历届江苏高中数学竞赛试题及答案
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(n∈N*) .
(an 2) 2 an 2 解：由题意知 . 2Sn ， 即 Sn 8 2
由 a1 S1 得 又由 ① 式得 ……… ①
a1 2 2a1 , 从而 a1 2 . 2
Sn1 (an1 2)2 (n 2) , 8
(an 2) 2 (an 1 2) 2 (n 2) , 8 8
2
种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若
7
A B
前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 30 21 种铺法． 故 选 D．
二．填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转
得向量 OB , 且 2OA OB (7,9) , 则 2
3 VB1 E F G ． 8
11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 150 个.
解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 C5 (C4 C4 C4 ) 70 个；
1 1 2 3
若 1 只出现 2 次，有 C5 (C3 C3 ) 60 个；
A. 308 个
B. 30 257 个
C. 30 207 个
D. 30 217 个
答: [ D ] 解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (6 1) 种铺法；若不 铺 B 色， 则有 (6 2)
x 3 10 ．所以，
当 a 3 10 时,
M
N ．
………… ④
因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1 6 a 3 10 ，即 a [1 6, 3 10] 时,
M
N ．故填 [1 6,3 10] .
三．解答题 (第一题、第二题各 15 分；第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM (用 表示). , 试求 N , 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线, 设 BN MN 证明：在 BCN 中，由 Menelaus 定理得 A BM NA CD 1． MN AC DB 因为 BD DC ，所以 N BM AC ． ……………… 6 分 M MN AN
D. y cos x 4
答: [ B ]
解： y sin[( x
4
) ], 即 4
y cos x . 故选 B．
2. 如果二次方程 x2 px q 0 ( p, q N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程
有
A. 5 个
2
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
3. 设 a b 0 , 那么 a 2 A. 2 B. 3
1 的最小值是 b( a b )
C. 4
D. 5
答: [ C ]
解：由 a b 0 , 可知
a2 a 1 0 b(a b) (b ) 2 a 2 , 4 2 4
所以， a
2
1 4 a 2 2 4 . 故选 C． b( a b) a
B
由 ABN ACB ，知
ABN ∽ ACB ，则 AB AC CB ． AN AB BN
2
D
C
所以，
AB AC CB ， 即 AN AB BN
2
AC BC ． AN BN
2
…………………… 12 分
BC BM BC 因此， ， 故 ． 又 BN MN BN
分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 EFG 的体积是 VB1－EFG
3 = 8
.
解：在 D1 A1 的延长线上取一点 H ，使 A1 H
B1FG ． 故 VB1 EFG VE B1FG VH B1FG
距离为 1 ． 故填
1 . 易证， HE || B1G ， HE || 平面 4 9 VG B1FH ．而 SB1FH ，G 到平面 B1FH 的 8
一．选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数 y f ( x) 的图像按向量 a ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y sin( x ) 2 . 那么 y f ( x) 的解析式为 4
A. y sin x
B. y cos x
C. y sin x 2
2
所以 n 2 时命题成立. 当 n 3 时，由 x1 x2 x3 0 ，得
…………………… 3 分
x1 x2 x2 x3 x3 x1
2 2 2 2 ( x1 x2 x3 )2 ( x12 x2 x3 ) ( x12 x2 x3 ) 0. 2 2
……… ②
于是有
an Sn Sn1
整理得 (an an1 )(an an1 4) 0 . 因 an 0, an1 0 , 故
an an1 4 (n 2), a1 2 ．
所以数列 {an } 是以 2 为首项、 其通项公式为 an 2 4(n 1) ， 4 为公差的等差数列， 即 an 4n 2 . 故填
an 4 n 2 (n N*)．
2 . 2
9. 函数 y | cos x | | cos 2 x | ( x R) 的最小值是
解：令 t | cos x |[0,1] ，则 y t | 2t 1| ．
2
当
1 9 2 t 1 时， y 2t 2 t 1 2(t ) 2 ，得 4 8 2
BM 2 ． MN
…………………… 15 分
14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,
当
, xn ,
xi 0 时, 总有
i 1
n
x x
i 1
n
i i 1
0 ( 其中 xn1 x1 ).
解： 当 n 2 时，由 x1 x2 0 ，得 x1 x2 x2 x1 2 x1 0 ．
答: [ C ]
解：由 p 4q 0, q 0 , 知方程的根为一正一负． 设 f ( x) x px q ，则 f (3) 3 3 p q 0 , 即 3 p q 9 .
2 2
由于 p, q N*， 所以 p 1, q 5 或 p 2, q 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意． 故选 C．
4. 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面
A. 不存在
B. 只有 1 个
C. 恰有 4 个
D. 有无数多个
答: [ D ]
P
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 . 作与 平行的平面
2 1 2
若 1 只出现 3 次，有 C5 C2 20 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150
3 1
个．
12. 已知平面上两个点集 M {( x, y) | | x y 1| 2( x 2 y 2 ), x, y R},
N {( x, y) | | x a | | y 1| 1, x, y R}. 若 M
N , 则 a 的取值范围是
[1－ 6，3+ 10] ．
解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x y 1 0 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集， N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其 内部的点集(如图)． 考察 M N 时, a 的取值范围: 令 y 1 , 代入方程
B. 2
C. 16
D. 48
答: [ C ]
解：数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C．
6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有
, 与四棱锥的各个侧面
A
A1 D
D1
B1
C1
相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样 的平面 有无数多个．故选 D．
C B
5. 设数列 {an } : a0 2, a1 16, an2 16an1 63an , n N*, 则 a2005 被
64 除的余数为
A. 0
n
………………
xn 0 , 则
9分
i
x
i 1
n
0.
但是,
x x
n 1
i i 1
1 0 ，故对于 n 5 命题不成立．
综上可知，使命题成立的自然数是 n 2, 3, 4 .
…………… 15 分
15. 设椭圆的方程为
x2 y 2 1 (a b 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2
即
23 m , 5 n 11 . 5
因此， OA (
23 11 11 23 , ), OB ( , ) . 5 5 5 5
故填
8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数
n , an 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= 4n－2
2 y 2； 2
当 0t
2 1 2 9 2 时， y 2t t 1 2(t ) ，得 2 4 8
2 9 y ． 2 8
又 y 可取到
2 2
, 故填
2 2
．源自文库
10. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 2, AA1 AD 1 , 点 E 、 F 、 G
y
3 2 1
| x y 1| 2( x 2 y 2 ) ,
-3
-2
-1
O
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
得 x 4 x 2 0 ，解出得 x 2 6 ． 所以，
2
当 a 2 6 1 1 6 时, 令 y 2 ，代入方程
M
N ．
………… ③
| x y 1| 2( x 2 y 2 ) , 得 x2 6 x 1 0 . 解出得
所以 n 3 时命题成立. 当 n 4 时，由 x1 x2 x3 x4 0 ，得
………………… 6 分
x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x1 ( x1 x3 )( x2 x4 ) ( x2 x4 )2 0 ．
所以 n 4 时命题成立． 当 n 5 时，令 x1 x2 1 ， x4 2 ， x3 x5
向量 OB （－
11 23 ， ） . 5 5
解：设 OA (m, n) , 则 OB (n, m) , 所以
2OA OB (2m n, 2n m) (7,9) .
2m n 7 , 解得 m 2n 9 .
( 11 23 ． , ) 5 5
x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.
(an 2) 2 an 2 解：由题意知 . 2Sn ， 即 Sn 8 2
由 a1 S1 得 又由 ① 式得 ……… ①
a1 2 2a1 , 从而 a1 2 . 2
Sn1 (an1 2)2 (n 2) , 8
(an 2) 2 (an 1 2) 2 (n 2) , 8 8
2
种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若
7
A B
前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 30 21 种铺法． 故 选 D．
二．填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转
得向量 OB , 且 2OA OB (7,9) , 则 2
3 VB1 E F G ． 8
11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 150 个.
解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 C5 (C4 C4 C4 ) 70 个；
1 1 2 3
若 1 只出现 2 次，有 C5 (C3 C3 ) 60 个；
A. 308 个
B. 30 257 个
C. 30 207 个
D. 30 217 个
答: [ D ] 解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (6 1) 种铺法；若不 铺 B 色， 则有 (6 2)
x 3 10 ．所以，
当 a 3 10 时,
M
N ．
………… ④
因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1 6 a 3 10 ，即 a [1 6, 3 10] 时,
M
N ．故填 [1 6,3 10] .
三．解答题 (第一题、第二题各 15 分；第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM (用 表示). , 试求 N , 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线, 设 BN MN 证明：在 BCN 中，由 Menelaus 定理得 A BM NA CD 1． MN AC DB 因为 BD DC ，所以 N BM AC ． ……………… 6 分 M MN AN
D. y cos x 4
答: [ B ]
解： y sin[( x
4
) ], 即 4
y cos x . 故选 B．
2. 如果二次方程 x2 px q 0 ( p, q N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程
有
A. 5 个
2
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
3. 设 a b 0 , 那么 a 2 A. 2 B. 3
1 的最小值是 b( a b )
C. 4
D. 5
答: [ C ]
解：由 a b 0 , 可知
a2 a 1 0 b(a b) (b ) 2 a 2 , 4 2 4
所以， a
2
1 4 a 2 2 4 . 故选 C． b( a b) a
B
由 ABN ACB ，知
ABN ∽ ACB ，则 AB AC CB ． AN AB BN
2
D
C
所以，
AB AC CB ， 即 AN AB BN
2
AC BC ． AN BN
2
…………………… 12 分
BC BM BC 因此， ， 故 ． 又 BN MN BN
分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 EFG 的体积是 VB1－EFG
3 = 8
.
解：在 D1 A1 的延长线上取一点 H ，使 A1 H
B1FG ． 故 VB1 EFG VE B1FG VH B1FG
距离为 1 ． 故填
1 . 易证， HE || B1G ， HE || 平面 4 9 VG B1FH ．而 SB1FH ，G 到平面 B1FH 的 8
一．选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数 y f ( x) 的图像按向量 a ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y sin( x ) 2 . 那么 y f ( x) 的解析式为 4
A. y sin x
B. y cos x
C. y sin x 2
2
所以 n 2 时命题成立. 当 n 3 时，由 x1 x2 x3 0 ，得
…………………… 3 分
x1 x2 x2 x3 x3 x1
2 2 2 2 ( x1 x2 x3 )2 ( x12 x2 x3 ) ( x12 x2 x3 ) 0. 2 2
……… ②
于是有
an Sn Sn1
整理得 (an an1 )(an an1 4) 0 . 因 an 0, an1 0 , 故
an an1 4 (n 2), a1 2 ．
所以数列 {an } 是以 2 为首项、 其通项公式为 an 2 4(n 1) ， 4 为公差的等差数列， 即 an 4n 2 . 故填
an 4 n 2 (n N*)．
2 . 2
9. 函数 y | cos x | | cos 2 x | ( x R) 的最小值是
解：令 t | cos x |[0,1] ，则 y t | 2t 1| ．
2
当
1 9 2 t 1 时， y 2t 2 t 1 2(t ) 2 ，得 4 8 2
BM 2 ． MN
…………………… 15 分
14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,
当
, xn ,
xi 0 时, 总有
i 1
n
x x
i 1
n
i i 1
0 ( 其中 xn1 x1 ).
解： 当 n 2 时，由 x1 x2 0 ，得 x1 x2 x2 x1 2 x1 0 ．
答: [ C ]
解：由 p 4q 0, q 0 , 知方程的根为一正一负． 设 f ( x) x px q ，则 f (3) 3 3 p q 0 , 即 3 p q 9 .
2 2
由于 p, q N*， 所以 p 1, q 5 或 p 2, q 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意． 故选 C．
4. 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面
A. 不存在
B. 只有 1 个
C. 恰有 4 个
D. 有无数多个
答: [ D ]
P
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 . 作与 平行的平面
2 1 2
若 1 只出现 3 次，有 C5 C2 20 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150
3 1
个．
12. 已知平面上两个点集 M {( x, y) | | x y 1| 2( x 2 y 2 ), x, y R},
N {( x, y) | | x a | | y 1| 1, x, y R}. 若 M
N , 则 a 的取值范围是
[1－ 6，3+ 10] ．
解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x y 1 0 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集， N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其 内部的点集(如图)． 考察 M N 时, a 的取值范围: 令 y 1 , 代入方程
B. 2
C. 16
D. 48
答: [ C ]
解：数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C．
6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有
, 与四棱锥的各个侧面
A
A1 D
D1
B1
C1
相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样 的平面 有无数多个．故选 D．
C B
5. 设数列 {an } : a0 2, a1 16, an2 16an1 63an , n N*, 则 a2005 被
64 除的余数为
A. 0
n
………………
xn 0 , 则
9分
i
x
i 1
n
0.
但是,
x x
n 1
i i 1
1 0 ，故对于 n 5 命题不成立．
综上可知，使命题成立的自然数是 n 2, 3, 4 .
…………… 15 分
15. 设椭圆的方程为
x2 y 2 1 (a b 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2
即
23 m , 5 n 11 . 5
因此， OA (
23 11 11 23 , ), OB ( , ) . 5 5 5 5
故填
8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数
n , an 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= 4n－2
2 y 2； 2
当 0t
2 1 2 9 2 时， y 2t t 1 2(t ) ，得 2 4 8
2 9 y ． 2 8
又 y 可取到
2 2
, 故填
2 2
．源自文库
10. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 2, AA1 AD 1 , 点 E 、 F 、 G
y
3 2 1
| x y 1| 2( x 2 y 2 ) ,
-3
-2
-1
O
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
得 x 4 x 2 0 ，解出得 x 2 6 ． 所以，
2
当 a 2 6 1 1 6 时, 令 y 2 ，代入方程
M
N ．
………… ③
| x y 1| 2( x 2 y 2 ) , 得 x2 6 x 1 0 . 解出得
所以 n 3 时命题成立. 当 n 4 时，由 x1 x2 x3 x4 0 ，得
………………… 6 分
x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x1 ( x1 x3 )( x2 x4 ) ( x2 x4 )2 0 ．
所以 n 4 时命题成立． 当 n 5 时，令 x1 x2 1 ， x4 2 ， x3 x5
向量 OB （－
11 23 ， ） . 5 5
解：设 OA (m, n) , 则 OB (n, m) , 所以
2OA OB (2m n, 2n m) (7,9) .
2m n 7 , 解得 m 2n 9 .
( 11 23 ． , ) 5 5
x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.