矢量分析与场论习题
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
矢量期末复习题.docx
矢量分析与场论复习题注意题目中出现的e x i,e y T j,e z1.求下列温度场的等温线1)T = xy, 2) T= J ,x + y解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得C(1)xy = C f y =一； (2) x2 + y2 = Cx '1.求下列标量场的等值面1)u = ------ ! ------ , 2) w = z-yjx2 + y2 , 3) u = ln(x2+ y2 +z2)ax + by + cz解据题意可得(1)ax + by -\-cz=k(2)z _ J* +〉，2 = c , x2 + y2 = (z -c)2(3)ln(x2 + y2 +z2)=c , x2 +y2 +z2 =e c, x2 +>j2+ z2 =k~2.求矢量场A = xe s +玖+ 2理经过点M(1.0, 2.0,3.0)的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得—-x y 2z解微分方程，可得y = c【x, z = c2x2将点M(L0, 2.0, 3.0)的坐标代入，可得q=2, c2 =3 即y = 2x, z = 3x2为所求矢量线方程。
3.求矢量场A = y2xe x +x2Xv + )界阻的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得芈=孚=半y x x y y z解微分方程，可得x2-r =c,, z = c2x为所求矢量线方程。
4.设u(M) = 3尢2-2)* + 2兀z ,求：1)讥M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量l = yxe x+ue y+xye:方向的方向导数,2)u(M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量Z = (6x + 2z)e x -2ze y + (2z-2y + 2x)e z 方向的方向导数。
2 2 解/ 的方向余弦为COS6Z = ;= ~^=,722 +32 +22V173 3 2 2COS B = { -------- = ~^= , COS7 = { ------- = —^=；A/22+32+22V17 722 +32 +22V175. 求标量场《 =小十)2 + "在点M o (l.O, 2.0, 3.0)处沿其矢径方向的方向 导数。
答案 矢量分析与场论(A卷)
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气，06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题：在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题：把正确答案填到每道题的前的括号中。
（每题3分, 共30分)（1）0 （2） k j i 4128++ （3）k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-（4）k a 2 π- （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 （6）3100 （7）)723(621k j i ++ （8）0 （9）0（10）0三、计算题（每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解：△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场，则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中， dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题（每题10分, 共30分)1.证明：k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以，xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''=''；；---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以，矢量场A为调和场。
矢量分析与场论习题
矢量基本概念1. 矢性函数的导数：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的导数 p6 (2.3)()()()()x y z d AA t A t i A t j A t k dt''''==++ 几何意义：其方向为t 增大的矢端曲线切线方向 p82. 矢性函数的微分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的微分 p8 ( 2.5)()()()()x y z x y z d A A t dt A t idt A t jdt A t kdtdA i dA j dA k''''==++=++几何意义：同矢端曲线相切，dt>0时与导矢方向一致，dt<0时与导矢方向相反3. 矢性函数对其矢段曲线弧长的导数d rds：单位切向矢量，指向s 增大一方 p10弧长微分ds =矢性函数微分的模等于其矢段曲线弧长微分的绝对值 dr ds = p9 (2.8) 通常定义弧长s 增大的方向与t 增大的方向一致(默认的矢段曲线正向)4. 矢性函数的积分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的积分 注意分部积分公式p17 (3.9)5.圆函数：，相互垂直矢量复习题1.ds d dt dt=r d d ds ds dt dt dt dt===r r 2.矢性函数()k j i r 4sin 3cos 3,,++=t t z y x 对弧长s 的导数d d s=r？ p10例5d d dt d dtds ds dt d dt==r r r r d dt ti t j k 3sin 3cos 4=-++r ，d dt 5=r 3. ()t A 与d d tA互相垂直，则=A ? p13例7习题1.1 下列参数方程对应的矢量方程(矢径)？（1）a t b cos sint =+r i j ，椭圆x y a b 22221+=（2）4sint 3sint 4cost =++r i j k 椭圆 4x-3y=0平面 , x z 229+=圆柱习题1.2 矢量的叠加 ， OM OC CM =+习题1.6 计算切向矢量(d r dt)习题1.7曲线r 的切向矢量应与平面法向矢量垂直dri t j t k dtτ==++223，n i j k =++2 n t t τ•=++=21430得到t =-1，t =-13，因此x=.. y=.. z=..习题1.8通过两个矢量的点乘(投影)结果判断它们的夹角 螺旋线的切向矢量sin cos ()dra i a j bk ae bk d τθθθθ==-++=+1 模a b τ=+2τ向z 轴的投影cos k b ττα•==场论基本概念数量场(标量场)等值面或（等值线）互不相交，疏密程度表明了数量场的变化速度 如何求等值面方程？矢量场矢量线：线上某点的矢量A 与矢量线相切 矢量面，矢量管矢量线与矢段曲线的区别如何求矢量线方程？矢量场x y z A A i A j A k =++,其矢量线上任意点M 的矢径为r xi y j zk =++，其微分dr dxi dy j dzk =++，d r 与矢量线相切，即d r 与M 点的矢量A 方向相同y x zA A A dx dy dz== 矢量线微分方程p24 (1.5) 任意选择其中两个方程构成方程组，通过不定积分进行求解（结果中含有常数），再将M 点xyz 坐标代入，确定常数。
矢量分析与场论(定理一及例题)
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y zdu即表来自式ur Ar dl
电动力学答案
r 1 1 a 3(a r )r ( a r ) 3 3 (a r ) 3 3 r r r r r5 （2） （3） [(a r ) r ] r ( a r ) (a r ) r 4a r ( a )
（4） [(a r ) r ] (a r ) r (a r ) r a r
A B 3e x e y 解 （1） A C 3e x 2e y 3e z （2）
ex
ey Ay By
ez Bz
ex 1
ey 0
ez 1
A B C
（3） （4）
Ax Bx
Az C 2
1 1 ( e x e y 2e z ) 0
(uv )
1 u 1 v 1 u 1 v 1 u 1 v ve 1 ue 1 ve 2 ue 2 ve 3 ue 3 h1 q1 h1 q1 h2 q 2 h2 q 2 h3 q3 h3 q3
（2）
1 v 1 u 1 v 1 v 1 u 1 u u e e e v e e e 1 2 3 1 2 3 h q h q h q h q h q h q 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 1 1 uv vu (h3 A3 ) (h2 u ) (h2 A2 ) 1 (h3u ) (uA) A3 u A2 u e 1 h2 h3 q 2 q 2 q 3 q3 (h3u ) (h3 A3 ) (h1 A1 ) 1 (h1u ) A1 u A3 u e 2 h1h3 q3 q3 q1 q1 (h2 A2 ) (h1u ) (h1 A1 ) 1 (h2 u ) A2 u A1 u e 3 h1h2 q1 q1 q 2 q 2
矢量分析报告与场论课后问题详解
矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
矢量分析与场论B卷答案2012
（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批：---------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线） 《矢量分析与场论》期末考查B 卷试题答案 一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1、矢量的散度 目的：研究闭合面内每一点附近的通量。
定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合面，所围体积为∆v ，若垂直穿过闭合面的通量与∆ v 之比的极限存在，则该极限称为矢量场A 在Q 点的散度，即 v d div S v ∆⋅=⎰⎰→∆S A A 0lim 物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。
2、矢量的环流 定义：矢量A 沿某一有向闭合曲线 l 的线积分为A 沿l 的环流，即 ⎰⋅l d l A 物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。
3、亥姆霍兹定理： 位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
4、无旋场 旋度为零的矢量场叫做无旋场。
标量函数的梯度是无旋场，如静电场。
无旋场的散度不能处处为零。
1、求数量场 z y z x u 2322+= 在点)1,0,2(-M 处沿→→→→+-=k z j xy i x l 4232方向的方向导数 （本小题10分） 解：4531200544cos cos cos =⋅+⋅+⋅-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u 2、求矢量场→→→→++=k z j y i x A 333在点)1,0,1(-M 处的散度。
大学_矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案下载
矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载本书各章包括：矢量分析，场论，哈密顿算子V，梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式。
此外，考虑到某些学科领域的需要，作为本书的附录，增讲了若干正交曲线坐标系。
《矢量分析与场论(第3版)》可作为一般工科院校本课程的教材使用。
矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：图书信息第一章矢量分析第一节矢性函数1.矢性函数的概念2.矢端曲线3.矢性函数的极限和连续性第二节矢性函数的导数与微分1.矢性函数的导数2.导矢的几何意义3.矢性函数的微分4.矢性函数的导数公式5.导矢的物理意义6.拉格朗日中值定理第三节矢性函数的积分1.矢性函数的不定积分2.矢性函数的定积分习题1第二章场论第一节场1.场的概念2.数量场的等值面3.矢量场的矢量线4.平行平面场习题2第二节数量场的方向导数和梯度1.方向导数2.梯度习题3第三节矢量场的通量及散度1.通量2.散度3.平面矢量场的通量与散度习题4第四节矢量场的环量及旋度1.环量2.旋度习题5第五节几种重要的.矢量场1.有势场2.管形场3.调和场习题6第三章哈密顿算子▽习题7第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式第一节曲线坐标的概念第二节正交曲线坐标系中的弧微分1.坐标曲线的弧微分2.一般曲线的弧微分3.在正交曲线坐标系中矢量e1，e2，e3与矢量i，j，k之间的关系第三节在正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式1.梯度的表示式2.散度的表示式3.调和量的表示式4.旋度的表示式5.梯度、散度、旋度与调和量在柱面坐标系和球面坐标系中的表示式6.正交曲线坐标系中矢量场A的广义雅可比矩阵第四节正交曲线坐标系中的势函数和矢势量1.势函数2.全微分求积3.保守场中的曲线积分4.矢势量习题8附录若干正交曲线坐标系1.椭圆柱面坐标系2.抛物柱面坐标系3.双极坐标系4.长球面坐标系5.扁球面坐标系6.旋转抛物面坐标系7.圆环面坐标系8.双球面坐标系9.椭球面坐标系10.锥面坐标系11.抛物面坐标系习题9部分习题参考答案矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：内容简介出版社: 高等教育出版社; 第4版 (5月1日)平装: 170页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7040348489, 9787040348484条形码: 9787040348484商品尺寸: 19.6 x 13.6 x 0.8 cm商品重量: 159 g品牌: 高等教育出版社ASIN: B0084XU730矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：目录点击此处下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案。
矢量分析与场论课后习题及答案..
矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d 2d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
电磁场理论典型习题
∂u ∂l
=
( 2 , 3,1)
∂u ∂x
cos α +
( 2 , 3,1)
∂u ∂y
cos β +
( 2 , 3,1)
∂u ∂z
cos γ
( 2 , 3,1)
= 2 xyz ( 2,3,1) cos α + x 2 z
C
1.27 现有三个矢量函数
v v v v A = er sin θ cos ϕ + eθ cos θ cos ϕ − eϕ sin ϕ v v 2 v v B = eρ z sin ϕ + eϕ z 2 cos ϕ + ez 2 ρz 2 sin ϕ v v v v C = ex (3 y 2 − 2 x) + e y x 2 + ez 2 z
v 25 25 | E | = = 解：(1) r 2 x 2 + y 2 + z 2 ，将 x=-3, y=4, z=-5 代入得
v 25 25 1 E = = = | | 2 2 2 在点(-3, 4, -5)处的 (−3) + 4 + (−5) 50 2
v v v v e + + x e y e v r x y zz er = = r r v v 25 v v 25 z 25 z E z = E ⋅ ez = 2 er ⋅ ez = 3 = 2 r ( x + y 2 + z 2 )3 2 r 25(−5) 1 将坐标代入得 E z = 503 2 = − 2 2 v v v v v v v v + + − + 2 2 e x e y e z e e e 2x − 2 y + z E B y z x y z v ⋅ v = x ⋅ = = cos α (2) | E | | B | 9 9r r
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∂Dy
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r r ∂Dz ∂Dy r ∂Dx ∂Dz r ∂Dy ∂Dx Method B: ∇ × D = e − − + ey − + ez x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y r
例题
1. 设一标量函数ϕ ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试 求： (1) 该函数ϕ 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量。 r r r r o o (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el = ex cos 60 + e y cos 45 + ez cos 60o 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 r r r r ∂ r ∂ r ∂ 2 2 ∇ϕ = [(ex + ey + ez )( x + y − z )] = ex 2 x + e y 2 y − ez ∂x ∂y ∂z r r r P点的梯度 ∇ϕ P = e x 2 + e y 2 − e z | ∇ϕ P |= 3 r r r r e r 2 r 2 r 1 el = x 2 + e y 2 − ez = e + e y − ez x 3 3 3 3
4 已知
r r R， D= 3 R
r r r r R = ( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z
r 求： D 的散度（ R ≠ 0 ） 。 r ∂ x − x' ∂ y − y' ∂ z − z' ∇⋅D = ( 3 )+ ( ) + ( 3 ) 3 ∂x R ∂y R ∂z R 1 1 ∂ 1 1 ∂ 1 ∂ 1 = 3 + ( x − x' ) ( 3) + 3 + + ( z − z ' ) ( 3) ( 3) 3 R R + ( y − y') ∂x R R ∂z R ∂y R 1 3( x − x ' ) 2 ∂ 1 = 3 − 5 ( 3 ) = − 3R −4 ∂ ( R ) = −3R −4 x − x ' R R ∂x R R ∂x 2 1 3( y − y ' ) + 3 − ∂ 1 y − y' R R5 ( 3 ) = −3 R5 ∂y R 2 1 3( z − z ' ) + 3 − R R5 ∂ 1 z − z' ( 3 ) = −3 3 3 =0 ∂z R R5 = 3 − 3 R R
R1 = r1 R2 = r2 r r R1 ⋅ R2 = x x + y y + z z = r1r2 cos ϕ1 cos ϕ 2 sin θ1 sin θ 2 + 1 2 1 2 1 2 r1r2 sin ϕ1 sin ϕ 2 sin θ1 sin θ 2 + r1r2 cos θ1 cos θ 2 = r1r2 cos( ϕ − ϕ ) sin θ1 sin θ 2 + r1r2 cos θ1 cos θ 2 r 1 r 2 R1 • R2 cos γ = = cos(ϕ1 − ϕ 2 ) sin θ1 sin θ 2 + cos θ1 cos θ 2 R1 R2
∂Dy
( x − x' )( y − y' ) ∂Dx = = −3 ∂x ∂y R5
r ∇× D = 0
6 已知
O为坐标原点，P为r>a处的一点，l为由O指向P的连线，求
r r ρr E1 = er r<a 3ε 0 r r ρa3 E2 = er r<a 2 3ε 0 r
r r r r dl = er dr + eθ rdθ + eϕ r sinθdϕ r r dl = er dr r P r r r r a r r ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ er dr = ∫ E1 ⋅ er dr +
O 0 0
a 0
∫
P
O
r r E ⋅ dl
P
=∫
3 2 3 ρr r ρa ρ a ρ a 1 1 dr + dr = − ( − ) 2 ∫ a 3ε 0 3ε 0 r 6ε 0 3ε 0 r a
∫
0
a
r r E2 ⋅ er dr
ρa 2 ρa3 = − 2ε 0 3ε 0 r
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r 1 R ∇( ) = − 3 R R r 1 R ∇' ( ) = 3 R R 1 1 ∇( ) = −∇' ( ) R R
r R r ∇R = = eR R ∇R = −∇' R
r r R ∇ ' R = − = − eR R
P
ÿÿ
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r r r 2 已知 E = ex E0 cos(ωt − kz + ϕ0 ) ，求 ∇ × E r r ∂Ez ∂E y r ∂Ex ∂Ez r ∂Ey ∂Ex − ∇ × E = ex ( − ) + ey ( − ) + ez ( ) ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x r ∂Ex r = −ey = −ey kE0 sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂z r r r ∂B 若∇ × E = − ，求B ∂t r r r ∂B = −∇ × E = ey kE0 sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂t r r ∂B r B=∫ dt = ey kE0 ∫ sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂t
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r r r r o o o e = e cos 60 + e cos 45 + e cos 60 (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 l x y z
方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。
r k = −ey E0 cos(ωt − kz + ϕ0 ) + C ω
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1 1 ( 1 ) ∇ R ( 2 ) ∇ ' R ( 3 ) ∇ ( ) ( 4 ) ∇ ' ( ) P’点之间的距离，R≠0。求： R R r r r r r ∂ r ∂ r ∂ r r r r = xex + ye y + zez ∇ = e + ey + ez x R = r − r ' ∂z ∂x ∂y r r r r r ' = x ' e x + y ' e y + z ' ez r ∂ r ∂ r ∂ ∇' = ex + ey + ez r r r r ∂x' ∂y ' r ∂z ' R = ( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z r r R r R r ∇R = = eR ∇ ' R = − = − eR | R |= ( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 R R 1 ∂ R 2 2 2 2 r ∂R r ∂R r ∂R ∂ x − x + y − y + z − z [( ' ) ( ' ) ( ' ) ] = ∇R = e x + ey + ez ∂x' ∂x ∂y ∂z ∂x' 1 x'− x x − x' ∂R ∂[( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 ] 2 = = − = R R ∂x ∂x 1 − ∂R y − y' ∂R z − z' = [( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 ] 2 ( x − x' ) =− =− ∂y ' R ∂R y − y ' ∂z ' R x − x' ∂ R z − z ' = = = ∂ y R R ∂z R
a
7. 在圆柱坐标系中，一点的位置由 定出，求该点在 （1）直角坐标系中；（2）球坐标系中的坐标。
(4,
2π ,3) 3
2π ρ = 4, ϕ = ,z =3 3 x = ρ cos ϕ = 4 cos 2π = −2 3 y = ρ cos ϕ = 4 sin 2π = 2 3 3 z =3 (2,2 3 ,3) （2）r = x 2 + y 2 + z 2 = 5 z 3 θ = arccos = arccos r 5 ρ 4 = arctan = arctan z 3 = 0.9273(弧度） = 53.10