反应谱及其工程应用

T 1 Sv Sv 2 2 Sa S v S v T Sd
(2-13)
利用(2-13)式的关系，已知一种谱，所近似求得的另 外的谱叫做拟（或伪）反应谱。 由(2-13)式得：
log S d log S v log log S a log S v log
I m[ 0 (t ) (t )] x x
S Kx(t )
D cx(t )
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D’Alembert原理：对具有加速度的运动物体，只要考 虑它含惯性力在内的力平衡，就可能将动力问题当成静力 平衡问题来处理，这一原理称为达良贝尔原理。就是物体 运动的任一瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡。
Sa 0 max x
g
一个反映地震动强度特性的参数，
称为动力放大
系数，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大 加速度放大了多少倍，它可以反映地震动的频谱特性。
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(3) 一致危险性反应谱 一致危险性反应谱的基本含义是在不同周期处的反应谱 值具有相同的超越概率值。这类反应谱源于地震危险性分析 的研究工作，根据对基岩地震记录反应谱的统计分析，可以 建立不同周期点的基岩地震动衰减关系。通常，取震级与距 离作为统计公式中的基本变量，在给定了震级与距离的前提 下，可以由基岩反应谱的衰减关系中给出具体的反应谱。这 样，便有了所谓考虑震级、距离影响的基岩反应谱的概念。 在地震危险性分析中，在主要周期点处分别计算参数Sa(T) 的不同超越概率的地震危险性曲线，则可以从这一簇地震危 险性曲线中，按照统一设定的设防概率水准给出一致危险性 反应谱。
S d x(t ) max T 2

t 0
t 0
0 ( )e x
h
2 ( t ) T
sin
2 (t )d T
（2-9）
max
S v x(t ) max
S a a (t ) max
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0 ( )e x
h
2 ( t ) T
2 cos (t )d T
源自文库
x(t ) 0 ( )e h (t ) [cosd (t ) x
a (t ) d 0 ( )e x
0 t h ( t )
(2-4)
(2-5)
h2 2h cos d (t ) d 1 1 h 2 sin d (t ) 2 1 h
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工程上，常采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速 度，即Sa/g与体系自振周期T之间的关系作为设计用的反应谱， 并将Sa/g用表示，称为地震影响系数。实际上，
x S a 0 max S a K 0 max g g x
其中：K
0 x
max
称为地震系数，它和地面运动的强度有关，是
（2-2）
式中：
k/m
称为质点振动的圆频率 称为结构的阻尼比，是结构的阻
c c h 2m 2 km
尼系数与其临界阻尼系数之比。
式(2-2)为一常系数的二阶非齐次微分方程，其通解由两部分组 成，一为齐次解，一为特解。根据自由振动方程可以得到齐次 解；利用瞬时冲量引起的自由振动，由Duhamel积分可以得到 特解，由此可以得到单质点弹性体系对地震动的相对位移反应
sin 2 (t )d T
(2-10)
max
2 T

t 0
0 ( )e x
h
2 ( t ) T
(2-11)
max
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以阻尼比h为参数，利用式(2-9)、式(2-10)和式(211)，把函数Sd(h,T),Sv(h,T)和Sa(h,T)针对一定阻尼固有周 期T画成图形,则它们分别称为相对位移反应谱、相对速度反 应谱和绝对加速度反应谱。 可见，反应谱是具有不同周期和一定阻尼的单质点结构 在地震地面运动影响下最大反应与结构自振周期的关系曲线。 不同阻尼的单质点结构在地震地面运动影响下的反应过程曲 线和由此得到的反应谱见图3，给定阻尼(h0)，确定反应谱
式中：
d 1 h2
称为阻尼固有圆频率。
在实际结构中，h的数值很小(h<<1)，因此，有阻尼频率ωd与 无阻尼频率ω相差不大,实际计算中可近似地取 2 / T ，T 为自振周期。由此，公式(2-3)、公式(2-4)和公式(2-5)可写成如 下形式：
d
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T x(t ) 2
0 0
t
e
h0
2 ( t ) Tn
sa (Tn h0 )
2 sin (t )d Tn
t
设定新 的Ta值
绘制坐标为 ( sa (Tn h0 ), Tn )的点
sa
图4 反应谱曲线计算流程
sa (Tn h0 )
h=h0
Ta T
3. 地震反应谱和设计反应谱
(1) 地震反应谱 地震反应谱是根据一次地震中强震仪记录的加速度 时程计算得到的谱。地震反应谱在本质上反映的是地震 动强度与频谱特性，它不反映具体的结构特性。 (2) 设计反应谱 设计反应谱是抗震设计中采用的反应谱。它是对建筑 结构在其使用期限内可能经受的地震作用的预测结果， 通常是根据对大量实际地震记录的反应谱进行统计分析 并结合经验判断加以规定的。设计反应谱在本质上是对 设计地震力的一种规定。这是因为，设计反应谱并不反 映一次具体的地震动过程的特性，而是从工程设计的角 度在总体上把握地震动特性。这种把握，可以是统计平 均意义上的把握。也可以是严格概率意义上的把握。
F ma ma F 0 I SD0 m[ 0 (t ) (t )] cx(t ) Kx(t ) 0 x x
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1. 单质点的运动方程
单质点（质量为m），单自由度的弹性体系在地面 发生的位移为x0(t) ，质点相对地面的位移为x(t)，质点的 运动方程可以通过质点的受力分析，利用 D’Alembert 原理得到：
t

t 0
0 ( )e x
h
2 ( t ) T
2 sin (t )d T
(2-6)
x(t ) 0 ( )e x
0
h
2 ( t ) T
cos
2 (t )d T
(2-7)
2 a(t ) T

t 0
x0 ( )e
h
2 ( t ) T
Gi Hi FEk Gj
Hj
图1 结构水平地震作用计算简图
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3. α值的确定
α称为地震影响系数，由规范规定的曲线确定
地震影响系数:
动力系数: 地震系数:
Sa


Sa K g
Sa 0 max x
K
0 x
max
g
为我们通常意义上的反应谱 地面运动加速度最大值
[x(t)],相对速度反应 [ x(t )]
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x x 和绝对加速度反应 [a(t ) (t ) 0 (t )]。
x(t )
1
d
t 0

t 0
0 ( )e h (t ) sin d (t )d x
h 1 h
2
(2-3)
sin d (t )]d
举例： 水平地震作用下，底部剪力法。 把每层楼简化为一等效总荷载为单质点，则水平地震力FEk 的表达式为：
FEk 1Geq
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Fi
Gi H i
G H
j 1 j
n
FEk (1 n )
j
(i 1,2 n)
Fn n FEk
F 式中：Ek
—结构总水平地震作用标准值； 1 —相应于结构基本自振周期的水平地震影响 系数值，多层砌体房屋、底层框架和多层内 框架砖房，可取水平地震影响系数最大值； Geq —结构等效总重力荷载，单质点应取总重力荷 载代表值，多质点可取总重力荷载代表值的 85%； Fi —质点i的水平地震作用标准值； Gi , G j —分别为集中于质点i,j的重力荷载代表值；
0 T T1 T1 T T2 T2 T T3
(2-12)
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式中，b1, b2,b3,r为标定常数，ai,vi为地震动峰值加 速度与峰值速度，T1和T2分别为反应谱的两个拐点周期，
T3为计算截止周期(T3=3秒)。
根据拐点处的连续条件可在T1、T2 与ai、vi 之间建立 起定量关系，利用强震记录的归一地震反应谱的资料，
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H i , H j —分别为质点i,j的计算高度；
n —顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土房屋可按
表1采用，多层内框架砖房可采用0.2，其它房屋可 不考虑； Fn+ΔFn Fn —顶部附加水平地震作用。 Gi 表1 顶部附加地震作用系数
Tg(s) T1>1.4Tg T1≤1.4Tg ≤0.25 0.08T1+0.07 0.3～0.4 0.08T1+0.07 不考虑 ≥0.55 0.08T1-0.02
反应谱及其工程应用
薄景山
(中国地震局工程力学研究所，哈尔滨，150080)
一、地震作用和结构抗震验算
1. 地震作用
地震时，由地面运动对结构引起的动态作用 叫地震作用 弹性地震作用 塑性地震作用 假想弹性地震作用 设计地震作用
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2.结构抗震验算
等效荷载法：底部剪力法，振型分解反应 谱法。 时程分析法
的方法见图4。
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(Sa)1
T1 加 速 度 反 应 (Sa)2
最 大 加 速 度 反 应 (Sa)1 (Sa)2
h0 h1 h3
(Sa)3
T2
T1 T2 T3
(Sa)3 时间
反应
周期(sec)
（c）反应谱
T3
T2,h1 T3,h1
T1,h1
（b）反应波形
地震输入
（a）阻尼常数一定，固有周期 不同的单质点系
m(t ) cx(t ) k x(t ) m0 (t ) x x
（2-1）
式中：m—质点的质量 c — 结构的阻尼系数 k — 支持质点的弹性杆的刚度 x(t)—质点对地面的相对位移 x0(t)—地面发生的位移
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(2-1) 式可简化为：
2hx 2 x 0 x x
0 max x
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二、反应谱的概念
图2为单质点自由度体系的力学模型。对该模型进行受力分析。
x(t)
m0 (t ) x
D
I s x0(t)
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x0(t)：地面位移，x(t)：质点相对地面的位移（相对位移） [x0(t)+x(t)]：质点的绝对位移。 惯性力： 弹性恢复力： 阻尼力：
加速度
图3 地震反应谱的 形成过程说明
给定： 结构阻尼比：h0 结构自振周期：Tn 地震地面加速度记录：
计算单自由度体系绝 对加速度反应时程曲 线
0 x
0 x
0 x x
max
2 Tn
由绝对加速度反应的时 程曲线确定最大的绝对 加速度Sa
0 x x
x ( )
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(4) 双参数标定反应谱 双参数标定反应谱是利用地震动峰值加速度和峰值速 度来确定反应谱的频谱特征与幅值特征的方法。它是将 反应谱的频谱特征变化与幅值变化统一在一起考虑，其 加速度反应谱的表达方式为：
ai2 ai b1 T vi S a b2 ai b3viT r
2 sin (t )d T
(2-8)
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2. 反应谱的概念及求法
x 从(2-6)、(2-7)和(2-8)式可以看出，(t ), x(t ) 和a(t ) 都是t, T和h的函数，而且是随时间t不断地变化的。从 结构设计的角度出发，人们关心的是反应的最大值而不 是随时间变化的反应形式。若设地震时，单质点系所产 生的最大相对位移、最大相对速度及最大绝对加速度分 别为Sd、Sv和Sa，则：
经过统计给出各标定常数，尽而确定反应谱的形状。
双参数标定反应谱，既适用于基岩反应谱，也适用于 地表设计反应谱，所不同的仅在于ai,vi 的取值和标定常 数时的 (T)的样本的取值不同。
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(5)
拟反应谱、三联反应谱和标准反应谱 由公式(2-9)、(2-10)、(2-11)可见，Sd、Sv、Sa之 间存在如下简单的近似的关系：