数值分析1-误差及有效数字

第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍：
数值分析：(Numerical Analysis) 研究各类数学问题求解的数值计算及相 关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越 来越多地研究如何借助于计算机求解相关问 题。 计算方法：(Computational Method) 随着计算机产生和发展而建立的一个重 要数学分支，是研究建立计算机解决各种数 学问题的数值计算及相关理论分析。
（可以根据需要取任意位有效数字,这里取6位）
也可进行理论分析， 这里考虑绝对误差：
① e x x 2 e x1 e x 2 e x1 e x 2 104 104 104 103
1
1 2
1 2
1 2
∴第一种方法只有2位有效数字
f x1, , x2 2 f x1 , x2 e | e x e x2 | 1 ② x x x x 1 2 1 2

(分子为常数2, 分母为x1+x2两变量之和)
2
x1 x 2
2
e( x1 x2 ) 2
计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函 数值误差. 采用二元函数 设
x1 , x2
* *
y f x1, x2
泰勒级数展开分析误差传播.
y * f x1 , x2
为准确值，y 准确值为 为近似值， y 近似值为
x2 x2 k
*

*
*

x1 , x 2
y f x1, x2
x1 x2 er x1 er x2 （避免两相近数相减运算) x1 x2 x1 x2
er x1 x2 er x1 er x2
x1 er x er x1 er x 2 2
1.3 机器数系.
(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差)
先考虑绝对误差： e y y* y f x1* , x2* f x1 , x2 令 x1* x1 h,
利用二元函数一阶泰勒展开公式
f x1* , x2* f x1 h, x2 k f x1 , x2 h f x1 x1 , x2 k f x2 x1 , x2
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这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
主要内容：
（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线 性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟 合），数值微分（积分），常微分方程，矩 阵特征值求解，偏微分方程数值解,……
（2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛 性、稳定性（数学角度上），算法的计算时 间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）
特点 :
具有数学的抽象性和逻辑严密性
若函数f(x)连续, g(x)在区间[a,b]上不变号且可积, 则有

b
a
f ( x) g ( x)dx f ( ) g ( x)dx, [a, b]
a
b
In
1 1 1 n 1 1 x n dx x dx , 0 1 0 n5 0 5 5 n 1
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
2
x1 x 2 2
ex ex
1 2
1 1 4 4 10 10 2 44.7325 44.71022 2
0.25 107
1 107 2
3 5 7
2 4
总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差， 提高精度（如选择好的计算方法）
1.2.2绝对误差和绝对误差限
定义：设x * 为准确值，x 是近似值 , e x * x 为绝对误差 分析： ①e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值) ②e值实际上无法知道, x * 不知道， 但能知道误差的某个范围（即误差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过 0.5mm.
①
在计算I0时，设近似值为I0为 I 0
可设 e0=I0- I 0
∴In- In = 5n e0
即初始误差对第n步的影响是扩大5n倍，误差范围变大， 不稳定. 对①可改用另一种计算过程：
1 1 I I n-1 n 5 5n （ I20 可通过积分第一中值定理算出） I20
f x1 , x2 x1 f x1 , x2 x2 er x1 er x2 x1 y x2 y

根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除 的误差传播：
ex1 x2 ex1 ex2
ex1 x2 x2 ex1 x1 ex2
定义：若 e x * x ，则 称为绝对误差限， 为正数，有: x* x , x
1.2.3相对误差和相对误差限
为什么引入？ 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的 物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度 分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测 量精确度，引入相对误差。
又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计
算机结合密切的一门课程） 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对 象。
如何学习这门课？


这门课的学习意义，数值计算的重要性; 如何上这门课（教材）, 学习方法; 上课形式（授课、上机、大型实验）; 成绩评定（平时、实验、期中、期末）.
1.2误差基本概念 1.2.1误差定义及来源
2001 1999
例. 计算
设 2001 和
1999 有六位有效数字,即x1=44.7325
x2=44.7102
方法1：直接相减： x1-x2=44.7325-44.7102 =0.0223 （事实上只有2位有效数字） 方法2:分子有理化：=
2 2 0.0223607... 2001 1999 44.7325 44.7102
1 2 t
例：数0.00234711，取五位有效数字， 为0.0023471， 误差限为 例： =1.732050808 若
x
1 107 2
=1.7321，
1 104 2
则有5位有效数字，因为误差限＜ 但若 x =1.7320，
则只有4位有效数字，因为误差限＞
1 104 2
1.2.5误差传播影响
(Error)
真实值与观察、测量或计算的值之间存在差
异，其差称为误差。 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题→数学问题）， 如抽象化、忽略次要因素等. (2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察 测量时产生）
(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计 算），如无穷级数求和（无限次→有限 次：sin x x x3! x5! x7! ，cos x 1 x2! x4! (4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位， 如Pi，无理数→有理数，） 整个误差来源可做图表示:
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
(5)简化计算步骤，减少计算次数
31 例：计算 x
方法1：直接计算30次乘法 方法2： 31 2 4 8 16
x x x x x x
（这里4次乘法）
x 2 x x, x4 x2 x2 , x8 x 4 x 4 , x16 x 8 x 8
∴共8次乘法 空间上: 需存储x,x2,x4,x8,x16, 方法1只需要存储x. （4次乘法）
理论上分析, 可以有6位有效数字
（3）避免绝对值大的数作乘数，
∵
ex1 x2 x2 e1 x1 e2
x1 1 x1 e e e 同样，避免x2为很小的数作除数， ∵ 1 2 2 x2 x2 x2
（4）防止大数吃小数：
（计算机硬件发展，浮点数表示位数增加，此问题已很少出现） 主要原因是计算机运算处理时，需对阶处理（即取较大的阶值运算,较小数 的尾数则会变的很小,计算机浮点数表示不出来）, 会出现: 大数+小数=大数 ∴求和时，可先按绝对值从小到大排序，先对小数运算，再对大数运算。
n n1 例：计算 f(x) a0 x a1 x an1 x an
常规方法：乘法：1 2 加法：n
n
n(n 1 ) 2
Horner方法（秦九韶方法）:
f ( x) a0 x n1 a1 x n2 an1 x an
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=

1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
所以：
e y f x1, , x2 f x1 , x2 * f x1 , x2 * f x1 , x2 x1 x1 x2 x2 e x1 e x2 x1 x2 x1 x2
再考虑相对误差：
er y e y f x1 , x2 x1 e1 f x1 , x2 x2 e2 y x1 y x1 x2 y x2
1
即
设
1 1 In , 6(n 1) 5(n 1)
1 1 I 20 6 21 5 21
20
e20 I 20 I 20 ,
则
1 e0 e20 ，误差范围逐步减少。 5
（2）避免两相近数相减
er x1 -x2
x1 x2 e1r e 2r x1 x 2 x1 - x 2
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1

1
0
x n-1dx
x n
n
1

0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
er e r （可作为习题） 1 er 1 er
2
2
因为 er 无法求出，所以通常考虑相对误差限
若 | er | r 或
| er | r ,
则称 r 为相对误差限。
1.2.4 有效数字
* 当 x 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。
有效数字的位数确定. 定义：如果近似值 x 的误差限是其末位上的半个单位， x位 x 且该位直到 的第一个非零数字共有 n位，则 有n 有效数字。 具体计算：对 x a a a ，从左往右数，从第一个非 零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差 1 限为末位的 2 个单位，则有效数字为n。
* x x 定义： 为准确值，
为近似值，则
x* x e er * * x x
分析：
(1). (2). (3).
er
可正可负
x 1 * x
*
er 1
er
er
无法知道，因为 x 不知道， 也可表示为
x* x e er x x
er 和 er 之间关系为： er er