函数的最值在经济学中的应用

函数的最值在经济学中的应用

【摘要】在经济学领域中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品的质量最好”、“成本最低”、“效率最高”、“利润最大”、“用时最短”等问题。这类问题在高等数学中可以归结为：求出某一函数的最大值或最小值。本文主要介绍函数的最值在经济学中的应用。

【关键词】函数；最大值；最小值；应用

引言

在经济学领域中，我们常常会遇到这样的问题：如何使得生产的产品最多？成本最低？怎样才能使利益最大？效率最高？这类问题在数学上有时可以归结为：在一定条件下，怎样求某一函数的最大（小）值。本文结合自己多年来的教学研究情况，从以下几个方面进行论述：

一、函数的最值

根据自变量的取值范围，分为以下两种情况：

1.函数在闭区间连续

根据闭区间上连续函数的性质可知：连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。最大（小）值可能取在区间的内部，也可能取在区间的端点。

2.函数在开区间连续

如果函数在一个开区间内可导且有唯一的极值点，那么当是极大值时，就是在该区间的最大值；当是极小值时，就是在该区间内的最小值。

在实际应用中，如果函数在某区间内只有一个驻点或导数不存在的点，并且根据问题本身又可以知道在该区间内一定有最大（小）值，那么就是所求的最大（小）值。

二、经济应用问题举例

1.容积最大

例1 将边为a 的正方形四角截去四个相等的小正方形然后折成一个无盖的盒，问小正方形边长为多少时能使盒的容积最大？

解如图，设所截小正方形的边长为，则折成的盒子的体积为：

，

令，得驻点，有最大值为.

2.成本最小

例2 设某厂每批生产某种产品个单位的总成本函数为，（其中为大于0的常数），问每批生产多少单位时，使平均成本最小？并求最小平均成本和相应的边际成本。

解：平均成本为，，

，，

所以，每批生产个单位时，平均成本最小。

即最小平均成本等于其相应的边际成本。

3.利润最大

例3 某产品的成本函数为（元），需求函数为，问产品数量和价格分别是多少时，该产品的利润最大？并求出最大利润。

解：收益函数为，，利润函数为，于是，唯一驻点为，由题意可知利润函数在处取得最大值，此时有

（元），

（元）

4.票价最优

例4 某单位将举行一场讲座，据测，门票为每人8元时，观众将有300人，门票每降低1元，观众将增加60人。为了使门票的收入最大，试确定最优票价。

解：设门票的价格为每人元，对应的观众为人，门票收入为，则，

，

，求得驻点为，即当每人门票价格为6.5时，门票收入最大，此时门票收入为（元）

5.订货方案最佳

例5 某企业每年需要某种原料100万吨，并且对该种原料的消耗是均匀的.若该原料每吨的年库存费是0.05 元，分期分批均匀进货，每次进货的费用为1000元.试给出最佳的订货方案。

解设每次订货批量为万吨，则平均库存量为吨，总库存费用为

，

一年进货总次数为，于是采购费用为

，

一年内的库存费用与采购费用之和为

，令，得驻点，所以每批进货20吨，可使两种费用之和最小，即是最佳的订货方案。

参考文献：

[1]崔西玲.经管类高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]张建军等.高等数学[M].北京：中国电力出版社，2009.