专题导数法-高中物理八大解题方法含解析

高中物理解题方法之导数法

在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。 例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布

图1.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的点的合成

以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y 轴，则各点的电场强度可表示为：

θcos )(

222⋅+=y l Q k E =2222)(2y

l y

y l Q k +⋅+ 因为原点的电场强度00=E ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。 方法1.用三角函数法求导数

θcos )(

222⋅+=y l Q k E 中把θtan l y =代入得θθcos sin 222

⋅=l

kQ E 。 令=z θθcos sin 2，求导数θθθ32sin cos sin 2'-=z =)sin cos 2sin 22θθθ-（，欲使

0'=z ，需0sin =θ（舍去）或0sin cos 222=-θθ即2tan =θ，此处，2

2l

y =

，将其代入得2max 934l

kQ

E ⋅=

。

方法2. 用代数法求导数

E =2

22

2

)(2y l y y l Q k +⋅+，令23

2

2)(-+⋅=y l y z ,对z 求导数得2

52

222

3

2

2)

(3)

('-

-

+-+=y l y y l z ,令其分子为0，得2

2l

y =

，代入得2max 934l

kQ

E ⋅=

。 3.图象

用Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。

图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布

此图象也验证了以上所得的结果：图象中令5=l ，则当5.32

5

222=⨯==l

y 处电场强度最大。

例2、电源输出功率最大问题的研究

例题．如图所示，R 为电阻箱，

○V 为理想电压表．当

电阻箱读数为R 1=2Ω时，电压表读数为U 1=4V ；当电阻箱读数为R 2=5Ω时，电压表读数为U 2=5V ．求：

(1)电源的电动势E 和内阻r 。

(2)当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值P m 为多少? 图3 电路图

【解析】由闭合电路欧姆定律： 111U E U r R =+

222

U

E U r R =+ 联立上两式并代入数据解得：6E V =，1r =Ω

（2）解法 1.代数法，电功率表达式：2

2

()E P R R r =

+ 将上式变形为：2

2()4E P R r r R

=

-+，由上式可知1R r ==Ω时P 有最大值294m E P W r == 解法2.导数法，电功率表达式：22()E P R R r =+，根据求导公式2

'')'(v

uv v u v u -=，得导数：=)('R P 4222)()(2)(r R r R R E r R E ++⋅-+⋅=4

2)()

()(r R R r r R E +-⋅+⋅，当r R =时，导数的分子为零，即此时有极大值，将1R r ==Ω代入P 式得最大值

2

94m E P W r

==

本题的物理意义可用图4图象说明：

图4电源输出功率与外电路电阻的关系

图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。

例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大

大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。

弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。

一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。

如图1所示，设质量为m 1的小球，速度为v 1，与质量为m 2的小球，速度为v 2，发生碰撞，

图5 碰撞

碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。 由系统的动量守恒定律得 m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1’+m 2v 2’……① 则碰撞中动能损失为=∆k E 12222112

2221'2

1'212121v m v m v m mv --+ ② 由①得2

1122112'

'm v m v m v m v -+=

③