八年级数学下册16二次根式161二次根式1导学案新人教版
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
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人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容,主要让学生了解二次根式的概念,理解二次根式与有理数、实数之间的关系,为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法,通过学习,让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识,提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了实数、有理数等相关知识,具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念,对于部分学生来说可能较为抽象,难以理解。
因此,在教学过程中,要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念,帮助他们建立直观的认识,从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养,培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法:通过创设实际问题情境,引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法:讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法:让学生通过实际操作,掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法:分组讨论,共同解决问题,提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作精美的课件,辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题:准备一些与生活实际相关的问题,用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题:准备一些练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用实际问题情境,引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如,讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程,上升和下降的距离分别是3米和4米,求物体的最大高度。
2.呈现(10分钟)讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
八年级数学下册第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时教案新新人教
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16.3二次根式的加减第1课时【教学目标】知识与技能:1.理解二次根式合并的原理,能进行二次根式的合并.2.掌握二次根式加减的法则,会运用法则进行二次根式的加减.过程与方法:先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导二次根式的计算和化简.培养学生较熟练的运算能力.情感态度与价值观:帮助学生正确对待学习,养成良好的学习习惯,寻找有效的学习方法.【重点难点】重点:理解二次根式合并的原理,掌握二次根式加减的法则,会运用法则进行二次根式的加减.难点:掌握二次根式加减的法则,能熟练运用法则进行二次根式的加减.【教学过程】一、创设情境,导入新课:[问题情境]如图,面积为48 cm2的正方形四个角是面积为3 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体的底面边长和高分别是多少?解:原大正方形边长为=4(cm),小正方形边长为 cm.长方体的底面的边长为4-2.接下来怎样计算呢?这就是这节课我们要学习的二次根式的加减.二、探究归纳活动1:二次根式的合并的条件1.(1)什么是最简二次根式?(2)化简二次根式并找出被开方数相同的二次根式:①②③④⑤⑥⑦(3)上面二次根式哪些能合并?答案:①与⑥③与⑤④与⑦.2.归纳:二次根式的合并的条件把二次根式化成最简二次根式,被开方数相同的二次根式能合并.活动2:探索二次根式加减的法则1.填空:3+2=(3+2),其运算根据是______答案:分配律2.+=4+3①=(4+3)②=7.问题:(1)其中第①步是怎样运算的?______ ;答案:化成最简二次根式(2)第②步运算根据是________.答案:分配律3.思考:同类项可以合并,被开方数相同的最简二次根式能合并吗?提示:能.4.归纳:二次根式加减的法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.活动3:例题讲解【例1】确定下列哪组二次根式能合并.(1),(2),(3),(4),分析:化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式可以合并.解:(1)=3与不能合并;(2)=与能合并;(3)=5,=10,5与10不能合并;(4)与不能合并.点拨:二次根式合并的方法1.将二次根式都化为最简二次根式;2.把被开方数相同的二次根式合并.【例2】计算:(1)+2+-.(2)a+-.分析:先把各二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.解:(1)+2+-=++2-=++2-=+.(2)a+-=+2-+=+(2+1)=+3.总结:二次根式加减的步骤:1.化简:将每一个二次根式都化为最简二次根式.2.判断:判断哪些二次根式的被开方数相同,把被开方数相同的二次根式结合在一起.3.合并:合并被开方数相同的二次根式,将二次根式的系数相加,被开方数不变.三、交流反思这节课我们学习了二次根式的加减运算,在运算时要注意按照:“一化二找三合并”的步骤进行,细心运算.四、检测反馈1.计算:-=________.A.B.2 C.D.2+2.化简-(-1)的结果是()A.2-1B.2-C.1D.2+3.下列根式中,不能与合并的是()A.B.C.D.4.计算-9的结果是()A.-B.C.-D.5.下列计算正确的是()A.4-3=1B.+=C.2=D.3+2=56.已知最简二次根式与能合并,则a的值可以是()A.5B.3C.7D.87.请确定下列二次根式是否能合并,说明理由.(1)和;(2)和;(3)和.8.计算:(1)-(2)+6-3x五、布置作业教科书第15页习题16.3第1,2,3题六、板书设计七、教学反思本节课学习了二次根式加减,关键是掌握二次根式加减的步骤:(1)化:将每一个二次根式都化为最简二次根式;(2)找:找出被开方数相同的二次根式,把被开方数相同的二次根式结合在一起;(3)合并:将被开方数相同的二次根式的系数相加,被开方数不变.并能运用步骤进行计算.。
新人教版八年级下册数学16.1二次根式教学设计
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16.1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念,并利用(a≥0)的意义解答具体题目.提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点:形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;2.难点与关键:利用“(a≥0)”解决具体问题.教学过程一、问题引入1.完成书上第二页的第一个思考题,采用小组讨论的形式2.选择一个小组进行汇报。
3.教师进行点评4.完成练习题1二、探索新知观察这些题计算的结果有什么特点1.形式上都含有“”2.被开方的数是数或者含有字母的式子3.(a≥0)因此,一般地,我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式,其中“”称为二次根号.(学生活动)议一议:1.-1有算术平方根吗?2.0的算术平方根是多少?3.当a<0,有意义吗?为什么?老师点评:(略)例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、、、(x>0)、、、-、、(x≥0,y•≥0).分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、-、(x≥0,y≥0);不是二次根式的有:、、、.例2.当x是多少时,在实数范围内有意义?分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,•才能有意义.解:由3x-1≥0,得:x≥当x≥时,在实数范围内有意义.三、展示交流教材P3练习2题.四、堂清巩固例3.当x是多少时,+在实数范围内有意义?分析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0.解:依题意,得由①得:x≥-由②得:x≠-1当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.例4(1)已知y=++5,求的值.(答案:2)(2)若+=0,求a2004+b2004的值.(答案:)五、课堂小结(学生活动,老师点评)本节课要掌握:1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1.教材16.1第1题和第7题2.选用课时作业设计.3.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16.1二次根式(1)一、二次根式定义二、二次根式有意义条件以及应用八、课后回顾第一课时作业设计一、选择题 1.下列式子中,是二次根式的是()A.- B. C. D.x2.下列式子中,不是二次根式的是()A. B. C. D.3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5 B. C. D.以上皆不对二、填空题1.形如________的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为________.3.负数________平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?2.当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?3.若+有意义,则=_______.4.使式子有意义的未知数x有()个.A.0 B.1 C.2 D.无数5.已知a、b为实数,且+2=b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案:一、1.A 2.D 3.B二、1.(a≥0)2. 3.没有三、1.设底面边长为x,则0.2x2=1,解答:x=.2.依题意得:,∴当x>-且x≠0时,+x2在实数范围内没有意义.3.4.B5.a=5,b=-416.1 二次根式(2)第二课时教学内容1.(a≥0)是一个非负数;2.()2=a(a≥0).教学目标理解(a≥0)是一个非负数和()2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出(a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1.重点:(a≥0)是一个非负数;()2=a(a≥0)及其运用.2.难点、关键:用分类思想的方法导出(a≥0)是一个非负数;•用探究的方法导出()2=a(a≥0).教学过程一、复习引入(学生活动)口答1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?老师点评(略).二、探究新知议一议:(学生分组讨论,提问解答)(a≥0)是一个什么数呢?老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出(a≥0)是一个非负数.做一做:根据算术平方根的意义填空:()2=_______;()2=_______;()2=______;()2=_______;()2=______;()2=_______;()2=_______.老师点评:是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.同理可得:()2=2,()2=9,()2=3,()2=,()2=,()2=0,所以()2=a(a≥0)例1计算1.()2 2.(3)2 3.()2 4.()2 分析:我们可以直接利用()2=a(a≥0)的结论解题.解:()2 =,(3)2 =32·()2=32·5=45,()2=,()2=.三、展示交流计算下列各式的值:()2()2()2()2(4)2四、堂清巩固例2 计算1.()2(x≥0)2.()2 3.()24.()2分析:(1)因为x≥0,所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0;(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0.所以上面的4题都可以运用()2=a(a≥0)的重要结论解题.解:(1)因为x≥0,所以x+1>0()2=x+1(2)∵a2≥0,∴()2=a2(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0 ,∴=a2+2a+1(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0,∴()2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:(1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3分析:(略)五、课堂小结本节课应掌握:1.(a≥0)是一个非负数;2.()2=a(a≥0);反之:a=()2(a≥0).六、布置作业1.教材第五页4题2.选用课时作业设计.3.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16.1二次根式(2)1.(a≥0)是一个非负数;2.()2=a(a≥0);反之:a=()2(a≥0).八、课后回顾第二课时作业设计一、选择题1.下列各式中、、、、、,二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.12.数a没有算术平方根,则a的取值范围是().A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0二、填空题1.(-)2=________.2.已知有意义,那么是一个_______数.三、综合提高题1.计算(1)()2(2)-()2(3)()2(4)(-3)2(5)2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:(1)5 (2)3.4 (3)(4)x(x≥0)3.已知+=0,求x y的值.4.在实数范围内分解下列因式:(1)x2-2 (2)x4-9 3x2-5第二课时作业设计答案:一、1.B 2.C二、1.3 2.非负数三、1.(1)()2=9 (2)-()2=-3 (3)()2=×6=(4)(-3)2=9×=6 (5)-62.(1)5=()2(2)3.4=()2(3)=()2(4)x=()2(x≥0)3. x y=34=814.(1)x2-2=(x+)(x-)(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+)(x-)(3)略16.1 二次根式(3)第三课时教学内容=a(a≥0)教学目标理解=a(a≥0)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答,探究=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点:=a(a≥0).2.难点:探究结论.3.关键:讲清a≥0时,=a才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容;1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式;2.(a≥0)是一个非负数;3.()2=a(a≥0).那么,我们猜想当a≥0时,=a是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空:=_______;=_______;=______;=________;=________;=_______.(老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;=;=;=0;=.因此,一般地:=a(a≥0)例1 化简(1)(2)(3)(4)分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用=a(a≥0)•去化简.解:(1)==3 (2)==4(3)==5 (4)==3三、展示交流教材P7练习2.四、堂清巩固例2 填空:当a≥0时,=_____;当a<0时,=_______,•并根据这一性质回答下列问题.(1)若=a,则a可以是什么数?(2)若=-a,则a可以是什么数?(3)>a,则a可以是什么数?分析:∵=a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“()2”中的数是正数,因为,当a≤0时,=,那么-a≥0.(1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知=│a│,而│a│要大于a,只有什么时候才能保证呢?a<0.解:(1)因为=a,所以a≥0;(2)因为=-a,所以a≤0;(3)因为当a≥0时=a,要使>a,即使a>a所以a不存在;当a<0时,=-a,要使>a,即使-a>a,a<0综上,a<0例3当x>2,化简-.分析:(略)五、课堂小结本节课应掌握:=a(a≥0)及其运用,同时理解当a<0时,=-a的堂清巩固.六、布置作业1.教材P8习题16.1 5、6、8.9.102.选作课时作业设计.3.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16.1二次根式(3)1.=a(a≥0)及其运用2. 当a<0时,=-a八、课后回顾第三课时作业设计一、选择题1.的值是().A.0 B. C.4 D.以上都不对2.a≥0时,、、-,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是(). A.=≥- B.>>-C.<<- D.->=二、填空题1.-=________.2.若是一个正整数,则正整数m的最小值是________.三、综合提高题1.先化简再求值:当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.2.若│1995-a│+=a,求a-19952的值.(提示:先由a-2000≥0,判断1995-a•的值是正数还是负数,去掉绝对值)3. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│++。
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
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第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程 (一)复习回顾:(1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
(2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
(二)自主学习(1)16的平方根是 ;(2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。
思考:16,5h ,πs,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?3,16-,34)0(3≥a a ,12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。
所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。
43、根据算术平方根意义计算 :(1) 2)4((2)(3)2)5.0( (4)2)31( 根据计算结果,你能得出结论:,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
人教版八年级数学下册单元导学案-第十六章 二次根式(单元学案)
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人教版八年级数学下册单元导学案16.1.1 二次根式(第1课时)学习目标1.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念.2.知道被开方数必须是非负数的理由,知道二次根式本身是一个非负数.(难点)3.会求二次根式中被开方数字母的取值范围.(重点)学习过程一、合作探究【问题1】你能用带有根号的式子填空吗?(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S 的正方形的边长为 .(2)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s)与开始落下的高度h (单位:m)满足关系h=5t 2,如果用含有h 的式子表示t ,则t= .【问题2】上面得到的式子√3,√S,√ℎ5有什么共同特征?【问题3】你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?什么样的式子叫做二次根式?追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a ≥0”?【问题4】你能比较√a 与0的大小吗?二、跟踪练习1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:√2,√33,1x ,√x (x>0),√0,√24,-√2,1x+y,√x +y (x ≥0,y ≥0).2.当x 是多少时,√3x -1在实数范围内有意义?3.当x是什么实数时,下列各式有意义.;(3)√-x2;(4)√x-2−√2-x.(1)√3-4x;(2)√xx-1三、变化演练1.使式子√1-x有意义的x的取值范围是.2+x2.若|x-y|+√y-2=0,则x y-3的值为.3.若√x+1+√y-3=0,则(x-1)2+(y+3)2=..求x2+y2的值.4.若x,y为实数,且y=√1-4x+√4x-1+12四、达标检测(一)选择题1.下列式子中,是二次根式的是()3 C.√x D.xA.-√7B.√72.下列式子中,不是二次根式的是()A.√4B.√16C.√8D.1x3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5B.√5D.以上皆不对C.154.(2017东营中考)若|x2-4x+4|与√2x-y-3互为相反数,则x+y的值为()A.3B.4C.6D.9(二)填空题5.当√2x+3在实数范围内有意义时,x的取值范围是.x6.若√3-x+√x-3有意义,则√x-2=.(三)解答题7.如图,长方形ABCD在直角坐标系中,边BC在x轴上,B点坐标为(m,0)且m>0,AB=a,BC=b,且满足b=√6-a−√a-6+8.(1)求a,b的值及用m表示出点D的坐标;(2)连接OA ,AC ,若△OAC 为等腰三角形,求m 的值;(3)△OAC 能为直角三角形吗?若能,求出m 的值;若不能,说明理由.参考答案一、合作探究问题1√3,√S,√ℎ5问题2都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. 问题3 √a (a ≥0)一般地,我们把形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式,“√ ”称为二次根号. 因为负数没有算术平方根,所以二次根式的被开方数一定是非负数. 问题4当a>0时,√a 表示a 的算术平方根,因此√a >0, 当a=0时,√a 表示0的算术平方根,因此√a =0, 这就是说,√a (a ≥0)是一个非负数. 二、跟踪练习1.解:二次根式有:√2,√x (x>0),√0,-√2,√x +y (x ≥0,y ≥0); 不是二次根式的有:√33,1x ,√24,1x+y . 2.解:由3x-1≥0,得x ≥13,当x ≥13时,√3x -1在实数范围内有意义. 3.(1)x ≤34 (2)x ≥0且x ≠1 (3)x=0 (4)x=2 三、变化演练 1.x ≤1且x ≠-22.12解析:因为|x-y|≥0,√y -2≥0,所以x=y=2,x y-3=12.3.13 解析:由题意知,x=-1,y=3,所以原式=(-1-1)2+(3+3)2=40.4.解:由题意知x=14,y=12,原式=(14)2+(12)2=516.四、达标检测 1.A 2.D 3.B4.A 解析:因为|x 2-4x+4|与√2x -y -3互为相反数, 所以|x 2-4x+4|+√2x -y -3=0,所以{x 2-4x +4=0,2x -y -3=0,则{x =2,y =1. 所以x+y=3. 5.x ≥-32且x ≠0 6.137.解:(1)∵√6-a 与√a -6有意义,∴{6-a ≥0,a -6≥0.∴a=6, ∴b=8.∵B 点坐标为(m ,0),四边形ABCD 是矩形, ∴D (m+8,6);(2)∵AB=6,BC=8, ∴AC=√62+82=10, ∵B (m ,0),∴OA 2=m 2+62=m 2+36,OC=m+8,当OA=AC 时,m 2+36=100,解得m=8或m=-8(舍去); 当AC=OC 时,10=m+8,解得m=2;当OA=OC 时,m 2+36=(m+8)2,解得m=-74(舍去). 综上所述,m=8或m=2; (3)能.∵m>0,点C 在x 轴上, ∴只能是∠OAC=90°,∴OA 2+AC 2=OC 2,即m 2+36+100=(m+8)2,解得m=92.人教版数学八年级下册导学案16.1.2 二次根式(第2课时)学习目标1.理解二次根式的性质(√a )2=a (a ≥0),并能利用这一结论进行计算.(重点)2.掌握二次根式的基本性质:√a 2=|a|,进行计算和化简.(难点)3.了解代数式的意义,会判断一个式子是否是代数式.学习过程一、合作探究1.根据算术平方根的意义填空: (√3)2= ,(√5)2=,(√23)2= ,(√0)2=从以上等式中,同学们能得出结论:(√a )2= 2.计算:√42=,√0.22=,√(45)2= ,√202= .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a>0时,√a 2= .3.计算:√(-4)2= ,√(-0.2)2= ,√(-45)2= ,√(-20)2= .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a<0时,√a 2= . 4.计算:√02= ,当a=0时,√a 2= . 归纳总结:将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质: √a 2=|a|={a ,a >0,0,a=0,-a ,a <0.二、跟踪练习1.计算:(1)(√32)2= ,(2)(3√5)2=,(3)(√56)2= .2.化简:(1)√0.32= ,(2)√(-0.5)2= ,(3)√(-6)2= ,(4)√(2a )2= (a<0).3.(1)化简:√(a -3)2(a ≥3) (2)√2x +32(x<-2)4.把下列非负数写成一个数的平方的形式: (1)5 (2)3.4 (3)16 (4)x (x ≥0)三、变化演练1.填空:(1)√(2x -1)2-(√2x -3)2(x ≥2)= .(2)√(π-4)2= .(3)若a ,b ,c 为三角形的三条边,则√(a +b -c )2+|b-a-c|= .2.已知2<x<3,化简:√(x -2)2+|x-3|.3.在实数范围内分解下列因式: (1)x 2-2 (2)x 4-9四、达标检测(一)选择题1.√(3-√10)2的值等于( )A.±(3-√10)B.3±√10C.3-√10D.√10-32.化简:√x 2-6x +9-(√3-x )2=( ) A.2x-6 B.0 C.6-2x D.2x+63.下列各式中,二次根式有( )①√(-3)2;②√12-13;③√(a -b )2;④√-a 2-1;⑤√83.A.2个B.3个C.4个D.5个4.下列运算中,错误的有( )①√125144=1512;②√(-4)2=±4;③√-22=-√22=-2;④√116+14=14+12.A.1个B.2个C.3个D.4个(二)填空题5.当1<x<3时,|1-x|+√x 2-6x +9= .6.我们知道:√32=3,√72=7,将两等式反过来得到:3=√32,7=√72,据此我们可以化简:如3×√13=√32×13=√3和7×√27=√72×27=√14,按照上面的方法,化简下列各式:(1)2×√12= ;(2)6×√512= . 7.化简√(1-√3)2的结果是 .8.已知1<x<2,则式子√(x -1)2+|x-2|化简的结果为 . 9.化简:√(-3)2= .10.化简(√3-a )2+√(a -3)2= .11.已知0≤x ≤3,化简√x 2+√x 2-6x +9= .参考答案一、合作探究1.35230a2.40.24520a3.40.24520-a4.00.二、跟踪练习1.(1)32(2)45(3)562.(1)0.3(2)0.5(3)6(4)2a3.解:(1)原式=a-3(2)原式=-2x-34.解:(1)(√5)2(2)(√855)2(3)(√66)2(4)(√x)2三、变化演练1.(1)2(2)4-π(3)2a2.解:√(x-2)2+|x-3|=x-2+3-x=1.3.解:(1)x2-2=(x+√2)(x-√2).(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+√3)(x-√3).四、达标检测1.D2.B3.B4.D5.26.(1)√2(2)√157.√3-18.19.310.6-2a11.3人教版数学八年级下册导学案16.2.1 二次根式的乘除(第1课时)学习目标1.理解√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),√ab=√a·√b,并利用它们进行计算和化简.(重点)2.通过探究特殊练习,总结归纳一般规律,二次根式乘法法则√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),再进行逆向思维得√ab=√a·√b(a,b取值有何要求),最后通过讲练结合,掌握二次根式乘法计算与化简.(难点)学习过程一、合作探究1.计算:(1)√4×√9=,√4×9=(2)√16×√25=,√16×25=(3)√100×√36=,√100×36=2.根据上题计算结果,用“>”“<”或“=”填空:(1)√4×√9√4×9(2)√16×√25√16×25(3)√100×√36√100×36同学们讨论上面的练习存在什么规律,如果用字母怎么表示?√a·√b√ab(a≥0,b≥0),√ab√a·√b(a≥0,b≥0).二、跟踪练习ay21.计算:(1)√16×√8(2)5√5×2√15(3)√12a3·√132.化简:(1)√20;(2)√18;(3)√24;(4)√54;(5)2b2三、变式演练1.若2=√x+3·√x-3,则x的取值范围是()A.x≥3B.x≤-3C.-3≤x≤3D.不存在根号外的因式移入根号内的结果是()2.把a√-1aA.√-aB.-√-aC.√aD.-√a3.化简:(1)√(-36)×16×(-9);(2)√362+482;(3)√x3+6x2y+9xy2.四、达标检测(一)选择题1.等式√x+1·√x-1=√x2-1成立的条件是()A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-12.下列各等式成立的是()A.4√5×2√5=8√5B.5√3×4√2=20√5C.4√3×3√2=7√5D.5√3×4√2=20√63.二次根式√(-2)2×6的计算结果是()A.2√6B.-2√6C.6D.12=0,则√b2·√a·√c=()4.若|a-2|+b2+4b+4+√c2-c+14A.4B.2C.-2D.15.下列各式的计算中,不正确的是( ) A.√=√-4×√-6=(-2)×(-4)=8 B.√4a 4=√4×√a 4=√22×√(a 2)2=2a 2C.√32+42=√9+16=√25=5D.√132-122=√(13+12)(13-12)=√13+12×√13-12=√25×1=5 (二)化简与计算6.(1)√360;(2)√32x 4;(3)√18×√30;(4)√3×√2757.计算:(1)6√8×(-2√6);(2)√8ab ×3;8.不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内. (1)-3√23 (2)-2a √12a参考答案一、合作探究略二、跟踪练习1.解:(1)原式=8√2 (2)原式=50√3 (3)原式=2a 2y2.解:(1)原式=2√5;(2)原式=3√2;(3)原式=2√6;(4)原式=3√6;(5)原式=2ab √3. 三、变式演练1.A 解析:要使√x 2-9=√x +3·√x -3有意义,必须x+3≥0且x-3≥0,解得x ≥3,故选A .2.B 解析:∵a<0,∴a √-1a =-√a 2×(-1a )=-√-a ;故选B .3.解:(1)√(-36)×16×(-9)=√36×16×9=√62×42×32=√62×√42×√32=6×4×3=72;(2)√362+482=√(12×3)2+(12×4)2=√122×(32+42)=√122×√52=12×5=60;(3)√x 3+6x 2y +9xy 2=√x (x +3y )2=√(x +3y )2·√x =(x+3y )√x . 四、达标检测1.A2.D3.A4.B5.A6.解:(1)原式=6√10 (2)原式=4√2x 2 (3)原式=6√15 (4)原式=√25 7.解:(1)原式=-48√3 (2)原式=4√3ab 2 8.解:(1)原式=-√32×23=-√9×23=-√6. (2)原式=-√(2a )2·12a =-√4a 2·12a =-√2a .人教版数学八年级下册导学案16.2.2 二次根式的乘除(第2课时)学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.(重点)2.能熟练进行二次根式的除法运算及化简.(难点)学习过程一、合作探究填空:(1)√9√16= ,√916= ;规律:√9√16√916; (2)√1636= ,√1636= ;√16√36 √1636; (3)√4√16= ,√416= ;√4√16√416; (4)√36√81= ,√3681= ;√36√81√3681. 一般地,对二次根式的除法规定:√a √b= (a ≥0,b>0),反过来,√b= (a ≥0,b>0).二、跟踪练习1.计算:(1)√12√3(2)√32÷√18 (3)√14÷√116 (4)√6482.化简:(1)√364(2)√64b 29a 2 (3)√9x 64y 2 (4)√5x169y 2注:1.当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法则进行计算:即系数之商作为商的系数,被开方数之商作为被开方数.2.化简二次根式达到的要求:(1)被开方数不含分母;(2)分母中不含有二次根式.三、变式演练1.阅读下列运算过程:√3=√3√3×√3=√33√5=√5√5×√5=2√55数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简: (1)6= (2)32= (3)12=(4)√102√5=四、达标检测(一)选择题1.计算√6a ÷√3a 的结果是( )A.√2B.√22C.√2aD.√2a22.下列计算正确的是( ) A.√3÷√5=15√3 B.√3÷√25=15√3 C.√125÷√5=√5 D.√x ÷x=√x3.等式√3x -1x -2=√3x -1√x -2成立的条件是( )A.x>13 B.x ≥13 C.x>2D.13≤x<24.如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①√ab =√a√b,②√a b ·√b a =1,③√ab ÷√ab=-b ,其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③5.计算:√2×√6√3-1的结果是( )A.1B.√2C.√3D.√6(二)填空题6.计算:13√12x ÷2√13x = . 7.计算:√3×√5√5= .8.计算:√6√24的结果为 ,√3×√6÷√2= .9.有一个矩形的面积是√30 m 2,宽为√5 m,则它的长是 m . (三)计算题 10.计算:(1)6√6÷3√3;(2)√18÷8×√272.11.将下列各式化成最简二次根式:(1)√2-2;(2)√12xy÷23√y.12.化简35√xy5÷(-415√yx)·(-56√x3y).参考答案一、合作探究略二、跟踪练习1.解:(1)2(2)2√3(3)2(4)2√22.解:(1)√38(2)8b3a(3)38y√x(4)√5x13y三、变式演练略四、达标检测1.A解析:原式=√6a=√2,故选A.2.B解析:A.√3÷√5=√3√5=√155,故本选项错误;B.√3÷√25=√3√25=15√3,正确;C.√125÷√5=√125√5=√5√5=5,故本选项错误;D.√x÷x=√xx,故本选项错误,故选B.3.C解析:∵等式√3x-1x-2=√3x-1√x-2成立,∴{3x -1≥0,x -2>0,解得x>2.故选C .4.B 解析:∵ab>0,a+b<0, ∴a<0,b<0,①√ab =√ab,被开方数应大于等于0,a ,b 不能做被开方数,故①错误,②√ab ·√b a =√a b ·ba =√1=1,故②正确. ③√ab ÷√a b =√ab ÷√ab-b =√ab ·√ab=-b ,故③正确. 故选B .5.A 解析:原式=√12√3-1=2-1=1,故选A .6.x 解析:13√12x ÷2√13x =13·2√3x ÷2·√3x3x =23×3x2√3x ÷3x =x.故答案为x.7.5√3 解析:原式=√3×√5×√5=5√3,故答案为:5√3. 8.123 解析:√624=√624=√14=12,√3×√6÷√2=√3×6÷2=3.故答案为123.9.√6 解析:∵有一个矩形的面积是√30m 2,宽为√5m,∴它的长是√30÷√5=√6m .故答案为√6.10.解:(1)原式=(6÷3)×√6÷3=2√2;(2)原式=3√2×1×√272=9√3.11.解:(1)原式=(√2-1)√22=1-√22;(2)原式=√18x =3√2x . 12.解:原式=35×(-154)×(-56)×√xy 5·xy ·x 3y =158x 2y 2√xy .人教版数学八年级下册导学案16.3.1 二次根式的加减(第1课时)学习目标1.理解同类二次根式,并能判定哪些是同类二次根式.(重点)2.理解和掌握二次根式加减的方法.(重点)3.先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.(难点)学习过程一、合作探究1.计算.(1)2x+3x ;(2)2x 2-3x 2+5x 2;(3)x+2x+3y ;(4)3a 2-2a 2+a 22.(小组互助)学生活动:类比着计算1,尝试计算下列各式.(小组互助)(1)2√2+3√2=(2)2√8-3√8+5√8= (3)√7+2√7+√9×7= (4)3√3-2√3+√2=总结:(1)二次根式的被开方数相同也是可以合并的,如2√2与√8表面上看是不相同的,但它们可以合并吗?也可以.(与整数中同类项的意义相类似,我们把3√3与-2√3,3√a ,-2√a 与4√a 这样的几个二次根式,称为同类二次根式)(2)二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式进行合并.二、跟踪练习1.下列计算正确的是( )A.√45-2√5=√5B.√2+√3=√5C.3+√2=3√2D.√(-16)(-9)=√-16·√-92.下列根式中能与√3合并的二次根式为( ) A.√32B.√24C.√12D.√183.与-√5是同类二次根式的是( ) A.√10B.√15C.√20D.√254.计算:3√48-9√13+3√18-4√18.5.化简:√32-4√0.5+3√8;三、变式演练(1)√12−(√1-√1); (2)(√48+√20)+(√12−√5); (3)x √1x+√4y −√x2+y √1y; (4)2x √9x −(x 2√1-6x√x).四、达标检测(一)选择题1.下列二次根式中与√2是同类二次根式的是( )A.√4B.√6C.√8D.√10 2.下列二次根式中,不能与√3合并的是( ) A.2√3 B.√12 C.√18D.√273.下列计算正确的是( ) A.√2+√2=2 B.3+√2=3√2 C.√3+√2=√5D.√9+√3=3+√34.下列计算正确的是( )A.6√5-5√5=1B.√3+√7=√10C.2√12=√2D.4+√3=4√35.计算2√12−√18的结果是( ) A.-√2B.-2√2C.-4√2D.-8√2(二)填空题6.下列二次根式,不能与√12合并的是 (填写序号即可).①√48;②√18;③√32.7.如果最简二次根式√a 2+3a 与√a +15能合并,那么a= . 8.计算(4√6-6√2)+2√2等于 . 9.计算√3+√12= . (三)计算题10.(1)(√24-√12)-2(√18+√6) (2)2√3+√27−√13 (3)4√5+√45−√20 (4)2√12-6√1+3√48参考答案一、合作探究1.(1)原式=5x ;(2)原式=4x 2;(3)原式=3x+3y ;(4)原式=2a 22.(1)原式=5√2;(2)原式=4√2;(3)原式=6√7;(4)原式=2√2 二、跟踪练习1.A 解析:A.原式=3√5-2√5=√5,所以A 选项正确;B.√2与√3不能合并,所以B 选项错误;C.3与√2不能合并,所以C 选项错误;D.原式=√16×9=√16×√9,所以D 选项错误.故选A .2.C 解析:A.√32=√62,和√3不能合并,故本选项错误;B.√24=2√6,和√3不能合并,故本选项错误;C.√12=2√3,和√3能合并,故本选项正确;D.√18=3√2,和√3不能合并,故本选项错误.故选C .3.C 解析:A.√10与-√5的被开方数不同,故A 错误;B.√15与-√5的被开方数不同,故B 错误;C.√20=2√5与-√5的被开方数相同,故C 正确;D.√25=5与-√5的被开方数不同,故D 错误;故选C .4.解:3√48-9√13+3√18-4√18 =3×4√3-9×√33+3×3√2-4×√24 =12√3-3√3+9√2−√2 =9√3+8√2.5.解:√32-4√0.5+3√8 =4√2-4×√22+3×2√2 =8√2三、变式演练解:(1)原式=2√3−(√33-√39)=2√3−√33+√39=169√3 (2)原式=4√3+2√5+2√3−√5=6√3+√5 (3)原式=√x +2√y −√x2+√y =√x2+3√y (4)原式=2x √x -(x √x -3x √x )=4x √x 四、达标检测1.C 解析:A.√4=2,与√2不是同类二次根式;B.√6与√2不是同类二次根式;C.√8=2√2与√2是同类二次根式,正确;C.√10与√2不是同类二次根式.故选C.2.C 解析:A.2√3能与√3合并,故A 不符合题意;B.√12=2√3能与√3合并,故B 不符合题意;C.√18=3√2不能与√3合并,故C 符合题意;D.√27=3√3能与√3合并,故D 不符合题意.故选C .3.D 解析:A .√2+√2=2√2,故A 错误;B.3+√2不能合并,故B 错误;C.√3+√2不能合并,故C 错误;D.√9+√3=3+√3,故D 正确,故选D .4.C 解析:本题考查二次根式的混合运算.熟练地掌握公式是解题的关键.对于选项A,6√5-5√5=√5,故错误;对于选项B,√3+√7没有同类项,不能合并,故错误;对于选项C,2√12=2×√22=√2,故正确;对于选项D,4+√3没有同类项,不能合并,故错误;故选C .5.B 解析:2√12−√18=√2-3√2=-2√2,故选B .6.② 解析:√12=√4×3=2√3,√48=√16×3=4√3,√18=√9×2=3√2,所以√48,√32与√12为同类二次根式,它们可以合并.故答案为②.7.-5或3 解析:最简二次根式√a 2+3a 与√a +15能合并,得a 2+3a=a+15,解得a=-5或a=3.故答案为-5或3.8.4√6-4√2 解析:(4√6-6√2)+2√2=4√6-6√2+2√2=4√6-4√2,故答案为4√6-4√2. 9.3√3 解析:原式=√3+2√3=3√3.故答案为3√3. 10.解:(1)原式=2√6−√22−√22-2√6=-√2. (2)原式=2√3+3√3−√33=14√33.(3)原式=4√5+3√5-2√5=5√5.(4)原式=4√3-2√3+12√3=14√3.人教版数学八年级下册导学案16.3.2 二次根式的加减(第2课时)学习目标1.熟练应用二次根式的加减乘除法法则进行二次根式的混合运算.(重点)2.二次根式混合运算的顺序、乘法公式的综合运用.(难点)学习过程一、合作探究1.探究计算(提示:类比乘法公式计算.) (1)(√8+√3)×√6;(2)(4√2-3√6)÷2√2.2.探究计算(1)(2√3−√2)2;(2)(2√3+3√2)(2√3-3√2).二、自主练习(1)√5-(√3+√15)÷√6×√2; (2)(√48-4√18)−(3√13-2√0.5); (3)(3+√5)(3-√5)-(√3-1)2; (4)(-√3+1)(√3-1)-√(-3)22-√5. 三、变式演练1.计算:(1)√12−(√33)-1+√3(√3-1)-2 0180-|√3-2|; (2)(2√6−√3+√2)×(2√6−√3−√2).2.计算:(1)√48÷√3−√12×√12+√24;(2)先化简再求值:2x-1x2-2x+1·(x-1),其中x=√2+1.四、达标检测(一)选择题1.下列计算正确的是()A.√2+√3=√5B.√2·√3=√6C.√24÷√3=4D.√(-3)2=-32.化简(√3-2)2 018·(√3+2)2 019的结果为()A.-1B.√3-2C.√3+2D.-√3-23.计算√12(√75+3√13-√48)的结果是()A.6B.4√3C.2√3+6D.124.计算√32×√12+√2×√5的结果估计在()A.10到11之间B.9到10之间C.8到9之间D.7到8之间5.计算:(2√48-3√27)÷√6=()A.-5√22B.-√22C.√22D.5√22(二)填空题6.计算:2√48÷√6√2-1=.7.计算(2√3+3√2)2=.8.计算:√(2-√3)2+√(-√3-1)2=.9.已知√a+√b=√3+√2,√ab=√6−√3,则a+b=.10.已知x1=√3+√2,x2=√3−√2,则x12+x22=.(三)计算题11.计算:(1)√48÷√3−√12×√12+√24.(2)(3√2+2√3)(3√2-2√3)-(√3−√2)2.参考答案一、合作探究1.解:(1)原式=√8×√6+√3×√6=4√3+3√2; (2)原式=(4√2-3√6)×22=4√222-3√622=2-3√32. 2.解:(1)原式=(2√3)2-2×2√3×√2+(√2)2=14-4√6;(2)原式=(2√3)2-(3√2)2=-6. 二、自主学习解:(1)原式=√5-(√3+√15)×√6×√2=√5-(√3+√15)×√3=√5-1-√5=-1;(2)原式=4√3−√2−√3+√2=3√3; (3)原式=9-5-(3-2√3+1)=4-4+2√3=2√3;(4)原式=-(3-2√3+1)-3-(√5+2)=-4+2√3-3-√5-2=2√3−√5-9. 三、变式演练1.解:(1)原式=2√3−√3+3-√3-1+√3-2=√3;(2)原式=[(2√6−√3)+√2][(2√6−√3)-√2]=(2√6−√3)2-(√2)2=24-12√2+3-2=25-12√2. 2.解:(1)原式=√48÷3−√12×12+2√6=4-√6+2√6=4+√6; (2)原式=2x -1(x -1)2·(x-1)=2x -1x -1,当x=√2+1时,原式=√2+1√2+1-1=4+√22. 四、达标检测1.B2.C3.D4.D5.B6.2√2-27.30+12√6 8.1 9.5+2√3 10.10 11.解:(1)原式=√48÷3−√12×12+2√6 =4-√6+2√6 =4+√6;(2)原式=18-12-(3-2√6+2) =6-5+2√6 =1+2√6.人教版数学八年级下册导学案16.4.0本章小结学习目标1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质(√a )2=a (a ≥0).(重点)2.能用二次根式的性质√a 2=|a|来化简根式.(难点)3.能识别最简二次根式、同类二次根式.(重点)4.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.(难点)学习过程一、梳理知识1.二次根式:一般地,我们把形如的式子叫做二次根式.2.最简二次根式:满足下面两个条件的二次根式是最简二次根式:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式.3.二次根式的性质(1)二次根式√a(a≥0)是一个数.(2)(√a)2=(a≥0).(3)√a2=|a|={(a>0) (a=0) (a<0)4.二次根式的乘除:(1)乘法法则:√a·√b=(a≥0,b≥0).(2)除法法则:√a√b=(a≥0,b>0).5.二次根式的加减:先把各个二次根式化成,再把相同的二次根式进行合并.6.二次根式的混合运算的顺序与运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去掉括号).二、归纳考点考点一、二次根式概念与性质【例1】二次根式√-2x+4有意义,则实数x的取值范围是()A.x≥-2B.x>-2C.x<2D.x≤2【跟踪练习】1.若代数式√3x-1有意义,则x的取值范围是()A.x<13B.x≤13C.x>13D.x≥132.代数式√x+1x-1有意义,则x的取值范围是() A.x≥-1且x≠1 B.x≠1C.x≥1且x≠-1D.x≥-13.在式子1x-2,1x-3,√x-2,√x-3中,x可以取2和3的是()A.1x-2B.1x-3C.√x-2D.√x-3考点二、二次根式的运算【例2】如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①√ab =√a√b,②√ab·√ba=1,③√ab÷√ab=-b,其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【跟踪练习】1.下列计算正确的是( ) A.√4−√2=√2B.√202=√10C.√2·√3=√6D.√(-3)2=-3 2.下列计算错误..的是( ) A.√2+√3=√6B.√2·√3=√6C.√12÷√3=2D.√8=2√2 3.计算:√27−√3= . 考点三、二次根式混合运算【例3】计算:√24×√13-4×√18×(1-√2)0 【跟踪练习】1.下列运算中错误的是( )A.√2+√3=√5B.√2×√3=√6C.√8×√2=2D.(-√3)2=32.已知x 1=√6+√5,x 2=√6−√5,则x 12+x 22= . 考点四、二次根式运算中的技巧 【例4】若y=√x -4+√4-x2-2,则(x+y )y = .【跟踪练习】1.若(m-1)2+√n +2=0,则m+n 的值是( ) A.-1 B.0 C.1D.22.已知实数x ,y 满足√x -1+|y+3|=0,则x+y 的值为( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4考点五、估算大小【例5】a ,b 是两个连续整数,若a<√7<b ,则a ,b 分别是 ( )A.2,3B.3,2C.3,4D.6,8 【跟踪练习】若a<√13<b ,且a ,b 为连续正整数,则b 2-a 2= . 三、达标检测 (一)选择题1.下列二次根式:√5,√13,√0.5a ,-2√a 2b,√x 2+y 2中,是最简二次根式的有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 2.若√a 2=-a 成立,那么a 的取值范围是( ) A.a ≤0 B.a ≥0 C.a<0D.a>03.无论x 取任何实数,代数式√x 2-6x +m 都有意义,则m 的取值范围是( ) A.m ≥6 B.m ≥8 C.m ≥9 D.m ≥124.已知a=√5-2,b=√5+2,则√a 2+b 2+7的值为( )A.5B.6C.3D.45.已知x+y=-5,xy=3,则x √yx +y √xy 的结果是( )A.2√3B.-2√3C.3√2D.-3√26.等式√3x -1x -2=√3x -1√x -2成立的条件是( )A.x>13B.x ≥13C.x>2D.13≤x<27.计算:6√7×13√21÷2√3的结果是( )A.-4B.-2√3C.40D.7(二)填空题8.如果√(2a -1)2=2a-1,则a 的取值范围是 . 9.计算:(√24+√16)×√6= . 10.计算(4+√7)(4-√7)的结果等于 .11.已知x=12(√7+√5),y=12(√7−√5),则x 2-xy+y 2= . (三)计算题12.计算:(1)√8-2√12;(2)(3√2-2)2; (3)√20+√125√5+5;(4)(√32+√13)×√3-2√163.(四)解答题13.已知实数a ,b 在数轴上的对应点如图所示,化简√a 2+|a+b|+|√2-a|-√(b -√2)2.14.阅读下面材料,并解答后面的问题:√6+√5=(√6-√5)(6+5)(6-5)=√6−√5;√5+2=√5-(5+2)(5-2)=√5-2; √4+√3=√4-√3)(4+3)(4-3)=√4−√3.(1)观察上面的等式,请直接写出√n+1+√n的结果 ;(2)计算(√n +1+√n )(√n +1−√n )= ,此时称√n +1+√n 与√n +1−√n 互为有理化因式;(3)请利用上面的规律与解法计算:√2+1+√3+√2√4+√3+…+√100+√99.参考答案一、梳理知识略二、归纳考点考点一、二次根式概念与性质 【例1】 D【跟踪练习】1.D 2.A 3.C 考点二、二次根式的运算 【例2】 B【跟踪练习】1.C 2.A 3.2√3 考点三、二次根式混合运算 【例3】 解:原式=32√2 【跟踪练习】1.A 2.22考点四、二次根式运算中的技巧 【例4】 14【跟踪练习】1.A 2.A 考点五、估算大小 【例5】 A 【跟踪练习】7 三、达标检测1.A2.A3.C4.A5.B6.C7.D8.a ≥12 9.13 10.9 11.51212.解:(1)原式=2√2−√2=√2;(2)原式=18-12√2+4=22-12√2; (3)原式=√5+5√5√5+5=7+5=12; (4)原式=(4√2+√33)×√3−8√33=4√6+1-8√33. 13.解:由数轴可知:a<b<0,∴a<0,a+b<0,∵√2>0,∴√2-a>0,b-√2<0, ∴原式=|a|-(a+b )+√2-a-|b-√2|=-a-a-b+√2-a+(b-√2) =-3a-b+√2+b-√2=-3a14.(1)√n+1−√n;(2)1;(3)9。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_27
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16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标:a ≥0)的意义解答具体题目. 过程与方法目标:提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.情感与价值目标:通过本节的学习培养学生:发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重难点1.重点:理解二次根式的概念;2.难点:确定二次根式中字母的取值范围教法:讲练结合法: 在例题教学中,引导学生阅读,与平方根进行类比,获得解决问题的方法后配以精讲,并进行分层练习,培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法:1、类比的方法 通过观察、类比,使学生感悟二次根式的模型,形成有效的学习策略。
2、练习法 采用不同的练习法,巩固所学的知识;利用教材进行自检,小组内进行他检,提高学生的素质。
媒体设计:PPT 课件,展台。
学习过程一、展示学习目标:1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二.设置问题情境,引入新课:1求下列各数的平方根和算术平方根(1)9(2)0.64(3)0总结:a (a ≥0)的平方根是a (a ≥02.解决问题(1) 面积为 S 的正方形边长为________。
(2).面积为 b -5 的正方形边长为________。
(3). 圆桌的面积为 S ,则半径为________(4).若圆桌的面积为 S +3,则半径为________(5)关系式 h = 5t 2 (t > 0)中,用含有 h 的式子表示 t ,则 t = ________。
总结以上式子有何特征二次根式的概念:a像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式。
因此,一般地,我们把形如(a≥0三.探究新课1.指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。
提问:二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出:被开方数小于零2.指出下列哪些是二次根式?学生自主完成小练习:辨别下列式子,哪些是二次根式?三.练习四.小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五.作业课本第5页第一题。
新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)
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第十六章 二次根式16.1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间: 课时: 1学习内容:二次根式的概念及其运用 学习目标:1、理解二次根式的概念,并利用a (a ≥0)的意义解答具体题目.2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.学习过程一、自主学习 (一)、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________.(3,3).问题2:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=_________.(46.) (二)学生学习课本知识 (三)、探索新知 1、知识: 如3、10、46,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如 •的式子叫做二次根式,“”称为 .例如:形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x (x>0)、0、42、-2、1x y+、x y +(x ≥0,y•≥0). 解:二次根式有: ;不是二次根式的有: 。
例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? 解:由 得: 。
当 时,31x -在实数范围内有意义.(3)注意:1、形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式的概念;2、利用“a (a ≥0)”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展例3.当x 是多少时,23x ++11x +在实数范围内有意义? 例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求xy的值.(答案:2)(2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值.(答案:25)三、巩固练习 教材练习. 四、课堂检测 (1)、简答题1.下列式子中,哪些是二次根式那些不是二次根式? -7 37x x 4 16 8 1x(2)、填空题1.形如________的式子叫做二次根式. 2.面积为5的正方形的边长为________. (3)、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m ,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?2.若3x -+3x -有意义,则2x -=_______.3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有( )个.A .0B .1C .2D .无数4.已知a 、b 为实数,且5a -+2102a -=b+4,求a 、b 的值.16.1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间: 课时: 2 学习内容:1.a (a ≥0)是一个非负数; 2.(a )2=a (a ≥0). 学习目标:1、理解a (a ≥0)是一个非负数和(a )2=a (a ≥0),并利用它进行计算和化简.2、通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出a (a ≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出(a )2=a (a ≥0);最后运用结论严谨解题. 教学过程 一、自主学习 (一)复习引入1.什么叫二次根式?2.当a ≥0时,a 叫什么?当a<0时,a 有意义吗? (二)学生学习课本知识 (三)、探究新知1、a (a ≥0)是一个 数。
二次根式导学案
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第十六章 二次根式16.1 二次根式【学习目标】:1、理解二次根式的概念;2、理解中 的取值范围;a a 3、掌握二次根式的基本性质,并能利用二次根式的性质进行简单的化简。
【重点】:二次根式的概念和基本性质【难点】:二次根式的基本性质的灵活运用。
【教学过程】一、温故而知新1、完成下列填空(1)正方形喷泉池的面积为30,那么正方形的边长是;2m m (2)圆形花坛的面积为S , 那么这个圆的半径是 ;(3)+81的算术平方根是。
2a 2、根据第1题中的式子,总结二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式。
3、下列各式哪些是二次根式。
21234561二、合作探究: ____________练习一、为何值时,下列式子在实数范围内有意义?x 2、思考:请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识。
3、导入新课,完成思考:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S 的正方形的边长为(2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130,则它的宽是 m 。
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s ),与开始落下时离地面的高度h (单位:m ),满足关系式 。
如果用含有h 的式子表示t ,则t 为三、小组合作探究1、式子它们有什么共同特点?2、二次根式的定义:3、二次根式有什么特点?6535h例题1、说一说,下列各式是二次根式吗?4、跟踪训练:判断,下列各式中那些是二次根式?5、思考:二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件?例题2、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?总结:求二次根式中字母的取值范围的基本依据:四、拓展训练1、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?2、已知二次根式 有意义,那A(a, )在第 象限。
3、的最小值为__,此时x 的值为__。
五、课堂作业。
1、判断下列哪些式子是二次根式。
(C 组做)2、课本P5,A 、B 组做第1、7题,C 组做第1题。
3、选做题(1)若 ,则 (2)实数a,b 满足 ,求a 和a+b 的值。
人教版数学八年级下册16章《二次根式》单元整体教学设计
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(五)总结归纳
在总结归纳环节,我将引导学生回顾本节课所学内容,总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
1.回顾总结:请学生回顾本节课所学的内容,总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
2.归纳提升:引导学生发现数学规律,提高数学思维能力。
3.反馈评价:教师对学生的学习情况进行反馈,给予鼓励和指导,激发学生的学习动力。
-学会化简二次根式,包括分解质因数、提取平方因子等方法,使二次根式达到最简形式。
2.学会解决实际问题中涉及二次根式的计算,如长度、面积和体积的计算等。
-能够将实际问题转化为数学问题,建立二次根式相关的数学模型。
-运用二次根式的运算方法解决实际问题,培养将数学知识应用于实际生活的能力。
3.了解二次根式在几何图形中的应用,如勾股定理等。
4.运算讲解:详细讲解二次根式的乘除法运算规则,通过例题使学生熟练掌握运算方法。
(三)学生小组讨论
在小组讨论环节,我将组织学生进行合作学习,共同探讨二次根式的性质、化简和运算规则。
1.分组讨论:将学生分成若干小组,每组选一个组长,负责组织讨论。
2.讨论主题:每组针对二次根式的性质、化简方法和运算规则进行讨论,探讨解决实际问题的方法。
3.拓展应用:
-探究题:让学生自主探索二次根式在几何图形中的其他应用,如圆的面积、体积计算等,并撰写探究报告。
-研究性学习:小组合作,选择一个与二次根式相关的研究主题,如二次根式在建筑、工程中的应用,进行深入研究,并制作PPT进行课堂分享。
-数学阅读:推荐阅读相关数学历史资料,了解二次根式的历史背景和发展过程,拓宽学生的数学视野。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式的理解和应用,作业布置将包括基础巩固、能力提升和拓展应用三个层次,确保学生在课后能够自主复习、巩固所学知识,并提高解决问题的能力。
【大单元教学】人教版数学八年级下册 16.1.1 二次根式的概念 教案
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第十六章内容提要【课标要求】1.了解二次根式、最简二次根式的概念,2.了解二次根式(根号下仅限于数)加,减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算。
【内容分析】本章内容“二次根式”是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。
本章是在之前学习的基础上,进一步研究二次根式的概念和运算。
在本章中,将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法。
通过对二次根式的概念和性质的学习,学生将对实数的概念有更深刻的认识,通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习,学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
【学情分析】1.认知基础本节内容是学习二次根式的基础,理解二次根式的概念,同时理解二次根式有意义的条件,并熟悉二次根式的性质用来进行有关的计算;二次根式是初中阶段重要的知识点之一,学习好二次根式,为后续的计算打下良好的基础;2.认知障碍(1)能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系,体会研究次根式的必要性;(2)能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质,会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.(3)经历二次根式的性质的发现过程,体验归纳、猜想的思想方法;(4)了解并掌握二次根式的性质,会运用其进行有关计算.【教学目标】1.了解二次根式的概念,知道被开方数必须是非负数的理由;2.理解二次根式的性质;3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则、会用它们进行四则运算;4.了解代整式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用;5.先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简。
6.用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并运用规定进行计算,利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简。
7.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念;利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的。
新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
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新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案Lesson 1: The Concept of Quadratic Radicals1.Knowledge and Skills: Understand the concept of quadratic radicals and use the meaning of a (a≥0) to answer specific ns。
2.Process and Method: Raise ns for n。
analyze and summarize the concept。
analyze the XXX。
draw important ns。
and use XXX3.ns。
Attitudes。
and Values: Develop students' ability to observe。
analyze。
XXX quadratic radicals。
Learning Focus: XXX in the form of a (a≥0)。
solving specific problems using "a (a≥0)"。
preparing basic XXXXXX-XXX:Analysis of Student n: Students XXX。
Activity Content:1.XXX een positive square roots and negative square roots is that they are expressed as ±a。
2.What is the arithmetic square root of a number。
What is the meaning of a in a (a≥0)。
Review of Knowledge: What is the square root of a number。
人教版数学八年级下册16.1第2课时《 二次根式的性质》教学设计
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人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》是初中数学的重要内容,主要让学生了解和掌握二次根式的性质。
教材通过引入实际问题,引导学生探究二次根式的性质,从而培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念,具备了一定的代数基础。
同时,学生已经学习了二次根式的概念和简单的运算。
但学生在理解和运用二次根式的性质方面还存在一定的困难,因此,教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质,并能熟练运用。
2.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质及其运用。
2.引导学生理解和运用二次根式的性质。
五. 教学方法1.情境导入:通过实际问题引入二次根式的性质,激发学生的学习兴趣。
2.自主探究:引导学生独立思考,探究二次根式的性质。
3.合作交流:分组讨论,让学生在讨论中理解和掌握二次根式的性质。
4.巩固练习:设计有针对性的练习,让学生在实践中运用二次根式的性质。
5.总结提升:引导学生总结二次根式的性质,并展望后续学习。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题,用于导入新课。
2.准备PPT,展示二次根式的性质及相关例题。
3.准备练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过呈现一个实际问题,引导学生思考二次根式的性质。
例如:一个正方形的对角线长度为8,求正方形的边长。
2.呈现(10分钟)教师通过PPT展示二次根式的性质,引导学生理解和掌握。
例如:二次根式√a的性质有:(1)√a2=a(a≥0);(2)√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0);(3)√a√b =√ab(a≥0,b>0)。
人教版八年级数学下册第十六章 导学案 第1课时 二次根式的乘法
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第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法学习目标:1.理解二次根式的乘法法则;2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点:理解二次根式的乘法法则:()0,0≥≥=⋅b a ab b a .难点:会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么?我们上节课学了它的哪些性质?2.使式子2有意义的条件是_________.一、要点探究探究点1:二次根式的乘法算一算 计算下列各式,并观察三组式子的结果:_____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯ _____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯ ._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯思考 你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?猜测)0,0______(≥≥=⋅b a b a ,你能证明这个猜测吗?要点归纳:二次根式的乘法法则:一般地,对于二次根式的乘法是)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a一般地,二次根式相乘,_________不变,________相乘.语言表述:算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例1计算:(1)(2)(3)0,k a b k a b ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥(例2 计算: 37; 1(2)427-3.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭n b =归纳总结:二次根式的乘法法则的推广:①多个二次根式相乘时此法则也适用,即000)k a b k a b k ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥,,(②当二次根号外有因数(式)时,可以类比单项式乘单项式的法则计算,即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被开方数(式)的积作为被开方数(式),即()00a n b mn a b =≥≥,例3 比较大小(一题多解):(2)--方法总结: 比较两个二次根式大小的方法:可转化为比较两个被开方数的大小,即将根号外的正数平方后移到根号内,计算出被开方数后,再比较被开方数的大小被开方数大的,其算术平方根也大.也可以采用平方法.1. ()A B .4C D .22.下面计算结果正确的是 ()A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2:积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅b a ab b a ______0,0_a b 要点归纳:算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 化简:(1(2()00a b ,≥≥ .1()()200x y ,()≥≥方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式,此时运用乘法公式可以简化运算.例5 计算:1(⨯2()⨯ 3(⨯化简二次根式的步骤:1. 把被开方数分解因式(或因数) ;2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积;3. 如果因式中有平方式(或平方数),应用关系式a2= | a | 把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简.1. 计算:2.,求出它的面积.a b a b0,0多个二次根式相乘时此法则也适用,即(0,⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥a b c n abc n a()=m a n b mn2.下列运算正确的是()A.=B532-=C(2)(4)8=-⨯-=D5315==⨯= 3.计算:(1)⨯______ ;(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小(在横线上填“>”“<”或“=”):12()--8,12b,求250a,332b,求参考答案自主学习一、知识链接1.一般地,我们把形如)0a ≥的式子叫作二次根式.2. a ≥0 课堂探究一、要点探究证明:根据积的乘方法则,有222.ab =⋅= ∴b a ⋅就是 ab 的算术平方根.又∵ab 表示 ab 的算术平方根, )0,0(≥≥=⋅∴b a ab b a要点归纳:二次根式的乘法法则:一般地,二次根式相乘,根指数不变,被开方数相乘.例1: 解:(1)(2) 3.===探究点2:积的算术平方根的性质当堂检测。
八年级数学下册第16章二次根式第1课时二次根式的定义学案新人教版
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第1课时 二次根式的定义学习目标: 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件,并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点:二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用学法指导:小组合作交流 一对一检查过关导: 看书后填空:二次根式应满足两个条件:(1)形式上必须是a 的形式。
(2)被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式? ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x学:代数式有意义应考虑以下三个方面:(1)二次根式的被开方数为非负数。
(2)分式的分母不为0.(3)零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0当x 是怎样实数时,下列各式在实数范围内有意义?2-x ⑵x -21⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x (6)()01-a (1)常见的非负数有:a a a ,,2(2)几个非负数之和等于 0,则这几个非负数都为0.已知:0242=-++b a ,求a,b 的值。
巩固练习:已知(),03122=-++b a 求a,b 的值 2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为练:1.下列各式中:①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义,则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ,则=y x4.函数x y +=2中,自变量x 的取值范围是()(A ) X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-25.若式子ab a 1+-有意义,则P (a,b )在第( )象限(A )一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ,当y>0时,m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ,求xy 的值展:小组展示成果,提出质疑评:1. 组内互助,解决质疑并进行小组评价。
人教版八年级数学下册第十六章 二次根式(全章)教案
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16.1 二次根式[学习目标]理解二次根式的概念,并利用(a≥0)的意义解答具体题目.教学重点:形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念教学难点:利用“(a≥0)”解决具体问题.教法:1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法:1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题(一)讲述:同学们,我们来学习 16.1 二次根式二、出示目标(一)过渡语:要达到什么教学目标呢?请看投影:(二)屏幕显示学习目标理解二次根式的概念,并利用(a≥0)的意义解答具体题目.三、指导自学(一)过渡语:怎样才能当堂达到学习目标呢?请同学们按照指导认真自学.(二)出示自学自导自学指导认真看课本P2全部内容:1.思考“思考1、2”中的问题,完成思考1中的问题,理解二次根式的概念及二次根式有无意义的条件。
2.注意例题1的格式和步骤。
3.讨论回答思考2中的问题。
.如有疑问,可请教同桌或举手问老师.5分钟后,比谁能做对与例题类似的题.四、先学(一)学生看书,教师巡视,师督促每一位学生认真、紧张的自学,鼓励学生质疑问难.(二)过渡语:同学们,看完的请举手?懂了的请举手?好,下面就比一比,看谁能正确做出检测题.(三)检测 : P.3 练习1、2题。
学生练习,教师巡视。
(收集错误进行二次备课)五、后教教师引导学生评议、订正。
归纳小结:1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.五、当堂训练:一、选择题1.下列各式中①;②;③;④;⑤;⑥一定是二次根式的有()个。
A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若,则b的值为()A.0 B.0或1 C.b≤3 D.b≥33.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A .5BC D.以上皆不对二、填空题1.形如________的式子叫做二次根式. 2.面积为a的正方形的边长为________. 3.负数________平方根.三、综合提高题1.若+有意义,则=_______.2.使式子有意义的未知数x有()个.A.0 B.1 C.2 D.无数3.当x是多少时,+在实数范围内有意义?4. 已知y=++5,求的值.教学反思:16.1 二次根式(2)[学习目标]理解(a≥0)是一个非负数和()2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.教学重点:(a≥0)是一个非负数;()2=a(a≥0)及其运用.教学难点:导出(a≥0)是一个非负数;•用探究()2=a(a≥0).教法:1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法:1、类比的方法2、阅读的方法3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题:16.1 二次根式(2)讲述:同学们,我们来学习16.1 二次根式(2)二、出示目标(一)过渡语:要达到什么教学目标呢?请看投影:(二)屏幕显示学习目标理解(a≥0)是一个非负数和()2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.三、指导自学(一)过渡语:怎样才能当堂达到学习目标呢?请同学们按照指导认真自学.(二)出示自学自导自学指导认真看课本P.3“探究”至例2结束。
最新人教版八年级数学下册十六章二次根式16.3二次根式的加减教学设计
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16.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1.重点:二次根式化简为最简根式.2.难点关键:会判定是否是最简二次根式.教学过程一、问题引入现有一块长为7.5dm ,宽为5dm 的木板,能否采用如图16.3-1的方式,在这块木板上戳出两个面积分别是8dm 3和18dm 3的正方形木板?二、探索新知1.学生活动:列出代数式8+18 利用前面所学知识将其化简得到2+32.教师提问同类项以及合并同类项的知识,学生复习回答问题老师点评:所以如果被开方数相同,则这样的二次根式可以利用分配律合并一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,•再将被开方数相同的二次根式进行合并.所以上面问题2+3=25,由2<1.5可知52<7.5,即两个正方形的边长的和小于木板的长,因此可以用这块木板按要求截出所需要的木板。
例1.计算(1)80-45 (2)a 9+a 25 (3)+(4)+分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并.、例2.计算(1)483316-122+ (4)(2012+)+(5-3)比较二次根式的加减与整式的加减,你能得到什么结论?三、展示交流教材P13练习1、2.四、堂清巩固例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.分析:本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x-1)2+(y-3)2=0,即x=,y=3.其次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,•再合并同类二次根式,最后代入求值.解:∵4x2+y2-4x-6y+10=0∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=,y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=,y=3时,原式=×+6=+3五、课堂小结本节课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根式进行合并.六、布置作业1.教材P21习题21.3 1、2、3、5.2.选作课时作业设计.3.课后作业:《同步训练》七、板书设计16.3 二次根式的加减(1)先将二次根式化成最简二次根式,•再将被开方数相同的二次根式进行合并.八、课后回顾16.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除;多项式与单项式相乘、相除;多项式与多项式相乘、相除;乘法公式的应用.教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用. 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算. 重难点关键重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律;难点关键:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题:1.计算(1)(2x+y )·zx (2)(2x 2y+3xy 2)÷xy2.计算(1)(2x+3y )(2x-3y ) (2)(2x+1)2+(2x-1)2老师点评:这些内容是对整式运算的再现.它主要有(1)•单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用.二、探索新知如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?•仍成立. 整式运算中的x 、y 、z 是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,•当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式.例1.计算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律.例2.计算(1)()()5-232+ (2)()()3-535+ 分析:刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.三、展示交流课本P 14练习1、2.四、堂清巩固例3.已知=2-,其中a 、b 是实数,且a+b ≠0,化简+,并求值.分析:由于(+)(-)=1,因此对代数式的化简,可先将分母有理化,再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值,代入化简得结果即可.解:原式=+=+=(x+1)+x-2+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2五、课堂小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1.教材P21习题16.3 4、6、8、9.2.课后作业:《练习册》七、板书设计16.3 二次根式的加减(2)八、课后回顾作业设计一、选择题1.(-3+2)×的值是().A.-3 B.3-C.2- D.-2.计算(+)(-)的值是().A.2 B.3 C.4 D.1二、填空题1.(-+)2的计算结果(用最简根式表示)是________.2.(1-2)(1+2)-(2-1)2的计算结果(用最简二次根式表示)是_______.3.若x=-1,则x2+2x+1=________.4.已知a=3+2,b=3-2,则a2b-ab2=_________.三、综合提高题1.化简2.当x=时,求+的值.(结果用最简二次根式表示)课外知识1.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同,•这些二次根式就称为同类二次根式,就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习:下列各组二次根式中,是同类二次根式的是().A.与 B.与C.与 D.与2.互为有理化因式:•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式:如x+1-与x+1+就是互为有理化因式;与也是互为有理化因式.练习:+的有理化因式是________;x-的有理化因式是_________.--的有理化因式是_______.3.分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.练习:把下列各式的分母有理化(1);(2);(3);(4).4.其它材料:如果n是任意正整数,那么=n理由:==n练习:填空=_______;=________;=_______.答案:一、1.A 2.D二、1.1- 2.4-24 3.2 4.4三、1.原式====-(-)=-2.原式==== 2(2x+1)∵x==+1 原式=2(2+3)=4+6.。
人教版八年级数学下册16.1.1二次根式的概念教案
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一、教学内容
人教版八年级数学下册16.1.1节,本节课主要围绕二次根式的概念进行教学。内容包括:
1.二次根式的定义:形如√a(a≥0)的式子,称为二次根式。
2.二次根式的性质:
(1)当a≥0时,√a为非负实数;
(2)√a(a≥0)的平方等于a,即(√a)^2=a;
五、教学反思
今天在教授二次根式的概念这一章节时,我发现学生们对新的数学概念表现出了一定的兴趣,但也遇到了一些挑战。在课堂上,我尝试通过生活中的实例导入新课,希望能让学生感受到数学与生活的紧密联系。从学生的反应来看,这个方法还是有效的,他们能够更直观地理解二次根式的意义。
在理论讲解环节,我注意到了一些学生在理解二次根式定义时出现了困惑,尤其是在处理绝对值符号的情况。这让我意识到,对于这类抽象概念的教学,需要更多的具体例子和直观演示。在接下来的教学中,我打算增加一些互动环节,比如让学生自己举例,并上台来展示他们的思考过程,这样既能帮助他们加深理解,也能提高课堂的参与度。
在学生小组讨论的环节,我尽量让自己成为一个观察者和引导者,而不是直接给出答案。这种方法让学生们有更多的机会去自主探索和发现,但我也意识到,对于一些基础较弱的学生来说,可能需要更多的个别辅导和支持。因此,我计划在课后安排一些辅导时间,帮助学生巩固课堂上未完全掌握的知识。
最后,今天的总结回顾环节,我鼓励学生提出自己的疑问,这有助于我发现他们在学习过程中的盲点。我感到欣慰的是,学生们敢于提问,这表明他们有意愿去理解新知识。但在回答问题时,我发现自己有时候解释得不够简洁明了,以后我需要在这方面多加改进,尽量用更易懂的语言来解释复杂的数学概念。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解二次根式的基本概念。二次根式是形如√a(a≥0)的数学表达式,它是表示非实数平方根的一种方式。它在数学运算和解题中具有重要地位。
新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)
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第十六章 二次根式16.1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间: 课时: 1学习内容:二次根式的概念及其运用 学习目标:1、理解二次根式的概念,并利用a (a ≥0)的意义解答具体题目.2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.学习过程一、自主学习 (一)、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________.(3,3).问题2:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=_________.(46.) (二)学生学习课本知识 (三)、探索新知 1、知识: 如3、10、46,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如 •的式子叫做二次根式,“”称为 .例如:形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x (x>0)、0、42、-2、1x y+、x y +(x ≥0,y•≥0). 解:二次根式有: ;不是二次根式的有: 。
例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? 解:由 得: 。
当 时,31x -在实数范围内有意义.(3)注意:1、形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式的概念;2、利用“a (a ≥0)”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展 例3.当x 是多少时,23x ++11x +在实数范围内有意义?例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求xy的值.(答案:2) (2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值.(答案:25)三、巩固练习 教材练习. 四、课堂检测 (1)、简答题1.下列式子中,哪些是二次根式那些不是二次根式? -7 37x x 4 16 8 1x(2)、填空题1.形如________的式子叫做二次根式. 2.面积为5的正方形的边长为________. (3)、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m ,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?2.若3x -+3x -有意义,则2x -=_______.3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有( )个.A .0B .1C .2D .无数4.已知a 、b 为实数,且5a -+2102a -=b+4,求a 、b 的值.16.1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间: 课时: 2 学习内容:1.a (a ≥0)是一个非负数; 2.(a )2=a (a ≥0).学习目标:1、理解a (a ≥0)是一个非负数和(a )2=a (a ≥0),并利用它进行计算和化简.2、通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出a (a ≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出(a )2=a (a ≥0);最后运用结论严谨解题.教学过程 一、自主学习 (一)复习引入1.什么叫二次根式?2.当a ≥0时,a 叫什么?当a<0时,a 有意义吗? (二)学生学习课本知识 (三)、探究新知1、a (a ≥0)是一个 数。
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16.1 《二次根式(1)》学习内容:二次根式的概念及其运用学习目标:1、理解二次根式的概念,并利用a(a≥0)的意义解答具体题目.2、提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.学习过程一、自主学习(一)、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________.(3,3).问题2:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________.(46 .)(二)学生学习课本知识(三)、探索新知1、知识:如3、10、46,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如•的式子叫做二次根式,“”称为.例如:形如、、是二次根式。
形如、、不是二次根式。
2、应用举例例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x(x>0)、0、42、-2、1x y+、x y+(x≥0,y•≥0).解:二次根式有:;不是二次根式的有:。
例2.当x是多少时,31x-在实数范围内有意义?解:由得:。
当时,31x-在实数范围内有意义.(3)注意:1、形如a(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;2、利用“a(a≥0)”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展例3.当x 是多少时,23x ++11x +在实数范围内有意义? 例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求xy的值.(答案:2) (2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值.(答案:25) 三、巩固练习 教材练习. 四、课堂检测(1)、简答题 1.下列式子中,哪些是二次根式那些不是二次根式? 737x 41681x(2)、填空题1.形如________的式子叫做二次根式. 2.面积为5的正方形的边长为________. (3)、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m ,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少? 23x -+3x -2x -.3.2(5)x --x 有( )个. A .0 B .1 C .2 D .无数4.已知a 、b 5a -102a -=b+4,求a 、b 的值.2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题(每题只有一个答案正确)1.已知小强家、体育馆、文具店在同一直线上如图中的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育馆,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步回家.下列信息中正确的是( )A .小强在体育馆花了20分钟锻炼B .小强从家跑步去体育场的速度是10km/hC .体育馆与文具店的距离是3kmD .小强从文具店散步回家用了90分钟2.为弘扬传统文化,某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛,小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数,制作了一个表格,如果去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是( ) 中位数 众数 平均数 方差 9.2 9.39.1 0.3A .中位数B .众数C .平均数D .方差3.下列等式不一定成立的是( ) A .2(5)5-= B .ab a b =C .2(3)3ππ-=-D .82233= 4.下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( ) A .1,2,3B .3,4,5C .5,12,13D .2,2,35.下列方程是一元二次方程的是( ) A .B .C .D .6.下列各组数为勾股数的是( ) A .1,12B .4,5,6C .8,9,10D .5,12,137.如图,△ABC中,AB=AC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则DE的长为()A.5 B.6 C.8 D.108.已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣4=0的一个根为m,则m的值是()A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.任意实数9.将方程2+=化成一元二次方程的一般形式,正确的是().x x4581A.2x x-+=D.2x x--=4581045810+-= C.245810x xx x++= B.24581010.若a+c=b,那么方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根是()A.1 B.﹣1 C.±1 D.0二、填空题11.正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…按如图的方式放置,A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y =x+2和x轴上,则点∁n的横坐标是_____.(用含n的代数式表示)12.如图,四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形,则∠AED的度数为_________.13.甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位:环)根据图中的信息判断,这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)14.如图,三个正方形中,其中两个正方形的面积分别是100,36,则字母A所代表的正方形的边长是_____.15.若分式67x--的值为正数,则x的取值范围_____.16.如图,在△ABC中,BC=9,AD是BC边上的高,M、N分别是AB、AC边的中点,DM=5,DN=3,则△ABC 的周长是__.17.已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根,则另一个根为______.三、解答题18.为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在江汉堤坡种植白杨树,现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择,其具体销售方案如下:甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分 3.8元/棵超过2000棵的部分 3.6元/棵设购买白杨树苗x棵,到两家林场购买所需费用分别为y甲(元)、y乙(元).(1)该村需要购买1500棵白杨树苗,若都在甲林场购买所需费用为元,若都在乙林场购买所需费用为元;(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式;(3)如果你是该村的负责人,应该选择到哪家林场购买树苗合算,为什么?19.(6分)如图,已知AD=BC,AC=BD.(1)求证:△ADB≌△BCA;(2)OA与OB相等吗?若相等,请说明理由.20.(6分)我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道有关于自然数的题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?”就是说:一个数被2除余2,被5除余2,被7除余2,求这个数.《孙子算经》的解决方法大体是这样的先求被2除余2,同时能被5,7都整除的数,最小为1.再求被5除余2.同时能被2,7都整除的数,最小为62.最后求被7除余2,同时能被2,5都整除的数,最小为20.于是数1+62+20=222.就是一个所求的数.那么它减去或加上2,5,7的最小公倍数105的倍数,比如222﹣105=128,222+105=288…也是符合要求的数,所以符合要求的数有无限个,最小的是22.我们定义,一个自然数,若满足被2除余1,被2除余2,被5除余2,则称这个数是“魅力数”.(1)判断42是否是“魅力数”?请说明理由;(2)求出不大于100的所有的“魅力数”.21.(6分)问题:探究函数y=|x|﹣2的图象与性质.小华根据学习函数的经验,对函数y=|x|﹣2的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程,请补充完整:(1)在函数y=|x|﹣2中,自变量x可以是任意实数;(2)如表是y与x的几组对应值x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m …①m等于多少;②若A(n,2018),B(2020,2018)为该函数图象上不同的两点,则n等于多少;(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并根据描出的点画出该函数的图象;根据函数图象可得:该函数的最小值为多少;该函数图象与x轴围成的几何图形的面积等于多少;(4)已知直线y1=12x﹣12与函数y=|x|﹣2的图象交于C,D两点,当y1≥y时,试确定x的取值范围.22.(8分)计算:①|3-2|+|3-2|-|2-1| ②38+2(2)--14+(-1)1. 23.(8分)如图,平面直角坐标系中,一次函数142y x =-+的图象1l 分别与x ,y 轴交于A ,B 两点,正比例函数的图象2l 与1l 交于点()3C m ,. (1)求m 的值及2l 的解析式; (2)求AOCBOCSS-的值;(3)一次函数1y kx =+的图象为3l ,且1l ,2l ,3l 不能围成三角形,直接写出k 的值.24.(10分)如图①,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,列车匀速行驶,图②为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图象.(1)填空:甲、丙两地距离_______千米;(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.25.(10分)如图,分别以ABC的边向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG,若O为EG的中点,求证:(1)12AO BC=;(2)AO BC⊥.参考答案一、选择题(每题只有一个答案正确)1.B【解析】【分析】根据图象信息即可解决问题.【详解】解:A.小强在体育馆花了603030-=分钟锻炼,错误;B.小强从家跑步去体育场的速度是510/0.5km h=,正确;C.体育馆与文具店的距高是532km-=,错误;D.小强从文具店散步回家用了20013070-=分钟,错误;故选:B.【点睛】本题考查了函数图象,观察函数图象,逐一分析四条说法的正误是解题的关键.2.A【解析】【分析】根据中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案.【详解】如果去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是中位数.故选A.点睛:本题主要考查了中位数,关键是掌握中位数定义.3.B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简的得出答案.【详解】A.(2=5,正确,不合题意;B=a≥0,b≥0),故此选项错误,符合题意;C=π﹣3,正确,不合题意;D=故选B.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题的关键.4.D【解析】分析:欲求证是否为直角三角形,利用勾股定理的逆定理即可.这里给出三边的长,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.详解:A、12+)2=3=2,故是直角三角形,故错误;B、42+32=25=52,故是直角三角形,故错误;C、52+122=169=132,故是直角三角形,故错误;D、22+22=8≠32,故不是直角三角形,故正确.故选D.点睛:本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.5.B【解析】【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为1.据此即可判断.【详解】解:A、含有2个未知数,不是一元二次方程,故选项不符合题意;B、只有一个未知数且最高次数为2,是一元二次方程,选项符合题意;C、不是整式方程,则不是一元二次方程,选项不符合题意;D、整理后得,最高次数为1,不是二次方程,选项不符合题意;故选:B.【点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=1(且a≠1).特别要注意a≠1的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.6.D【解析】分析:根据勾股数组的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数,逐项分析即可.详解:A. 2不是正整数,故1,12不是勾股数;B. ∵42+52≠62,故4,5,6不是勾股数;C. ∵82+92≠102,故8,9,10不是勾股数;D. ∵52+122=132,故5,12,13是勾股数;故选D.点睛:本题考查了勾股数的识别,解答本题的关键是熟练掌握勾股数的定义.7.A【解析】【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC,根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论.【详解】解:∵AB=AC=10,AD 平分∠BAC ,∴AD ⊥BC ,∵E 为AC 的中点,1110522∴==⨯=DE AC , 故选:A .【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键.8.C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x m =代入方程22x mx 40--=得到关于m 的方程,然后解关于m 的方程即可.【详解】把x=m 代入方程2x 2﹣mx ﹣4=0得2m 2﹣m 2﹣4=0,解得m=2或m=﹣2,故选C .【点睛】本题考查了一元二次方程的解,能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 9.B【解析】【分析】通过移项把方程4x 2+5x=81化成一元二次方程的一般形式.【详解】方程4x 2+5x=81化成一元二次方程的一般形式是4x 2+5x-81=1.故选B .【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,任何一个关于x 的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax 2+bx+c=1(a≠1).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax 2叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项;c 叫做常数项.10.B【解析】解:根据题意:当x =﹣1时,方程左边=a ﹣b +c ,而a +c =b ,即a ﹣b +c =0,所以当x =﹣1时,方程ax 2+bx +c =0成立.故x =﹣1是方程的一个根.故选B .二、填空题11.122n +-【解析】【分析】观察图像,由直线y =x+2和正方形的关系,即可得出规律,推导出C n 的横坐标.【详解】解:根据题意,由图像可知,1(0,2)A ,正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2C 112C =,直线y =x+2的斜率为1,则26C =以此类推,314C =,122n n C +=-【点睛】此题主要考查一次函数图像的性质和正方形的关系,推导得出关系式.12.150【解析】【分析】根据题意先得出AB=BC=BE,EC=BC=DC,并以此求出∠AEB 和∠DEC ,进而利用∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC 即可求出∠AED 的度数.【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,△EBC 是等边三角形,∴AB=BC=BE,EC=BC=DC, ∠ABE=∠DCE =90°-60°=30°,∴∠AEB=∠EAB=(180°-30°)÷2=75°,∴∠DEC=∠EDC=(180°-30°)÷2=75°,∴∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC =360°-75°-75°-60°=150°.故答案为:150°.【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰、等边三角形的性质,熟练掌握相关的性质是解题的关键.13.甲【解析】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大,即波动大,而甲这8次成绩,分布比较集中,各数据偏离平均小,方差小,则S2甲<S2乙,即两人的成绩更加稳定的是甲.故答案为甲.14.1【解析】【分析】根据正方形的性质可得出面积为100、36的正方形的边长,再利用勾股定理即可求出字母A 所代表的正方形的边长,此题得解.【详解】面积是100的正方形的边长为10,面积是36的正方形的边长为6,∴字母A 所代表的正方形的边长=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的性质,牢记“在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键.15.x>1【解析】试题解析:由题意得:67x-->0, ∵-6<0,∴1-x <0,∴x >1.16.1【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线求得AB=2DM ,AC=2DN ,结合三角形的周长公式解答.【详解】解:∵在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,M 、N 分别是AB 、AC 边的中点,∴AB=2DM=10,AC=2DN=6,又BC=9,∴△ABC 的周长是:AB+AC+BC=10+6+9=1.故答案是:1.【点睛】本题考查三角形的中线性质,尤其是:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.17.-1【解析】【分析】另一个根为t ,根据根与系数的关系得到4+t=3,然后解一次方程即可.【详解】设另一个根为t ,根据题意得4+t=3,解得t=-1,即另一个根为-1.故答案为-1.【点睛】此题考查根与系数的关系,解题关键在于掌握若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x 1+x 2=−12b c x x a a=, . 三、解答题18.(1)5900,6000;(2)见解析;(3)当0≤x≤1000或x=3000时,两家林场购买一样,当1000<x <3000时,到甲林场购买合算;当x >3000时,到乙林场购买合算.【解析】试题分析: (1)由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用;(2)根据分段函数的表示法,甲林场分01000x ≤≤或1000x >两种情况 .乙林场分02000x ≤≤或2000x >两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式;(3)分类讨论,当01000x ≤≤,10002000x <≤时,2000x >时,表示出y 甲、y 乙的关系式,就可以求出结论.试题解析:(1)由题意,得.y 甲=4×1000+3.8(1500﹣1000)=5900元,y 乙=4×1500=6000元;故答案为5900,6000;(2)当01000x ≤≤时,y 甲4,x =1000x >时.y 甲()4000 3.81000 3.8200.x x =+-=+∴y 甲()()4010003.82001000.x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(x 取整数).当02000x ≤≤时,y 乙4,x =当2000x >时,y 乙()8000 3.62000 3.6800.x x =+-=+∴y 乙()()4020003.82002000.x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(x 取整数).(3)由题意,得当01000x ≤≤时,两家林场单价一样,∴到两家林场购买所需要的费用一样.当10002000x <≤时,甲林场有优惠而乙林场无优惠,∴当10002000x <≤时,到甲林场优惠;当2000x >时,y 甲 3.8200.x =+y 乙 3.6800.x =+当y 甲=y 乙时3.8200 3.6800x x +=+,解得:3000x =.∴当3000x =时,到两家林场购买的费用一样;当y 甲<y 乙时,3.8200 3.6800x x +<+,3000x <.20003000x ∴<<时,到甲林场购买合算;当y 甲>y 乙时,3.8200 3.6800x x +>+,解得:3000x >.∴当3000x >时,到乙林场购买合算.综上所述,当01000x ≤≤或3000x =时,两家林场购买一样,当10003000x <<时,到甲林场购买合算;x 时,到乙林场购买合算.当300019.(1)详见解析;(2)OA=OB,理由详见解析.【解析】试题分析:(1)根据SSS定理推出全等即可;(2)根据全等得出∠OAB=∠OBA,根据等角对等边即可得出OA=OB.试题解析:(1)证明:∵在△ADB和△BCA中,AD=BC,AB=BA,BD=AC,∴△ADB≌△BCA(SSS);(2)解:OA=OB,理由是:∵△ADB≌△BCA,∴∠ABD=∠BAC,∴OA=OB.考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定20.(1)49不是“魅力数”,理由详见解析;(9)99、59、89.【解析】【分析】(1)验证49是否满足“被9除余1,被9除余9,被5除余9”这三个条件,若全部满足,则为“魅力数”,若不全满足,则不是“魅力数”;(9)根据样例,先求被9除余1,同时能被9,5都整除的数,最小为8.再求被9除余9.同时能被9,5都整除的数,最小为90.最后求被5除余9,同时能被9,9都整除的数,最小为11.于是数8+90+11=59,再用它减去或加上9,9,5的最小公倍数90的倍数得结果.【详解】解:(1)49不是“魅力数”.理由如下:∵49=14×9+1,∴49被9除余1,不余9,∴根据“魅力数”的定义知,49不是“魅力数”;(9)先求被9除余1,同时能被9,5都整除的数,最小为8.再求被9除余9.同时能被9,5都整除的数,最小为90.最后求被5除余9,同时能被9,9都整除的数,最小为11.∴数8+90+11=59是“魅力数”,∵9、9、5的最小公倍数为90,∴59﹣90=99也是“魅力数”,59+90=89也是“魅力数”,故不大于100的所有的“魅力数”有99、59、89三个数.【点睛】本题考查了数学文化问题,读懂题意,明确定义是解题的关键.21.(2)①m=1;②﹣2020;(1)该函数的最小值为﹣2;该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4;(4)当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1.【解析】【分析】(2)①把x=1代入y=|x|﹣2,即可求出m;②把y=2018代入y=|x|﹣2,即可求出n;(1)画出该函数的图象即可求解;(4)在同一平面直角坐标系中画出函数y1=12x﹣12与函数y=|x|﹣2的图象,根据图象即可求出y1≥y时x的取值范围.【详解】(2)①把x=1代入y=|x|﹣2,得m=1;②把y=2018代入y=|x|﹣2,得2018=|x|﹣2,解得x=﹣2020或2020,∵A(n,2018),B(2020,2018)为该函数图象上不同的两点,∴n=﹣2020;(1)该函数的图象如图,由图可得,该函数的最小值为﹣2;该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是12×4×2=4;(4)在同一平面直角坐标系中画出函数y1=12x﹣12与函数y=|x|﹣2的图象,由图形可知,当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1.故答案为:(2)①m=1;②﹣2020;(1)该函数的最小值为﹣2;该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4;(4)当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1.【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质,一次函数图象上点的坐标特征.正确画出函数的图象,利用数形结合思想是解题的关键.22.①32;②4.5.【解析】【分析】(1)原式利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.(2)本题涉及三次根式、二次根式化简、平方3个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.根据实数运算法则即可得到结果.【详解】3-2323232+12382(2)-14(-1)1=2+2-0.5+1=4.5.【点睛】(1)本题考查了实数运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.(2)本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握三次根式、二次根式、平方等考点的运算.23.(1)m=2;2l 的解析式为:32y x =;(2)8;(3)k 的值为12-或32或1 【解析】【分析】(1)将点C 坐标代入142y x =-+即可求出m 的值,利用待定系数法即可求出l 2的解析式; (2)根据一次函数142y x =-+,可求出A (8,0),B (0,4),结合点C 的坐标,利用三角形面积的计算公式即可求出AOC BOC S S -的值;(3)若1l ,2l ,3l 不能围成三角形,则有三种情况,①当l 1∥l 3时;②当l 2∥l 3时;③当l 3过点C 时,根据得出k 的值即可.【详解】解:(1)将点()3C m ,代入142y x =-+得1342m =-+,解得m=2, ∴C (2,3)设l 2的解析式为y=nx ,将点C 代入得:3=2n , ∴32n =, ∴2l 的解析式为:32y x =; (2)如图,过点C 作CE ⊥y 轴于点E ,作CF ⊥x 轴于点F ,∵C (2,3)∴CE=2,CF=3,∵一次函数142y x =-+的图象1l 分别与x ,y 轴交于A ,B 两点, ∴当x=0时,y=4,当y=0时,x=8,∴A (8,0),B (0,4),∴OA=8,OB=4, ∴1111834282222AOC BOC OA CF OB CE S S =⋅-⋅=⨯-⨯-⨯⨯=(3)①当l 1∥l 3时,1l ,2l ,3l 不能围成三角形,此时k=12-; ②当l 2∥l 3时,1l ,2l ,3l 不能围成三角形,此时k=32; ③当l 3过点C 时,将点C 代入1y kx =+中得:321k =+,解得k=1,综上所述,k 的值为12-或32或1. 【点睛】本题考查了两直线的交点,要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.24. (1) 1353;(2)y =-300900(03)300900(3 3.5)x x x x +≤≤⎧⎨-≤⎩. 【解析】【分析】(1)根据函数图形可得,甲、丙两地距离为:2+153=1353(千米);(2)分两种情况:当3≤x≤1时,设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为:y=kx+b ,把(3,2),(1,3)代入得到方程组,即可解答;根据确定高速列出的速度为133(千米/小时),从而确定点A 的坐标为(1.5,153),当1<x≤1.5时,设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为:y=k 1x+b 1,把(1,3),(1.5,153)代入得到方程组,即可解答.【详解】解:(1)根据函数图形可得,甲、丙两地距离为:2+153=1353(千米),故答案为2.(2)当3≤x≤1时,设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为:y=kx+b ,把(3,2),(1,3)代入得:90030b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:k 300b 900=-⎧⎨=⎩, ∴y=﹣133x+2,高速列出的速度为:2÷1=133(千米/小时),153÷133=3.5(小时),1+3.5=1.5(小时) 如图2,点A 的坐标为(1.5,153)当1<x≤1.5时,设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为:y=k 1x+b 1,把(1,3),(1.5,153)代入得:1111303.5150k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:11300900k b =⎧⎨=-⎩,∴y=133x ﹣2, ∴300900(03)300900(3 3.5)x x y x x -+⎧=⎨-<⎩.考点:一次函数的应用.25.(1)证明见详解;(2)证明见详解. 【解析】 【分析】(1)如图,延长AO 到M ,使OM=AO ,连接GM ,延长OA 交BC 于点H .根据全等三角形的性质得到AE=MG ,∠MGO=∠AEO ,根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°,根据正方形的性质得到AG=AB ,AE=AC ,∠BAG=∠CAE=90°,根据全等三角形的性质得到AM=BC ,等量代换即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO ,∠M=∠ACB ,等量代换得到∠EAO=∠ACB ,求得∠AHC=90°,根据垂直的定义即可得到结论. 【详解】解:(1)如图,延长AO 到M ,使OM=AO ,连接GM ,延长OA 交BC 于点H .∵O 为EG 的中点, ∴OG=OE ,在△AOE与△MOG中,AO OMAOE MOGOE OG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AOE≌△MOG(SAS),∴AE=MG,∠MGO=∠AEO,∴∠MGA+∠GAE=180°,∵四边形ABFG和四边形ACDE是正方形,∴AG=AB,AE=AC,∠BAG=∠CAE=90°,∴AC=GM,∠GAE+∠BAC=180°,∴∠BAC=∠AGM,在△AGM与△ABC中,AG ABAGM BACGM AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGM≌△ABC(SAS),∴AM=BC,∵AM=2AO,∴12AO BC=;(2)由(1)知,△AOE≌△MOG,△AGM≌△ABC,∴∠M=∠EAO,∠M=∠ACB,∴∠EAO=∠ACB,∵∠CAE=90°,∴∠OAE=∠CAH=90°,∴∠ACB+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH⊥BC.即AO BC⊥.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题(每题只有一个答案正确)1.根据PM2.5空气质量标准:24小时PM2.5均值在0∽35(微克/立方米)的空气质量等级为优.将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表,这组PM2.5数据的中位数是( ) 天数 3 1 1 1 1 PM2.51820212930A .21微克/立方米B .20微克/立方米C .19微克/立方米D .18微克/立方米2.将下列多项式分解因式,结果中不含因式x+1的是( ) A .x 2−1 B .x 2−2x+1 C .x(x−2)+(x−2) D .x 2+2x+13.在正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,若3AB =,且点E 与点B 不重合,则AE 的长可以是( )A .3B .4C .5D .64.在平面直角坐标系xOy 中,函数23y x =--的图象经过( ) A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第一、三、四象限D .第二、三、四象限5.如图,两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ,一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行,当电子甲虫爬行2014cm 时停下,则它停的位置是( )A .点FB .点EC .点AD .点C6.如图,将△ABC 绕点B 逆时针旋转α,得到△EBD ,若点A 恰好在ED 的延长线上,则∠CAD 的度数为( )A .90°﹣αB .αC .180°﹣αD .2α7.一个正多边形的每一个外角的度数都是60°,则这个多边形的边数是:( )A .8B .7C .6D .58.河堤横断面如图所示,斜坡AB 的坡度=1:3,BC=5米,则AC 的长是( )米.A .53B .5C .15D .1039.如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD 为正方形,点G 在对角线BD 上,GE ⊥CD ,GF ⊥BC ,AD =1500m ,小敏行走的路线为B →A →G →E ,小聪行走的路线为B →A →D →E →F ,若小敏行走的路程为3100m ,则小聪行走的路程为( )m .A .3100B .4600C .3000D .360010.已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数,那么m 的取值范围为( ) A .m >-6且m≠2 B .m <6C .m >-6且m≠-4D .m <6且m≠-2二、填空题11.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是()()4,0,6,0-,则这条抛物线的对称轴是__________. 12.如图,平行四边形ABCD 的周长为20,对角线AC 、BD 交于点O ,E 为CD 的中点,BD=6,则△DOE 的周长为 _________ .13.如图,在▱ABCD 中,BD 为对角线,E 、F 分别是AD 、BD 的中点,连接 EF .若EF=3,则CD 的长为_____________.14.表①给出了直线l 1上部分(x ,y )坐标值,表②给出了直线l 2上部分点(x ,y )坐标值,那么直线l 1和直线l 2的交点坐标为_______.15.因式分解:x 2﹣9y 2= . 16.已知2334b a b =-,则a b=________ 17.在平面直角坐标系中,直线l :1y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -,使得点123A A A 、、、 …在直线l 上,点123C C C 、、、 …在y 轴正半轴上,则点n B 的横坐标是__________________。