初中数学-12345模型

初中数学——模型12345

数学解题五境界

第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．

第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它

的合理解释．

第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．

第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．

第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个

错误，他也能够很快地纠正纠偏．

刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．

一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方

的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材

的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数

学大格局，适合自己的就是最好的！

版块一引入问题

1．如图1-1，在3×3 的网格中标出了∠1 和∠2，则∠1＋∠2＝

图1-1 图1-2

2．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是BC 边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源

一般化结论：若α+β= 45︒则有tanα=a - 1

，

a + 1

tanβ=

1

（a>1），

a

当 a =3

时，则得到tanα=

2

tan β=

1

（了解）2 3 5

当a=2 时，则得到tanα=1

tan β=

1

（重要）2 3

当a =5

时，则得到tanα=

2

tan β=

3

（了解）;

2 5 7

当a = 4 时，则得到tanα=1

tan β=

3

（次重要）4 5

5

5

10

【例 1】（济南市中考题）如图

2-1， ∠AOB 是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB 的值是 ．

图 2-1

【例 2】（2015 湖北十堰）如图 2-2

，正方形 ABCD

的边长为 6，点 E ，F 分别在 AB ，AD 上，若 CE = 3 ，

且∠ECF =45°，则 CF 的长为（ ）

A ． 2

B ． 3

C ．

5

10

3

图 2-2

倍角与半角构造

D ．

10 5

3

当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“ 顶角⇔ 底角⇔ 顶角”解题依据“ 90︒ 1 － 顶角＝底角”． 2

如图，在等腰三角形 ABC 中，AB =AC ． ⑴若 tan ∠BCA = 2 ，则 tan ∠BAC =

．⑵若 tan ∠BAC = 4

，则 tan ∠ABC =

．

3

【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN．若tan ∠AEN =

1

，DC

＋CE

＝10

．

3

⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．

图2-3

【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为，对角线AC、BD 交于点O，点E 在BC 上，且CE=2BE，过B 点作BF ⊥AE 于点F，连接OF，则线段OF 的长度为。

图2-4

【例5】（2011•武汉）如图2-5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB，垂足为点C，交⊙O 于点B，延长BO 与⊙O 交于点D，与PA 的延长线交于点E．

⑴求证：PB 为⊙O 的切线；

⑵若tan∠ABE=，求sin∠E．

图2-5

【例6】如图2-6，正方形ABCD 中，点P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE,过C 作CF⊥DE 交DE 延长线于点F，若CF=2，则DF= ．

图2-6

10

（2002•盐城）已知：如图 2-7，在直角三角形 ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F ，若∠FGE ＝45°． ⑴求证：BD •BC ＝BG •BE ； ⑵求证：AG ⊥BE ； ⑶若 E 为 AC 的中点，求 EF ：FD 的值．

【例 7】（江苏省竞赛题）如图 2-8，等腰Rt △ABC 中， ∠C = 90︒ ， D 为 BC 中点，将△ABC 折叠，使

A 点与 D 点重合，若 EF 为折痕，则sin ∠BED

的值为

．

图 2-8

【例 8】（全国初中数学联赛试题）如图 2-9，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的 点，且∠NMB = ∠MBC ，则有tan ∠ABM 图 2-9

= ．

【例

9

】

（天津市竞赛试题）如图

2-10，在梯形 ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是 CD

上一点，∠ABE ＝450，则tan ∠AEB 的值等于（ ）

A ．

3

B ．2

C ．

5

D ．3

2 2

图 2-10