人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)

二项式定理（第1课时）

一、内容和内容解析

内容：二项式定理的发现与证明．

内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．

二、目标和目标解析

目标：

（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．

（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．

（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．

目标解析：

（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．

（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．

基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．

三、教学问题诊断分析

1．教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．

2．教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式112233()()()a b a b a b +++展开式中项与项的异同点，得出()n

a b +的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容．

3．教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题．学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程．二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大．较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明．解决方案：通过对3

()a b +的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画．

基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律．

四、教学策略分析

本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用TI -图形计算器．既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．

在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．

在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．

五、教学过程与设计

教

学

环

节

问题或任务师生活动设计意图

回顾前知

引出猜想[问题1]有人说

70

(1)x

+的展开式中

有47x项，你认为对

吗？若有，它的系数是

多少？

[问题2]为了解决问

题1，需要用到()n

a b

+

的展开，你认为这个展

开式式会怎样呢？

教师1：提出问题1．

学生1：学生思考．

教师2：提出问题2．

学生2：学生思考．

教师3：观察1

()

a b

+、2

()

a b

+、3

()

+

a b、

4

()

+

a b、5

()

+

a b的展开式，你能得到哪些规

律？

学生3：利用图形计算器CAS的expand()函数，

得出3

()

+

a b、4

()

+

a b、5

()

+

a b的展开式．

教师4：根据你所计算的结果，填对应表格．

学生4：发现项数、项的次数、项的系数并猜

想：

1

01

()n n n n k k n

k n

a b a a b a b b

λλλλ

--

+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+

问题引入．

提出问题．

引导学生通

过对特殊情

形的观察，

归纳猜想一

般情形的基

本特征．

教师引导，

学生根据所

得具体的展

开式，从展

开式中的项

数、项的次

数、项的系

数等角度进

行归纳，并

根据归纳所

得猜想一般

的展开式的

结果．

学生体会由

特殊到一般

的归纳猜想

的过程．