清华大学弹性力学-有限元法1

v i 4 5 xi 6 yi v j 4 5 x j 6 y j （b ） v m 4 5 xm 6 ym
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（可确定6个待定参数）
解(b)前三个式：
1 1 uj 2A um 1 ui xi xj xm xi yi yj ym ui uj um
B 1
0 ci 0 c j v i b v 2 [A a i bi xb ci y c c i j j 2 i
2 bi 0 b j 0 bm 0 1a j b j x c j y u j a m bm x c m y um ]
(3)三角形单元 i, j, m在 i, j 边的形函数与第三个 顶点坐标无关。
x xi N i ( x , y ) 1 x j xi x xi N j ( x, y ) x j xi
Nm ( x, y ) 0
y (xi , yi ) i
j (xj , yj ) m (xm , ym ) x
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则:
1 1 2 A ai ui a j u j am um 1 bi ui b j u j bm um 2 2A 3 1 ci ui c j u j cm um 2A
1 4 2 A ai v i a j v j am v m 1 bi v i b j v j bm v m 5 2A 6 1 ci v i c j v j cm v m 2A



（d）
同理:

（e）
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将(d)(e)代入(a):
1 x , yc) 2 x 3 y u 1 u [ a i b( x y u i i i 2A v ( x , y ) 4 5 x 6 y a j b j x c j y u j am bm x cm y um ]
bi
1
yj
1 ym xj
y j ym ;
ci
1
1 xm
( x j x m )
（ i, j, m )
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1 1 uj 2A um
ui
xi xj xm
yi yj ym
ai
xj xm
yj ym
x j ym x m y j
1 ai ui a j u j am um 1 2A


1 v [ai bi x ci y v i 2A a j b j x c j y v j am bm x cm y v m ]


令:
1 ai bi x ci y Ni 2A
i , j , m
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单元位移模式可写成：
u N i ui N j u j N m u m d v N i v i N j v j N m v m
利用这一性质，可以证明相邻单元在公 共边上位移是连续的。
18
y
i
单元① ②在公共边 i, j 上:
m
① ② j
x
Nm ( x, y ) Nn( x, y ) 0
n
则公共边 i, j 上的位移：
u N i ui N j u j v N i vi N j v j
公共边 i, j 上的位移只由公共边两个结点 i, j 的位移确定，所以相邻单元在公共边上位移是连 续的。
5. 变分原理与有限元基本方程：
•有限元单元物理量
单元结点位移：
e [ i j m ]T [ui vi u j v j um vm ]T
单元位移模式：
d N
单元应变应力：
e
B e
D D B e
其中：[k ] B D B tdA — 单元刚度矩阵
e T Ae
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外力势能：
V e {d }T { G } tdA
Ae
{d }T { P }tds {d }T { P }
S
[ ]
eT
( [ N ]T {G }tdA
Ae

eT
S
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•平面单元体总势能
应变能：
1 U U1dA { }T { }tdA 2 Ae Ae
e
1 ([ B ][ ]e )T [ D ][ B ][ ]e tdA 2 Ae 1 eT [ ] ( [ B ]T [ D ][ B ]tdA)[ ]e 2 Ae 1 eT e e [ ] [k ] [ ] 2
— 平面应力问题物理方程的矩阵表达式
令: [ s ] [ D][ B ] [ S i
Sj
Sm ]
— 应力矩阵
bi E b S i i 2 2(1 ) A 1 ci 2
c i ci 1 bi 2
i , j , m
v y
u v y x
T
应力--应变关系
D
1 E D 其中： 2 1 o

1 o
o o 1 2
平面应力弹性矩阵
8
2. 单元位移模式：
y (xi , yi ) vi i ui v (x , y )


0
a j b j x c j y v j a m bm x c m y v m ]


cm
cm 单元应变矩阵 bm
又可写成：
B Bi
bi 1 Bi o 2A ci
Bj
Bm

i , j , m
o ci bi
1 2 1 uj 2A 1 um 1 ui yi yj ym
1 3 1 xj 2A 1 xm
1 2A 1
xi xj
yi yj ym
1 xm
单元编码 i, j, m 应逆时针转向, 可使A(三角形面积) > 0。
11
如果令：
ai xj xm yj ym x j ym xm y j ;
26
最小势能原理:
e ( U e V e ) 0
(a) 代入上式，得：
e ( U e V e )
1 eT e e eT ( [ ] [k ] [ ] [ ] {R}e ) 2 ({}e )T ([k ]e [ ]e {R}e ) 0
y
(x i , y i ) v i i
ui v (x , y )
u(x , y ) vm m um (x m , y m )
(x , y ) vj j u j (x j , y j )
1 ~ 6 待定参数
x
将结点坐标代入(a)，得结点位移:
ui 1 2 x i 3 y i u j 1 2 x j 3 y j um 1 2 x m 3 y m
[B]中各元素为常数，则{}也为常量。 — 常应变单元
4. 物理方程，由结点位移求单元应力：
1 E D 2 1 o o x 1 o y D B e 1 xy o 2
(x , y ) u(x , y ) vj j u (xj , yj ) j
vm x
m um (xm , ym )
单元内任一点沿坐标轴的线位移可写成：
u {d } v
9
设u,v是坐标x,y的线性函数:
u( x , y ) 1 2 x 3 y （a） v ( x , y ) x y 4 5 6
[ N ]T { P }tds [ N ]T { P })
[ ] { R }e
e e e e { R } { P } { P } { P } 其中： G p p
而：
25
{ PG }e { Pp }e
Ae
T [ N ] {G }tdA — 单元体力的等效结点力 T [ N ] { P }td
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3. 几何方程，由结点位移求单元内应变：
u v u v [ x , y , xy ] , , x y y x
T T
将位移表达式代入，得： 其中： 1
u
B e
[a i bi x c i y ui
位移
u {d } [ u v
x { } y [ x xy
i vi ui v(x , y )
v]
T
(x , y ) u(x , y ) vj j u vm j
m um x
应变
y
xy ]T
x 应力 { } y [ x xy
— 单元面力的等效结点力
{ Pp }e [ N ]T { P }
S
— 单元内集中力的等效结点力
单元体总势能：
e Ue V e
1 eT e e eT [ ] [k ] [ ] [ ] {R}e 2
(a)
总势能是位移 {d } [ u
v ] N 的泛函
T e
y
xy ]T
6
单元体积力：
{G} [ X Y ]T
y
j
i Y
X
x
m
单元边界面力：
y
i
Y X
{P } [ X Y ]
T
j
单元内集中力：
{P} [ Px Py ]T
y
j i Py
x
m
Px
x
m
7
几何方程
u x v u y x u v y x
3
2. 有限元的特点：
• 概念浅显、容易掌握。 • 有很强的适用性，应用范围极广。 • 采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序。
4
3. 有限元的分析步骤：
• 离散化（网格划分） • 单元分析（建立单元刚度矩阵） • 整体分析（建立整体平衡方程求解未知量）
5
§7-2 三角形常应变单元分析
1. 平面问题物理量的矩阵表示： y
或： d N e （由结点位移表示的单元内位移） 其中：
e [ i j m ]T [ui vi u j v j um vm ]T
i
e
ui vi
i , j , m
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Ni N 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
弹性力学问题的两种等价数学模型
微分方程(微分)问题
几何方程、物理方程、平衡微分方程
用位移表示的平衡方程(第二章)
泛函极值(变分)问题 最小势能原理：
给定外力下实际位移使总势能最小(第六章) 有限元法是基于最小势能原理的近似方法。
？
1
第七章 有限元法
§7-1 有限元法的概念和特点
1. 有限元的概念：
有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为
一组有限个单元的集合体；
2
在每一个单元内假设近似位移函数，将其集合来表 示全求解域上的待求位移函数；
y i vi ui v (x , y )
(x , y ) u(x , y ) vj j u vm j
m um x
单元内的近似函数由 单元结点的位移数值 及其 插 值函数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点数 值，用线性代数方程组求解。
Nm 0
0 形函数矩阵 Nm
•形函数性质 (1)形函数Ni在 i 点值为1，在 j、m 点数值为0。
m
m
1 j i j i
1
m
j
1
i Ni Nj
Nm
Ni : 在 i 点发生单位位移对单元内部位移的影响。
17
Байду номын сангаас
(2)单元任一点三个形函数之和为1。
Ni ( x, y ) N j ( x, y ) Nm ( x, y ) 1