(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳

函数奇偶性
知识梳理
1. 奇函数、偶函数的定义
（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，
则这个函数叫奇函数.
（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，
则这个函数叫做偶函数.
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.
（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.
注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．
（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．
2．奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．
3. 判断函数奇偶性的方法
（1）图像法
（2）定义法
○
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
例题精讲
【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.
解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，
∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.
∴2bx=0. ∴b ＝0.
【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.
题型一 判断函数的奇偶性
【例4】判断下列函数的奇偶性.
（1）2()||(1)f x x x =+；
（2）1()f x x x
=；
（3）()|1||1|
f x x x
=+--；
（4）()
f x=
（5）()
f x=
（6）
2
2
,0 ()
,0
x x x
f x
x x x
⎧+<
⎪
=⎨
->
⎪⎩
解：（1）2
()||(1)
f x x x
=+的定义域为R，关于原点对称．∵22
()||[()1]||(1)()
f x x x x x f x
-=--+=+=
∴()()
f x f x
-=，即()
f x是偶函数．
（2）
1
()
f x
x
=的定义域为{|0}
x x>
由于定义域关于原点不对称
故()
f x既不是奇函数也不是偶函数．
（3）()|1||1|
f x x x
=+--的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
（4）()
f x={2}，
由于定义域关于原点不对称，
故()
f x既不是奇函数也不是偶函数．
（5）()
f x=的定义域为{1，－1}，
由(1)0
f=且(1)0
f-=，所以()0
f x=
所以()
f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称
故()
f x既是奇函数又是偶函数．
（6）显然定义域关于原点对称．
当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；
当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．
即
2
2
(),0 ()
(),0
x x x
f x
x x x
⎧-+<
⎪
-=⎨
-->
⎪⎩
即()()
f x f x
-=-
∴()
f x为奇函数．
题型二利用函数的奇偶性求函数值
【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.
解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝－2，
f(0)＝0.
【例5】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1). 解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
得()()
f x f x
-=-，()()
g x g x
-=
所以－f(1)＋g(1)＝2 ①
f (1)＋
g (1)＝4 ②
由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.
题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式
【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，
当 x>0 时，求f(x)的解析式.
解：当0x >时，有0x -<
所以3232()()()f x x x x x -=---=--
又因为()f x 在 R 上为偶函数
所以32()()f x f x x x =-=--
所以当0x >时，32()f x x x =--.
【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x . 解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数
所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-
因为()()x f x g x e += ①
所以()()x f x g x e --+-=
所以()()x f x g x e -+-= ②
由①②式消去()f x ，得()2x x
e e g x --=. 课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 函数()11f x x x =-- ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数 2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x
=+
，则(1)f -=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）
A ．f (x )≤2
B ．f (x )≥2
C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R
4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A.f （0）＜f （－1）＜f （2）
B.f （－1）＜f （0）＜f （2）
C.f （－1）＜f （2）＜f （0）
D.f （2）＜f （－1）＜f （0）
5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）
A.（－3，0）∪（0，3）
B.（－∞，－3）∪（3，+∞）
C.（－3，0）∪（3，+∞）
D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )
A ．f(－1)<f(－3)
B ．f(0)>f(1)
C ．f(2)>f(3)
D ．f(－3)<f(5)
8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )
A ．为减函数，最大值为3
B ．为减函数，最小值为－3
C ．为增函数，最大值为－3
D ．为增函数，最小值为3
9.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝x^3
B ．y ＝－x^2＋1
C ．y ＝|x|＋1
D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在
11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．
12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
13. 已知函数()(0)p f x x m p x
=++≠是奇函数，求m
14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2
15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋ 16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2
是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式 17.判断函数()(1f x x =+.。