初中数学-12345模型

【研修团队】纪博士数数12345 于特讲题

主讲：纪东旭于新华

整理：郑梦前

郑梦前、顾永清、焦建林、黄萍

学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！（林福凯）

数学解题五境界

第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．

第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它

的合理解释．

第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．

第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．

第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个

错误，他也能够很快地纠正纠偏．

刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．

一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方 的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材 的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数

学大格局，适合自己的就是最好的！

版块一 引入问题

1． 如图 1-1，在 3×3 的网格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝

图 1-1 图 1-2

2． 如图 1-2，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是 BC 边上的高，BD ＝3，DC ＝2，则 AD 的长为 ． 版块二 “1 2 3”+“4 5”的来源

一般化结论：若α+ β= 45? 则有 tan α= a - 1 ， a + 1 tan β= 1 （ a > 1），

a

当 a = 3 时，则得到tan α= 2 tan β= 1 （了解）

2 3 5

当 a =2 时，则得到 tan α= 1 tan β= 1 （重要）

2 3

当 a = 5 时，则得到tan α= 2 tan β= 3 （了解）;

2 5 7

当 a = 4 时，则得到tan α= 1 tan β= 3 （次重要）

4 5

5 5

10

【例 1】（济南市中考题）如图 2-1， ∠AOB 是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB 的值是 ．

图 2-1

【例 2】（2015 湖北十堰）如图 2-2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E ，F 分别在 AB ，AD 上，若 CE = 3 ，

且∠ECF =45°，则 CF 的长为（ ）

A ． 2

B ． 3

C ． 5

10 3

图 2-2

倍角与半角构造 D ． 10

5

3

当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“ 顶角? 底角? 顶角”解题依据“ 90? 1 － 顶角＝底角”． 2

如图，在等腰三角形 ABC 中，AB =AC ．

⑴若 tan ∠BCA = 2 ，则 tan ∠BAC = ．⑵若 tan ∠BAC = 4 ，则 tan ∠ABC =

．

3

【例 3】如图 2-3，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点．将正方形折叠起来，使点 A 和点 E 重合，

折痕为 MN ．若tan ∠AEN = 1

，DC ＋CE ＝10． 3

⑴求△ANE 的面积； ⑵求sin ∠ENB 的值．

图 2-3 【例 4】如图 2-4，已知正方形 ABCD 的边长为

，对角线 AC 、BD 交于点 O ，点 E 在 BC 上，且 CE=2BE ，

过 B 点作 BF ⊥ AE 于点 F ，连接 OF ，则线段 OF 的长度为 。

图 2-4

【例 5】（2011?武汉）如图 2-5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB ，垂足为点 C ，

交⊙O 于点 B ，延长 BO 与⊙O 交于点 D ，与 PA 的延长线交于点 E ．

⑴求证：PB 为⊙O 的切线；

⑵若 tan ∠ABE =，求 sin ∠E ．

图 2-5

【例 6】如图 2-6，正方形 ABCD 中，点 P 是 BC 的中点，把△PAB 沿着 PA 翻折得到△PAE ,过 C 作

CF ⊥DE 交 DE 延长线于点 F ，若 CF =2，则 DF = ．

图 2-

6

10

（2002?盐城）已知：如图 2-7，在直角三角形 ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F ，若∠FGE ＝45°．

⑴求证：BD ?BC ＝BG ?BE ； ⑵求证：AG ⊥BE ； ⑶若 E 为 AC 的中点，求 EF ：FD 的值．

【例 7】（江苏省竞赛题）如图 2-8，等腰Rt △ABC 中， ∠C = 90? ， D 为 BC 中点，将△ABC 折叠，使

A 点与 D 点重合，若 EF 为折痕，则sin ∠BED

的值为 ．

图 2-8

【例 8】（全国初中数学联赛试题）如图 2-9，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的

点，且∠NMB =

∠MBC ，则有tan ∠ABM

图 2-9

= ．

【例 9】（天津市竞赛试题）如图 2-10，在梯形 ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是 CD

上一点，∠ABE ＝450，则tan ∠AEB 的值等于（ ）

A ． 3

B ．2

C ． 5

D ．

3

2 2

图 2-10