常微分方程中几种非线性方程解法1
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3.4.5 二阶非线性方程 或 型9
四、结束语10
参考文献10
致谢11
一、引 言
在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法，从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质。
3.2 首次积分法4
3.3 常数变易法5
3.3.1 引用定理3.15
3.3.2 形如 型的方程6
3.3.3 形如 型的方程6
3.3.4 形如 型的方程7
3.4 可化为线性方程法7
3.4.1 通过变换方程化为线性方程的方程7
3.4.2 通过求导运算化为线性的方程8
3.4.3 伯努利方程8
3.4.4 黎卡提方程8
再积分一次得：
所以方程的通解为：
若不便从 方程中解出 时，有时可以写成参数方程
也即 ，此时由 得 ，最后的通解的参数
表示为 .
例3.2求 的通解。
解此方程无法解出 ，引入参数 ,令 ,则 ，所以 所以 ，
又 ，再积分得 ,故得参数方程的通解为：
3.1.2 形如 型的方程
这类方程的特点是不显含自变量 。解法是令 ,且将 取作自变量，则有 ，
（注：对于 ，令 ，可以将方程化为不显含未知函数的 ，再令 ，即可以降低一阶。还有两种特殊观点下的（1-1）形的齐次型，可参阅文献[5]，见习题。）
例3.4求方程 的解。
解此方程不显含 ，最低阶导数为 ，令 ，代入方程得 ，再令 ，代入上式整理得 ，积分得 ，即得 ，或 ，所以 。所以原方程的解：
3.2 首次积分法
作者签名： 指导教师签名：
日期：日期：
杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单
姓名
职称
单位
备注
主任（组长）
摘 要
非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。
一般的 阶微分方程具有形式
， (1源自文库1)
如果方程（1-1）的左端为 及 的一次有理整式，则称（1-1）为 线性阶微分方程。一般 阶微分方程具有形式 ，这里 是 的已知函数。
2.2 非线性微分方程
不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程。
例如： 是一阶非线性微分方程。 ， 等为高阶非线性微分方程[1]。
作者签名：日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
……
将以上各式代入原方程，得到 对 的 阶方程：
例3.3求方程 的解。
解此方程为不显含自变量 ，令 ，则
，代入方程得 ，则得 ，或 。前者对应解出 ；后者对应方程解得 ，对两边积
分得 ，即 ，再积分得
因此原方程的解是：
及
3.1.3 形如 型的方程
例如： 型的方程，此类方程的特点是不显含未知数 。解法是令 ，则得 ，故原方程变为 ，设其通解为 ，若 的原函数为 ，则原方程的通解为:
二、线性微分方程分与非线性微分方程的区别
2.1 线性微分方程
在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或者两个以上的微分方程为偏微分方程。 如： 是常微分方程， 是未知函数， 是自变量。 是偏微分方程， 是未知函数， 、 是自变量。本文将对常微分方程作讨论，以下统称微分方程。
2015年度本科生毕业论文（设计）
常微分方程中几种非线性方程的解法
教 学 系：数学学院
专 业：数学与应用数学
年 级：2011级
姓 名：杨艺芳
学 号：253
导师及职称：刘常福 教授
2015年5月
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
三、 非线性微分方程的解法
3.1 利用初等积分与引入新变量法[5]
3.1.1 形如 型的方程分两种情形
若可以解出 ，写为 ，则通过 次积分得通解
或
例如： 型的方程，由上述思想可得：对 两端积分，有： ，再积分一次，得： ，所以得方程的通解为：
例3.1求二阶非线性微分方程 的通解。
解依据题意，将原方程两端积分得：
首次积分法。对于正规形的或称典范的（ 阶）微分方程组，只要满足解的存在性条件，则它的首次积分是存在的，若求得它的一个首次积分，则可以将它降低一阶，即化为一个 个方程的求解问题：若能获得它的 个函数无关的首次积分，则可以将它降低 阶，当 时，就相当于得到了它的通解。具体的求法。是找“可积组合”，即将原方程组中一部分或者全部方程进行重新组合，以获得可积的一阶方程，又是先把原方程写成对称形式，再利用熟知的有关比例的性质，使得比较容易找出“可积组合”来。首次积分法能够将高阶方程不断降阶为低阶的方程，求出低阶方程，从而就可以求出高阶方程的解[2]。
关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解
英文
目 录
一、引言1
二、线性微分方程与非线性微分方程的区别1
2.1线性微分方程1
2.2 非线性微分方程1
三、非线性微分方程的解法2
3.1利用初等积分与引入新变量法2
3.1.1形如 型的方程分的两种情形2
3.1.2 形如 型的方程3
3.1.3 形如 型的方程4
四、结束语10
参考文献10
致谢11
一、引 言
在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法，从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质。
3.2 首次积分法4
3.3 常数变易法5
3.3.1 引用定理3.15
3.3.2 形如 型的方程6
3.3.3 形如 型的方程6
3.3.4 形如 型的方程7
3.4 可化为线性方程法7
3.4.1 通过变换方程化为线性方程的方程7
3.4.2 通过求导运算化为线性的方程8
3.4.3 伯努利方程8
3.4.4 黎卡提方程8
再积分一次得：
所以方程的通解为：
若不便从 方程中解出 时，有时可以写成参数方程
也即 ，此时由 得 ，最后的通解的参数
表示为 .
例3.2求 的通解。
解此方程无法解出 ，引入参数 ,令 ,则 ，所以 所以 ，
又 ，再积分得 ,故得参数方程的通解为：
3.1.2 形如 型的方程
这类方程的特点是不显含自变量 。解法是令 ,且将 取作自变量，则有 ，
（注：对于 ，令 ，可以将方程化为不显含未知函数的 ，再令 ，即可以降低一阶。还有两种特殊观点下的（1-1）形的齐次型，可参阅文献[5]，见习题。）
例3.4求方程 的解。
解此方程不显含 ，最低阶导数为 ，令 ，代入方程得 ，再令 ，代入上式整理得 ，积分得 ，即得 ，或 ，所以 。所以原方程的解：
3.2 首次积分法
作者签名： 指导教师签名：
日期：日期：
杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单
姓名
职称
单位
备注
主任（组长）
摘 要
非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。
一般的 阶微分方程具有形式
， (1源自文库1)
如果方程（1-1）的左端为 及 的一次有理整式，则称（1-1）为 线性阶微分方程。一般 阶微分方程具有形式 ，这里 是 的已知函数。
2.2 非线性微分方程
不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程。
例如： 是一阶非线性微分方程。 ， 等为高阶非线性微分方程[1]。
作者签名：日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
……
将以上各式代入原方程，得到 对 的 阶方程：
例3.3求方程 的解。
解此方程为不显含自变量 ，令 ，则
，代入方程得 ，则得 ，或 。前者对应解出 ；后者对应方程解得 ，对两边积
分得 ，即 ，再积分得
因此原方程的解是：
及
3.1.3 形如 型的方程
例如： 型的方程，此类方程的特点是不显含未知数 。解法是令 ，则得 ，故原方程变为 ，设其通解为 ，若 的原函数为 ，则原方程的通解为:
二、线性微分方程分与非线性微分方程的区别
2.1 线性微分方程
在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或者两个以上的微分方程为偏微分方程。 如： 是常微分方程， 是未知函数， 是自变量。 是偏微分方程， 是未知函数， 、 是自变量。本文将对常微分方程作讨论，以下统称微分方程。
2015年度本科生毕业论文（设计）
常微分方程中几种非线性方程的解法
教 学 系：数学学院
专 业：数学与应用数学
年 级：2011级
姓 名：杨艺芳
学 号：253
导师及职称：刘常福 教授
2015年5月
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
三、 非线性微分方程的解法
3.1 利用初等积分与引入新变量法[5]
3.1.1 形如 型的方程分两种情形
若可以解出 ，写为 ，则通过 次积分得通解
或
例如： 型的方程，由上述思想可得：对 两端积分，有： ，再积分一次，得： ，所以得方程的通解为：
例3.1求二阶非线性微分方程 的通解。
解依据题意，将原方程两端积分得：
首次积分法。对于正规形的或称典范的（ 阶）微分方程组，只要满足解的存在性条件，则它的首次积分是存在的，若求得它的一个首次积分，则可以将它降低一阶，即化为一个 个方程的求解问题：若能获得它的 个函数无关的首次积分，则可以将它降低 阶，当 时，就相当于得到了它的通解。具体的求法。是找“可积组合”，即将原方程组中一部分或者全部方程进行重新组合，以获得可积的一阶方程，又是先把原方程写成对称形式，再利用熟知的有关比例的性质，使得比较容易找出“可积组合”来。首次积分法能够将高阶方程不断降阶为低阶的方程，求出低阶方程，从而就可以求出高阶方程的解[2]。
关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解
英文
目 录
一、引言1
二、线性微分方程与非线性微分方程的区别1
2.1线性微分方程1
2.2 非线性微分方程1
三、非线性微分方程的解法2
3.1利用初等积分与引入新变量法2
3.1.1形如 型的方程分的两种情形2
3.1.2 形如 型的方程3
3.1.3 形如 型的方程4