二次函数的应用同步测试
《二次函数》(同步精品测试题) (3)
备战2021年中考数学真题分类汇编（浙江专版）专题09二次函数一．选择题（共12小题）1．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值2．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位3．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c4．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y25．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝06．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞07．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．8．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣19．（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④10．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位11．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣212．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）二．解答题（共6小题）13．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．14．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．15．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．16．（2020•萧山区一模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．17．（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用同步练习新版北师大版
2.4.1二次函数的应用一、夯实基础1．如图所示的抛物线的解析式是 ( )A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋22．如图所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是．3．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是 .4．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是．5．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?二、能力提升6.（xx·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm27．如图2－112所示，△ABC的面积为2400c m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E 在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，S BDEF=y cm2．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，y最大?最大值是多少?8．如图所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B重合)，作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求证△BEF∽△CEG；(2)用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?三、课外拓展9．如图所示，在边长为8cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y的最大值．四、中考链接1.（xx•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．2.（xx•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．答案1．D2．1[提示：抛物线开口向上，故a＞0．因为图象过原点，所以a2－1＝0，所以a＝±1，所以a＝1．]3．x＝ (3，0), (－，0) (0，－3)4．－35．解：设窗框的长为x米，则窗框的宽为米，矩形窗框的面积y＝x()＝－x2＋4x．配方得y ＝－(x－2)2＋4．∵a=－l＜0，∴函数y＝－(x－2)2＋4有最大值．当x＝2时，y最大值＝4平方米，此时＝4－2＝2(米)，即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米．6.解：∵tan∠C=，AB=6cm，∴=，∴BC=8，由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．7．解：(1)设A到BC的距离为d cm，E到BC的距离为h cm，则y=SBDEF=xh．∵S△ABC＝BC·d，∴2400=×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80．(3)∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴当x＝40时，y最大值＝1200．8．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG．(2)解：由(1)得，∠G＝∠BFE＝90°，∴DG为△DEF中EF边上的高．在Rt△BFE中，∠B=60°，EF＝BEsin B＝x.在Rt△CGE中，CE=3－x，CG=(3－x)cos 60°=，∴DG=DC＋CG=，∴S=EF·DG=－x2＋x，其中0＜x≤3．(3)解：∵a=－＜0，对称轴x＝，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，∴当x＝3，即E与C重合时，S有最大值，S最大值＝3．9．解：(1)以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD的边长为8，∴AC=16．∵AE ＝x，过点B作BO⊥AC于O，如图2－116所示，则BO＝8，∴S2＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S1=x(16－2x)．当S1＝S2，即x(16－2x)=4x时，解得x1=0(舍去)，x2＝6．∴当x＝6时，S1＝S2．(2)①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x2＋20x．当8≤x≤16时，如图所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S1＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x2＋52x－256．(2)解法1：②当0≤x＜8时，y＝－2x2＋20x＝－2(x2－10x＋25)＋50=－2(x－5)2＋50，∴当x ＝5时，y的最大值为50．当8≤x≤16时，y＝－2x2＋52x－256=－2(x－13)2＋82，∴当x＝13时，y的最大值为82．综上可得，y的最大值为82．解法2：②y＝－2x2＋20x(0≤x＜8)，当x＝－＝5时，y最大值＝＝50．y=－2x2＋52x－256(8≤x≤16)，当x=－＝13时，y最大值=＝82．综上可得，y的最大值为82．中考链接：1.A2.解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．。
【人教版】九年级下册数学《二次函数》同步检测题(含答案)
《二次函数》同步检测一、精心选一选（每小题4分，共40分．每小题有４个选项，其中只有一个选项是符合题目要求的）1．二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）A ．3B ．5C ．－3和5D ．3和－52．若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）A ．这两个函数图象有相同的对称轴B ．这两个函数图象的开口方向相反C ．方程－x 2+k=0没有实数根D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为12 3．已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知抛物线c bx x y ++=2的部分图象如右图所示，若y<0,则x 的取值范围是（ ）A ．-1<x<4 Ｂ．-1<x<3 Ｃ．x<-1或x>4 Ｄ．x<-1或x>35． 已知二次函数y=3(x-1)2+k 的图象上有三点A(2,y 1),B(2,y 2),C(-5,y 3),则y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A ．y 1.> y 2> y 3 B.．y 2> y 1> y 3 C ．y 3> y 1> y 2 D ．y 3> y 2> y 16．已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（ ）A ．042>-ac bB ．042=-ac bC ．042<-ac bD ．042≤-ac b7．已知抛物线m m x m x y (141)1(22--++=为整数）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OB OA =，则m 等于（ ）A 、52+B 、52-C 、2D 、2-8．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为( )9．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的x y O x y O B x y O y O一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( ).A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．用列表法画二次函数2y x bx c =++的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650。
最新浙教版九年级数学上学期《二次函数的应用》同步练习题2及解析.docx
1.4 二次函数的应用(一)1．已知二次函数y ＝(a －1)x 2＋2ax ＋3a －2的图象的最低点在x 轴上，则a ＝__2__，此时函数的表达式为y ＝x 2＋4x ＋4．(第2题)2．用长为8 m 的铝合金材料做成如图所示的矩形窗框，要使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是__83__m 2.(第3题)3．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C) A. 60 m 2 B. 63 m 2 C. 64 m 2 D. 66 m 24．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)．D 是抛物线y ＝－x 2＋6x 上一点，且在x 轴上方．求△BCD 面积的最大值．(第4题)【解】 ∵点C(4，3)， ∴菱形OABC 的边长＝32＋42＝5.∵抛物线y ＝－x 2＋6x 的顶点坐标为(3，9)， ∴△BCD 面积的最大值为S ＝12×5×(9－3)＝15.5．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝30，BC ＝x ，其中15<x<30.过点D 作DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿直线DE 折叠，使点A 落在点F 处，DF 交BC 于点G.(1)用含x 的代数式表示BF 的长．(2)设四边形DEBG 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式． (3)当x 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值．(第5题)【解】 (1)∵DE ＝BC ＝x ，∠A ＝45°，DE ⊥AE ， ∴AE ＝DE ＝x.由折叠知，EF ＝AE ＝x ， ∴BF ＝AF －AB ＝2x －30. (2)∵S △DEF ＝12EF ·DE ＝12x 2，S △BFG ＝12BF ·BG ＝12(2x －30)2，∴S ＝12x 2－12(2x －30)2＝－32x 2＋60x －450. (3)∵15<x<30， ∴当x ＝602×32＝20时，S 有最大值，S 最大＝150.6．竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝__1.6__．【解】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a(t －1.1)2＋h.由题意，得a(t －1.1)2＋h ＝a(t －1－1.1)2＋h ， 解得t ＝1.6.7．如图，从1×2的矩形ABCD 的较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE ，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在(A)(第7题)A. AD 的中点B. AE ∶ED ＝(5－1)∶2C. AE ∶ED ＝2∶1D. AE ∶ED ＝(2－1)∶2【解】 设AE ＝x ，剪下的两个正方形的面积之和为y ，则DE ＝1－x ，y ＝AE 2＋DE 2＝x 2＋(1－x)2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12. ∴当x ＝12时，y 取得最小值，此时E 是AD 的中点．(第8题)8．如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象与BC 边交于点E.(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的表达式．(2)当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少． 【解】 (1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2， ∴点B(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴点F(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的表达式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，k 3，∴S △EFA ＝12AF ·BE ＝12×13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12k ，＝12k －112k 2 ＝－112(k 2－6k ＋9－9) ＝－112(k －3)2＋34. ∴当k ＝3时，△EFA 的面积最大，最大面积是34.9．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连结PA ，QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连结OA ，OP .(1)请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？ (2)请判断OA ，OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)在平移变换过程中，设y ＝S △OPB ，BP ＝x(0≤x ≤2)，求y 与x 之间的函数表达式，并求出y 的最大值．(第9题)【解】 (1)四边形APQD 为平行四边形． (2)OA ＝OP ，OA ⊥OP .理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°. ∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ，∴OB ＝OQ ， ∴△AOB ≌△OPQ(SAS)． ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ， ∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°，∴OA ⊥OP .(第9题解①)(3)如解图①，过点O 作OE ⊥BC 于点E. ①当点P 在点B 右侧时， BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22，∴y ＝12·x ＋22·x＝14()x ＋12－14. 又∵0≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值2.(第9题解②)②如解图②，当点P 在点B 左侧时， BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2，∴y ＝12·2－x 2·x＝－14()x －12＋14. 又∵0≤x ≤2，∴当x ＝1时，y 有最大值14.综上所述，y 的最大值为2.。
[9549528]1.4 二次函数的应用 同步练习(含解析)
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初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习一、单选题1.二次函数的图象与x轴交点的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个2.如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A. h＞B. 0＜h≤C. h＞2D. 0＜h＜24.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人A. 56B. 55C. 54D. 535.已知一次函数，二次函数，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为和，则下列表述正确的是（）A. B. C. D. ，的大小关系不确定6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1550D. 15587.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A. 米B. 8米C. 10米D. 2米8.实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（）A. b2﹣4ac＞0B. b2﹣4ac≥0C. b2﹣4ac＜0D. b2﹣4ac≤09.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③10.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定11.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12.如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系13.已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 202114.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交.则下列关于、的大小关系正确的是（）15.当时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题16.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是________m．17.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝________.18.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.19.已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．20.如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x 轴上，则不等式的解集为________．下函数关系：，则该球从弹起回到地面需要经过________秒，距离地面的最大高度为________米.22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________.23.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．过点且平行于轴的直线与直线交于点，当时，的值是________．24.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为________三、计算题26.已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
二次函数的应用测试题(含答案)
二次函数的应用测试题(含答案)一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2 +10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2 C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P 的坐标是_________．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A． 1米 B．3米 C．5米 D． 6米考点：二次函数的应用．分析：直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．解答：解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A． 30万元 B．40万元 C．45万元 D． 46万元考点：二次函数的应用．分析：首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，∴最大利润为：= =46（万元），故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒考点：二次函数的应用．分析：根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得到关于a，b的关系式，代入到x=﹣中求x的值．解答：解：当x=7时，y=49a+7b；当x=14时，y=196a+14b．根据题意得49a+7b=196a+14b，∴b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．因为10最接近10.5．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A． y= （x+3）2 B．y= （x+3）2 C．y= （x﹣3）2 D． y= （x﹣3）2考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a= ，故右边抛物线的解析式为y= （x﹣3）2．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． 2s B．4s C．6s D． 8s考点：二次函数的应用．分析：礼炮在点火升空到最高点处引爆，故求h的最大值．解答：解：由题意知礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是：，∵＜0∴当t=4s时，h最大为40m，故选B．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．6．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A． 2米 B．5米 C．6米 D． 14米考点：二次函数的应用．分析：把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度．解答：解：h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5（t2﹣4t）﹣14=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14=﹣5（t﹣2）2+6，﹣5＜0，则抛物线的开口向下，有最大值，当t=2时，h有最大值是6米．故选：C．点评：本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键．7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A． 3s B．4s C．5s D． 6s考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．解答：解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t=﹣=﹣=4s．故选B．点评：考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A． 40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．解答：解：当刹车距离为5m时，即可得y=5，代入二次函数解析式得：5= x2．解得x=±10，（x=﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般．二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x= ，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．解答：解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为25元．考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解答：解：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P 的坐标是（，5）．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．解答：解：线段AB的解析式是y= x+1（0≤x≤4），此时w=x（x+1）= +x，则x=4时，w最大=8；线段AC的解析式是y= x+1（0≤x≤2），此时w=x（x+1）= +x，此时x=2时，w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），此时w=x（﹣2x+10 ）=﹣2x2+10x，此时x= 时，w最大=12.5 ．综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．点评：此题综合考查了二次函数的一次函数，能够熟练分析二次函数的最值．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米．考点：二次函数的应用．分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．解答：解：∵函数解析式为：，∴y最值= = =2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为（60+x）件（用含x的代数式表示）．考点：二次函数的应用．分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．解答：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，∴，解得：，∴w=﹣x2+3600，设销售量为a，则a（60﹣x）=w，即a（60﹣x）=﹣x2+3600，解得：a=（60+x ），故答案为：（60+x）．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论；（2）由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得32﹣×4=80﹣2x．答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；（2）由题意，得（x﹣20）（80﹣2x）=150，解得：x1=25，x2=35．∵x≤28，∴x=25．答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．点评：本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键．16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．点评：本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x=18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是19 2元．（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．点评：本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？考点：二次函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：（1）由题意可得出：yB= （x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000= （0﹣60）2+m，解得：m=100，∴yB= （x﹣60）2+100，当x=40时，yB= ×（40﹣60）2+100，解得：yB=200，yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴yA=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，yB= （44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值．解答：解：（1）设每箱应涨价x元，则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600，整理，得x2﹣15x+50=0，解这个方程，得x1=5，x2=10，∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，答：每箱产品应涨价5元．（2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x），整理得：y=﹣2x2+30x+500，配方得：y=﹣2（x﹣7.5）2+612.5，当x=7.5元，y可以取得最大值，∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．点评：此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量．20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．点评：本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．。
北师大版九年级下册2.4二次函数的应用 同步练习(含答案)
初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用同步练习（含答案）一、单选题（共10题；共20分）1.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m2.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，加DE=3，则杯子的高CE为( )A. 14B. 11C. 6D. 33.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C 在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A. y= （x+3）2B. y= （x+3）2C. y= （x﹣3）2D. y= （x﹣3）24.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t ﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A. 2米B. 5米C. 6米D. 14米5.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A. 第9.5秒B. 第10秒C. 第10.5秒D. 第11秒6.二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A. 153B. 218C. 100D. 2167.黄石市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，则企业停产的月份为( )A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A. B. C. D.9.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q 从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A. B.C. D.10.如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（）A. 不大于4mB. 恰好4mC. 不小于4mD. 大于4m，小于8m二、填空题（共6题；共9分）11.矩形的周长为，当矩形的长为________ 时，面积有最大值是________ ．12.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________ s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________ cm2．13.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是________．14.如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45°，AC1=4米，点D2的坐标为(-13，-1.69)，则桥架的拱高OH=________米.15.小英存入银行2000元人民币，年利率为x，两年到期时，本息和为y元，则y与x之间的函数关系式是________，若年利率为7%，两年到期时的本息和为________元．16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= -与直线交于A、B，直线AB交于y 轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标：________．三、综合题（共9题；共105分）17.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．18.永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？19.如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE 落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．20.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x 的函数关系式分别为y A=kx+b，y B= （x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？21.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。
【新人教版九年级数学上册同步测试及答案】专题六 二次函数的应用同步测试 (新版)新人教版
二次函数的应用一 二次函数的实际应用教材P51探究3)图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m 时，水面宽度增加多少？图1教材母题答图解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图)， 可设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2.由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a ×22，a ＝－12. 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12x 2. 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为y ＝－3.由y ＝－3解得x 1＝6，x 2＝－6，所以此时水面宽度为2 6 m ，所以水面宽度增加(26－4)m.【思想方法】 建模：把问题中各个量用两个变量x ，y 来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示．(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式；(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m ，车与集装箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？并说明理由．图2解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y ＝ax 2 抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m ，高5 m ，矩形的高为2 m ，所以抛物线过点A (－3，－3)，代入得－3＝9a ，解得a ＝－13所以函数关系式为y ＝－x 23. (2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x ＝1.5代入抛物线方程，得y ＝－0.75，此时集装箱上部的角离隧道的底为5－0.75＝4.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.25＜4.5.所以此车不能通过此隧道．如图3，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x －6)2＋h .已知球网与点O 的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距点O 的水平距离为18 m.(1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式．(不要求写出自变量x 的取值范围)(2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．图3解：(1)∵h ＝2.6，球从点O 正上方2 m 的A 处发出，∴y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)，∴2＝a (0－6)2＋2.6，解得：a ＝－160， 故y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6， (2)当x ＝9时，y ＝－160(x －6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 所以球能越过球网；当y ＝0时，－160(x －6)2＋2.6＝0， 解得：x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)故会出界；(3)当球正好过点(18，0)时，y ＝a (x －6)2＋h 还过点(0，2)，代入解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧2＝36a ＋h ，0＝144a ＋h ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－154，h ＝83，此时二次函数解析式为：y ＝－154(x －6)2＋83， 此时球若不出边界则h ≥83， 当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，y ＝a (x －6)2＋h 还过点(0，2)，代入解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧2.43＝a （9－6）2＋h ，2＝a （0－6）2＋h ， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－432700，h ＝19375，此时球要过网则h ≥19375， ∵83＞19375，∴h ≥83， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是h ≥83. 二 二次函数的综合应用教材P47习题22.2第4题)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴． 解：解法一：∵点(－1，0)，(3，0)的纵坐标相等，∴这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，∴这条抛物线的对称轴是x ＝（－1）＋32＝1. 解法二：∵函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－b a＝(－1)＋3＝2，∴这条抛物线的对称轴是x ＝－b2a＝1. 【思想方法】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标．[2012·南通改编]如图4，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B (－2，0)，C 两点，O 为坐标原点．图4(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移72个单位长度，再向左平移m (m ＞0)个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 的内部，求m 的取值范围．解：(1)∵点A (0，－4)，B (－2，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－4，2－2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x －4. (2)将抛物线y ＝12x 2－x －4＝12(x －1)2－92向上平移72个单位长度，再向左平移m (m >0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点P 的坐标为(1－m ，－1)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4，∴y ＝－2x －4，当y ＝－1时，x ＝－32； 同理求得直线BC 的解析式为y ＝x －4，当y ＝－1时，x ＝3. ∵新抛物线的顶点P 在△ABC 的内部，∴－32<1－m <3且m >0，解得0<m <52. 5，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为(3，－3)．(1)求该抛物线的函数关系式及点A 的坐标；(2)在抛物线上求点P ，使S △POA ＝2S △AOB ；图5解：(1)∵抛物线的顶点为B (3，－3)，∴设抛物线的函数关系式为y ＝a (x －3)2－ 3.∵抛物线经过原点(0，0)，∴0＝a (0－3)2－3，∴a ＝39，∴y ＝39(x －3)2－3， 即抛物线的函数关系式为y ＝39x 2－233x . 令y ＝0，得39x 2－233x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝6，∴点A 坐标为(6，0)．(2)如图，∵△AOB 与△POA 同底不同高，且S △POA ＝2S △AOB ，∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上的高的2倍，即P点纵坐标是2 3.令23＝39x2－233x，即x2－6x－18＝0，解得x1＝3＋33，x2＝3－33，∴所求的点为P1(3＋33，23)，P2(3－33，23)．如何学好初中数学经典介绍浅谈如何学好初中数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。
九年级数学上册 1.4 二次函数的应用(第1课时)同步测试 (新版)浙教版
1.4 二次函数的应用(第1课时)二次函数应用的一般步骤是：(1)设，设好x，y；(2)列，列出二次函数的解析式，并确定自变量的取值范围；(3)求，在自变量的取值范围内．．．．．．．．．求出二次函数的最大值或最小值；(4)答．A组基础训练1．如图是二次函数y＝－(x－3)2＋4的图象，当－1≤x≤4时，该函数( )第1题图A．有最大值，最小值分别是3，0B．只有最大值是4，无最小值C．有最小值是－12，最大值是3D．有最小值是－12，最大值是42．用长6m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，设AB宽为xm，则窗框的高AD为________m(用含x的代数式表示)．第2题图3．如图，小李在推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(m)关于水平距离x(m)的二次函数表达式为y ＝－18x 2＋12x ＋32，那么铅球运动过程中最高点距地面的距离为________米．第3题图4．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm 2.5．求下列二次函数的最大值或最小值． (1)y ＝x 2＋4x －5； (2)y ＝－2x 2＋2x －1； (3)y ＝3(x －1)(5－x )．6．王师傅想在一块直角三角形余料中挖取一块最大矩形材料做其他用途，其图形和数据如图，请你计算王师傅所取得最大矩形材料的面积．第6题图7．一条隧道的截面如图，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD. (1)当AD ＝4m 时，求隧道截面上部半圆O 的面积；(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8m ，半圆O 的半径为rm.①求隧道截面的面积S (m 2)关于半径r (m )的函数解析式(不要求写出r 的取值范围)； ②当r 取何值时，隧道截面面积S 的值最大？第7题图8．(绍兴中考)有一个窗户形状如图1，上部由两个正方形组成的矩形，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m ，利用图2，解答下列问题：(1)若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积；(2)如何设计这个窗户，使透光面积最大？请通过计算说明 .第8题图B组自主提高9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可利用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且在BC上各开宽1m的门．设花圃宽AB长为x，则BC的长为____________(用含x的代数式表示)．第9题图10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C移动，若点P，Q分别从点A，B 同时出发，设移动的时间为t(4≥t＞0)，△DPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最小值．第10题图11．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？第11题图 C 组 综合运用12．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1，两个动点P ，Q 同时从点A 出发，但点P 沿AC 运动，点Q 沿AB ，BC 运动，两点同时到达点C.(1)点Q 的速度是点P 的速度的多少倍？(2)设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，当点Q 在BC 上运动时，用x 表示y ，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值．第12题图 参考答案1．4 二次函数的应用(第1课时)【课时训练】 1．D 2．⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x 3．2 4．12.55．(1)最小值－9； (2)最大值－34； (3)最大值12.6．34m 2，这时CE ＝32m ，CF ＝12m . 7．(1)S半圆＝2πm 2； (2)①∵AD ＝2r ，AD ＋CD ＝8，∴CD ＝8－AD ＝8－2r ，∴S ＝12πr2＋AD ·CD ＝12πr 2＋2r(8－2r)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12π－4r 2＋16r ； ②∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12π－4＜0，∴r ＝ 168－π时隧道截面面积S 的值最大．8．(1)因为AB ＝1，小正方形的边长为12AB ，所以AD ＝(6－1－1－1－0.5)÷2＝1.25.故此时窗户的透光面积为1×1.25＝1.25m 2. (2)设AB ＝x ，则FD ＝0.5x ，AD ＝6－3.5x 2，因为AD>FD ，所以6－3.5x 2>0.5x ，化简得4.5x<6，解得x<43，所以x 的取值范围为0<x<43.因为窗户的透光面积S ＝AD ·AB ，所以S ＝（6－3.5x ）x 2＝3x －74x 2＝－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x －672＋97.∴当x ＝67时，满足0<x<43，透光面积取最大值，最大值为97.9．(26－3x)m10．S ＝S 矩形ABCD －S △BPQ －S △CDQ －S △APD ＝48－12·2t(6－t)－12×6×(8－2t)－12×8·t ＝t2－4t ＋24，t ＝－b 2a＝2时，S 最小＝20cm 2.11．(1)M(12，0)，P(6，6)； (2)设y ＝a(x －6)2＋6，把(0，0)代入得a ＝－16，∴y＝－16(x －6)2＋6； (3)设D(m ，n)，则C(12－m ，n)，设支架总长为S ，∴AD ＝CB ＝n ＝－16m 2＋2m ，DC ＝12－2m ，∴S ＝2AD ＋DC ＝－13m 2＋2m ＋12，当m ＝－b 2a＝3时，S 最大＝15.答：“支撑架”总长的最大值为15米．12．(1)∵∠A ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1，∴BC ＝2AB ＝2，AC ＝22－12＝ 3.∴AB ＋BC AC＝33＝3，即点Q 的速度是点P 的速度的3倍； (2)过点Q 作QE ⊥AC 于点E ，∵∠C ＝30°，∴CQ ＝2QE ，∵AB ＋BQ ＝3x ，∴CQ ＝3－3x ，∴QE ＝3－3x 2，∴y ＝12x ×3－3x 2＝－34x 2＋34x ，∵0＜3－3x ≤2，∴33≤x ＜3，y ＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3316，即y 有最大值，y 最大＝3316.。
专题02 二次函数的实际应用(30题)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人
专题第02讲二次函数的实际应用（30题）1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB ＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）求抛物线AC表达式．（2）求点B的坐标．（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直接写出d的取值范围．8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式；（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的销售额＝销售单价×销售量）（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本）16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．（1）学校至多可购买多少个足球？（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝140．B 城生产产品的每件成本为7万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B 两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a （x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据，解答下列问题：①水管的长度是m；②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．则比较d1与d2的大小关系是：d1d2（填“＞”或“＝”或“＜”）19．（2023•罗山县三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．（3）第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1d2．（填“＞”“＜”“＝”）20．（2023•花溪区校级一模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段AB是一段直线滑道，且AB长为米，点A到地面距离OA＝6米，点B到地面距离BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线，最高点为C（8，4）．（1）求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式；（2）当小车（看成点）沿滑道从A运动到D的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点A的水平距离是多少？（3）现在需要对滑道C﹣D部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架CF，PH，PG．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．21．（2022秋•丰都县期末）抛实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．22．（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：566575…销售单价x（元/千克）销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．23．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/个）…5055…月销售量y（个）…10090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？24．（2023•金湖县三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元：购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当12≤x≤18时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1218日销售量y（件）164请写出当12≤x≤18时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•新抚区期末）疫情防控常态化，全国人民同心抗疫．某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，市场调查发现，线下的月销量y（件）与线下售价x（元/件，且12≤x≤16）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（元/件）12131415y（件）1000900800700（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为600件．当x为何值时，线上和线下销售月利润总和W达到最大？最大利润是多少？（3）要使（2）中月利润总和W不低于4400元，请直接写出x的取值范围．26．（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）27．（2023•云梦县校级三模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？28．（2023•卧龙区二模）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数关系式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？29．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？30．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．。
北师大版九年级数学下册 2.4 二次函数的应用 同步测试题(有答案)
2.4 二次函数的应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）1. 一个正方形和一个长方形的周长和为22厘米，其中正方形的边长为a厘米，长方形的一边为2a厘米，则这两个图形面积的和S与a之间的函数表达式为（）A.S=−3a2+11aB.S=−4a2+11aC.S=−9a2+22aD.S=−7a2+22a2. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为(x−30)2+10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（）y=−190A.10mB.20mC.30mD.60m3. 有x人结伴去旅游共需支出y元，若y与x之间满足解析式y=2x2−20x+1050，要使总支出最少，此时人数x为()A.3B.4C.5D.64. 用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm，面积是S cm2，则S与x的函数关系式为（）A.S=x(20−x)B.S=x(20−2x)C.S=x(10−x)D.S=2x(10−x)5 如图所示的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是（）A.ac<0B.b2−4ac>0C.2a−b＝0D.9a+3b+c＝06. 龙游已连续4年列中国最具投资潜力中小城市百强，位次由2006年的56位上升到2009年的第24位，而龙游的荣昌广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式为（ ） A.y =3(x −12)2+1B.y =−(x −12)2+3C.y =−8(x +12)2+3D.y =−8(x −12)2+3 7. 将抛物线y ＝-x 2−x +2(x ≤0)沿y 轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y ＝x +b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值为（ ）A.2，B.2C.D.08. 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A.2.76米B.6.76米C.6米D.7米9. 你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（）A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m二、填空题（本题共计11 小题，每题3 分，共计33分，）10. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1, 0)，N(x2, 0)，且经过点A(0, 1)，其中0<x1<x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CANS△AMN．求该抛物线的解析式________．是等腰直角三角形，且S△BMN=5211. 设一圆的半径为r，则圆的面积S=________，其中自变量是________．12. 正方形的边长是x，面积是A，请写出A与x的关系式：________．它与y=x2的图象有什么不同？________．(a<0)的图象上，点A、13. 如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2−2ax+32B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________．14. 如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m．要能顺利从桥下通过，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过________m．15. 某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，则y与平均年增长率x之间的函数关系式是________．16. 若被击打的小球飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系式为ℎ=20t−5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s．17. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20件，请写出利润y与单价x之间的函数关系式________．18. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x>0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是________．19. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）月销售利润为y元，当x=________元时，最大利润y=________元．20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+500．（1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式；（2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．22. 某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？23. 某商场将进货单价为40元的裤子，按50元/件出售时，每月能卖出500件，已知该商场裤子每涨价1元月销量减少10件．若这种裤子售价为x元/件，该裤子获得的利润为y元，请写出y与x的函数关系式．x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0，8)，24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14与x轴交于B，C两点，其中点C的坐标为(4，0)，点P(m，n)为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为(0，4)，连接BD.(1)求该二次函数的表达式及点B的坐标；(2)连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O，P，Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；(3)连接BP，以BD，BP为邻边作平行四边形BDEP，直线PE交y轴于点T．①当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；②在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），直接写出点T在y轴上的运动的路径长．25. 七年级（1）班的全体同学排成一列步行去市博物馆参加科技活动，小涛担任通信员．在队伍中，小涛先数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面人数的2倍，他往前超了8名同学后，发现前面的人数和后面的人数一样．(1)七年级（1）班有多少名同学？(2)这些同学要通过一座长60米的大桥，安全起见，相邻两个同学间保持相同的固定距离，队伍前进的速度为1.2米/秒，从第一名同学刚上桥到全体通过大桥用了90秒，则队伍的全长为多少米？(3)在（2）的条件下，排在队尾的小刚想把一则通知送到队伍最前面的小婷手中，若小刚从队尾追赶小婷的速度是4.2米/秒，他能在15秒内追上小婷吗？说明你的理由．26. 某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量（支）与销售单价（元/支）之间存在如图所示的关系．（1）请求出与之间的函数关系式；（2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？（3）在武汉爆发“新型冠状病毒”疫情期间，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，在抗“新型冠状病毒”疫情期间，市场监督管理局加大了对线上、线下商品销售的执法力度，对商品售价超过成本价的20%的商家进行处罚，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】D【解答】解：∵ 一个正方形和一个长方形的周长和为22厘米，其中正方形的边长为a厘米，长方形的一边为2a厘米，∵ 长方形的令一边为：(22−4a−4a)÷2=(11−4a)厘米，则这两个图形面积的和S与a之间的函数表达式为：S=a2+(11−4a)×2a=−7a2+22a．故选：D．2.【答案】A【解答】(x−30)2+10中，解：在y=−190当x=30时，y有最大值为10．则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为10m．故选A．3.【答案】C【解答】解：y=2x2−20x+1050=2(x−5)2+1000，当x=5时，y min=1000．故选C．4.【答案】C【解答】解：由题意得：S=x(10−x)=10x−x2．故选C．5.【答案】C【解答】由图象开口向下，可知a<0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以−b2a>0，所以b>0，∵ abc>0，故①正确；由图象可知当x=3时，y>0，∵ 9a+3b+c>0，故②错误；由图象可知OA<1，∵ OA=OC，∵ OC<1，即−c<1，∵ c>−1，故③正确；假设方程的一个根为x=−1a ，把x=−1a代入方程可得1a−ba+c=0，整理可得ac−b+1=0，两边同时乘c可得ac2−bc+c=0，即方程有一个根为x=−c，由②可知−c=OA，而当x=OA是方程的根，∵ x=−c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，6.【答案】D【解答】解：∵ 一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，∵ 顶点坐标为(12, 3)，设抛物线的解析式为y=a(x−12)2+3，而抛物线还经过(0, 1)，∵ 1=a(12)2+3，∵ a=−8，∵ 抛物线的解析式为y=−8(x−12)2+3．故选D．7.【答案】A【解答】将抛物结y=−13x2−13x+2(x≤0)沿y轴对折，得到抛物线为y=−13x2+13x+2(x>0)由抛物线y=−13x2−13x+2(x≤0)可知抛物线与y轴的交点为(0,2)把点(0,2)代入y=x+b求得b=2由−13x2+13x+2=x+b整理得1x2+2x+3b−6=0当Δ=4−4(3b−6)=0，即b=73时，直线y=x+b与该“双峰”图象有三个交点，由图象可知若直线y=x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值是2和73故选：A．8.【答案】B【解答】解：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得−4=a×102⇒a=−125故此抛物线的解析式为y=−125x2．因为桥下水面宽度不得小于18米所以令x=9时可得y=−125×81=−3.24米此时水深6+4−3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B．9.【答案】B 【解答】解：设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，因为抛物线过点(−1, 1)、(3, 1)、(0, 1.5)所以有：{1=a −b +c 1=9a +3b +c 1.5=c．解之得{a =−16b =13c =1.5．所以y =−16x 2+13x +1.5．当x =1.5时，y =138=1.625．即丁的身高是1.625米．故选B ．二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ）10.【答案】y =4x 2−5x +1【解答】解：如图，由抛物线经过A(0, 1)，M(x 1, 0)，N(x 2, 0)，其中0<x 1<x 2，可知抛物线开口向上，与x 轴两交点在正半轴，∵ 点A(0, 1)，△CAN 是等腰直角三角形，∵ C(−1, 0)，N(1, 0)，设直线AB 解析式为y =mx +n ，将A 、C 两点坐标代入，得{n =1−m +n =0，解得{m =1n =1， 直线AB 解析式为y =x +1，∵ S △BMN =52S △AMN ，两三角形同底MN ，△AMN 的高为1，∵ △BMN 的高为52，即B 点纵坐标为52，把y =52代入y =x +1中，得x =32，即B(32, 52 )，把A、B、N三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得{c=1 94a+32b+c=52a+b+c=0，解得{a=4b=−5 c=1，所以，抛物线解析式为y=4x2−5x+1，故答案为：y=4x2−5x+1．11.【答案】πr2,r【解答】解：由圆的面积公式得：S=πr2，自变量是r．12.【答案】A=x2,它与y=x2的图象完全一样【解答】解：∵ 正方形的边长是x，面积是A，∵ A与x的关系式为：A=x2，∵ 它与y=x2的图象完全一样．故答案为：A=x2，它与y=x2的图象完全一样．13.【答案】(2, 3 2 )【解答】解：∵ y=ax2−2ax+32的对称轴是x=1，与y轴的交点坐标是(0, 32)∵ 点B的坐标是(0, 32)∵ 菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2−2ax+32(a<0)的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，∵ 点B与点D关于直线x=1对称，∵ 点D的坐标为(2, 32)．故答案为：(2, 32)．14.【答案】1.2【解答】解：以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点A(−2，0)，B(2，0)，顶点C(0，2)，利用待定系数法设函数的解析式为y=a(x+2)(x−2)代入点C坐标，求得：a=−12，即抛物线的解析式为y=−12(x+2)(x−2).令x=1，解得：y=1.5,船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，则木船的最高高度为1.5−0.3=1.2m.故答案为：1.2.15.【答案】y=20x2+40x+20(x>0)【解答】解：设增产率为x，因为第一年的利润是20万元，所以第二年的利润是20(1+x)，第三年的利润是20(1+x)(1+x)，即20(1+x)2，依题意得函数关系式：y=20(1+x)2=20x2+40x+20(x>0)故：y=20x2+40x+20(x>0)．16.【答案】4【解答】解：依题意，令ℎ=0得：0=20t−5t2，得t(20−5t)=0，解得t=0（舍去）或t=4，即小球从飞出到落地所用的时间为4s.故答案为：4.17.【答案】y=−20x2+1400x−20000(20<x<50)【解答】解：单价是x元，则销量是：400−20×(x−30)，每件的盈利是x−20元，则利润y=(x−20)[400−20×(x−30)]=−20x2+1400x−20000，根据x−20>0且400−20(x−30)>0，解得：20<x<50．18.【答案】y＝10(x+1)2【解答】根据题意得：y＝10(x+1)2，19.【答案】5或6,2400【解答】解：由题意得：y=(210−10x)(50+x−40)=−10x2+110x+2100（0<x≤15且x为整数）；=−10(x−5.5)2+2402.5．∵ a=−10<0，∵ 当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵ 0<x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元）；当x=6时，50+x=56，y=2400（元）即当x=5元或6元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；故答案为：5或6，2400．20.【答案】−2【解答】解：设正方形的对角线OA长为2m，则B(−m, m)，C(m, m)，A(0, 2m)；把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，①代入②得：m2a+2m=m，解得：a=−1，m⋅2m=−2．则ac=−1m三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）当销售量每月不小于150件时，即−10x+500≥150，解得：x≤35，由题意，得：w=(x−22+3)⋅y=(x−19)⋅(−10x+500)=−10x2+690x−9500=−10(x−34.5)2+2402.5∵ 当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．【解答】解：（1）由题意，得：w=(x−20)⋅y，=(x−20)⋅(−10x+500)=−10x2+700x−10000，（2）由题意，得：−10x2+700x−10000=2000，解这个方程得：x1=30，x2=40，答：想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）当销售量每月不小于150件时，即−10x+500≥150，解得：x≤35，由题意，得：w=(x−22+3)⋅y=(x−19)⋅(−10x+500)=−10x2+690x−9500=−10(x−34.5)2+2402.5∵ 当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．22.【答案】设该函数的表达式为y＝kx+b，根据题意，得{40=30k+b36=32k+b，解得：{k=−2b=100．故该函数的表达式为y＝−2x+100；根据题意得，(−2x+100)(x−30)＝150，解这个方程得，x1＝35，x2＝45，故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；根据题意，得w＝(−2x+100)(x−30)＝−2x2+160x−3000＝−2(x−40)2+200，∵ a＝−2<0则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x＝40时，w的值最大，∵ 当销售单价为40元时获得利润最大．【解答】设该函数的表达式为y＝kx+b，根据题意，得{40=30k+b36=32k+b，解得：{k=−2b=100．故该函数的表达式为y＝−2x+100；根据题意得，(−2x+100)(x−30)＝150，解这个方程得，x1＝35，x2＝45，故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；根据题意，得w＝(−2x+100)(x−30)＝−2x2+160x−3000＝−2(x−40)2+200，∵ a＝−2<0则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x＝40时，w的值最大，∵ 当销售单价为40元时获得利润最大．23.【答案】解：根据题意可得：y =(x −40)[500−10(x −50)]=−10x 2+1400x +40000．【解答】解：根据题意可得：y =(x −40)[500−10(x −50)]=−10x 2+1400x +40000．24.【答案】解：(1)把A(0,8),C(4,0)代入y =−14x 2+bx +c 得， {c =8，−4+4b +c =0，解得{b =−1，c =8，∵ 该二次函数的表达为y =−14x 2−x +8.当y =0时，−14x 2−x +8=0， 解得x 1=−8,x 2=4，∵ 点B 的坐标为(−8,0)；(2)设P(m,−14m 2−m +8)，由∠OQP =∠BOD =90∘，分两种情况：当△POQ ∼△OBD 时，PQ OQ =BO OD =84=2， ∵ PQ =2OQ .即−14m 2−m +8=2×(−m)，解得m =−4，或m =8(舍去）.当△POQ ∼△OBD 时，OQ PQ =BO DO =84=2，∵ OQ =2PQ ，即−m =2×(−14m 2−m +8)， 解得m =−1−√33或m =−1+√33（舍去）综上所述，m 的值为−4或−1−√33.(3)①∵ 四边形BDEP 为平行四边形，∵ PE//BD ，PE =BD .∵ 点B 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，∵ 点P 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E .∵ 点P(m,−14m 2−m +8)，∵ 点E(m +8,−14m 2−m +12).∵ 点E 落在二次函数的图象上∵ −14(m +8)2−(m +8)+8=−14m 2−m +12， 解得，m =−7，∵ 点E 的坐标为(1,274)； ②点T 在y 轴上的运动的路经长172. 【解答】解：(1)把A(0,8),C(4,0)代入y =−14x 2+bx +c 得， {c =8，−4+4b +c =0，解得{b =−1，c =8，∵ 该二次函数的表达为y =−14x 2−x +8.当y =0时，−14x 2−x +8=0， 解得x 1=−8,x 2=4，∵ 点B 的坐标为(−8,0)；(2)设P(m,−14m 2−m +8)，由∠OQP =∠BOD =90∘，分两种情况：当△POQ∼△OBD时，PQOQ =BOOD=84=2，∵ PQ=2OQ.即−14m2−m+8=2×(−m)，解得m=−4，或m=8(舍去）.当△POQ∼△OBD时，OQPQ =BODO=84=2，∵ OQ=2PQ，即−m=2×(−14m2−m+8)，解得m=−1−√33或m=−1+√33（舍去）综上所述，m的值为−4或−1−√33.(3)①∵ 四边形BDEP为平行四边形，∵ PE//BD，PE=BD.∵ 点B向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∵ 点P向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E.∵ 点P(m,−14m2−m+8)，∵ 点E(m+8,−14m2−m+12).∵ 点E落在二次函数的图象上∵ −14(m+8)2−(m+8)+8=−14m2−m+12，解得，m=−7，∵ 点E的坐标为(1,274)；②点T在y轴上的运动的路经长172.25.【答案】（1）七年级（1）班有49名同学（2）队伍的全长为48米（3）不能，理由略【解答】此题暂无解答26.【答案】（1）y =−10x +400；（2）销售单价定为31元时，每天最大利润为810元；（3）大于或等于25元小于或等于26.4元．【解答】（1）解：据题意设y =kx +b (k ≠0)将(30.100)  (35.50)代入得{30k +b =10035k +b =50解之得{k =−10b =400…）与х之间的关系式为y =−10x +400（2）设每天的利润为W 元，则W =(x −22)y=(x −22)(−10x +40)=−10x 2+620x −8800=−10(x −31)2+810…销售单价定为31元时，每天最大利润为810元．（3）−10x 2+620x −800−100=350，解得x =25或37结合图像和二次函数的特点得出25≤x ≤37又x ≤22(1−20%)，即：x ≤26.4综合得25≤x ≤26.4…按要求网店店主的销售单价范围为大于或等于25元小于或等于26.4元．。
二次函数第一节同步测试题
二次函数第一节同步测试题一．选择题（共10小题）1．下列函数中，二次函数是（）A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2D．y=2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1） C．D．y=（x﹣1）2﹣x23．下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣14．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y= C．y=D．y=﹣x2+2x5．函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．06．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或67．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+38．若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或39．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+cB．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+cD．以上说法都不对10．已知关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1二．填空题（共10小题）11．如果函数y=（m﹣2）x2+2x+3（m为常数）是二次函数，那么m取值范围是．12．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是．13．若y=（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m=．14．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．15．若y=（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是．16．已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．17．将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．18．将抛物线y=﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：19．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是．20．如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是．三．解答题（共20小题）21．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？22．已知y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．23．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？24．已知y=（m﹣2）x+3x+6是二次函数，求m的值．25．已知函数y=（m2+m）．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．26．已知是x的二次函数，求出它的解析式．27．一个二次函数y=（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？28．已知，当m为何值时，是二次函数？29．已知函数y=（a+1）+（a﹣2）x（a为常数），求a的值：（1）函数为二次函数；（2）函数为一次函数．30．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d=n2﹣n，（2）y=1﹣x2．31．若y=（a﹣4）+a是二次函数，求：（1）a的值；（2）函数的关系式．32．证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数．33．已知函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，求不等式的解集．34．若函数y=（a﹣1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围．35．已知函数y=（m+3）．（1）当m为何值时，它是正比例函数？（2）当m为何值时，它是反比例函数？（3）当m为何值时，它是二次函数？36．某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为y=3x+x2．y 是x的二次函数吗？求汽车行驶60s的路程．37．已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=﹣18，写出y与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？38．当k取何值时，y=（k﹣2）是二次函数？39．请你分别给出整数a，b的一个值，使y=（a﹣2）x b+1+x2+1是关于x的二次函数，且使一次函数y=ax+b的图象不经过第三象限．40．已知函数y=（a2﹣4）x2+（a+2）x+3+c．（1）当a为何值时，此函数是关于x的二次函数？（2）当a为何值时，此函数是关于x的一次函数？（3）当a，c满足什么条件时，此函数是关于x的正比例函数？二次函数第一节同步测试题参考答案一．选择题（共10小题）1．B；2．B；3．D；4．D；5．B；6．B；7．A；8．B；9．D；10．B；二．填空题（共10小题）11．m≠2；12．2；13．3；14．0；15．a≠﹣2；16．增大；17．y=x2+2；18．y=﹣5（x+5）2﹣3；19．（0，﹣1）；20．﹣2；三．解答题（共20小题）21．；22．；23．；24．；25．m=2；m=1；26．；27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；36．；37．；38．；39．；40．；。
苏科版数学九年级下册5.5《用二次函数解决问题》同步练习
二次函数的应用1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).2.某旅社有客房120间,每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大?(总利润=总收入-总成本).4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t之间的关系)为s=12t2-2t.(1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么?(2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元?(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?5.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y=277101010xx-++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.6.某市近年来经济发展迅速很快,根据统计,该市国内生产总值1990年为8.6 亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005 年该市国内生产总值将达到多少?参考答案1.(1)设y=kx+b,则∵当x=20时,y=360;x=25时,y=210.∴3602021025k bk b=+⎧⎨=+⎩, 解得30960kb=-⎧⎨=⎩∴y=-30x+960(16≤x≤32)(2)设每月所得总利润为w元,则w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920.∵-30<0,∴当x=24时,w有最大值.即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元.2.设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元),则每天客房出租数会减少6x间,客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750.当x=5时,y有最大值6750,这时每间客房的日租金为50+5×5=75元. 客房总收入最高为6750元.3.商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元.设定价提高x%, 则销售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1-0.5x%)件.故y=100(1+x%)·1000(1-0.5x%)-8000=-5x2+500x+20000=-5(x-50)2+32500.当x=50时, y 有最大值32500.即定价为150元/件时获利最大,为32500元.4.(1)s=12(t-2)2-2.故第2个月末时公司亏损最多达2万元.(2)将s=30代入s=12t2-2t,得30=12t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去).即第10个月末公司累积利润达30万元.(3)当t=7时,s=12×72-2×7=10.5,即第7个月末公司累积利润为10.5万元;当t=8时,s=12×82-2×8 =16,即第8个月末公司累积利润为16万元. 16-10.5=5.5万元.故第8个月公司所获利润为5.5万元.5.(1)s=10×277101010x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×(4-3)-x=-x 2+6x+7.当x=62(1)-⨯-=3 时, S 最大=24(1)764(1)⨯-⨯-⨯-=16.∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元. (2)用于再投资的资金有 16-3=13万元.有下列两种投资方式符合要求: ①取A 、B 、E 各一股,投入资金为5+2+6=13万元,收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元. ②取B 、D 、E 各一股,投入资金为2+4+6=12万元<13万元,收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元 . 6.可以把三组数据看成三个点: A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9).设y=ax 2+bx+c.把A,B,C 三点坐标代入其中,得8.62558.610.4100108.612.9c a b a b =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得a=0.014,b=0.29,c=8.6. 故y=0.014x 2+0.29x+8.6. 令x=15,得y=0.014×152+0.29×15+8.6≈16.1.所以可预测2005年该市国内生产总值达到16.1亿元人民币.。
北师大版九年级下册数学 2.4二次函数的应用 同步习题(含解析)
2.4二次函数的应用同步习题一．选择题1．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝C．y＝a（1+x）2D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）22．用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2+40x C．y＝﹣x2+20x D．y＝﹣x2+20 3．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 4．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m5．如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣x2﹣x+B．y＝﹣x2+x+C．y＝x2﹣x+D．y＝x2+x+6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x7．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y 关于x的函数表达式是（）A．y＝7.9（1+2x）B．y＝7.9（1﹣x）2C．y＝7.9（1+x）2D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）28．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x （m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）A．1米B．米C．2米D．米9．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃10．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）cm．A．12B．12C．6D．6二．填空题11．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为．12．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则他将铅球推出的距离是m．13．学习过二次函数以后，李华同学以y＝2x2+6的图象为灵感，为合肥大圩葡萄节设计了一款葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE长为．14．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是m．15．为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量q（辆/小时）、速度v（千米/小时）、密度k（辆/千米）来描述车流的基本特征．现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：速度v（千米/小时）…1520324045…流量q（辆/小时）…105012001152800450…若已知q、v满足形如q＝mv2+nv（m、n为常数）的二次函数关系式，且q、v、k满足q ＝vk．根据监控平台显示，当5≤v≤10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是．三．解答题16．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．（1）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价增加为多少元？应进货多少个？（2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？17．某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m时，水面宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A、B为抛物线与水面的交点．（1）B点的坐标为；（2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？18．某零食铺子销售某种的精品坚果，每斤进价为50元，市场调研表明：当售价为66元/斤时，每月能售300斤，而当售价每涨价1元时，每月能少售10斤．设每斤坚果涨价x 元（x≥0），每月的利润为W元．（1）求W与x之间的函数关系式以及自变量x的取值范围；（2）每斤坚果的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？（3）由于运输费用降低，坚果进价每斤降低了m元（m＞0），现规定售价不得低于每斤75元，该商铺在今后的销售中，若可获得的月最大利润为5460元，求m的值．参考答案1．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，故选：C．2．解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，∴另一边长为＝20﹣x（cm），∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，故选：C．3．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．4．解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，故选：C．5．解：方法一：0.26+2.24＝2.5＝（米）根据题意和所建立的坐标系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），设排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：，解得，a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴排球运动路线的函数关系式为y＝﹣x2﹣x+，故选：A．方法二：排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由图象可知，a＜0，a、b同号，即b＜0，c＝，故选：A．6．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．7．解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．故选：C．8．解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，∴函数表达式为：y＝﹣x2+x+，＝﹣（x﹣1）2+2，∵a＜0，故函数有最大值，∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，答：水流喷出的最大高度为2米．故选：C．9．解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．10．解：根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，设抛物线解析式为y＝﹣a（x﹣6）2+16，将点Q代入解得a＝﹣，符号题意：洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+16＝﹣x2+x+14．当y＝0时，即0＝﹣x2+x+14，解得：x＝6+12（负值舍去），所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm．故选：B．11．解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，故答案为：y＝60（1﹣x）2．12．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣1（舍），x2＝9，∴他将铅球推出的距离是9m．故答案为：9．13．解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得：D点坐标为：（0，6），∴B点的横坐标为：2，故x＝2时，y＝2×4+6＝14，即B（2，14），则DC＝14﹣6＝8，故CE＝DC+DE＝8+2＝10，故答案为：10．14．解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，5）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3（m）．15．解：把（15，1050）和（20，1200）代入q＝mv2+nv得，，解得：，∴q＝﹣2v2+100v，∵q＝vk，∴vk＝﹣2v2+100v，把v＝5和v＝10分别代入上式得，5k＝﹣2×52+100×5或10k＝﹣2×102+100×10，解得：k＝90或k＝80，∴此时密度k的取值范围是80≤k≤90，故答案为：80≤k≤90．16．解：（1）设每个定价增加x元．由题意得：（x+10）（400﹣10x）＝6000，解得：x1＝10，x2＝20，要使进货量较少，则每个定价为50+20＝70元，应进货400﹣10x＝400﹣10×20＝200个．答：每个定价为70元，应进货200个．（2）设每个定价增加x元，获得利润为y元．y＝（x+10）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，当x＝15时，y有最大值为6250．所以每个定价为65元时可获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．17．解：（1）当水面距拱顶5m时，水面宽8m，则点B（4，﹣5），故答案为（4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，将点B的坐标代入上式得﹣5＝a×42，解得a＝﹣，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2；（3）将x＝2代入上式，得y＝﹣x2＝﹣，∵＝2，而1.8＜2，当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．18．解：（1）根据题意知，W＝（66+x﹣50）（300﹣10x）＝﹣10x2+140x+4800；∵﹣10x+300≥0，∴x≤30，∴0≤x≤30；故W＝﹣10x2+140x+4800（0≤x≤30）；（2）∵W＝﹣10x2+140x+4800＝﹣10（x﹣7）2+5290，∴当x＝7时，W取得最大值，最大值为5290，答：每斤坚果的售价定为73元时，每个月可获得最大利润，最大利润是5290元；（3）售价不得低于每斤75元，即x≥75﹣66＝9，根据题意知，W＝（66+x﹣50+m）（300﹣10x）＝﹣10x2+（140﹣10m）x+（300m+4800），函数的对称轴为x＝＝7﹣m＜7，∴﹣10＜0，故当x ＞7﹣m时，W随x的增大而减小，故当x＝9时，W取得最大值，即x＝9时，W＝（66+x﹣50+m）（300﹣10x）＝（66+9﹣50+m）（300﹣10×9）＝5460，解得m＝1．。
新浙教版九年级数学上册同步测试：1.4 二次函数的应用(1)
新浙教版九年级数学上册同步测试：1.4 二次函数的应用（1）一、填空题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n=（用含a的代数式表示）．二、解答题2．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM =S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x 轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．6．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E （0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．8．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O ，P ，Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；（4）经过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴、直线OB 和PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时t 的值（或范围），若不能，请说明理由）．10．已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx +m 2+m 的图象与关于x 的函数y=kx +1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）；（x 1＜x 2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB 的长；（2）当k=1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）．11．直线y=x ﹣2与x 、y 轴分别交于点A 、C ．抛物线的图象经过A 、C 和点B （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一动点D ，当D 与直线AC 的距离DE 最大时，求出点D 的坐标，并求出最大距离是多少？12．如图1所示，已知直线y=kx +m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当x=﹣时，y 取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P 是直线AC 上一点，且S △ABP ：S △BPC =1：3，求点P 的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．14．如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：或，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．15．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．16．如图①，若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C．（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．19．已知二次函数y=a （x ﹣m ）2﹣a （x ﹣m ）（a ，m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于D 点．①当△ABC 的面积为1时，求a 的值．②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．20．如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0），B （1，0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，与y 轴交于点C ，x 1，x 2是方程x 2+4x ﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D ，求S △ABC ：S △ACD 的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．22．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO 时，请直接写出线段BM的长．优质文档第11页（共11页）24．已知抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y 2=x +1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）及直线y 2=x +1的图象，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2的x 的取值范围；（3）设抛物线与x 轴的右边交点为A ，过点A 作x 轴的垂线，交直线y 2=x +1于点B ，点P 在抛物线上，当S △PAB ≤6时，求点P 的横坐标x 的取值范围．。
二次函数的应用 同步练习(含答案)九年级数学下册北师大版
2.4 二次函数的应用同步练习一、单选题1．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=−112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为()A．6米B．10米C．12米D．15米2．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A．(50−40+x)(500−x)=8000B．(40+x)(500−10x)=8000 C．(50−40+x)(500−10x)=8000D．(50−x)(500−10x)=80003．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元4．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（）A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m5．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA=1m，OB=4m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为32m，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A．254m B．94m C．32m D．2516m6．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（）A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米7．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y= ax2+bx+c(a≠0)，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第7秒B．第9秒C．第11秒D．第13秒8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（）A．4√5米B．10米C．4√6米D．12米9．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B 出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x−1 2x2刻画，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．下列结论错误的是（）A．小球落地点距O点水平距离为7米B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3mD．小球距斜坡的最大铅直高度为498m二、填空题11．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．12．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x 轴，拱桥的拱点O 为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数y =−18x 2表示（单位：m ）．已知目前桥下水面宽4m ，若水位下降1.5m ，则水面宽为______m ．13．如图，函数y ＝{x 2−2x +3(x <2)−34x +92(x ≥2)的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y ＝m （m 为常数）相交于三个不同的点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）（x 1＜x 2＜x 3）．设t ＝x 1y 1+x 2y 2x 3y 3，则t 的取值范围是 _____．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度ℎ（米）与物体运动的时间t （秒）之间满足函数关系ℎ=−5t 2+mt +n ，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w 表示0秒到t 秒时ℎ的值的“极差”（即0秒到t 秒时ℎ的最大值与最小值的差），则当0≤t ≤1时，w 的取值范围是_________；当2≤t ≤3时，w 的取值范围是_________．三、解答题16．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．17．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y关于x的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？18．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当x=15时，y=50；当x=17时，y=30．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？19．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？20．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？21．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？参考答案：1．B2．C3．C4．C5．D6．C7．B8．B9．D10．C11．y=−12(x+2)2+2（或y=−12x2−2x）12．813．35＜t＜114．（2，0）15．0≤w≤55≤w≤2016．(1)y=−0.1(x−5)2+3.2(2)2或6m17．(1)y=−0.5x+5（2≤x≤8，且x为整数）(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克18．(1)y与x之间的函数关系式为y=−10x+200(2)这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．19．(1)y=−5x+150(2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．20．(1)y＝﹣2x+160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元21．(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．、。
沪科版九年级上册数学21.4二次函数的应用同步测试
21.4 二次函数的应用同步测试一、选择题1.已知二次函数 y=x2﹣x+ m﹣1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（）A. m≤5B.m≥2C. m＜5 D. m＞2【答案】 A2.已知抛物线 y=ax2-4ax+h（a≠0）与 x 轴交于 A（x1， 0），B（3，0）两点，则线段 AB 的长度为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B3.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，当水面降落 1m 时，水面的宽度为（）A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】 B4.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2﹣1与 x 轴交点的个数（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】 B5.小李同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1=0 的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y=﹣2x2+4x+1 的图象（如图），接着察看图象与x 轴的交点 A 和 B 的地点，而后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小李同学的这类方法主要运用的数学思想是（）A. 公义化B.类比思想C.数形结合 D. 模型思想【答案】 C6.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c 为常数）的 y 与 x 的部分对应值如下表：x 3.23 3.24 3.25 3.26y ﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的取值范围是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【答案】 D7.二次函数 y=-x2+2x+k 的部分图象如下图，则对于x 的一元二次方程-x2+2x+k=0 的一个解 x1=3，另一个解 x2=（）A.1B.-1C.-2D. 0【答案】 B8.抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为 x=1，它与 x 轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），则它与x 轴另一个交点的坐标为（）A. （﹣ 2，0）B. （﹣ 1，0）C. （2，0） D. （ 5，0）【答案】 D9.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是边 BC 和 CD 上的动点（不与正方形的极点重合），不论 E、F 如何动，一直保持 AE⊥EF．设 BE=x ，DF=y ，则 y 是 x 的函数，函数关系式是（）A. y=x+1B. y=x ﹣1C. y=x2﹣x+1 D. y=x2﹣x﹣1【答案】 C10.如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于 O，其直径 CD，EF 均和 x 轴垂直，以 O 为极点的两条抛物线分别经过点 C，E 和点 D，F，则图中暗影部分面积是（）A. πB.πC.πD. 条件不足，没法求【答案】 B二、填空题11.利用函数图象求得方程x2+x﹣12=0 的解是 x1=________ ，x2=________ ．【答案】 -4；312.某飞机着陆滑行的行程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为： s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行 ________ 米才能停止．【答案】 60013.若函数的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.【答案】或 014.如图是某拱形大桥的表示图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，成立平面直角坐标系，桥的拱形能够近似当作抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰幸亏水面，有 AC⊥x 轴．若OA=10 米，则桥面离水面的高度AC 为________米．【答案】15.已知抛物线 y=x2+2x﹣3 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左边），将这条抛物线向右平移 m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C，D 两点（点 C在点 D 的左边），若 B，C 是线段 AD 的三平分点，则 m 的值为 ________．【答案】216.如图，已知直线y=﹣ x+3 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、B，P 是抛物线 y=﹣x2+2x+5 上的一个动点，其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣x+3 于点 Q，则当 PQ=BQ 时， a 的值是 ________．【答案】 4+2或4﹣2或4或﹣1三、解答题17.如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞翔路线知足抛物线y=﹣x2+ x，此中 y（m）是球飞翔的高度， x（m）是球飞翔的水平距离．（1）飞翔的水平距离是多少时，球最高？（2）球从飞出到落地的水平距离是多少？【答案】解：（ 1）∵ y=﹣x2+ x=﹣（x﹣4）2+，∴当 x=4 时， y 有最大值为．所以当球水平飞翔距离为 4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；（2）令 y=0，则﹣ x2+x=0，解得 x12=8．=0，x所以此次击球，球飞翔的最大水平距离是8 米．18.二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，求m 的最大值．【答案】解：∵抛物线的张口向上，极点纵坐标为﹣3，∴a＞0．∵抛物线过原点所以 c=0，∴=，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，∴△ =b2﹣4am≥0，即 12a﹣4am≥0，即 12﹣4m≥0，解得 m≤3，∴m 的最大值为 3．19.为了改良小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m2．求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意，由于墙长 25 米，所以．20.已知抛物线 y=3ax2+2bx+c（1）若 a=b=1，c=﹣ 1 求该抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若 a=，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值；（3）若 a+b+c=1，能否存在实数 x，使得相应的 y 的值为 1，请说明原因．【答案】（ 1）解：当 a=b=1，c=﹣1 时，抛物线为： y=3x2+2x﹣1，∵方程 3x2+2x﹣1=012的两个根为： x =﹣1，x = ．∴该抛物线与 x 轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）（2）解： a= ，c﹣b=2，则抛物线可化为： y=x2+2bx+b+2，其对称轴为： x=﹣b，当 x=﹣b＜﹣ 2 时，即 b＞2，则有抛物线在 x=﹣2 时取最小值为﹣ 3，此时﹣ 3=（﹣ 2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得： b=3，切合题意，当 x=﹣b＞2 时，即 b＜﹣ 2，则有抛物线在 x=2 时取最小值为﹣ 3，此时﹣3=22+2×2b+b+2，解得： b=﹣，不合题意，舍去．当﹣ 2≤﹣b≤2时，即﹣ 2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b 时，取最小值为﹣ 3，此时﹣ 3=（﹣ b）2+2×（﹣b）b+b+2，化简得： b2﹣b﹣5=0，解得： b1=（不合题意，舍去），b2=．综上： b=3 或 b=（3）解：由 y=1 得 3ax2+2bx+c=1，△=4b2﹣12a（c﹣1），=4b2﹣12a（﹣ a﹣b），=4b2+12ab+12a2，=4（b2+3ab+3a2），=4[ （b+ a）2+a2] ，∵a≠0，△＞ 0，所以方程 3ax2+2bx+c=1 有两个不相等实数根，即存在两个不一样实数x0，使得相应y=121.有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只好寄存一周，假如放在冷藏室，可以延伸保鲜时间，但每日仍有必定数目的葡萄变质，假定保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收买了这类葡萄200 千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克 2 元，据测算，今后每千克鲜葡萄的市场价钱每日能够上涨 0.2 元，可是，寄存一天需各样花费 20 元，均匀每日还有 1 千克葡萄变质抛弃．（1）设 x 天后每千克鲜葡萄的市场价为P 元，写出 P 对于 x 的函数关系式 ;（2）若寄存 x 天后将鲜葡萄一次性销售，设鲜葡萄的销售金额为y 元，写出 y 对于 x 的函数关系式；第8页/共9页（3）问个体户将这批葡萄寄存多少天后销售，可获取最大收益，最大收益q 是多少？【答案】（ 1）解：设 x 天后每千克鲜葡萄的市场价为p 元，则有 p=0.2x+2；（2）解：若寄存 x 天后将鲜葡萄一次性销售，设鲜葡萄的销售总数为y 元，则有 y=（200-x）（ 0.2x+2），即 y=-0.2x2+38x+400；（3）解：设将这批葡萄寄存x 天后销售，则有 q=（200-x）（ 0.2x+2）-400-20x=-0.2x2+18x=-0.2（x-45）2+405，所以这批葡萄寄存45 天后销售，可获取最大收益405 元．。
浙教版数学九年级上册同步测试：1.4 二次函数的应用
浙教版九年级数学上册同步测试：1.4 二次函数的应用一、解答题1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值．（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN 的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．5．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？6．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．7．如图，抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．（1）求点A，M的坐标．（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？（3）当BD=1时①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．9．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B 两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．11．已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．12．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y=﹣1的距离恒相等；（3）设直线PR 与抛物线的另一交点为Q ，E 为线段PQ 的中点，过点P 、E 、Q 分别作直线y=﹣1的垂线．垂足分别为M 、F 、N （如图二）．求证：PF ⊥QF ．13．如图，抛物线y=x 2﹣4x 与x 轴交于O ，A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y=x +m 与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ；（2）若两个三角形面积满足S △POQ =S △PAQ ，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD +DQ 的最大值；②PD •DQ 的最大值．14．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C （﹣2，0），D （﹣8，0）两点，与y 轴相切于点B （0，4）．（1）求经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切；（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标．15．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．16．如图，已知抛物线y=﹣（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x …﹣2 0 4 8 10 …y …0 5 9 5 0 …（1）求出这条抛物线的解析式；（2）求正方形DEFG的边长；（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．19．抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．20．如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B （4，0），其原点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y 轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出原点D的坐标；（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．21．已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P 为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．22．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．23．已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1（1）求证：点P在直线l上；（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．初中数学试卷灿若寒星制作。
沪科版数学九年级上册 21.4 二次函数的应用 同步练习(含答案)
21.4 二次函数的应用一、选择题（共2题）1.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点,则m的取值范围是()A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>-22.某旅店有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出.若每床每晚收费每提高2元,则租出的床位减少10张.以每次提高2元的这种方法变化下去,该旅店为投资最少而获利最大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元二、填空题（共2题）3.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为才不会亏本;(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为时,每天获得的利润w最大.4.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=时,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.三、计算与解答题（共6题）5．图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线的解析式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．6．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，求t的取值范围．7．在NBA篮球大赛中，一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问球出手时，他距离地面的高度是多少？8．如图所示，一单杠高2.2 m，两立柱间的距离为1.6 m，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠的结合处A、B，绳子自然下垂，呈抛物线状，一个身高0.7 m的小孩站在距立柱0.4 m处，其头部刚好触上绳子的D处，求绳子的最低点O到地面的距离．9．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？10．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y＝38x＋36，而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b、c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？参考答案1.A原点是最高点,图象开口向下,所以m+1<0,即m<-1.2.C设每床每晚收费提高x元时,获利为y元,则y=(10+x)=-5x2+50x+1 000=-5(x-5)2+1 125,即当提高5元时,可获得最大利润,为1 125元,但题目要求提高的价格为2的倍数,因而选取与5接近的4元或6元可获得较大利润,而题意想投资少获利大,即想床位租出少而获较大利润,此时床位价格提高6元最合适,故选C.3.(1)6元(2)9元/kg(1)设荔枝售价定为y元/kg时,水果商才不会亏本.由题意得y(1-5%)≥5+0.7,解得y≥6.所以,水果商把荔枝售价至少定为6元/kg才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90.因此,当x=9时,w有最大值.所以,当销售单价定为9元/kg时,每天获得的利润w最大.4.4元由题意,得y=(8-x)x=-x2+8x,当x=-=4时,y最大值=16.5.解：(1)抛物线的顶点坐标为(5,5)，与y轴交点坐标是(0,1)．设抛物线的解析式是y＝a(x－5)2＋5(a≠0)，把点(0,1)代入y＝a(x－5)2＋5，得a＝4 25 -.∴y＝425-(x－5)2＋5(0≤x≤10)．(2)由已知，得两景观灯的纵坐标都是4，∴4＝425-(x－5)2＋5.∴425(x－5)2＝1.∴x1＝152，x2＝52.∴两景观灯间的距离为|x1－x2|＝15522-＝5(m)．6.解：(1)小丽头顶处E点的坐标为E(1,1.4)，B的坐标为(6,0.9)，代入解析式，得0.91.43660.90.9a b a b ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，解得0.10.6a b ⎧⎨⎩＝－，＝，∴函数解析式为y ＝－0.1x 2＋0.6x ＋0.9(0≤x≤6)．(2)由y ＝－0.1x 2＋0.6x ＋0.9，配方，得y ＝－0.1(x －3)2＋1.8，当x ＝3时，y ＝1.8，∴小华的身高为1.8米．(3)当y ＝1.4时，得－0.1x 2＋0.6x ＋0.9＝1.4，解得x 1＝1，x 2＝5，∴当y ＞1.4时，1＜t ＜5.7. 解：(1)由题图知，顶点为(0,3.5)，篮圈坐标为(1.5,3.05)，设函数解析式为y ＝ax 2＋3.5(a≠0)，将(1.5,3.05)代入，得a ＝－0.2，故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y ＝－0.2x 2＋3.5.(2)当x ＝－2.5时，y ＝－0.2×(－2.5)2＋3.5＝2.25，故跳投时，距地面的高度为2.25－1.8－0.25＝0.2(m)．8. 解：如图所示，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝ax 2(a≠0)．设A 、B 、D 三点坐标依次为(x A ，y A )、(x B ，y B )、(x D ，y D )，由题意，得AB ＝1.6，∴x A ＝－0.8，x B ＝0.8，得x D ＝1 1.60.42⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭＝－0.4.∴当x ＝－0.8时，y A ＝a·(－0.8)2＝0.64a ；当x ＝－0.4时，y D ＝a·(－0.4)2＝0.16a.∴y A －y D ＝2.2－0.7＝1.5.∴0.64a －0.16a ＝1.5.∴a ＝258. ∴抛物线解析式为y ＝2258x . 当x ＝－0.4时，y D ＝258×(－0.4)2＝0.5， ∴0.7－0.5＝0.2(m)．答：绳子的最低点距地面0.2 m.9. 解：(1)M(12,0)，P(6,6)．(2)设此函数关系式为y ＝a(x －6)2＋6(a≠0)， ∵函数y ＝a(x －6)2＋6经过点(0,3)，∴3＝a(0－6)2＋6，即a ＝112-. ∴此函数解析式为y ＝112-(x －6)2＋6＝2112x -＋x ＋3(0≤x≤12)． (3)设A(m,0)，则B(12－m,0)、2112,312C m m m ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭、21,312D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝21312m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＋(12－2m)＋21312m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝216m -＋18. ∵此二次函数的图象开口向下，∴当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为18.10. 解：(1)由题意，得2212533,812444,8b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得15,859.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)y ＝y 1－y 2＝2311559368882x x x ⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭ ＝21313822x x -++. (3)y ＝21313822x x -++ ＝18-(x 2－12x ＋36)＋91322+ ＝18-(x －6)2＋11.∵a ＝18-＜0，∴抛物线开口向下． 在对称轴x ＝6左侧y 随x 值的增大而增大． 由题意x ＜5，∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润＝18-(4－6)2＋11＝212(元)．。
二次函数的应用同步测试1
1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直
线 ，与x 轴的交点是 ，当x= 时，y 有最 ，是 .
2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号是 ，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0,当x 时，y < 0 .
3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ）
A .1 B. 0 C. 2 D. 0或2
4. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a
y a c x =≠>的图象是（ ）
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
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二次函数的应用 一 二次函数的实际应用
(教材P51探究3)
图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m 时，水面宽度增加多少？
图1
教材母题答图
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图)，
可设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2.
由抛物线经过点(2，－2)，可得
－2＝a ×22，a ＝－12
. 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12
x 2. 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为y ＝－3.
由y ＝－3解得x 1＝6，x 2＝－6，
所以此时水面宽度为2 6 m ，
所以水面宽度增加(26－4)m.
【思想方法】 建模：把问题中各个量用两个变量x ，y 来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便．
某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示．
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式；
(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m ，车与集装箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？并说明理由．
图2
解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y ＝ax 2 抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m ，高5 m ，矩形的高为2 m ，
所以抛物线过点A (－3，－3)，
代入得－3＝9a ，
解得a ＝－13
所以函数关系式为y ＝－x 2
3
. (2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
将x ＝1.5代入抛物线方程，得y ＝－0.75，
此时集装箱上部的角离隧道的底为5－0.75＝4.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.25＜4.5.
所以此车不能通过此隧道．
如图3，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x －6)2＋h .已知球网与点O 的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距点O 的水平距离为18 m.
(1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式．(不要求写出自变量x 的取值范围)
(2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．
图3
解：(1)∵h ＝2.6，球从点O 正上方2 m 的A 处发出，
∴y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)，
∴2＝a (0－6)2＋2.6，
解得：a ＝－160
， 故y 与x 的关系式为y ＝－160
(x －6)2＋2.6， (2)当x ＝9时，y ＝－160
(x －6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 所以球能越过球网；
当y ＝0时，－160
(x －6)2＋2.6＝0， 解得：x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)
故会出界；
(3)当球正好过点(18，0)时，y ＝a (x －6)2＋h 还过点(0，2)，
代入解析式得：⎩
⎪⎨⎪⎧2＝36a ＋h ，0＝144a ＋h ，
解得：⎩
⎨⎧a ＝－154，h ＝83， 此时二次函数解析式为：y ＝－154(x －6)2＋83
， 此时球若不出边界则h ≥83
， 当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，y ＝a (x －6)2＋h 还过点(0，2)，代入解析式得：
⎩
⎪⎨⎪⎧2.43＝a （9－6）2＋h ，2＝a （0－6）2＋h ， 解得：⎩⎨⎧a ＝－43
2700，
h ＝19375，
此时球要过网则h ≥19375
， ∵83＞19375，∴h ≥83
， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是h ≥83
. 二 二次函数的综合应用
(教材P47习题22.2第4题)
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴． 解：解法一：∵点(－1，0)，(3，0)的纵坐标相等，
∴这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴这条抛物线的对称轴是x ＝（－1）＋32＝1. 解法二：∵函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝－b a
＝(－1)＋3＝2， ∴这条抛物线的对称轴是x ＝－b 2a
＝1. 【思想方法】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标．
[2012·南通改编]如图4，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝12
x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B (－2，0)，C 两点，O 为坐标原点．
图4 (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移72
个单位长度，再向左平移m (m ＞0)个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 的内部，求m 的取值范围．
解：(1)∵点A (0，－4)，B (－2，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－4，2－2b ＋c ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝12
x 2－x －4. (2)将抛物线y ＝12x 2－x －4＝12(x －1)2－92向上平移72
个单位长度，再向左平移m (m >0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点P 的坐标为(1－m ，－1)．
设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，－2k ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4， ∴y ＝－2x －4，当y ＝－1时，x ＝－32
； 同理求得直线BC 的解析式为y ＝x －4，当y ＝－1时，x ＝3.
∵新抛物线的顶点P 在△ABC 的内部，
∴－32<1－m <3且m >0，解得0<m <52
. 如图5，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为(3，－3)．
(1)求该抛物线的函数关系式及点A 的坐标；
(2)在抛物线上求点P ，使S △POA ＝2S △AOB ；
图5
解：(1)∵抛物线的顶点为B (3，－3)，
∴设抛物线的函数关系式为y ＝a (x －3)2－ 3.
∵抛物线经过原点(0，0)，∴0＝a(0－3)2－3，
∴a＝
3
9，∴y＝
3
9(x－3)
2－3，
即抛物线的函数关系式为y＝
3
9x
2－
23
3x.
令y＝0，得
3
9x
2－
23
3x＝0，
解得x1＝0，x2＝6，∴点A坐标为(6，0)．
(2)如图，∵△AOB与△POA同底不同高，且S△POA＝2S△AOB，
∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上的高的2倍，即P点纵坐标是2 3.
令23＝
3
9x
2－
23
3x，即x
2－6x－18＝0，
解得x1＝3＋33，x2＝3－33，
∴所求的点为P1(3＋33，23)，P2(3－33，23)．。