．分布列1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 二．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X P (X ＝1)称为成功概率． 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．2.特征(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数(2)考察对象分两类(3)已知各类对象的个数(4)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型四．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．五．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P ABP A(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n ABn A.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．考点题型分析考点题型一 离散型随机变量的分布列的性质【例1】(1)(2022·全国高三专题练习)随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =( ) A ．32B ．43C ．54D ．65(2)(2022·浙江高三)已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=( ) A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】(1)A(2)C【解析】(1)由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=.故选：A. (2)由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)随机变量X的分布列如下，()14P X≤＜的值为( )A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】C【解析】随机变量X的分布列知：10.10.20.30.10.3x=----=，()()()()14123P X P P P≤<=++0.20.30.3=++0.8=．故选：C．【方法总结】1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．2.离散型随机变量分布列的求解步骤三．若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.2．(2022·全国高三专题练习)随机变量ξ的分布列如表所示，若1()E X =-，则(31)D X +=( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=，()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=，∴5(31)D X +=.故选：B. 3．(2022·全国高三专题练习)若随机变量X 的分布列为则a 的值为( ) A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】由题意可得，0.231a a ++=，解得0.2a =.故选：B.4．(2022·浙江高三其他模拟)随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时( )A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增【答案】B【解析】因为()122P x ≤=，所以12a b +=，12c =， 所以()232E X a b c b =++=+，所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()E X 递增；所以()()()()2222115122232224D X a b b b b b ⎛⎫=-++-++-+=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，()D X 递减.故选：B.考点题型二 超几何分布【例2】(2022·全国高三)“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.(1)根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.(2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；(3)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.【答案】(1)168.5cm ；(2)710；(3)分布列见解析，98. 【解析】(1)根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，其升高的中位数为：168169168.52+=cm ； (2)由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人， 则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；(3)由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，0353381(3)56C C P C ξ⋅===， 即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 【答案】(1)240人；(2)分布列见解析，2；(3)2212s s .【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.所以随机变量X 的分布列为∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >.2．(2022·全国高三专题练习)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝500mL 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖)：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，设正好抽到的女生为X名，求随机变量X的分布列与期望.参考数据：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，其中n a b c d=+++)【答案】(1)答案见解析；(2)在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；理由见解析；(3)答案见解析.【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，则243015x+=，解得6x=，填表如下：(2)由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；(3)依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有4名，女生有2名，随机变量X的取值分别为0、1、2，∴0224262(0)5C C P X C ⋅===， 1124268(1)15C C P X C ⋅===， 2024261(2)15C C P X C ⋅===， 则随机变量X 的分布列为：因此随机变量X 的期望2812()0121515153E X =⨯+⨯+⨯=. 3．(2022·全国高三)巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是815． (1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？ (2)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为X ，求X 的分布列和均值．附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】(1)填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；(2)分布列见解析；均值为54． 【解析】(1)设“通过电视收看世界杯”的女生为x 人，则1083015x +=，解得6x =，由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关； (2)X 可能取值为0、1、2，则：262161(0)8C P X C ===，116102161(1)2C C P X C ===， 2102163(2)8C P X C ===，∴X 的分布列为：X 的均值为：1135()0128284E X =⨯+⨯+⨯=．考点题型三 条件概率【例3】(2022·四川省新津中学高三开学考试)长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =( )A ．12B ．34C ．25D ．38【答案】B【解析】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===， 利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B.【举一反三】1．(2022·江苏省溧阳中学高三开学考试)甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =( )A ．89B ．29C ．38D ．34【答案】B【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，()()()3343424|394A P AB P A B P B ===.故选：B(2)(2022·四川眉山市·仁寿一中高三月考)现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =( )A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A【解析】由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===， 则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A 3．(2022·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三开学考试)2022年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P (A |B )＝( ) A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A【解析】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=，∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ． 4．(2022·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试)一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是( ) A ．12B ．310C ．35D ．25【答案】A【解析】第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，所以第二次取出的是白球的概率是2142=.故选：A.考点题型四 二项分布【例4】(2022·全国高三专题练习)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．【答案】(1)甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；(2)分布列见解析，38. 【解析】(1)1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=. 【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人.(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列. 【答案】(1)2552；(2)分布列答案见解析. 【解析】(1)平均车速不超过100km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ⋅，所以所求的概率()1115252402552C C P A C ==. (2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的概率为4021005=，故2(3,)5X B .所以()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以X 的分布列为2．(2022·全国高三专题练习)某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)1728；(2)分布列见解析，()34E X =.【解析】(1)16人中满意的有4人，不满意的有12人，设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，则抽出的3人都不满意的概率为()31203161128C P A C ==，所以()()01117112828P A P A =-=-=， (2)X 的所有可能取值为0,1,2,316人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164=， 所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()213132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()22313924464P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113464P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为所以()1236464644E X =⨯+⨯+⨯=.3．(2022·凯里市第三中学高三月考)北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率(假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)． (1)若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率； (2)设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数X ，求X 的分布列与数学期望． 【答案】(1)18125；(2)分布列见解析，6()5E X =．【解析】(1)由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为()P A 、()P B 、(C)P ，则易知2()5P A =，2()5P B =，1()5P C =， 所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为1222133()()()()P C P A P C C P A P C =⋅+⋅1222332121()()5555C C =+61218125125125=+=； (2)由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为2()5P B =， 选择非科技体验游学校的概率为2213()()555P P A P C =+=+=，所以X 的所有可能值有：0，1，2，3， 则03033232327(0)()()()55125P X C P B P C ====，1121123232354(1)()()()55125P X C P B P C ====，2212213232336(2)()()()55125P X C P B P C ====，330330323238(3)()()()55125P X C P B P C ====，所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为86()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．。
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
高考数学分布列专题及答案
分布列1．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。
（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．．（本小题满分14分）分布列参考答案1．(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。
高考数学总复习考点知识专题讲解11 离散型随机变量及其分布列
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。
2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
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考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
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6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
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P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
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感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
高考数学一轮复习专题02 超几何分布(原卷版)
概率与统计专题二： 超几何分布一、知识储备一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回），用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为2,r其中n ，N ，M N *∈，M N ≤，n N ≤，max{0,}m n N M =-+，min{,}r n M =，则称随机变量X 服从超几何分布．1.公式 C C ()C kn k M N M nNP X k 中个字母的含义 N —总体中的个体总数M —总体中的特殊个体总数(如次品总数)n —样本容量k —样本中的特殊个体数(如次品数)注意：(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2) 不放回抽样；(3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围。
二、例题讲解1．（2022·贵州省思南中学高三月考（理））某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设X 表示所抽取的3名同学的得分在[)70,80的人数，求X的分布列及数学期望.2．（2022·合肥市第六中学高三开学考试（理））近日，国家卫健委公布了2021年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2021年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．（1）用X表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（2）设A为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件A发生的概率．三、实战练习1．（2022·安徽高三开学考试（理））为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段.为了考察这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只动物，设其中未服用药的动物为ξ只，求ξ的分布与列与期望.2．（2022·湖南益阳市箴言中学高三其他模拟）2022年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：9:46，记作时刻46.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=.3．（2022·浑源县第七中学校（理））由商务部和北京市人民政府共同举办的2021年中国国际服务贸易交易会(简称服贸会)于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调査学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为3：2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题.（1）完成2×2列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及均值.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++.)2k0.152.0724．（2022·全国高三二模）某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对40名七年级学生进行了问卷调查，得到数据如表所示(平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过60kg为肥胖.单位：人)（1）将22⨯列联表补充完整，并回答能否有95%的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关？（2）已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的8名同学中，有5名男同学，3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中选5人进行家访，求被选中的男生人数X的分布列和期望．参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.5．（2022·赤峰二中高三其他模拟（理））学期结束时，学校对食堂进行测评，测评方式：从全校学生中随机抽取100人给食堂打分，打分在60以下视为“不满意”､在60~80视为“基本满意”，在80分及以上视为“非常满意”.现将他们给食堂打的分数分组：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]，得到如下频率分布直方图：（1）求这100人中“不满意”的人数并估计食堂得分的中位数；（2）若按满意度采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中对食堂“非常满意”的人数为X.（i）求X的分布列；（ii）若抽取的3人中对食堂“非常满意”的同学将获得食堂赠送的200元现金，其他同学将获得100元现金，请估计这3人将获得的现金总额.6．（2022·陕西西安·高三其他模拟（理））某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分.（1）①求茎叶图中x的值；②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率；（2）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用ξ表示4人中成绩超过235分的人数，求ξ的分布列和期望.7．（2022·全国高三专题练习（理））自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2021年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X，求X的分布列和数学期望．（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．8．（2022·辽宁高三其他模拟）1．2021年11月22日，第29届全国中学生数学奥林匹克决赛举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部在[60，100]之内，将数据按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，如图所示．已知a ，b ，c 成等差数列且0.008a c -=．（1）求频率分布直方图中a ，b ，c 的值；（2）并估计这100名学生成绩的众数；（3）若按照分层抽样从成绩在[70，80)，[80，90)的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记X 为3人中成绩在[80，90)的人数，求X 的分布列和数学期望．9．（2022·全国高三专题练习）某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组[)75,80，第二组[)80,85，，第五组[]95,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图.（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在[)85,90的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 临界值表：10．（2022·全国高三其他模拟）垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：其中()70,80a ∈，()80,90b ∈，=79x 乙，2=19s 乙． （1）求a ，b 的值；（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．11．（2022·全国（理））随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本平均数（精确到元）；（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X 服从正态分布()23000,1000N ，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[)5000,6000范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列.附：若()2~,X N μσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.。
207高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差
2017高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．3．设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．8．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．10．有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．12．随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是．每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=．15．从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．18．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．2017年03月25日茅盾中学09的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24小题）1．（2012•温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15分．【分析】设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，分别求出P（X=﹣15），P（X=0），P（X=15），P（X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣15）==，P（X=0）==，P（X=15）==，P（X=30）==，∴EX=﹣15×+0×+15×+30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15分．故答案为：15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率计算公式的灵活运用．2．（2016春•松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p．【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np，①；Dξ=200=np（1﹣p），②．可得1﹣p==，∴p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013春•渭滨区校级期末）设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．【分析】确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望【解答】解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：=15种，∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（2014•余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则x+y=．【解答】解：由题意可得：2x+y=1，Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（1﹣2x）=2．∴方差Dξ==（1﹣2）2x+（2﹣2）2（1﹣2x）+（3﹣2）2x．化为，解得，∴=．∴=．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（2015春•淮安校级期末）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量ξ=4，6，8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001•江西）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，∴P（ξ=0）==0.1，P（ξ=1）==0.6P（ξ=2）==0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．故答案为：1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（2012•浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0，1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6×6=36 故P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（2013•浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（X=100）==，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50）==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013•西湖区校级模拟）为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ 0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（2011•海珠区一模）随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是．X ﹣1 0 1P a ca和c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（2012•浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ=1.5，则a的值等于0.5．ξ0 1 2 3P 0.1 a b 0.2分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：⇒．故答案为：0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（2011•宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，Eξ==1．故答案为：1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．17．（2015•江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．【分析】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从5个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法．所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件A的概率，即P（A）=．19．（2009•安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（2011•鼓楼区校级模拟）从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5×5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为事件A”：事件A的个数为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（A）=．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（2011•江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从4个数字中各选一个数字，共有4×4种结果，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从4个数字中各选一个数字，共有4×4=16种结果，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1时，b=1，2，当a=2时，b=1，2，3当a=3时，b=2，3，4当a=4时，b=3，4总上可知共有2+3+3+2=10种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012•东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到6m﹣3n=0即n=2m，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，满足条件事件是向量=（m，n）与=（3，6）共线，即6m﹣3n=0，∴n=2m，满足这种条件的有（1，2）（2，4）（3，6），共有3种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（2013•西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有22=4中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（2011•卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答5道题中的3道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从5道备选试题中随机抽出3道题共有：C53==10种情况其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有：C31=3种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。
离散型随机变量的分布列、均值与方差-高考数学复习
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4
4
[解析] 根据均值 E(X)＝ xipi，方差 D(X)＝ [xi－E(X)]2·pi，标准
i＝1
i＝1
差最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表 选项 均值 E(X) 方差 D(X)
A
2.5
0.65
B
2.5
1.85
C
2.5
1.05
D
2.5
1.45
由此可知选项 B 对应样本的标准差最大，故选 B．
3．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_a_E_(_X_)_＋__b___. (2)D(aX＋b)＝_a_2_D_(_X_)___. (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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归纳拓展 1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量． 2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的． 3．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确 定． 4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平 均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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知识点二 离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…， xi，…，xn，称X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的 分布列，可用表格表示为：
X
x1
x2
若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. n
1．均值：称 E(X)＝__x_1_p_1＋__x_2_p_2_＋__…__＋__x_ip_i＋__…__＋__x_n_p_n_＝__i∑＝_1_x_ip_i__为随
高考数学复习考点知识与结论专题讲解61 随机变量分布列、期望与方差
高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。
2023版高考数学一轮总复习11-2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件
例 (2020山东泰安三模)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果),购 入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A水果 没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕 (根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该水 果批发商根据往年的销量,统计了100天内A水果在每天的前8小时的销售 量,制成如下条形统计图.
+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机
变量X服从超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差
1)均值的定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2
3)=P(ξ=-3)= 1 ,P(ξ=1)=P(ξ=-1)= 3,故随机变量|ξ|的分布列为
8
8
|ξ|
1
故E(|ξ|)=1×3 +3× 1= ,3
4
42
D(|ξ|)=1
3 2
2
×
3+
4
3
3 2
2
×
=14
.故3 选B.
4
答案 B
应用 利用均值、方差进行决策 解决均值、方差实际问题的策略 1)把握“1”实质:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差 反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据. 2)运用“2”策略: ①当均值不同时,两个随机变量取值的水平有区别,可直接对问题作出判断. ②若两随机变量的均值相同或相差不大,则可通过方差来研究两随机变 量的离散程度或者稳定程度,进行决策.
专题15分布列、期望与方差-高考数学复习资料.docx
一、选择题1.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量§满足£(1-§) = 4, 2^(1-0=4,则下列说法止确的是A. Ef=-4,Df = 4B. Ef=-3,Df = 3C. Eg =- 4,Df =- 4D.Eg =- 3,DC = 4【答案】D【解析】随机变量F満足-厂=4,巩1 —门=4,则:1_砖=4丄_1円疋=4,据此可得：必=-3,巧=4.本题选择。
选项.2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有尬个红球，“个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，八+ 1个蓝球(m>3,n>3),同时从甲乙两个盒子屮取出迫=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为戸(心").⑴)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为乞(心1忆)则()A. P] > P2'E(§1)V E(§2)B. P I V 卩2疋(§1)> E(§2)C. Pl > 卩2上(§1)> E(§2)D. Pl V 卩2力(§1)V E(§2)【答案】A【解析】根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现mm - l,m + 1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是尬- l,m,m + l,m + 2五种情况，所以分析可以求得內 > 卩2力(§1)< W,故选A.3.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量f的分布列如下:其屮Q, X c成等差数列，贝的最大值为()2 5 2 3A. 3 乩© C. ® D. 4【答案】A【解析】因为b, c成等差数列，・・・2b = e + G・・・ti + b + t? = 1.A b = =扌一亿□ □E^ = ~a+c = ~2a + i则Df的最犬值为扌・本题选择卫选项.4.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量f满足巩1-§) = 4, D(l-()=4,则下列说法正确的是A. Ef=-4,D£ = 4B. Ef=-3,Df = 3C.図=-4,D£ =- 4D. Ef =- 3,Df = 4【答案】D【解析】随机变量§满足-0 = 4, D(l-0 =4f则：1-Ff = 4,(-l)2Df = 4,据此可得：昭=-3必=4.本题选择〃选项.10 V a V —5.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】己知4,随机变量g的分布列如下: g-101P 314—a4a当a增大时，()A. E代)增大，D(2)增大B. E(g)减小，DU)增大C. E(g)增大，D(§)减小D. E(§)减小，D(§)减小【答案】A【解析】由随机变量§的分布列，得应(V =。
高考数学《概率,随机变量及分布列》复习
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n A ， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n AB ， 得 P B | A＝ n( AB) .
n( A)
1.从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的
(3)在一次试验中，对立事件 A 和 A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 P( A)= 1－P(A)．
2．相互独立事件同时发生的概率
若 A，B 为相互独立事件，则 P AB＝P(A)P(B)．
3.独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
解题技巧
2．间接法 当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解． 对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解． 3．注意点 注意辨别独立重复试验的基本特征： ①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； ②在每次试验中，事件发生的概率相同．
1.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 1 ，从中取出 2
.故选
C.
（二）核心知识整合
考点 2：互斥事件，对立事件及独立事件 1.互斥事件与对立事件 (1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件． (2)如果事件 A，B 互斥，那么事件 A B 发生(即 A，B 中有一个发生)的概率，等于事件 A，
B 分别发生的概率的和，即 P(A B)＝P A＋PB .这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
其中恰有 1 件一等品的取法有 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) ，
新高考数学复习考点知识讲解5---离散型随机变量及其分布列
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
3、性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② pi＝1．
4、若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称该分布列为两点分布列或0-1分布．若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率
答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．
(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.
当Y＝1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．故P(Y＝1)＝ ，同理P(Y＝2)＝ ＝ ，P(Y＝3)＝ ，P(Y＝4)＝ ，P(Y＝5)＝ ＝ ，P(Y＝6)＝ .所以Y的概率分布列为
A．20B．24C．4D．18
【答案】B
【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有 ＝24(种)．
题型三离散型随机变量的分布列
例3 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．
(1)两次掷出的最小点数Y；
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.
P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ .
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
4、设离散型随机变量X服从两点分布，若 ，则
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分布列
1．(本小题满分14分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.
(参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++)
2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产
（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b
=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。
（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．
．（本小题满分14分）
分布列参考答案
1．(本小题满分14分)
解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分
（2）∵2
2
50(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分
（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分
其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152
253
(2)20
C C P C ξ===
--------------------------12分
故ξ的分布列为:
--------------------------13分
ξ的期望值为:7134012202205
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）11
(12345)3,(44566)555
x y =++++==++++=，
因线性回归方程ˆ=+y
bx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y
=⨯+=
…………….6分
（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=
31254533
99
105
4010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213
45433
99
30541
(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分
其分布列为
5105140123 422114213
E ξ∴=
⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分
3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有
39
C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有3
5C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3
539537
114242
C P C =-=-=
……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。
（单元：元） ……6分
0ξ=表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以311
(0)()28
P ξ===，……7分
同理可得 1
2
22331
13113(100)()(),(200)()()22
8228P C P C ξξ==⋅=
==⋅=,
311
(300)()28P ξ===
……9分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
1331
()01002003001501808888
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=< …………11分
故促销方案对商场有利。
…………12分
4.(本题满分12分) 解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B .由于事 件A 、B 相互独立，
且25262
()3C p A C ==, 242
62()5
C P B C ==.… ………………………………4分
所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为
224
()()()3515
P A B P A P B ⋅=⋅=⨯= …………………………… 6分
（Ⅱ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得
4(0)15P ξ==,21112
552442222
666622
(1)45
C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611
(3).45
c p c c ξ===
2
(2)1(0)(1)
(3)9
p p p p ξξξξ==-=-=-==
…………… 9分 ξ的分布列为
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分∴ξ的数学期望01231
1545945。