九年级数学圆的确定
沪科版数学九年级下册《圆的确定》教学设计2
沪科版数学九年级下册《圆的确定》教学设计2一. 教材分析《圆的确定》是沪科版数学九年级下册的一章内容，主要介绍了圆的定义、圆的性质以及圆的标准方程。
本章节内容在学生的数学知识体系中占据着重要的地位，是为后续学习解析几何和高等数学打下基础的关键章节。
本节课的教学内容不仅要求学生掌握圆的基本概念和性质，还要培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但学生在理解圆的概念和性质方面可能存在一定的困难，尤其是圆的确定方法和相关方程的推导。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解圆的定义和性质，掌握圆的标准方程。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质的理解。
2.圆的标准方程的推导和应用。
3.运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆的性质和方程。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的性质和图形的变换。
3.采用小组合作学习，培养学生团队合作和交流表达能力。
4.注重实践操作，让学生通过动手操作加深对圆的理解。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆的相关模型和教具。
3.练习题和案例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实际生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆形的特征。
提问：你们对这些圆形物体有什么了解？从而引出圆的定义和性质。
2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质，通过多媒体动画展示圆的生成过程，让学生直观理解圆的特征。
同时，呈现圆的标准方程，让学生初步了解圆的方程形式。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据圆的性质和方程，尝试解决一些实际问题。
如给定圆的半径和圆心，求解圆的方程；或根据实际问题，确定圆的参数。
九年级数学上册圆的知识点总结
九年级数学上册圆的知识点总结一、圆的概念1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合）。
2.圆心O、半径r、直径d：使圆上任意一点与定点O的距离等于r的动点O叫做圆心，连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，圆心O与定点A之间的距离叫做直径。
二、圆的性质1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等。
2.在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
4.圆内接四边形的对角互补。
三、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
五、点和圆的三种位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：1.d＞r 点P在⊙O外；2.d=r 点P在⊙O上；3.d＜r 点P在⊙O内。
六、直线和圆的三种位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：1.d＞r 直线l与⊙O相离；2.d=r 直线l与⊙O相切；3.d＜r 直线l与⊙O相交。
七、正多边形和圆各边相等，各内角都相等的多边形叫做正多边形。
在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的外接圆的半径叫做半径；正多边形的中心叫做中心；正多边形的内切圆的半径叫做内心；正多边形的一组邻边的垂直平分线的交点叫做中心。
正n边形的中心角公式：360°/n；正n边形一条边的长度公式：2rsin(180°/n)。
北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件课件(共28张PPT)
判断：
1、经过三点一定可以作圆。（× ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分 线的交点。（√ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 （×）
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
书P125 练习
小结：
课后日记： 今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂
直平分线的交点，它到三角
形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
巩固新知 应用新知
2、如图,
一 根 5m 长 的 绳
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
九年级数学圆的知识点
九年级数学圆的知识点在九年级的数学学习中，圆是一个重要的概念。
掌握圆的基本知识点对于学生正确理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍九年级数学圆的知识点，包括圆的定义、性质、公式以及与圆相关的几何图形等。
让我们一起来详细了解吧。
1. 圆的定义在九年级数学中，我们定义圆为平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 圆的性质- 半径相等的两个圆是相等的。
- 圆上任意两点到圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。
- 圆的周长是圆周长的一半，用公式C = 2πr表示，其中C表示周长，r表示半径。
- 圆的面积由公式A = πr²给出，其中A表示面积。
3. 圆与直线的关系- 圆内的点到圆心的距离小于半径，称为圆内部的点；到圆心的距离等于半径，称为圆上的点；到圆心的距离大于半径，称为圆外的点。
- 切线是与圆只有一个交点的直线。
- 弦是连接圆上两点的线段。
直径是一种特殊的弦，它通过圆心。
- 弧是圆上的一段弯曲的部分。
4. 弧与角的关系- 弧长是弧上的一段长度。
圆的弧长公式为L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧长是整个圆的弧长的一部分。
- 弦与其所对的弧所夹的圆心角相等。
5. 圆与其他几何图形的关系- 正方形的内接圆是正方形内接圆周围的正方形。
- 正方形的外接圆是正方形外接圆周围的正方形。
- 直角三角形的内切圆是三角形内接圆周围的圆。
- 直角三角形的外接圆是三角形外接圆周围的圆。
除了上述的知识点，还有关于圆的弦的性质、圆与切线的性质、圆的切线与切点定理、切线长的性质等内容需要学生在九年级进行深入的学习和理解。
通过掌握圆的相关知识点，可以帮助学生在解决几何问题、计算圆的周长和面积等方面得到更好的应用。
总结起来，九年级的数学圆的知识点主要包括圆的定义、性质、公式以及圆与其他几何图形的关系等。
沪科版数学九年级下册24.2.4圆的确定优秀教学案例
5.作业小结：设计具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。同时，引导学生对作业进行自我检查和修改，培养学生的自主学习和自我纠错的能力。教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供参考。
3.引导学生通过观察、操作、思考等途径，自主探索圆的确定方法，提高学生的解决问题的能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，共同探讨圆的确定方法，培养学生的合作意识和团队精神。
2.设计具有挑战性的任务，让学生在合作中共同解决问题，提高学生的综合运用知识的能力。
3.鼓励学生相互倾听、交流、反馈，培养学生的沟通能力和批判性思维。
在教学过程中，我以生活实例导入，让学生思考在实际生活中如何确定一个圆的位置和大小。接着，我引导学生通过观察和动手操作，发现圆的确定方法。在学生理解圆的确定方法后，我设计了一系列练习题，让学生在实际问题中运用所学知识，巩固和提高对圆的确定的理解。
在教学过程中，我注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，从而达到理解圆的确定的目的。同时，我关注学生的个体差异，根据学生的实际情况给予有针对性的指导，使他们在原有基础上得到提高。通过本节课的学习，学生不仅掌握了圆的确定方法，而且培养了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下了坚实的基础。
5.注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，从而达到理解圆的确定的目的。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的内在动力。
2.引导学生感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
2.3 确定圆的条件 教案-苏科版九年级数学上册
2.3 确定圆的条件教案-苏科版九年级数学上册
一、教学目标
1.了解圆的定义和性质；
2.掌握圆的常识和圆的元素的特点；
3.能够根据给定的条件确定圆。
二、教学重点
1.圆的定义和性质；
2.圆的元素的特点。
三、教学难点
1.根据给定的条件确定圆。
四、教学准备
1.教学课件和投影仪；
2.学生作业本和练习题。
五、教学过程
1. 导入
首先通过展示多种圆形的图片，引出本课的话题——圆。
让学生讨论圆的形状、特点和应用领域。
2. 引入
在第一部分中，我们了解到如果在平面上取一个点，并以该点为圆心，以一定的长度为半径作圆，那么这个平面范围内的所有点与圆心的距离都相等。
这个几何图形就是圆。
3. 圆的定义和性质
1.请同学们读一读关于圆的定义。
圆是平面上的一个点到另一个点的距离固定且小于这个固定值的所有点的集合。
2.根据定义可知，圆有以下性质：
–圆的边界叫做圆周；
–圆周上任意两点与圆心的距离相等；
–圆周的中心即为圆心。
4. 圆的元素
1.圆心：圆的中心点，用字母。
北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理
北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2（0s）0.9相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知，点P 是半径为5 的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图，过点P 作直径AB，过点P 作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P 的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，容易漏解. 举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB 的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC 的垂直平分线EF，交MN 于点O；3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.52 - 42【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）A ．已知圆心B ．已知半径C ．已知直径D ．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选 D ．5. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为 5；根据垂线段最短，可得到当 OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为 10，弦 AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得 AP=4，由勾股定理的 OP= = 3 ，∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O 的半径为 13，弦 AB=24，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是．【答案】 OP 最大为半径，最小为 O 到 AB 的距离．所以 5≤OP ≤13.。
九年级数学下册圆的知识点整理
1.圆的定义与性质-定义：圆是平面上所有距离等于半径的点的集合。
-圆心：圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。
-半径：从圆心到圆上任意一点的长度。
-直径：通过圆心的两个点所确定的线段的长度，等于半径的2倍。
-弦：连接圆上两点的线段。
-弧：圆上的一段弯曲的连续的部分。
-弧长：弧所对应的圆的周长的比例，弧长等于弧所对应的圆的弧度乘以半径。
-圆周角：以圆心为顶点的角，大小等于所对弧的弧度。
2.圆心角与弧长的关系-弧度制：弧所对应的圆的半径长的角，记作弧长/半径。
-弧度制与度角制的换算：180°=Π弧度，1°=Π/180弧度。
-圆心角的弧度等于所对弧的弧长除以半径。
3.圆的位置关系-相交：两个圆的内部有公共点。
-外切：一个圆与另一个圆的外部只有一个公共点。
-两圆相切：两个圆的外部有一个公共点。
-相离：两个圆的内部没有公共点，也没有公共切点。
4.弧与弦的关系-弦分弧：一个弦所对的两条弧，互为补角。
-等弧等价：等长的弧。
5.切线与圆的关系-切线：与圆仅有一个公共点的直线。
-切线的性质：切线与半径垂直，半径在切点上的垂线上。
6.直径、弦与切线的关系-直径是两个切点的连线。
-沿切线作的直径过切点的垂线，则直径上的垂直弦与切线相交于切点。
-公共切线：与两个圆分别有且仅有一个公共切点的直线。
7.线段与圆的位置关系-线段在圆内：线段的两个端点在圆内部。
-线段与圆相交：线段的一个端点在圆内部，另一个端点在圆外部。
-线段切圆：线段的一个端点在圆上，另一个端点在圆外部。
-线段被圆所截：线段的两个端点都在圆外部。
8.弦的性质-弦的中点：连接圆弧两端点的线段的中点在圆的内部。
-等弧等价：等长的弦所对的两条弧相等。
-弦的位置：两个相等长的弦互为等幅弦。
-垂直弦：以圆心为直径的弦是直径。
-到圆心的距离：从圆心到弦的中点的距离等于半径的长度。
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
九年级数学圆解题技巧
九年级数学圆解题技巧
九年级数学圆部分是初中数学的一个重要内容，掌握解题技巧对于提高解题速度和正确率非常重要。
以下是一些常见的圆解题技巧：
1. 确定圆的性质：首先需要了解圆的基本性质，如圆周角定理、垂径定理等。
这些性质是解决圆问题的关键。
2. 利用半径、直径和弦之间的关系：在解题过程中，要善于利用半径、直径和弦之间的关系，如弦心距定理、切割线定理等。
3. 作辅助线：在解题过程中，有时需要作辅助线来帮助解决问题。
作辅助线的方法有很多，需要根据具体问题进行分析。
4. 利用相似三角形：在解决与圆有关的问题时，有时需要利用相似三角形来解决问题。
这时需要找到相似三角形，并利用相似比来求解。
5. 数形结合：在解决与圆有关的问题时，数形结合是一种常用的方法。
通过将问题转化为图形，可以更直观地理解问题，从而更快地找到解决方案。
6. 多做练习：要提高解决圆问题的能力，多做练习是必不可少的。
通过不断的练习，可以加深对圆的理解，掌握更多的解题技巧。
总之，解决圆问题需要掌握一定的技巧和方法，同时还需要多做练习，加深对圆的理解。
只有这样，才能更好地解决与圆有关的问题。
确定圆的条件 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)
3.5确定圆的条件教学设计（1）线段垂直平分线上的点有怎样的性质？（2）怎样用尺规作一条线段的垂直平分线多媒体出示垂直平分线的画法(3)构成圆的基本要素有哪些?车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？思考：那么过几点可以确定一个圆呢？探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B 两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.1.以已知点O为圆心、线段a为半径作圆,可以作( )A.1个圆B.2个圆C.3个圆D.无数个圆2.下列语句正确的是( )A.直径是弦,弦是直径B.相等的圆心角所对的弦相等C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D.三点确定一个圆3.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．5.如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD 交△ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．。
2.3 确定圆的条件 教学设计-苏科版九年级数学上册
2.3 确定圆的条件教学设计-苏科版九年级数学上册1. 教学目标•理解圆的定义和性质；•掌握确定圆的条件；•能够利用圆的条件进行解题。
2. 教学准备•教材：苏科版九年级数学上册；•板书工具：黑板/白板、彩色粉笔/挂画；•教具：圆规、直尺。
3. 教学过程3.1 导入新课教师出示圆规和直尺，引导学生回顾并复习圆的定义和性质。
通过提问，帮助学生回忆圆的特点，如圆是由一条弧线围成的，圆上任意两点的距离相等等。
3.2 确定圆的条件教师通过板书或展示教材上的相关内容，向学生介绍确定圆的条件。
这些条件包括：3.2.1 半径相等的条件•定理1：如果一个平面上的两条线段的长度相等，且它们的一个端点和中点重合，那么这两条线段所在的直线和中线所确定的装置是圆。
3.2.2 直径和弦的关系•定理2：如果一个弦和一个直径相等，那么这个弦是这个圆的直径。
3.2.3 垂直弦的关系•定理3：如果一条弦垂直于另一条弦，那么这两条弦所在的圆是一个直径垂直于第一条弦的圆。
3.3 实例讲解教师通过练习题的方式，给出几个具体的实例进行讲解。
例如：例1已知平面上的四个点A、B、C、D，且AC = BD = 5cm，并且AD ⊥ BC。
问：ABCDE 是否能确定一个圆？解：首先，根据定理1，当AC = BD且AD ⊥ BC时，可以确定一个圆。
其次，根据定理3，如果一条弦垂直于另一条弦，那么这两条弦所在的圆是一个直径垂直于第一条弦的圆。
由于AD ⊥ BC，所以AC 和 BD 所在的圆的直径应该与AC 和 BD垂直。
综上所述，根据所给条件，可以确定一个圆。
例2已知ABCD 是一个正方形，AC 直线上的一点E 满足AE = BC，连接BE，求证：BCED 能确定一个圆。
解：首先，根据定理1，当AC = BD且AD ⊥ BC时，可以确定一个圆。
其次，根据定理2，如果一个弦和一个直径相等，那么这个弦是这个圆的直径。
由已知条件可知AE = BC，所以BCED 中的BE 是AC上的弦，且BE = AC，根据定理2，可以得出BCED 能确定一个圆。
初中九年级数学下册——圆
初中数学九年级 一、圆1、 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（1）区分点在圆内，圆外和圆上的判定方法：点到圆心的距离与半径的比较 2、圆是轴对称（对称轴是任意一条过圆心的直线）和中心对称（对称中心是圆 心）（1）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（区分优弧和劣弧） （2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（3）直径：经过圆心的弦叫直径（直径是弦，但弦不一定是直径） 3、（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （2）两条平行的弦所夹的弧相等（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距都相等，（4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有 一组向量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等 4、圆心角和圆周角的关系：圆心角=2倍圆周角（同一条弧） （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径 5、圆的确定：不在同一直线的三点确定一个圆 （1）证明四点共圆的方法思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。
思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．思路三：运用有关定理或结论（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
图（3） 图（4） 图（5）A B C D A B CD P ABCDP6、三角形的外接圆——三角形任意两条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆 的圆心，叫外心锐角、直角和钝角三角形的外接圆的圆心的位置要区分 注意：（1）直角三角形的外心即为斜边中心，因此直角三角形外接圆的直径 即为斜边边长 （2）直角三角形的外接圆是以斜边中心为圆心的，斜边长的一半为半 径的圆二、直线与圆的位置关系——相离、相交、相切1、判定方法：圆心到直线的距离与半径的比较或者直线与圆的交点个数 （1）圆的切线垂直于过切点的直径（2）经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是切线 （3）拓展知识：① 弦切角定理：弦切角等于他所夹的弧所对的圆周角。
初中数学九年级下册《确定圆的条件》教案设计
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9．下列说法错误的是（）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
探究二：过两点作圆．
作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?
处理方式：学生在教师的指导下画图，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离 相等．根据前面学到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点 的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，有无数个圆心，作出的 圆有无数个．如图(2)．
【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）
①经过三点一定可以做圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．
（1）点P在⊙O外 ______；（2）点P在⊙O上 ______；（3）点P在⊙O内 ______．
九年级数学圆的知识
九年级数学圆的知识
九年级数学中，圆的知识包括以下内容：
1. 圆的定义：圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
2. 圆的元素：圆心是圆的中心点，用O表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示；直径是通过圆心的一条线段，两端点在圆上，直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的性质：
- 圆上任意两点与圆心的距离相等。
- 圆上的点与圆心的距离等于半径。
- 圆的直径是最长的线段，且等于半径的两倍。
- 圆的任意弦都可以作为直径，即两端点在圆上的线段。
- 圆的任意弦都可以分成两段，两段长度乘积等于这条弦所对应的弧的长度乘积。
- 圆的周长是圆周上一周的长度，等于2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14159。
- 圆的面积是圆内部的所有点组成的区域的大小，等于πr²。
4. 圆的相关定理：
- 弧长定理：圆的弧所对应的圆心角的度数等于弧长所占圆周的度数。
- 弦切定理：在圆上，切线与弦的乘积等于切点外的弦与切点外
的弦的乘积。
- 切线定理：在圆上，切线与切点外的弦的乘积等于切点外的弦与切点外的弦的乘积。
- 弧度制：角度的度数可以转化为弧度制，1°对应π/180弧度。
以上是九年级数学中关于圆的基本知识，还有更深入的内容如圆锥、圆柱、圆台等，这些内容超出了本回答的范围。
九年级数学圆的知识点总结
圆是一种特殊的几何图形，是平面上所有到一些点的距离相等的点的集合。
在九年级数学中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的性质、圆的方程、圆的切线和弦、圆与直线的位置关系等。
下面是对这些知识点的详细总结。
一、圆的性质1.圆的定义：平面上到一个固定点的距离相等的点的集合叫做圆。
2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧等。
3.圆的表示方法：圆心为O，半径为r的圆可以表示为O(r)，或者简写为O。
二、圆的方程1.标准方程：以圆心为原点O(0,0)，半径为r的圆的方程为x²+y²=r²。
2.一般方程：以圆心为(h,k)，半径为r的圆的方程为(x-h)²+(y-k)²=r²。
三、圆的切线和弦1.切线：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线。
切线垂直于半径。
2.弦：连接圆上两个不相邻点的线段叫做圆的弦。
圆心到弦的中点的线段垂直于弦。
四、圆与直线的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种情况：a.直线与圆相交于两点：直线穿过圆的内部，与圆有两个交点。
b.直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，且切点在圆上。
c.直线与圆相离：直线没有与圆的交点。
五、圆的相关定理1.切线定理：切线与半径的垂直定理。
切线与半径的垂线相互垂直。
2.弦切角定理：圆弦上的两个角对相同弧的度数相等。
3.弧上的角等于圆心角的一半：弧上的角等于它所对的圆心角的一半。
4.切线垂直半径定理：过圆的切点作切线，与过切点的半径垂直。
六、圆的计算1.弧长公式：弧长L=2πr(θ/360°)，其中r为半径，θ为圆心角度数。
2.弧度制与角度制转换：1°=π/180，1弧度=180/π。
以上是九年级数学中圆的主要知识点的总结，通过对这些知识点的学习和理解，能够更好地理解和解决与圆相关的问题。
九年级圆的知识点基本图形
九年级圆的知识点基本图形在九年级数学学习中，我们将遇到许多基本图形，其中一个重要的基本图形就是圆。
圆在我们的生活中随处可见，无论是物体的形状，还是几何学问题，圆都占据着重要的地位。
在学习圆的知识点时，我们将从它的定义、性质以及相关公式等方面展开讨论。
第一部分：圆的定义与特性圆的定义非常简单，它是由平面上的一点到另一点的所有点的集合所组成的。
圆由一个中心点和一定半径的长度所确定。
在数学中，我们用O表示圆的中心点，用r表示圆的半径。
除此之外，圆还有以下几个重要的特性：1. 圆是平面上曲线长度最短的封闭曲线。
这意味着，如果我们需要围住一块最大的面积，那么我们应该选择圆形。
2. 圆的直径是通过圆心的任意两点之间的距离，而半径则是从圆心到圆上的任意一点的距离。
直径的长度是半径的两倍。
3. 在圆上，任意两个点间的连线被称为弦。
如果弦通过圆心，我们称之为直径。
第二部分：圆的面积与周长圆的面积和周长是九年级数学中与圆相关的两个重要概念。
了解如何计算圆的面积和周长对于解决与圆有关的问题至关重要。
1. 圆的面积：圆的面积可以表示为πr²，其中π是一个常数，接近3.14159。
要计算圆的面积，我们只需要将π乘以半径的平方即可。
2. 圆的周长：圆的周长也被称为圆的周长，它可以通过公式2πr计算得出。
即将半径乘以2π即可。
第三部分：圆与锥体、圆柱体和圆锥的关系在九年级的数学学习中，我们不仅需要了解圆本身的知识，还需要了解圆在三维空间中的应用。
圆与锥体、圆柱体和圆锥有着密切的关系。
1. 圆锥：圆锥是由一个圆形底部和一个顶点连接而成的三维图形。
圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h计算得出，其中r是底部圆的半径，h是圆锥的高。
2. 圆柱体：圆柱体由两个平行的圆面和连接它们的曲面所组成。
圆柱体的体积可以通过公式V = πr²h计算得出，其中r是底部圆的半径，h是圆柱体的高。
3. 锥体：锥体是由一个圆锥和一个平面切割而成的图形。
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尝试与交流 过如下三点能不能做圆? 为什么?
A B C
不在同一直线上的三点确定一个圆
牛刀小试
1.将一个如图所示的破 损的圆盘复原了吗？
方法: 1、在圆弧上任取三点A、 B、C。 2、作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即为 圆心。 3、以点O为圆心，OC 长为半径作圆。 ⊙O即为所求。
A
B
C
构成圆的基本要素有那些?
o r
两个条件: 圆心 半径
那么我们又如何画圆呢?
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
过几点可以确定一个圆呢？
1、过一点作圆
过一点可以作无数个圆
2.过两个点作圆
过两个点可以作无数个圆 圆心在什么位置呢?
经过三个点A、B、C能确定 一个圆吗？
Hale Waihona Puke A假设经过A、B、C三点 N F 的⊙O存在 （1）圆心O到A、B、C三 C O E M 点距离 相等 （填“相等” B 或”不相等”）。 （2）连结AB、AC，过O点 分别作直线MN⊥AB， EF⊥AC，则MN是AB 的 垂直平分线 ；EF是AC的 垂直平分线 。 （3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距 离 相等 。
2.书 练习
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学， 使这所中学到三个小区的距离相等。请问 同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确 定这个位置呢？
●
A
●
B
●
C
学到了什么
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！ （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。 （4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （5）外接圆，外心的概念。
O
点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r （2）d=r 点在圆内 点在圆上
（3）d>r
点在圆外
2.已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C 三点的圆
已知△ABC，用直尺和圆 规作出过点A、B、C的圆
已知△ABC，用直尺和 圆规已知△ABC，用直 尺和圆规作出过点A、 B、C的圆 作出过点A、B、C的圆
A
O
C
B
走进生活
图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分 AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心。 A
B
· 圆心
C
D
练一练
1.下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分.
B.过两点有无数个圆.
D.过同一直线上三点不能画圆.
2.三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等. C.外心在三角形的外. B.到三个顶点的距离相等. D.外心在三角形内.