高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修2第二章之直线与直线方程
第1页共 4 页第二章：直线与直线方程学习重点: 1，直线点斜式、斜截式、一般式方程及相互转化；2，两条直线平行和垂直的判定和应用；3，两点间距离公式，点到直线距离公式，平行直线间的距离。
学习难点:1，几种不同直线方程的适用条件；2，线线垂直与平行的应用题型；3，两点、点线、线线距离公式。
学法指导:1,梳理直线方程、线线平行垂直判定、距离公式等知识点，2,所有题型所用方法都是基本知识点，审题时注意题中所涉及知识点。
题型一：斜率与倾斜角：A1，当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围：1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-kA2、直线L 过(,)a b , (,)b a 两点，其中0,≠≠ab b a 则 （ ）A.L 与x 轴垂直B. L 与y 轴垂直C.L 过原点和一，三象限D.L 的倾斜角为︒135 A3、若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ ）A 、1B 、－1C 、0D 、7A4、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. A5、已知直线L 的倾斜角为1312cos ,=a a ，则此直线的斜率为 。
A6.直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为（ ）（A ）－;31（B ）－3; （C ）;31（D ）3B4.直线L 经过二、三、四象限，L 的倾斜角为a ，斜率为k ，则 （ ）0sin .>a k A 0cos ..>a k B 0sin .≤a k C 0cos .≤a k D题型二：斜率变形题：1、 若三点A （-1,-1）,B(k,k+1)，C （5,8）能够成三角形，求实数k 的取值范围。
2、 已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率k 的取值范围3、 已知113,14,.4y x y x +-≤≤≤≤-求：取值范围4、 一条直线经过点(-2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积是１，求此直线的方程。
高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结
高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程一、知识点 倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =二、直线方程对应练习 一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y x B.052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。
高中数学直线与方程题型总结
高中数学直线与方程题型总结直线的倾斜角是指直线与x轴正向的夹角，当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0度≤α＜180度。
直线的斜率是指倾斜角不为90度的直线，其倾斜角的正切值。
直线的斜率常用k表示。
当α＜90度时，k存在且k＜无穷大；当α＝90度时，k不存在。
直线过两点的斜率公式为k=tanα，反映了直线与x轴的倾斜程度。
对于概念考查题目，第一题可以利用两平行线的斜率相等来求解；第二题可以利用点到直线的距离公式，使点到直线距离相等；第三题可以利用点到直线距离之比的概念，结合点到直线距离公式来求解；第四题可以利用直线不通过第一象限的特点，利用符号关系来求解；第五题可以利用点到直线距离公式，结合已知条件来求解。
其中，点到直线的距离公式和两点间距离公式都是常用的几何公式，可以灵活运用。
一条直线与另一条直线的夹角可能小于直角，也可能大于直角。
如果只考虑夹角不大于直角的情况（即两条直线的夹角），则有公式tgθ=(k2-k1)/(1+k1k2)，其中θ为夹角，k1、k2为两条直线的斜率，且θ≠90°。
当两条直线平行或重合时，它们的夹角为零度角，此时公式仍然适用。
练题：1.求直线l1与l2的夹角以及l2与l1的夹角。
1）l1：x+2y-5=0，l2：2x-3y+1=0；2）l1：x-3y-2=0，l2：2y+3=0；3）l1：x-5=0，l2：2x+4y+3=0.2.求经过点(-5,6)且与直线2x+y-5=0的夹角为45°的直线方程。
3.已知直线l经过点P(3,2)，且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程。
4.已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2)，求：a。
点A关于直线l的对称点A'的坐标；b。
直线m：3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程；c。
直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程。
2020高二数学直线与方程知识点
2020高二数学直线与方程知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
(5)两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(6)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解;方程组有无数解与重合(7)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则(8)点到直线距离公式：一点到直线的距离(9)两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。
本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。
同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。
在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。
例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。
然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。
二、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。
例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。
三、直线的两点式方程两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以直接得到直线的方程，适用于已知直线上两个点的坐标的情况。
例如，已知直线上两点A(-2, 1)和B(3, 4)，我们可以通过两点式方程求得直线的方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (4 - 1)/(3 - (-2))，简化后为3x - y+ 5 = 0。
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
高中数学人教A版必修2解析几何第一章《直线和方程》知识点归纳
(一个象限也不过)直线一． 倾斜角（直线和x 轴正半轴的夹角） 1．范围：θ∈[0，π)2．斜率：ax+by+c=0 ⇒ K=tan θ= -ab K=tan θ : 若θ=π2 ，K 不存在（K=∞）若θ≠π2 ，K= tan θ 若K ＞0，则θ=arctanK若K ＝0，则θ=0若K ＜0，则θ=π+ arctanK二． 直线的五种解析式1. 点斜式（x 0,y 0）, K :y - y 0 = K （x- x 0） (K ≠∞)2. 斜截式（0,b ）, K :y=kx+b (K ≠∞)3. 两点式（x 1,y 1），（x 2,y 2）：y−y 1y 2−y 1= x−x 1x 2−x 1(K ≠0, ≠∞，不横不竖)4. 截距式（0,a ）, （0,b ）:x a + xb =1 (K ≠0, ≠∞，不横不竖不原点) 5. 一般式：ax+by+c=0 （a ，b 不同时为0）三． 直线经过象限 1. xa+ xb =1（1）.截距式过三个象限 （2）. K ≠0, ≠∞，不横不竖不原点 2.y=a (a ≠0) x ≠a (a ≠0) y=kx (k ≠0, ∞)过两个象限 3. y=0x=0四．中点坐标公式1.（x1,y1），（x2,y2）⇒（x1+x22，y1+y222）2.知：（x1,y1），（x2,y2），如何作对称轴？设对称轴上任意一点坐标为（x,y）√（x−x1）2−(y−y1)2 = √（x−x2）2−(y−y2)2五．三角形的五心1.内心（I）（1）.内切圆圆心（2）.内心到三角形三边距离相等（三边等距）（3）.三个角平分线的交点（角分线交点）2.外心(O)(1).外接圆圆心(2）.顶点到外心的距离相等（顶点等距）(3）.三条边中垂线交点（中垂线交点）3.重心（G）（1）.三条边中线交点（中线交点）（2）.物理重心（3）. |GA|⁚ |GE|=|GC|⁚|GH|=|GB|⁚|GF|=2⁚1（4）.G(x G,y G) x G =x A+x B+x C3 y G=y A+y B+y C3（5）.重心到三角形三个顶点的距离的平方和（|GA|2+ |GB|2+ |GC|2）①．推导（3）取GB 和GC 的中点分别为I,J ，连HF,FJ,JI,HI HF 交AE 于点N ，I J 交AE 于点M ， 在△ABC 中，∵H,F 分别为AB ，AC 的中点 ∴HF=12 BC ，HF ∥ BC在△GBC 中，∵I ,J 分别为GB ，GC 的中点 ∴I J =12 BC ，I J ∥ BC∴四边形HF I J 为平行四边形 ∴GH=GJ =12GC , ∴GF=GI =12GB∵GM=GN,∴GE=2GM,AG=GN+AN= GN+ GN+2GM=4 GM ∴GE=12 GA②推导（4）G(x G ,y G )，A(x A ,y A )，B(x B ,y B ), C(x C ,y C ) 根据中点坐标公式，得E （x B +x C2，y B +y C2）AG ⃑⃑⃑⃑⃑ = 23AE⃑⃑⃑⃑⃑ （x G -x A，y G -y A ）= 23（x B +x C2– x A ，y B +y C2– y A ）x G -x A =23（x B +x C2– x A ）x G =23（x B +x C2 – x A ）+x A =23x B +x C –2x A 2+3x A 3= x A +x B +x C3同理可得： y G=y A +y B +y CC3推导（5）：|GA|2+ |GB|2+ |GC|2=（x G – x A）2+（y G – y A）2+（x G – x B）2+（y G – y B）2+（x G – x C）2+（y G – y C）2=3 x G2-2（x A+x B+x C）x G+x A2+x B2+x C2 +3 y G2-2（y A+ y B+y C）y G +y A2+y B2+y C2当x G=-−2（x A+x B+x C）2∙3=x A+x B+x C3时，3 x G2-2（x A+x B+x C）x G+x A2+x B2+x C2最小当y G=-−2（y A+y B+y C）2∙3=y A+y B+y C3时，3 y G2-2（y A+y B+y C）y G +y A2+y B2+y C2最小x G，y G4.垂心（H）：三条边的高的交点（高线交点）4.旁心（J）：一个内角的平分线，2个外角平分线六．点到直线的距离1.（x0，y0） ax+by+c=0 d=00√a2+b2 2. （x0，y0）,到x轴的距离：| y0|到y轴的距离：| x0|七.如何判断两直线平行或垂直1.平行：充分条件：K1=K2充要条件：a1b2-a2b1=0 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 2.垂直：充分条件：K1K2=-1充要条件：a1a2-b1b2=0 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0八．两平行直线的距离（先化成斜率相同，再求距离）ax+by+c1=0ax+by+c2=0d=12√a2+b2九．如何求点在直线上的投影点知：P（x0，y0） L:ax+by+C=0设P′（x1，y1）{ax1+by1+c=0 y1−y0x1−x0∙(−ab)=−1十．如何求直线外点关于直线对称的点1.PP′⊥L →y1−y0x1−x0∙(−ab)=−12.中点在L上→x0+x12a + y0+y12b + C十一.知：直线L：ax+by+C=0，A（x0，y0），求L关于点A对称的直线？新直线L1与L平行、即可设L1：ax+by+c1=0d1 =d2 ：00√a22 = 001√a22十二.知：L1、 L，求L1关于L对称的直线？1.联立{LL1求交点O，2.在L1上取一点A，作A关于L对称点A′3.联结A′O，两点式求L2题外十三.两条直线到角和倾斜角的关系1. 到角：L 1→L 2 , L 1逆时针转至与L 2重合时的角2. 倾斜角是到角的特殊情况3. 已知倾斜角а，求L 1 →L 2的到角θ？（1）. (2). (3).若а2=а1 若а1＞а2 若а2＞а1则θ= 0 则 θ=а1-а2 则 θ=π+а2-а1（L 1与L 2平行时，到角为0） 十四.到角公式：tan θ（L 1 →L 2）=K 2−K 11+K 2K 1推导：tan θ=tan （а2-а1）=tan θ2−tan θ11+tan θ2tan θ1=K 2−K 1 1+K 2K 11.夹角：tan θ（L 1 →L 2）=|K 2−K 11+K 2K 1|2.若L 1⊥L 2，θ=π2K 2K 1=-1 十五.直线的参数方程:{x =x 0+t cos ay =y 0+t sin a推导：已知一条直线过M 0(x 0, y 0),倾斜角а，在直线上任取一点M （x,y ）,则M 0M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（x,y ）-(x 0, y 0)= （x-x 0,y- y 0) 设e =(cos а,sin а) ,∵ M 0M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥e , ∴存在实数t ∈R ，使得M 0M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =t e ,即 （x-x 0,y- y 0)=t(cos а,sin а)， 即{x −x 0= t cos аy − y 0=t sin а⇒ {x =x 0+t cos ay =y 0+t sin a1.t的几何意义：|t|等于t对应的点到直线所过定点的距离2.若A、B为直线L上两点，M为AB的中点，其对应的参数分别为t1、t2、t0。
高中数学必修2直线与圆常考题型：直线的两点式方程、直线的一般式方程
直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
高中数学必修2第三章直线与方程总结
第三章 直线与方程 知识点 总结代县中学高二数学组一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；②垂直：斜率k 不存在；③范围： 斜率 k ∈ R 。
当 α=0°时，k=0当0<α<90°时，k.>0当α=90°时，k 不存在当90°<α<180°，k<03、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：判断方法一：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直②垂直：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==；④相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）判断方法二：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，①1l ∥2l ⇔ 122112211221A B A B B C B C =≠≠且或A C A C ，当（A ，B ，C 不为0时）212121C C B B A A ≠= ②1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=③重合：A 1B 2=A 2B 1且B 1C 2=B 2C 1或A 1C 2=A 2C 1，212121C C B B A A == ④相交：A 1B 2≠A 2B 1 ，2121B B A A ≠ 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+by a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
高中数学必修二 直线与方程必考 知识点总结
第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：（6）两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合（8设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，（9一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离（10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
直线与方程知识点归纳高二
直线与方程知识点归纳高二直线与方程知识点归纳直线和方程是高中数学中的重要知识点，它们广泛应用于几何学和代数学中。
了解直线和方程的基本概念、性质和应用，对于深入理解数学知识和解决实际问题非常重要。
本文将对直线与方程的相关知识进行归纳和总结。
一、直线的定义和性质直线是几何中最基本的图形之一，它由一系列无限延伸的点组成，并且任意两点都能确定一条直线。
直线有以下性质：1. 直线的斜率：直线的斜率是描述其倾斜程度的一个值，可以表示为一个数值或者一个代数表达式。
斜率可以用于计算直线上两点间的变化率，也可以用于判断直线的平行性和垂直性。
2. 直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，分为x轴截距和y轴截距。
两个截距可以用来确定直线的位置和方程。
3. 直线的方程：直线可以通过方程来表示，常见的直线方程形式有点斜式、一般式、截距式等。
其中点斜式方程是通过直线上的一点和斜率来确定的，一般式方程是通过直线的系数和常数项来确定的，截距式方程是通过直线与坐标轴的截距来确定的。
二、方程的基本概念和性质方程是用来表示等式的数学语句，包括代数方程、几何方程等。
在数学中，方程有以下重要概念和性质：1. 未知数和已知数：方程中的未知数是需要求解的变量，已知数是已知的常数或者已知的变量。
通过方程可以求解出未知数的值，从而使等式成立。
2. 方程的解：一个方程可以有一个或多个解，解是使得方程成立的未知数的值。
解可以通过代入法、消元法、因式分解等方法求解。
3. 一元方程和二元方程：一元方程只有一个未知数，例如x+3=7；二元方程有两个未知数，例如x+y=10。
三、直线与方程的关系直线和方程是密切相关的，直线可以表示为一个方程，并且方程可以描述直线的各种性质和特征。
下面介绍几个常见的与直线和方程相关的概念和定理：1. 直线的平行和垂直关系：如果两条直线的斜率相等，那么它们平行；如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们垂直。
2. 直线的交点：两条直线的交点是使得两个方程同时成立的点，可以通过联立方程求解来确定交点的坐标。
高中数学-直线与方程章末归纳总结
【解析】 【评析】考查直线系方程.
过点P（-1，0）,Q（0，2）分别作两条互相平行的直 线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直 线的方程.
【解析】
专题三 最值问题 如图1，过点P（2，1）作直线l，与x轴,y轴正半轴 分别交于A,B两点，求： （1）△AOB面积的最小值及 此时直线l的方程； （2）求直线l在两坐标轴上截 距之和的最小值及此时直线l的方程. 【分析】最值问题是高考题中非常重要的一种题型， 涉及面非常广泛，在函数中求最值是我们常见的题 型.与直线有关的问题有时也涉及到最值问题，在解 决这类问题时经常转化为函数求最值问题.
如图2，过点A（1，1）且斜率为-m（m＞0）的直线l与x 轴,y轴分别交于P,Q两点，过P,Q作直线2x+y=0的垂线，垂 足为R,S，求四边形PQSR面积的最小值.
【解析】
【解析】
∵用定义可证明2k+ k1
在（-∞,-
2 2
]上单调递增，
在[- 2 ，0）上单调递减，2源自∴2k+1 k
有最大值-2
2
,此时k=-
2 ,即k=-
2
2 时截距
2
之和最小值为3+2 2 ，此时l的方程为y-1=- 2（2 x-
2），即 2x+2y-2-2 2 =0.
【评析】本题也可使用截距式方程进行求解，不妨试 一试.
专题二 求直线方程 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线 3x+y-1=0平行的直线方程.
【分析】过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交 点的直线方程为（A1x+B1y+C1） +λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此直线不包括 A2x+B2y+C2=0.
高中数学必修2---直线与方程(小结与复习)
直线与方程（小结与复习）1、倾斜角与斜率的互化问题（1）倾斜角的取值范围是：[)πα，0∈直线的斜率：αtan =k ，且斜率k 的取值范围为：R k ∈（2）已知倾斜角α求k ：当2πα=时，k 不存在；当2πα≠时，αtan =k（3）经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式: 1212tan x x y y k --==α ）（21x x ≠ （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，若AC AB k k x x x ===或321,则C B A 、、三点共线。
例1、（1）若)33,3(--∈k ，则∈α ；（2）若)1,1(-∈k ，则∈α 。
例2、若直线l 过点),1(),2,0(2m N m M )(R m ∈，求直线l 的倾斜角的取值范围。
例3、已知直线l 过点)1,2(),,32(-+m N m m M )(R m ∈，当m 为何值时，直线l 的倾斜角为锐角、直角、钝角？例4、直线)3,6(03cos 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=--ππαa y x 的倾斜角的变化范围是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6.ππA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4.ππB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4.ππC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,4.ππD例5、)3,6(03sin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=--ππαa y x 的倾斜角的变化范围是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6.ππA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4.ππB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4.ππC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,4.ππD 例6、已知点)2,3(),51(---B A ，，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，求直线l 的斜率．例7、已知点)2,3-(),32(--B A ，，直线l 过点)11(，P 且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是（ ）443.-≤≥k k A 或 434.≤≤-k B 4143.-≤≥k k C 或 443.≤≤-k D2、直线平行与垂直的问题（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，则有⇔21//l l 21k k =，特别地，当直线21,l l 的斜率都不存在时21l l 与的关系为平行。
直线知识点归纳总结高中
直线知识点归纳总结高中直线是我们初中时学习的基础几何概念之一，而在高中数学课程中，直线的相关知识将更加深入和复杂。
本文将对高中直线知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
以下是直线相关的几个重要知识点：直线的定义和性质直线是由无数个点组成的，它没有长度和宽度，可以看作是无限延伸的。
在几何中，直线用一条带箭头的横线表示，两个端点可以任意延伸。
直线的特殊位置有两个：水平线和竖直线。
水平线是与地面平行的线，在平面坐标系中的方程为y = k，其中k为常数。
竖直线是与地面垂直的线，在平面坐标系中的方程为x = h，其中h为常数。
直线的方程直线的方程是直线及其所有点的数学描述，可以用多种形式表示。
下面是一些常见的直线方程形式：1. 一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数，A和B不同时为0。
2. 点斜式方程：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(k)为斜率，(x₁, y₁)为直线上的已知点。
3. 斜截式方程：y = kx + b，其中(k)为斜率，(0, b)为直线与y轴的交点。
直线的斜率斜率是直线的一个重要性质，它表示直线倾斜的程度。
对于一条直线上的两个不同点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，斜率的计算公式为：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)其中m为斜率。
若两点坐标相同，则斜率不存在（垂直线）；若两点的x坐标相同，则斜率为0（水平线）；若两点的y坐标相同，则斜率为无穷大（竖直线）。
直线的性质和定理直线的性质和定理是通过直线的定义和方程推导得出的，下面介绍几个常见的性质和定理：1. 平行定理：若两条直线的斜率相同，则它们平行；若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，且k₁ ≠ k₂，则它们相交于一点。
2. 垂直定理：若两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直；若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，且k₁ * k₂ = -1，则它们垂直。
3. 距离公式：设直线L的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线L的距离公式为：d = |Ax₁ + By₁ + C| /√(A² + B²)。
高中直线知识点归纳总结
高中直线知识点归纳总结直线是几何学中的重要概念，也是数学学科中的基础知识点之一。
在高中数学学习中，直线是一个重要的内容，涉及到直线的性质、方程、斜率等方面。
本文将对高中直线知识点进行归纳总结，包括直线的定义、直线的方程、直线的性质以及直线的斜率等内容。
一、直线的定义直线是平面上一组无穷多点按照一定规律排列而成的集合。
直线没有起点和终点，可以延伸到平面的无穷远处。
直线可以用两个不同的点表示。
二、直线的方程1. 一般式方程直线的一般式方程可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不同时为0。
该方程中的A和B决定了直线的斜率，即直线的倾斜程度。
2. 截距式方程直线的截距式方程可以表示为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程可以直观地表示直线与坐标轴的截距关系。
3. 点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）为直线上的一点，k为直线的斜率。
点斜式方程可以通过给定一点和斜率来表示直线的方程。
4. 斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。
三、直线的性质1. 平行与垂直关系如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。
2. 直线之间的夹角对于两条直线，可以通过它们的斜率来计算它们之间的夹角。
直线的夹角可以是锐角、直角或钝角。
3. 直线的交点如果两条直线不平行，则必定存在一个交点，通过求解直线的方程可以确定两直线的交点坐标。
4. 直线的长度直线的长度可以通过两点之间的距离公式求得，即d = √((x₂ - x₁)²+ (y₂ - y₁)²)，其中（x₁，y₁）和（x₂，y₂）为直线上的两点。
四、直线的斜率直线的斜率反映了直线的倾斜特性，可以表示为k = (y₂ - y₁)/(x₂- x₁)。
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知识点归纳概括
题型归纳分析
题型1：直线的倾斜角与斜率
考点1：直线的倾斜角
例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( )
A 、1
B 、4
C 、1或3
D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ）
A 、︒60
B 、︒30
C 、︒120
D 、︒150
变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围
考点2：直线的斜率及应用 斜率公式1
21
2x x y y k --=
与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；
斜率变化分两段，
2
π
是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则b
a 1
1+的值等于 变式1：若()3,2-A 、()2,3-B 、⎪⎭
⎫
⎝⎛m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2-
B 、2
C 、2
1
-
D 、
2
1 考点3：两条直线的平行和垂直
对于斜率都存在且不重合的两条直线21l l 、，2121//k k l l =⇔，12121-=⋅⇔⊥k k l l 。
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意
例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。
(1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角
题型2：直线方程
考点1：直线方程的求法
例1、若()()
013442
2
=+⋅+-+⋅-y m m x m 表示直线，则（ ）
A 、2±≠m 且1≠m ，3≠m
B 、2±≠m
C 、1≠m 且3≠m
D 、m 可取任意实数
变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）
A 、2,3==b a
B 、2,3-==b a
C 、2,3=-=b a
D 、2,3-=-=b a 变式2：过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ；
在两轴上的截距相等的直线方程
变式3：过点)1,2(-P ，在x 轴和y 轴上的截距分别为b a 、，且满足b a 3=的直线方程是 考点2：用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定，已知直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，则 (1) 0//122121=-⇔B A B A l l 且01221≠-C A C A (2) 0212121=+⇔⊥B B A A l l
(3) 1l 与2l 重合01221=-⇔B A B A 且01221=-C A C A (4) 1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A 例1、已知直线01=++ny mx 平行于直线0534=++y x ，且在y 轴上的截距为3
1
，则n m 、的值分别为（ ）
A 、4和3
B 、4-和3
C 、4-和3-
D 、4和3- 变式1：直线02:1=++y kx l 和032:2=--y x l , 若21//l l ，则1l 在两坐标轴上的截距的和（ ）
A 、1-
B 、2-
C 、2
D 、6 例2、已知直线02=+-a y ax 与直线()012=++-a ay x a 互相垂直，则a 等于（ ）
A 、1
B 、0
C 、1或0
D 、1或1- 变式2：两条直线0=-+n y mx 和01=++my x 互相平行的条件是（ ）
A 、1=m
B 、1±m
C 、⎩⎨
⎧-≠=11n m D 、⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩⎨⎧≠=1
1
n m
变式3：两条直线03=++m y x 和03=+-n y x 的位置关系是（ ）
A 、平行
B 、垂直
C 、相交但不垂直
D 、与n m 、的取值有关 例3、三条直线01=+-y x 、042=-+y x 、02=+-y ax 共有两个交点，则a 的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、1或2-
D 、1-或2 考点3：直线方程的实际应用
例1、求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积
变式1：过点()4,5--且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是
例2、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最小值？
题型3：直线的交点坐标与距离公式 考点1：三条直线交于一点问题
例1. 三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=相交于一点，求a 的值
考点2：求过交点的直线问题
例1. 求经过两直线2330x y --=和30x y ++=的交点且与直线510x y +-=平行的直线方程为
考点3：有关对称问题
(1)中心对称：①点-点-点对称——由中点坐标求得；②线-点-线对称——先找对称点，在根据21//l l 求得。
(2)轴对称：①点关于直线的对称——由中点坐标及121-=⋅k k 求得；②直线关于直线的对称——转化到点关于直 线对称求得。
1、点()0,4关于直线02145=++y x 对称的点是（ ）
A 、()8,6-
B 、()6,8--
C 、()8,6
D 、()8,6-- 2、已知点()b a P ,和点()1,1+-a b Q 是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（ ）
A 、0=+y x
B 、0=-y x
C 、01=-+y x
D 、01=+-y x
3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）
A 、102
B 、6
C 、33
D 、52
4、过点()4,3-M 且与()3,1-A 、()2,2B 两点等距离的直线方程是
5、若直线01=++y ax 和直线024=++b y x 关于点()1,2-对称，求b a 、的值
6、求直线32:1+=x y l 关于直线1:+=x y l 对称的直线2l 的方程
考点4：有关最值问题
例1、设直线l 过点()2,1P ，求当原点到此直线距离最大时，直线l 的方程
变式1：已知()1,1A 、()1,1-B 直线01:=+-y x l ，求直线上一点P ，使得PB PA +最小；求直线上一点P ，使得PB PA -最大
考点5：直线通过象限问题
例1、若0<AC ，0<BC ，则直线0=++C By Ax 不通过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
变式1：若直线()0823=++⋅+y x a 不过第二象限，则实数a 的取值范围是 变式2：若直线0=++c by ax 过第一、二、三象限，则（ ）
A 、0>ab 、0>bc
B 、0>ab 、0<bc
C 、0<ab 、0>bc
D 、0<ab 、0<bc 变式3：直线1+-=k kx y 与02=--k x ky 交点在第一象限，则k 的取值范围是（ ）
A 、10<<k
B 、1>k 或01<<-k
C 、1>k 或0<k
D 、1>k 或2
1<k
考点6：有关定点问题
1、若q p 、满足12=-q p ，直线03=++q y px 必过一个定点，该定点坐标为
2、直线06=++by ax 与02=-y x 平行，并过直线01034=-+y x 和0102=--y x 的交点，则
=a ，=b
3、无论n m 、取何实数，直线()()023=-⋅++⋅-n y n m x n m 都过一定点P ，则P 点坐标为（ ）
A 、()3,1-
B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21
C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,51
D 、⎪⎭
⎫
⎝⎛-73,71 考点7：有关距离问题
1、 若点()2,2-到直线340x y c ++=的距离为3，求c 的值
2、 求两平行值线1:3410l x y +=和2:3415l x y +=间的距离
3、过点()2,1P 的直线l 与两点()3,2A 、()5,4-B 的距离相等，则直线l 的方程为（ ）
A 、064=-+y x
B 、064=-+y x
C 、723=+y x 或64=+y x
D 、732=+y x 或
64=+y x
4、直线1l 过点()0,3A ，直线2l 过点()4,0B ，21//l l ，用d 表示1l 和2l 的距离，则（ ）
A 、5≥d
B 、53≤≤d
C 、50≤≤d
D 、50≤<d。