专题导数法-高中物理八大解题方法含解析
高中数学导数相关知识点总结+解题技巧
高中数学：导数相关知识点总结+解题技巧一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即二. 导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则3.复合函数求导y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明1.合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
2.类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
高中数学函数导数题解题方法
高中数学函数导数题解题方法在高中数学中，函数导数是一个重要的概念和工具，它在解决各种数学问题中起着关键作用。
本文将介绍一些常见的函数导数题解题方法，并通过具体题目的分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些方法。
一、导数的定义和基本性质在开始讨论具体的解题方法之前，我们先来回顾一下导数的定义和基本性质。
函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示x的增量。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，具有以下基本性质：1. 导数存在的充分必要条件是函数在该点连续；2. 导数可以表示函数的斜率，即切线的斜率；3. 导数可以用来判断函数在某一点的增减性和极值。
了解了导数的定义和基本性质，我们就可以通过一些具体的题目来进一步说明解题方法。
二、求函数的导数1. 求多项式函数的导数考虑函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，我们要求该函数在任意点x处的导数。
根据导数的定义，我们可以将函数f(x)在点x处的导数表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗将函数f(x)代入上式，展开并化简，我们可以得到：f'(x) = 6x + 2这样，我们就求得了函数f(x)的导数为6x + 2。
通过这个例子，我们可以发现，对于多项式函数，求导的过程就是将指数降一，并将系数乘以原指数。
2. 求三角函数的导数考虑函数f(x) = sin(x)，我们要求该函数在任意点x处的导数。
根据导数的定义，我们可以得到：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(sin(x+Δx)-sin(x))/Δx〗利用三角函数的和差公式，我们可以展开上式，并化简为：f'(x) = cos(x)这样，我们就求得了函数f(x)的导数为cos(x)。
通过这个例子，我们可以发现，对于三角函数，求导的过程就是将函数的类型保持不变，并将幅度函数作为导数。
专题04导数法-高中物理八大解题方法含解析
高中物理解题方法之导数法江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。
在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。
例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为：Q Q yE =2k（二2） cos"2k（c 2） 2 2l y l y l2y2因为原点的电场强度E0 =0，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以, 从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。
那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法1■用三角函数法求导数E创几）如中把“冷代入得一爷罰2"冷令z = sin2二COST，求导数z‘ = 2sin 二cos2：「sin‘ =sin (2cos2- sin 2二)，欲使z‘ = 0，需sn - - 0 (舍去)或2cos2 v - sin2 - 0 即tan 71 - 2，此处,V2iy坐标轴上的点的合成方法2.用代数法求导数E = 2k (丁汇)一2‘一2-，令 z 二 y (I 2 y 2 )弋，对 z 求导数得 I +y Jl 2+y 2上J；9Iz- (12 y 2) 2 -3y 2(|2y 2) 2 ,令其分子为0，得y 彳，代入得23■图象用ExceI 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象 的横轴y 表示各点到原点的距离(以两点电荷的连线的中点为原点)，纵轴表示 中垂线上各点的电场强度。
将其代入得E max4,3 kQE m4 3 kQo图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令1=5，则当y ? 口 =3.5处2 2电场强度最大。
例2、电源输出功率最大问题的研究例题•如图所示，R 为电阻箱，(\V 为理想电压表.当电阻箱读数为R i =2Q 时，电压表读数为U i =4V ; 当电阻箱读数为R 2=5 Q 时，电压表读数为 U 2=5V.求：(1) 电源的电动势E 和内阻r 。
导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型主要包括求函数的导数、求函数的极值、求曲线的切线方程和法线方程等。
下面给出这些题型的解题方法：
1. 求函数的导数：
- 根据导数的定义，逐项求导；
- 利用乘法法则、复合函数法则、除法法则等求导法则简化计算；
- 对于含有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的复合函数，可以根据相应的求导法则和运算规律进行求导。
2. 求函数的极值：
- 首先求函数的导数，得到导函数；
- 解导函数的方程，求得导函数的零点，即函数的驻点；
- 利用二阶导数判别法来判断驻点的类型（极大值点、极小值点或拐点）；
- 如果导函数的零点为函数的一个极值点，则该极值点对应的函数值为极值。
3. 求曲线的切线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 然后利用一般点斜式的切线方程公式，以该点和斜率为参数，得到切线方程。
4. 求曲线的法线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 利用切线斜率与法线斜率的关系（切线斜率与法线斜率的乘积等于-1），由此得到法线的斜率；
- 然后以该点和法线斜率为参数，利用一般点斜式的法线方程公式得到法线方程。
以上是导数大题题型的一般解题方法，根据具体题目特点和要求，可能需要结合其他数学知识和技巧进行推导和计算。
高中数学解题技巧导数小技巧
高中数学经典的解题技巧和方法导数小技巧首先,解答导数及其应用这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1.导数概念及其几何意义 1了解导数概念的实际背景; 2理解导数的几何意义; 2．导数的运算1能根据导数定义求函数231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数的导数;2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;3能求简单的复合函数仅限于形如()f ax b +的复合函数的导数; 3．导数在研究函数中的应用1了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次;2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值其中多项式函数一般不超过三次；会求闭区间了函数的最大值、最小值其中多项式函数一般不超过三次;4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理1了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念; 2了解微积分基本定理的含义;好了,搞清楚了导数及其应用的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧; 一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线()y f x =的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热点;2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现,属容易题;解题技巧：1．导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数;2．求曲线切线方程的步骤：1求出函数()y f x =在点0x x =的导数,即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；2在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-;注：①当曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴此时导数不存在时,由切线定义可知,切线方程为0x x =；②当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解; 例1：2010 ·海南高考·理科T3曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为 A 21y x =+ B 21y x =- C 23y x =-- D 22y x =--命题立意本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 思路点拨先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 规范解答选 A.因为 22(2)y x '=+,所以,在点()1,1--处的切线斜率1222(12)x k y =-'===-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A.二、利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具,近几年各省市高考中的单调性问题,几乎均用它解决;2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构,多以解答题形式考查,属中高档题目;解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤; 1确定函数的定义域； 2求导数()f x '；3①若求单调区间或证明单调性,只需在函数()f x 的定义域内解或证明不等式()f x '＞0或()f x '＜0;②若已知()f x 的单调性,则转化为不等式()f x '≥0或()f x '≤0在单调区间上恒成立问题求解;例2：2010·山东高考文科·Ｔ21已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ 1当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； 2当12a ≤时,讨论()f x 的单调性.命题立意本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.思路点拨1根据导数的几何意义求出曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率；2直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.规范解答1 当 1 ()a f x =-=时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x 所以 ()222x x f x x +-'=因此, ()21f '=,即曲线()2(2)) 1.y f x f =在点（，处的切线斜率为，又,22ln )2(+=f 所以曲线()2(2)) (ln 22)2, y f x f y x =-+=-在点（，处的切线方程为2因为11ln )(--+-=x a ax x x f ,所以211)('xa a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ,令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x（1） 当0a =时,()()1,0,,g x x x =-+∈+∞所以当()0,1x ∈时,()g x >0,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时,()g x <0,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增.（2） 当0a ≠时,由()0f x '=,即 210ax x a -+-=,解得1211,1x x a==-.① 当12a =时, 12x x = , ()0g x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在0,+∞上单调递减;② 当102a <<时, 1110a->>,()0,1x ∈时,()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g x <0,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增 11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减 ③ 当0a <时,由于110a-<,()0,1x ∈时,()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减： ()1,x ∈+∞时,()g x <0,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时,函数()f x 在()0,1上单调递减;函数()f x 在()1,+∞上单调递增 当12a =时,函数()f x 在()0,+∞上单调递减当102a <<时,函数()f x 在()0,1上单调递减；函数()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x 在11,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 方法技巧1、分类讨论的原因1某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；2数的运算：如除法运算中除式不为零,在实数集内偶次方根的被开方数为非负数,对数中真数与底数的要求,不等式两边同乘以一个正数还是负数等；3含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结果发生改变； 4在研究几何问题时,由于图形的变化图形位置不确定或形状不确定,引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 1要有明确的分类标准；2对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； 3当讨论的对象不止一种时,应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤1明确讨论对象,确定对象的范围；2确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏； 3逐段逐类讨论,获得阶段性结果；4归纳总结,得出结论.三、利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具,几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法;2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构,多以解答题形式出现,属中高档题;解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：1确定定义域;2求导数()f x ';3①或求极值,则先求方程()f x '=0的根,再检验()f x '在方程根左右值的符号,求出极值;当根中有参数时要注意分类讨论②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程()f x '=0的根的大小或存在情况,从而求解;2．求函数()y f x =的极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值;例3：2010·天津高考理科·Ｔ2１已知函数()()x f x xe x R -=∈ Ⅰ求函数()f x 的单调区间和极值；Ⅱ已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,证明当1x >时,()()f x g x >III 如果12x x ≠,且12()()f x f x =,证明122x x +>命题立意本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力;思路点拨利用导数及函数的性质解题; 规范解答Ⅰ解：f ’()(1)x x x e -=-,令f ’x=0,解得x=1, 当x 变化时,f ’x,fx 的变化情况如下表所以fx 在,1-∞内是增函数,在1,+∞内是减函数; 函数fx 在x=1处取得极大值f1且f1=1eⅡ证明：由题意可知gx=f2-x,得gx=2-x 2x e -令Fx=fx-gx,即2()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=--当x>1时,2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’x>0,从而函数Fx 在1,+∞是增函数;又F1=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有Fx>F1=0,即fx>gx. Ⅲ证明：1若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。
专题04导数法-高中物理八大解题方法
专题04导数法-高中物理八大解题方法高中物理中，导数法是一种重要的解题方法。
导数法利用导数的性质和计算方法，可以帮助学生解决一些与物体运动相关的问题。
下面将介绍导数法的基本概念和应用。
一、导数的定义与计算方法在介绍导数法之前，我们首先要了解导数的基本概念。
在物理中，导数表示函数在其中一点上的变化率。
对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x) 或者 dy/dx，表示函数 f(x) 在点 x 处的变化率。
导数的计算方法有很多种，常用的有以下几种：1. 使用导数的定义进行计算，即根据导数的定义公式 f'(x) =lim_(△x->0) (f(x+△x) - f(x))/△x 进行计算。
2.使用相关函数的导数公式进行计算，例如常见的函数导数公式有幂函数导数、指数函数导数、三角函数导数等。
3.利用导数的性质进行计算，例如导数的和、差、积、商的计算法则，可以简化导数的计算过程。
二、导数法的应用导数法在高中物理中的应用非常广泛，可以帮助解决一些与物体运动相关的问题。
下面将介绍导数法的具体应用。
1.速度与加速度在物体运动学中，速度和加速度是两个重要的概念。
速度表示物体在单位时间内的位移变化，加速度表示物体在单位时间内速度的变化。
利用导数法，我们可以通过速度函数来求解加速度函数，或者通过位移函数来求解速度函数。
例如，对于一个匀速运动的物体，位移函数可以表示为 s(t) = vt，其中 v 是速度。
通过求解这个位移函数的导函数，我们可以得到速度函数 v(t) = s'(t) = d(vt)/dt = v。
也就是说，匀速运动的物体的速度恒定不变，其速度函数的导数为常数。
同样地，对于匀加速运动的物体，速度函数可以表示为 v(t) = at，其中 a 是加速度。
通过求解速度函数的导函数，我们可以求得加速度函数 a(t) = v'(t) = d(at)/dt = a。
2.位置、速度和加速度之间的关系利用导数法，我们还可以求解位置、速度和加速度之间的关系。
高中数学导数题解题技巧
高中数学导数题解题技巧导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在解题过程中，熟练掌握导数的相关技巧是非常重要的。
本文将从常见的导数题型入手，介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对导数题。
1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念表示。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个定义可以帮助我们计算函数在某一点处的导数。
2. 导数的基本性质在解题过程中，我们需要掌握导数的一些基本性质。
首先是导数的线性性质，即对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)[a*f(x)]' = a*f'(x)[f(x)*g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)这些性质可以帮助我们简化导数的计算过程。
3. 常见的导数题型接下来，我们将介绍一些常见的导数题型，并给出相应的解题技巧。
3.1 多项式函数的导数对于多项式函数f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_1*x + a_0，其中a_i为常数，n为正整数，导数可以通过对每一项求导得到。
例如，对于函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，求导后得到：f'(x) = 6x + 2在求导过程中，注意常数项的导数为0。
3.2 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对指数部分求导得到。
例如，对于函数f(x) = 2^x，求导后得到：f'(x) = ln(2) * 2^x其中ln表示自然对数。
3.3 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对函数取导数得到。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
导数综合应用的做法和步骤技巧全解决篇
做导数大题，分四步来做-1、求定义域2、判定单调性3、求极值4、求最值。
下面是对上面四步进行系统的分析。
1、求定义域，（无论我们做什么类的函数题，第一步必须是求定义域，在定义域内进行求解和讨论，只有在定义域内讨论才有意义）2、函数求导并判断函数的单调性。
方法是令导函数=0 求导用求导公式和求导的运算法则，大家要把求导公式给背熟，这是导数类问题的基础。
划分单调区间，除了导数为零的点，还要注意定义域内的不连续点和不可导点。
比如说不连续点f(x)=(x-2)/(x-1)的平方。
这函数求导之后，1也是一个间断点。
说明一点：在某一区间，导数>0,能推出在此区间内函数为增函数，但是在某区间内函数为增函数，推出的是导数>=0,但是导数不能恒等于0函数单调性的判定：对于大题中，导函数的形式一般有一次函数、二次函数、指数函数和对数函数。
主要拿二次函数来举例子，经常出现的导函数的形式就是二次函数如果定义域为R内。
如果导函数是一次函数，斜率大于零，一定是先减后增，间断点为横轴的截距。
如果含有参数，讨论导函数根在定义域内，和定义域外2种情况来讨论参数。
如果导函数是二次函数，1。
不含参数，直接利用二次函数的单调性质解。
可用数轴标根法。
2、含参数，判定 。
若 0 ，则无极值点，如果二次项系数>0 则增，反之减。
>0，解除出函数的两个根，用数轴标根法（或者画出一次函数的图像），注意要再定义域内来讨论。
如果是指对数函数，根据指对数函数的性质来讨论。
判断函数单调应的应用2点，函数极值判断和零点判断。
函数零点的判断，如果函数在某一区间单调，且在区间的两端函数值异号，那么在这区间里一定存在零点。
3、判断函数的极值点，极值点的判定两个条件：1、导数为零的点，既导数的根2、导函数的根两侧导数值异号。
即先增后减为极大值，先减后增为极小值。
问大家一个问题：导数为零的点一定是极值点？错，导函数的根两侧导数值异号。
可以列表看着直观，也可以不列出来4、由函数的最值，可判断最值。
高中导数题的解题技巧
导数题的解题技巧命题趋向导数命题趋势：导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 考点透视1．了解导数概念的某些实际背景如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号；会求一些实际问题一般指单峰函数的最大值和最小值．例题解析考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1．2006年辽宁卷与方程221(0)xx y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为 A.ln(1)y x =+B.ln(1)y x =-C. ln(1)y x =-+D. ln(1)y x =--考查目的本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力解答过程2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=,0,1x x e ≥∴≥,即：1ln(1)x e y x y =+⇒=+,所以1()ln(1)f x x -=+.故选A.例2. 2006年湖南卷设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x fx >,若M P,则实数a 的取值范围是A.-∞,1B.0,1C.1,+∞D. 1,+∞考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.解答过程由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时综上可得M P 时,1.a ∴> 考点2 曲线的切线 1关于曲线在某一点的切线求曲线y=fx 在某一点Px,y 的切线,即求出函数y=fx 在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. 2关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.2004年重庆卷已知曲线y =31x 3+34,则过点P 2,4的切线方程是_____________.思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：y ′=x 2,当x =2时,y ′=4.∴切线的斜率为4. ∴切线的方程为y －4=4x －2,即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.例4.2006年安徽卷若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在1,1处导数为4,此点的切线为430x y --=. 故选A.例5． 2006年重庆卷过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +25=0相切的直线的方程为=-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-=又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ,2C 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ,曲线1C 在点P 12112,x x x +处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-,即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得1,1222121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ,即21-=a 时,解得211-=x ,此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ,1C 和2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值最值;5.构造函数证明不等式. 典型例题例7．2006年天津卷函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.解答过程由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A. 例8. 设y f x =()为三次函数,且图象关于原点对称,当x =12时,f x ()的极小值为-1,求出函数f x ()的解析式. 思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320,再利用图象关于原点对称确定系数.解答过程：设f x axbx cx d a ()()=+++≠320,因为其图象关于原点对称,即f x ()-=-f x (),得由f x ax c '()=+32, 依题意,f a c '()12340=+=,f a c()121821=+=-, 解之,得a c ==-43，.故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值;此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易;解答过程：由24030x x +≥+≥⎧⎨⎩得,x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=+-+=+-++⋅+12412323242243,又2324282324x x x x x +-+=++++,∴当x ≥-2时,y '>0,∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.例10．2006年天津卷已知函数()θθcos 163cos 3423+-=x x x f ,其中θ,R x ∈为参数,且πθ20≤≤．1当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值；2要使函数()f x 的极小值大于零,求参数θ的取值范围；3若对2中所求的取值范围内的任意参数θ,函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数,求实数a 的取值范围．考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程Ⅰ当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值. Ⅱ2'()126cos f x x x θ=-,令'()0f x =,得12cos 0,2x x θ==.由Ⅰ,只需分下面两种情况讨论.①当cos 0θ>时,随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：因此,函数()f x在2x =处取得极小值f()2,且3cos 13()cos 2416f θθ=-+.要使cos ()02f θ>,必有213cos (cos )044θθ-->,可得0cos θ<<.由于0cos θ≤≤,故3116226ππππθθ<<<<或.②当时cos 0θ<,随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ,且3(0)cos .16f θ=若(0)0f >,则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时,()f x 的极小值不会大于零. 综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零,参数θ的取值范围为311(,)(,)6226ππππ⋃. III 解：由II 知,函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2θ+∞内都是增函数;由题设,函数()(21,)f x a a -在内是增函数,则a 须满足不等式组210a a a -<≤或21121cos 2a a a θ-<-≥由II,参数时311(,)(,)6226ππππθ∈⋃时,0cos θ<.要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立,必有21a -≥a .综上,解得0a ≤1a ≤<.所以a 的取值范围是(,0)-∞⋃.例11．2006年山东卷设函数fx =ax －a +1ln x +1,其中a ≥-1,求fx 的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+1当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减, 2当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a='()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表—0 +极小值从上表可知当1(1,)x a∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a-上单调递减.当1(,)x a∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.综上所述：当10a -≤≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时,函数()f x 在1(1,)a-上单调递减,函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.取得极例12．2006年北京卷已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处示.求：大值5,其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所Ⅰ0x 的值； Ⅱ,,a b c 的值.考查目的本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程解法一：Ⅰ由图像可知,在(),1-∞上()'0f x >,在()1,2上()'0f x <,在()2,+∞上()'0f x >,故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增,在(1,2)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x = Ⅱ'2()32,f x ax bx c =++由'''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5，得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,9,12.a b c ==-= 解法二：Ⅰ同解法一Ⅱ设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,232m a b m c m ==-=由(1)5f =，即325,32m m m -+=得6,m =所以2,9,12a b c ==-=例13．2006年湖北卷设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. Ⅰ求a 与b 的关系式用a 表示b ,并求()x f 的单调区间；Ⅱ设0>a ,()x e a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围.考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解答过程Ⅰf `x ＝－x 2＋a －2x ＋b －a e 3－x ,由f `3=0,得 －32＋a －23＋b －a e 3－3＝0,即得b ＝－3－2a ,则 f `x ＝x 2＋a －2x －3－2a －a e 3－x＝－x 2＋a －2x －3－3a e3－x＝－x －3x ＋a+1e3－x.令f `x ＝0,得x 1＝3或x 2＝－a －1,由于x ＝3是极值点, 所以x+a+1≠0,那么a ≠－4. 当a <－4时,x 2>3＝x 1,则在区间－∞,3上,f `x <0, f x 为减函数； 在区间3,―a ―1上,f `x>0,f x 为增函数； 在区间―a ―1,＋∞上,f `x <0,f x 为减函数. 当a >－4时,x 2<3＝x 1,则在区间－∞,―a ―1上,f `x <0, f x 为减函数； 在区间―a ―1,3上,f `x>0,f x 为增函数； 在区间3,＋∞上,f `x <0,f x 为减函数.Ⅱ由Ⅰ知,当a >0时,f x 在区间0,3上的单调递增,在区间3,4上单调递减,那么f x 在区间0,4上的值域是minf 0,f 4 ,f 3,而f 0＝－2a ＋3e 3<0,f 4＝2a ＋13e －1>0,f 3＝a ＋6, 那么f x 在区间0,4上的值域是－2a ＋3e 3,a ＋6. 又225()()4x g x a e =+在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是a 2＋425,a 2＋425e 4,由于a 2＋425－a ＋6＝a 2－a ＋41＝21-a 2≥0,所以只须仅须a 2＋425－a ＋6<1且a >0,解得0<a <23.故a 的取值范围是0,23.例14 2004年天津卷已知函数fx =ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值. 1讨论f 1和f －1是函数fx 的极大值还是极小值； 2过点A 0,16作曲线y =fx 的切线,求出此切线方程.思路启迪：1分析x =±1处的极值情况,关键是分析x =±1左右f 'x 的符号.2要分清点A 0,16是否在曲线上.解答过程：：1f 'x =3ax 2+2bx －3,依题意,f '1=f '－1=0,即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得a =1,b =0.∴fx =x 3－3x ,f 'x =3x 2－3=3x +1x －1. 令f 'x =0,得x =－1,x =1.若x ∈－∞,－1∪1,+∞,则f 'x ＞0,故fx 在－∞,－1上是增函数,fx 在1,+∞上是增函数. 若x ∈－1,1,则f 'x ＜0,故fx 在－1,1上是减函数. 所以f －1=2是极大值,f 1=－2是极小值.2曲线y =x 3－3x ,点A 0,16不在曲线上,设切点Mx 0,y 0,则y 0=x 03－3x . ∵f 'x 0=3x 02－3,∴切线方程为y －y 0=3x 02－1x －x 0. 代入A 0,16得16－x 03+3x 0=3x 02－10－x 0.解得x 0=－2,∴M －2,－2,切线方程为9x －y +16=0.小结：过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键. 考点4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题例15.有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器 切、焊损耗不计.有人应用数学知识作了如下设计：如图a,在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方形,该长方体的高为小正方形的边长,如图b.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积1V； 由于上述设计存在缺陷材料有所浪费,请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积12V V >.解答过程： 1设切去的正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x,所以, )44(4)24(2321x x x x x V +-=-=,)20(<<x .∴)483(421'+-=xx V .令01'=V ,得2,3221==x x 舍去.而)2)(32(121'--=x x V ,又当32<x 时, 01'>V .当232<<x 时, 01'<V ,∴当32=x 时, 1V 取最大值27128.2重新设计方案如下：xx ab如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③,将图②焊成长方体容器;新焊成的长方体容器底面是一个长方形,长为3,宽为2,此长方体容积 61232=⨯⨯=V ,显然12V V >.故第二种方案符合要求.例16．2006年福建卷统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y 升关于行驶速度x 千米/小时的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.I 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少最少为多少升 考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解答过程I 当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时,要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=升. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油升;II 当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为()h x 升,依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.图2 2 3图12 图答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为升. 专题训练与高考预测 一、选择题 1. y =esin xcossin x ,则y ′0等于C.－12.经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是+y =0或25x +y =0－y =0或25x +y =0+y =0或25x －y =0－y =0或25x －y =03.设fx 可导,且f ′0=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f 0A.可能不是fx 的极值B.一定是fx 的极值C.一定是fx 的极小值D.等于04.设函数f n x =n 2x 21－x n n 为正整数,则f n x 在0,1上的最大值为C.n n)221(+-D.1)2(4++n n n 5、函数y=x 2-13+1在x=-1处A 、 有极大值B 、无极值C 、有极小值D 、无法确定极值情况 x=ax 3+3x 2+2,f ’-1=4,则a=A 、310 B 、313 C 、316 D 、3197.过抛物线y=x 2上的点M 41,21的切线的倾斜角是A 、300B 、450C 、600D 、9008.函数fx=x 3-6bx+3b 在0,1内有极小值,则实数b 的取值范围是A 、0,1B 、-∞,1C 、0,+∞D 、0,219.函数y=x 3-3x+3在25,23-上的最小值是A 、 889 B 、1 C 、833 D 、510、若fx=x 3+ax 2+bx+c,且f0=0为函数的极值,则 A 、c ≠0 B 、当a>0时,f0为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时,f0为极小值11、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是A 、2,3B 、3,+∞C 、2,+∞D 、-∞,312、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中A 、至少有2个元素B 、至少有3个元素C 、至多有1个元素D 、恰好有5个元素 二、填空题13.若f ′x 0=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.14.设fx =xx +1x +2…x +n ,则f ′0=_________.15.函数fx =log a 3x 2+5x －2a ＞0且a ≠1的单调区间_________.16.在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题17.已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点x 0,y 0x 0≠0,求直线l 的方程及切点坐标.18.求函数fx=p 2x 21-x p p ∈N +,在0,1内的最大值.19.证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数1y =x 2－2x +3e 2x ; 2y =31xx -.21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚 m 时,梯子上端下滑的速度. 22.求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,x ≠0,n ∈N .23.设fx =ax 3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求其单调区间. 24.设x =1与x =2是函数fx =a ln x +bx 2+x 的两个极值点.1试确定常数a 和b 的值；2试判断x =1,x =2是函数fx 的极大值还是极小值,并说明理由.25.已知a 、b 为实数,且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底,求证：a b ＞b a .26.设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、βα＜β,函数fx =142+-x a x . 1求f α·f β的值；2证明fx 是α,β上的增函数；3当a 为何值时,fx 在区间α,β上的最大值与最小值之差最小 参考答案一、1.解析：y ′=e sin xcos x cossin x －cos x sinsin x ,y ′0=e 01－0=1.答案：B2.解析：设切点为x 0,y 0,则切线的斜率为k =00x y ,另一方面,y ′=59++x x ′=2)5(4+-x ,故y ′x 0=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 01=－3,y 02=－15,对应有y 01=3,y 02=53515915=+-+-,因此得两个切点A －3,3或B －15,53,从而得y ′A =3)53(4+-- =－1及y ′B = 251)515(42-=+-- ,由于切线过原点,故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25x.答案：A3.解析：由x f x )0(lim 0'→=－1,故存在含有0的区间a ,b 使当x ∈a ,b ,x ≠0时xf )0('＜0,于是当x ∈a ,0时f ′0＞0,当x ∈0,b 时,f ′0＜0,这样fx 在a ,0上单增,在0,b 上单减. 答案：B4.解析：∵f ′n x =2xn 21－x n －n 3x 21－x n -1=n 2x 1－x n -121－x －nx ,令f ′n x =0,得x 1=0,x 2=1,x 3=n+22,易知f n x 在x =n+22时取得最大值,最大值f n n+22=n 2n+2221－n +22n =4·n+22n +1.答案：D5、B6、A7、B8、D9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f ′x 0=kx f k x f k ---+→)()]([(lim 000这时k x -=∆答案：－114.解析：设gx =x +1x +2……x +n ,则fx =xgx ,于是f ′x =gx +xg ′x ,f ′0=g 0+0·g ′0=g 0=1·2·…n =n答案：n15.解析：函数的定义域是x ＞31或x ＜－2,f ′x =253log 2-+x x e a .3x 2+5x －2′=)2)(13(log )56(+-⋅+x x e x a ,①若a ＞1,则当x ＞31时,log a e ＞0,6x +5＞0,3x －1x +2＞0,∴f ′x ＞0,∴函数fx 在31,+∞上是增函数,x ＜－2时,f ′x ＜0.∴函数fx 在－∞,－2上是减函数.②若0＜a ＜1,则当x ＞31时,f ′x ＜0,∴fx 在31,+∞上是减函数,当x ＜－2时,f ′x ＞0,∴fx 在－∞,－2上是增函数.答案：－∞,－216.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ,那么h =AO +BO =R +22x R -,解得x 2=h 2R －h ,于是内接三角形的面积为 S =x ·h =,)2()2(432h Rh h h Rh -=⋅-从而)2()2(21432143'--='-h Rh h Rh S32322143)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=--=-.令S ′=0,解得h =23R ,由于不考虑不存在的情况,所在区间0,2R 上列表如下：h 0, 23R23R 23,2R S′+ 0－S增函数最大值减函数由此表可知,当x =23R 时,等腰三角形面积最大.答案：23R三、17. 解：由l 过原点,知k =00x y x 0≠0,点x 0,y 0在曲线C 上,y 0=x 03－3x 02+2x 0,∴00x y =x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2,2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23.由x ≠0,知x 0=23,∴y 0=233－3232+2·23=－83.∴k =00x y =－41.∴l 方程y =－41x 切点23,－83.18.]x )p 2(2[)x 1(x p )x ('f 1p 2+--=- ,令f ’x=0得,x=0,x=1,x=p22+ ,在0,1上,f0=0,f1=0,2p )p2p (4)p 22(f ++=+ . ∴ p 2max )p2p (4)]x (f [++= . 19.设双曲线上任一点Px 0,y 0,22x x x a |y k 0-=== ,∴ 切线方程)x x (x a y y 0220--=- ,令y=0,则x=2x 0令x=0,则02x a 2y = .∴ 2a 2|y ||x |21S == .20.解：1注意到y ＞0,两端取对数,得 ln y =ln x 2－2x +3+ln e 2x =ln x 2－2x +3+2x, 2两端取对数,得 ln|y |=31ln|x |－ln|1－x |,两边解x 求导,得21.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开 m时,t 0=157341=⋅,又s ′=－21 25－9t 221-·－9·2t =9t29251t-,所以s ′t 0=9×2)157(9251157⨯-⋅=m/s.22.解：1当x =1时,S n =12+22+32+…+n 2=61nn +12n +1,当x ≠1时,1+2x +3x 2+…+nxn -1=21)1()1(1x nx xn n n-++-+,两边同乘以x ,得x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导,得 S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++.23.解：f ′x =3ax 2+1.若a ＞0,f ′x ＞0对x ∈－∞,+∞恒成立,此时fx 只有一个单调区间,矛盾. 若a =0,f ′x =1＞0,∴x ∈－∞,+∞,fx 也只有一个单调区间,矛盾. 若a ＜0,∵f ′x =3ax +||31a ·x －||31a ,此时fx 恰有三个单调区间. ∴a ＜0且单调减区间为－∞,－||31a 和||31a ,+∞,单调增区间为－||31a ,||31a .24.解：f ′x =xa +2bx +1,(1) 由极值点的必要条件可知：f ′1=f ′2=0,即a +2b +1=0,且2a +4b +1=0,解方程组可得a =－32,b =－61,∴fx =－32ln x －61x 2+x,2f ′x =－32x -1－31x +1,当x ∈0,1时,f ′x ＜0,当x ∈1,2时,f ′x ＞0,当x ∈2,+∞时,f ′x ＜0,故在x =1处函数fx 取得极小值65,在x =2处函数取得极大值34－32ln2. 25.证法一：∵b ＞a ＞e ,∴要证a b ＞b a ,只要证b ln a ＞a ln b ,设fb =b ln a －a ln bb ＞e ,则f ′b =ln a －ba .∵b ＞a ＞e ,∴ln a ＞1,且ba ＜1,∴f ′b ＞0.∴函数fb =b ln a －a ln b 在e ,+∞上是增函数,∴fb ＞fa =a ln a －a ln a =0,即b ln a －a ln b ＞0,∴b ln a ＞a ln b ,∴a b ＞b a .证法二：要证a b＞b a,只要证b ln a ＞a ln be ＜a ＜b ),即证,设fx =xx ln x ＞e ,则f ′x =2ln 1xx -＜0,∴函数fx 在e ,+∞上是减函数,又∵e ＜a ＜b , ∴fa ＞fb ,即bb aa ln ln >,∴ab ＞b a .26.解：1f α=aa -+-1682,f β=aa ++-1682,f α=f β=4,2设φx =2x 2－ax －2,则当α＜x ＜β时,φx ＜0,0)1()(2)1()22(222222>+-=++--=x x x ax x ϕ.∴函数fx 在α,β上是增函数.3函数fx 在α,β上最大值f β＞0,最小值f α＜0,∵|f α·f β|=4,∴当且仅当f β=－f α=2时,f β－f α=|f β|+|f α|取最小值4,此时a =0,f β=2.按ctrl 点击打开。
高中数学导数解题技巧和资料
高中数学导数解题技巧和资料学习学问要擅长思索，思索，再思索。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲练的。
下面是我给大家整理的一些高中数学导数解题技巧和资料，盼望对大家有所关心。
高二数学导数解题方法一、专题综述导数是微积分的初步学问，是讨论函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确微小);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于讨论平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等伟德国际次多项式的导数问题属于较难类型。
2.伟德国际函数特征，最值问题较多，所以有必要专项争论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合力量的一个方向，应引起留意。
二、学问整合1.导数概念的理解。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3.要能正确求导，必需做到以下两点：(1)娴熟把握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，肯定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
高二数学《导数》学问点总结1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数推断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,假如,那么为增函数;假如,那么为减函数;留意：假如已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
导数法-高中物理八大解题方法
在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。
在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。
例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y 轴，则各点的电场强度可表示为：θcos )(222⋅+=y l Q k E =2222)(2yl yy l Q k +⋅+ 因为原点的电场强度00=E ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。
那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法1.用三角函数法求导数θcos )(222⋅+=y l Q k E 中把θtan l y =代入得θθcos sin 222⋅=lkQE 。
令=z θθcos sin 2，求导数θθθ32sin cos sin 2'-=z =)sin cos 2sin 22θθθ-（，欲使0'=z ，需0si n =θ（舍去）或0sin cos 222=-θθ即2tan =θ，此处，22ly =，将其代入得2max 934lkQE ⋅=。
方法2. 用代数法求导数E =2222)(2yl y y l Q k +⋅+，令2322)(-+⋅=y l y z ,对z 求导数得252222322)(3)('--+-+=y l y y l z ,令其分子为0，得22ly =，代入得2m a x934lkQE ⋅=。
3.图象用Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。
图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令5=l ，则当5.325222=⨯==ly 处电场强度最大。
(完整版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。
好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。
第一·认识导数概念和几何意义1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数()f ax b +第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
高中数学导数解题技巧
高中数学导数解题技巧导数作为高中数学中的重要概念，是解决各种函数相关问题的基础。
在考试中，导数题目常常出现，因此学生们需要掌握一些解题技巧。
本文将介绍几种常见的导数解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用导数。
一、求导法则求导法则是解决导数题目的基础，掌握好求导法则可以事半功倍。
下面以几个常见的求导法则为例进行说明。
1. 常数法则：对于常数函数，其导数为0。
例如，函数f(x) = 3的导数为f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如，函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x。
3. 和差法则：对于函数f(x) = u(x) ± v(x)，其中u(x)和v(x)分别为可导函数，其导数为f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
例如，函数f(x) = 2x + 3x^2的导数为f'(x) = 2 + 6x。
4. 乘积法则：对于函数f(x) = u(x) * v(x)，其中u(x)和v(x)分别为可导函数，其导数为f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
例如，函数f(x) = x^2 * cos(x)的导数为f'(x) = 2x * cos(x) - x^2 * sin(x)。
5. 商法则：对于函数f(x) = u(x) / v(x)，其中u(x)和v(x)分别为可导函数且v(x)不为0，其导数为f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v^2(x)。
例如，函数f(x) = (2x + 1) /x的导数为f'(x) = (2 - (2x + 1) / x^2) / x^2。
二、应用题解析在高中数学考试中，导数经常与函数的性质和图像相关联，通过求导可以求得函数的最值、拐点、增减性等信息。
导数的应用问题解析与解题技巧
导数的应用问题解析与解题技巧导数是微积分中的重要概念之一，具有广泛的应用领域。
通过对导数的应用问题进行详细解析，并总结一些解题技巧，有助于我们更好地理解和应用导数。
一、速度与加速度问题速度和加速度是导数在物理和运动学领域中的常见应用。
在运动过程中，物体的位置随时间的变化可以用函数表示，该函数的导数表示物体的速度，而导数的导数（二阶导数）表示物体的加速度。
例如，一个物体的位置函数为S(t)，通过求解导数S'(t)，我们可以得到物体在不同时刻的速度。
若给出速度函数V(t)，则可以通过求解速度函数的导数V'(t)获得物体的加速度。
在解决速度与加速度问题时，要注意参量的选择，确保能够准确描述物体的运动状态。
此外，对于周期性运动或特定时间段内的平均速度和平均加速度，需要结合求导和积分等技巧进行处理。
二、最优化问题最优化问题是导数应用中的常见类型，通过求解函数的导数，可以确定函数的最大值、最小值和变化趋势。
最优化问题在经济学、物理学、工程学等领域中都有广泛应用。
在解决最优化问题时，首先需要建立数学模型，明确目标函数和约束条件。
然后，通过对目标函数进行求导并解方程，可以确定函数的极值点。
最后，通过进一步的分析和讨论，确定最优解的存在性和唯一性。
注意，在解决最优化问题时，还需要考虑边界条件、非线性约束以及使用微分中值定理等工具进行合理推导，确保所得解的合理性和正确性。
三、曲线的切线与法线问题导数可以帮助我们确定曲线上某一点的切线和法线方程。
通过求解导数，可以得到曲线在该点的斜率，从而确定切线的斜率。
同时，根据切线的斜率和该点的坐标，可以得到切线的方程。
对于曲线的法线问题，通过求解导数的倒数（导数的倒数称为导数的倒数），可以得到法线的斜率。
根据法线的斜率和该点的坐标，可以得到法线的方程。
在解决曲线的切线与法线问题时，需要注意曲线的方程形式和解方程的方法。
对于隐式函数，需要通过隐函数求导等技巧进行推导，以获得切线和法线的方程。
导数题的十大解题技巧
导数题的十大解题技巧导数题的十大解题技巧一、熟练掌握导数的定义1、函数的导数：函数y=f（x）的导数，记作f′（x），表示函数y=f（x）在点x处的切线斜率。
2、数列的导数：数列y的极限导数，记作y′，表示数列y中趋势的变化率。
二、准确掌握导数的计算1、用法则：将函数代入法则（如指数函数法则，三角函数法则等）所给表达式中，可得出函数的导数；2、变量分离：将函数用变量分离法（如商式分解法，多项式分解法等）分解，再用法则进行求导；3、链式法则：将函数中的连续函数拆分，用累加法或链式法则进行求导；4、转换关系：将函数中的变量用等价关系（如t=sax，x=a/t）进行转换，使变量适合法则，再求导；5、隐函数法：将函数中的变量用隐函数（如x=f（t））进行表达，再求导；6、偏导法：将函数中的变量用偏导数（如y/t）表达，再求导。
三、理解利用导数性质1、函数的导数是函数表示的变化率；2、导数的正负性有助于判断函数的单调性；3、函数的极值点可判断导数的符号；4、函数尖峰和凹处的判断；5、导数判断函数的模式；6、可以用导数的特性求函数的拐点；7、用导数可以求函数的泰勒级数；8、可以用导数的递推来求函数的定义域；9、可以用导数求一些曲线的面积。
四、利用科学计算器快速完成计算1、熟悉科学计算器的使用功能，即可完成导数的运算；2、可按法则准确求函数的导数；3、可以快速判断函数的极值、拐点等；4、对于复杂函数，可以简化计算，提高效率。
五、熟悉求导方程的解法1、建立方程，移项，量化，变形，以达到最简形状；2、变换为通解方程，求其特解；3、使用科学计算器计算求得函数的解。
导数解题技巧归纳
导数解题技巧归纳
在解题时，我们可以使用以下技巧来求解导数：
1. 基本导数公式：掌握常用函数的导数公式，例如常数函数、幂函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 基本运算法则：了解基本导数运算法则，例如和法则、差法则、积法则、商法则等。
3. 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则来求导数。
链式法则的公式为：如果 y=f(g(x))，则 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
4. 隐函数求导法则：对于含有隐函数的方程，可以使用隐函数求导法则来求导数。
隐函数求导法则的公式为：如果F(x,y)=0，则 dy/dx = - F_x / F_y，其中 F_x 表示 F 对 x 求偏导数，F_y 表示 F 对 y 求偏导数。
5. 参数方程求导法则：对于参数方程，可以使用参数方程求导法则来求导数。
参数方程求导法则的公式为：如果 x=f(t)，
y=g(t)，则 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
6. 高阶导数：在一些情况下，需要求高阶导数，即导数的导数。
在求高阶导数时，可以多次应用导数法则和技巧。
7. 极限法求导：有时，可以使用极限法来求导数，即根据导数的定义进行计算。
8. 几何意义：了解导数的几何意义，即导数表示函数曲线在某一点的切线斜率。
根据几何意义，可以判断函数在某一点的导数的正负性以及函数的变化趋势。
综上所述，以上是一些常见的导数解题技巧，通过掌握这些技巧，可以更有效地求解导数。
不同的题目可能需要结合不同的技巧和方法来求解，因此在解题时，需要根据具体情况选择合适的技巧和方法。
高中物理中的求导、几何方法
案例三：几何图形法（相似三角形）
B x vt = ②
3x 2t 8t 1=-+（x 和t 的单位分别为m 和s ），如何描述质点的运动规律？
这样一来便可得到速度的表达式： 268v t =- ①
加速度的表达式：12a t = ②
由此则可以求出任意时刻的位移、速度和加速度的大小方法。
从而详细描述出质点的运动规律。
许多学生在学习《运动的描述》这一章时很难理解瞬时速度和加速度的概念和相关特点，甚至进入第一轮复习阶段还有部分学生依旧处于难以接受的状态。
此时不妨再从数学的角度给学生演示一番如何用导数的方法定义瞬时速度与瞬时加速度。
利用两个学科的知识相互辅助，加深学生对这几个物理量之间关系的理解。
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高中物理解题方法之导数法在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。
在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。
例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y 轴，则各点的电场强度可表示为：θcos )(222⋅+=y l Q k E =2222)(2yl yy l Q k +⋅+ 因为原点的电场强度00=E ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O 点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。
那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法1.用三角函数法求导数θcos )(222⋅+=y l Q k E 中把θtan l y =代入得θθcos sin 222⋅=lkQ E 。
令=z θθcos sin 2，求导数θθθ32sin cos sin 2'-=z =)sin cos 2sin 22θθθ-（，欲使0'=z ，需0sin =θ（舍去）或0sin cos 222=-θθ即2tan =θ，此处，22ly =，将其代入得2max 934lkQE ⋅=。
方法2. 用代数法求导数E =2222)(2y l y y l Q k +⋅+，令2322)(-+⋅=y l y z ,对z 求导数得252222322)(3)('--+-+=y l y y l z ,令其分子为0，得22ly =，代入得2max 934lkQE ⋅=。
3.图象用Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。
图2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令5=l ，则当5.325222=⨯==ly 处电场强度最大。
例2、电源输出功率最大问题的研究例题．如图所示，R 为电阻箱，○V 为理想电压表．当电阻箱读数为R 1=2Ω时，电压表读数为U 1=4V ；当电阻箱读数为R 2=5Ω时，电压表读数为U 2=5V ．求：(1)电源的电动势E 和内阻r 。
(2)当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值P m 为多少? 图3 电路图【解析】由闭合电路欧姆定律： 111U E U r R =+222UE U r R =+ 联立上两式并代入数据解得：6E V =，1r =Ω（2）解法 1.代数法，电功率表达式：22()E P R R r =+ 将上式变形为：22()4E P R r r R=-+，由上式可知1R r ==Ω时P 有最大值294m E P W r == 解法2.导数法，电功率表达式：22()E P R R r =+，根据求导公式2'')'(vuv v u v u -=，得导数：=)('R P 4222)()(2)(r R r R R E r R E ++⋅-+⋅=42)()()(r R R r r R E +-⋅+⋅，当r R =时，导数的分子为零，即此时有极大值，将1R r ==Ω代入P 式得最大值294m E P W r==本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。
例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。
弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。
在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。
为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。
弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。
碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。
因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。
一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。
非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。
如图1所示，设质量为m 1的小球，速度为v 1，与质量为m 2的小球，速度为v 2，发生碰撞，图5 碰撞碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。
由系统的动量守恒定律得 m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1’+m 2v 2’……① 则碰撞中动能损失为=∆k E 122221122221'21'212121v m v m v m mv --+ ② 由①得21122112''m v m v m v m v -+=③③代入②得=∆k E 221122112112222112)'('212121m v m v m v m v m v m v m -+--+，求k E ∆对'1v 的导数，得=∆)'(1'v E k 2111221111)'('m m v m v m v m v m ⋅-++-令=∆)'(1'v E k 0，解得2122111'm m v m v m v ++=，④ 即当2122111'm m v m v m v ++=时，k E ∆有最大值。
将④代入③解得2122112'm m v m v m v ++=，即''21v v =，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。
将④代入②解得动能损失最大为)(2)(2122121max m m v v m m E k +-=∆。
例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。
图中两摆摆长相同m l 1=，悬挂于同一高度，A 、B 两摆球均很小，质量相等皆为m 。
当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。
向右上方拉动B 球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。
求A 球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？解： B 球的初始高度为1h ，碰撞前B 球的速度为B v .在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得：1(1cos45)h l =-︒ ①1221mgh mv B = ② 弹性碰撞时，动量守恒有''B A B mv mv mv += ③动能守恒有222'21'2121B A Bmv mv mv += ④ 解得B A v v ='，0'=B v ， 根据22'21A mv mgh =，得12h h =，为A 球上升的最高高度。
根据)cos 1(22θ-=l h ，得01245==θθ，为A 球上摆的最大角度。
完全非弹性碰撞，即A 、B 两球粘合在一起时，动量守恒有'2mv mv B =，解得图 62'Bv v =， 根据22341'21mgh mv mgh ==，得1341h h =，为A 球上升的最大高度的最小值。
根据)cos 1(33θ-=l h ，得0322=θ，为A 球上摆的最大角度的最小值。
例4.电磁感应问题如图，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上。
一电阻不计，质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。
棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。
导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为R 0。
以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B 。
在t =0时，一水平向左的拉力F 垂直作用在导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a 。
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式； （2）经过多长时间拉力F 达到最大值，拉力F 的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q ，导轨克服摩擦力做功为W ，求导轨动能的增加量。
【答案】（1） 感应电动势BLv =ε导轨做初速为零的匀加速运动，at v =，221at s =BLat =ε回路中感应电流随时间变化的表达式2020)21(2at R R BLatat R R BLat R BLv I +=+==总（2） 导轨受外力F ，安培力A F ，摩擦力f F 。
其中2022at R R atL B BIL F A +== )()(2022at R R atL B mg BIL mg F F N f ++=+==μμμ 由牛顿定律Ma F F F f A =--2022)1(at R R atL B mg Ma F F Ma F f A ++++=++=μμ 上式中，当at R tR0=，即0aR Rt =时外力F 取极大值。
022max2)1(RR a L B mg Ma F μμ+++=∴ (3)设在此过程中导轨运动距离s ，由动能定理E W ∆=合Mas W =合由于摩擦力)(A f F mg F +=μ，所以摩擦力做功Q mgs W mgs W A μμμμ+=+=mgQW s μμ-=∴ )(Q W mgMaMas E K μμ-==∆。
【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。
难度：难。
在式子2022at R R atL B y +=的极值的计算中，答案用了变形atR tR a L B y 022+=，然后根据两式之积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。
也可以用导数法求极值。
设上式的分母为at R tRx 0+=，取导数：a R tRt x 02)('+-=，令其等于0，解得极值条件为0aR Rt =。
代入得02aRR x =，此时，0222RR aL B y =， 022max2)1(RR aL B mg Ma F μμ+++=∴。
例5.交流电如图（a ），在同一平面内固定有一长直导线PQ 和一导线框R ，R 在PQ 的右侧。