2-4随机过程的积分和积分

Z ( n)
3、均方收敛于0 、均方收敛于
1/ n
0
P
2 2
1/ n 2 1 − 1/ n 2
limE Z(n) −0 = limE Z(n) n→∞ n→ ∞
1 1 1 1 E Z(n) = ⋅ 2 + 0⋅ 1− 2 = 4 n n n n
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
§2.5 随机过程的微分和积分
数学期望均方连续
如果随机过程X(t)是连续的（均方连续），则它 如果随机过程X(t)是连续的（均方连续），则它 X(t)是连续的 ）， 的数学期望也是连续的。 的数学期望也是连续的。即
∆t → 0
lim E[X(t +∆t)] = E[X(t)]
过程的连续
过程的微分
过程的积分
§2.5 随机过程的微分和积分
若数列S 若数列S1,S2,…,Sn,…对任意小正实数 ε>0，总能找到 ,S 对任意小正实数 >0， 一个正整数N 使得当n>N时 存在|S 一个正整数N，使得当n>N时，存在|Sn-a|< ε，对任意 n>N 则称数列S 收敛于常数a n>N ，则称数列S1,S2,…,Sn,…收敛于常数a 。 ,S 收敛于常数
lim X (n) = X
n→∞
e X(n) →X
a X(n) .e→X
P{lim X (n) = X} =1
n→∞
limP{ X(n) − X ≥ ε} = 0
n→∞
P X (n) →X
limFn (x) = F(x)
n→∞
X(n) X →
d
M X(n) .S X →
数列的收敛
表示为 limSn = a lim S
n→∞
称：数列{Sn}的极限为a. 数列{ 的极限为a.
§2.5 随机过程的微分和积分
随机序列的收敛
1）处处收敛 以概率1 2）以概率1收敛 3）依概率收敛 4）依分布收敛 5）均方收敛
随 序 { X(n)}： (1), X(2),L, X(n),L 机 列 X
§2.5 随机过程的微分和积分
随机序列的收敛 五种收敛模式及其相互关系 处处连续 均方连续（定义、条件、期望、平稳） 均方连续（定义、条件、期望、平稳） 处处可微 均方可微（定义、条件、性质、平稳） 均方可微（定义、条件、性质、平稳） 均方积分（三种定义、期望、均方值、 均方积分（三种定义、期望、均方值、 方差、自相关） 方差、自相关）
∆t→ 0
lim x(t0 +∆t) = x(t0 )
则称函数x(t)在t0点是连续的。 则称函数x(t)在 点是连续的。 x(t) 若x(t)在区域t∈T上每一点连续，则称x(t)在区域T上连续。 x(t)在区域t 上每一点连续，则称x(t)在区域T上连续。 在区域 x(t)在区域
随机过程的处处连续
• X(t)是一个随机过程，它的连续是均方连续 是一个随机过程， 是一个随机过程 它的连续是均方连续 • RX(t1,t2)在区域 t1 , t2 ∈T上关于 1, t2 )的二元普 上关于(t 在区域 上关于 的二元普
通函数，它的连续是多元函数的连续 多元函数的连续。 通函数，它的连续是多元函数的连续。
n→ ∞ n→ ∞
举例（序列的收敛）
2、依分布收敛于0 、依分布收敛于
Z ( n) P
1/ n
0
1/ n 2 1 − 1/ n 2
1 1 1 f n ( z ) = 2 δ ( z − ) + (1 − 2 )δ ( z − 0) n n n
1 1 1 Fn ( z ) = 2 U ( z − ) + (1 − 2 )U ( z ) n n n
随机序列的五种收敛模式： 随机序列的五种收敛模式：
§2.5 随机过程的微分和积分
1）处处收敛 ）
§2.5 随机过程的微分和积分
2）以概率 收敛 ）以概率1收敛
§2.5 随机过程的微分和积分
3）依概率收敛 ）
§2.5 随机过程的微分和积分
4）依分布收敛 ）
§2.5 随机过程的微分和积分
5）均方收敛 ）
随机过程的处处可微
如果对于随机过程X(t)的每一条样本函数X(t,ζ 如果对于随机过程X(t)的每一条样本函数X(t,ζi)在区域 X(t)的每一条样本函数X(t, 上可微，则称随机过程 X(t)在区域 上处处可微。 在区域T t∈T上可微，则称随机过程 X(t)在区域T上处处可微。
∆X (t,ζi ) X (t + ∆t,ζi ) − X (t,ζi ) = lim = X ′(t,ζi ) ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t lim
n →∞
(X,Y) ∉Gn时⇒Z(n) = 0 ⇒ P{| Z(n) −0|≥ ε} = P{0 ≥ ε} = 0
1 1 ( X,Y) ∈Gn时⇒Z(n) = ⇒ P{| Z(n) − 0|≥ ε} = P{ ≥ ε} n n
整 平 有 limP{| Z(n) −0 |≥ ε} = lim[ P{0 ≥ ε}+ P{ n ≥ ε}] = 0 个 面 ： 1/
E[X(t)]是关于t的普通函数，其连续是一元函数的连续。 E[X(t)]是关于t的普通函数，其连续是一元函数的连续。 是关于
连续随机过程求极限与求期望次序可交换
∆t → 0
X ( t ) = l⋅ i⋅ m X (t + ∆t )
∆t → 0
lim E[ X (t +∆t)] = E[l⋅ i⋅ m X (t +∆t)]
随机序列的收敛
过程的连续
过程的微分
过程的积分
§2.5 随机过程的微分和积分
处处可微
普通函数的可微
设函数x 在点 的某个邻域内是有定义。 是邻域内的任意 在点t 设函数 (t)在点 0的某个邻域内是有定义。t是邻域内的任意 一点，满足 一点， ∆x(t0 ) x(t0 + ∆t) − x(t0 ) lim = lim = x′(t0 ) ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t 则称函数x 点是可微的。 则称函数x(t) 在t0点是可微的。 如果x 在区域t 上每一点可微,则称x 在区域T上可微。 如果x(t) 在区域t∈T上每一点可微,则称x(t) 在区域T上可微。
处处连续
§2.5 随机过程的微分和积分
普通函数 的处处连续
设函数x(t)在点t 的某个邻域内是有定义的。 设函数x(t)在点t0的某个邻域内是有定义的。当自变量的增量 x(t)在点 趋向于0 对应的函数的增量x(t t)也趋向于0 ∆t趋向于0时，对应的函数的增量x(t0+∆t)-x(t0)也趋向于0。 即满足
随机过程X(t)的每一条样本函数X t,ζ 是一个关于变量t 随机过程X(t)的每一条样本函数X（t,ζi）是一个关于变量t X(t)的每一条样本函数 的普通函数。如果对于每一条样本函数X t,ζ 在区域t 的普通函数。如果对于每一条样本函数X（t,ζi）在区域t∈T 上连续，则称随机过程X(t)在区域 上处处连续。 随机过程X(t)在区域T 上连续，则称随机过程X(t)在区域T上处处连续。
1 1 1 ⇒ lim F (z) = lim 2 U(z − ) + (1− 2 )U(z) =U(z) n n→∞ n→∞ n n Z = 0概 密 为 (z) = δ (z),分 函 为 (z) =U(z) 机 量 率 度 f 布 数 F
举例（序列的收敛）
§2.5 随机过程的微分和积分
均方收敛的条件
§2.5 随机过程的微分和积分
随机序列的收敛
随 序 { X(n)}： (1), X(2),L, X(n),L 机 列 X
随机序列的五种收敛模式： 随机序列的五种收敛模式： 1）处处收敛 以概率1 2）以概率1收敛 3）依概率收敛 4）依分布收敛 5）均方收敛
平稳过程 上的自相关函数R 平稳过程X(t)在区域 τ∈T上的自相关函数 X(τ)在 过程 在区域 上的自相关函数 在
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
τ∈T一元连续
上述结论是随机过程均方连续在平稳条件下的特例
§2.5
随机过程的微分和积分
五种收敛模式及其相互关系 处处连续 均方连续（定义、条件、期望、平稳） 均方连续（定义、条件、期望、平稳） 处处可微 均方可微（定义、条件、性质、平稳） 均方可微（定义、条件、性质、平稳）
G = {( x, y ) : x ≤ 1, y ≤ 1}
定义平面区域G 定义平面区域Gn为 Gn = {( x, y ) : x ≤ 1/ n, y ≤ 1/ n}
y 1
1/ n
定义随机序列
G
1/ n
−1−1/ n
1
1 , ( X , Y ) ∈ Gn Z ( n) = n 0 , ( X , Y ) ∉ Gn
§2.5 随机过程的微分和积分
均方可微的定义
如果随机过程X（ ） 如果随机过程 （t）在区域 t∈T 上满足 ∈
X (t + ∆t) − X (t) lim E{[ − X ′(t)]2} = 0 0 ∆t → ∆t X (t +∆t) − X (t) 或 l⋅ i⋅ m = X′(t) ∆t → 0 ∆t
limE{ X (n) − X } = 0
2 n→∞
§2.5 随机过程的微分和积分
收敛模式间的关系
随机序列的五种收敛模式的关系： 随机序列的五种收敛模式的关系：
处处均均
收
均均均均 以概率1收敛
敛 性 减 弱
概率收敛
收敛
举例（序列的收敛）
已知二维随机变量(X,Y)在平面区域G内服从均匀分布。 已知二维随机变量(X,Y)在平面区域G内服从均匀分布。 (X,Y)在平面区域
∆t → 0
lim X(t +∆t,ζi ) = X(t,ζi )
均方连续的定义
∆t→ 0
§2.5 随机过程的微分和积分
如果随机过程X（ ）的一阶矩和二阶矩都存在， 如果随机过程 （t）的一阶矩和二阶矩都存在， 并且在区域 t∈T 上满足 ∈
lim E{[X(t +∆t) − X(t)]2} = 0
2
2
limE Z(n) −0
n→ ∞
{
2
} =0
思考：随机序列 是否以概率1收敛于 思考：随机序列{Z(n)}是否以概率 收敛于 ？ 是否以概率 收敛于0？
§2.5 随机过程的微分和积分
随机过程的连续性
• X(t)的处处连续 的处处连续 • 普通函数 x(t)的处处连续 x(t)的处处连续 • 随机过程的处处连续 • X(t)的均方连续 的均方连续 • 定义 • 充要条件 • 期望的连续性 • 平稳过程的连续性
则称随机过程X 则称随机过程X（t）在区域t∈T上均方连续。 在区域t 上均方连续。 随机过程的处处连续⇒ 随机过程的处处连续⇒随机过程的均方连续 以后讲随机过程连续就是指随机过程均方连续。 以后讲随机过程连续就是指随机过程均方连续。 随机过程连续就是指随机过程均方连续 用下式符号表示均方连续： 用下式符号表示均方连续：
l⋅ i⋅ m X (t +∆t) = X (t)
∆t →0
§2.5 随机过程的微分和积分
均方连续的充要条件
随机过程X(t)在区域 ∈T上均方连续 在区域t∈ 上 随机过程 在区域 随机过程X(t)在区域 t1 , t2 ∈T 上的自相关函数 X(t1,t2) 在区域 上的自相关函数R 随机过程 对角线) 在(t,t)上二元连续 (t1＝t2＝t 对角线 上 随机过程X(t)在区域 t1 , t2 ∈T上的自相关函数 X(t1,t2) 在区域 上的自相关函数R 随机过程 上的自相关函数 在( t1, t2 )上二元连续 上
Gn
−1/ n
x
其分布律为
−1
Z ( n) P
1/ n
0
1/ n 2 1 − 1/ n 2
举例（序列的收敛）
证明： 依概率收敛于0；依分布收敛于0；均方收敛于0。 证明： {Z(n)}依概率收敛于 ；依分布收敛于 ；均方收敛于 。 依概率收敛于 1、依概率收敛于0 、依概率收敛于
lim P{| Z (n) − z |≥ ε } = 0
则称随机过程X 则称随机过程X（t）在区域t∈T上均方可微。 在区域t 上均方可微。 以后讲随机过程可微就是指随机过程均方可微。 以后讲随机过程可微就是指随机过程均方可微。 可微就是指随机过程均方可微 符号用函数可微的符号 但意义上不同， 用函数可微的符号。 符号用函数可微的符号。但意义上不同，其对象是随 机过程，不是普通函数。 机过程，不是普通函数。 求导结果是随机过程 是随机过程。 其求导结果是随机过程。
∆t → 0
普通函数的极限
过程的均方极限
§2.5 随机过程的微分和积分
平稳过程均方连续的充要条件
平稳过程X(t)在区域 ∈T上均方连续 在区域t∈ 上 平稳过程 在区域 平稳过程 上的自相关函数R 平稳过程X(t)在区域 τ∈T 上的自相关函数 X(τ)在 过程 在区域 在
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
τ＝0点连续