第3章随机向量(含习题参考答案)

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概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章随机向量

概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的分布的概率密度。
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X
X
Y
Y
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解: (1)串联情况
X
Y
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(2)并联情况
X
Y
感谢聆听批评指导
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二维正态分布若(X.,Y)的概率密度为
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4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
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(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.

概率论课件第3章随机向量及其分布

i1 i2
, xin =FX1,X2 , ,Xn x1, x2 ,
, xn
§3.1.2 随机变量的独立性
定义3.1.3 设,F, P为概率空间, X1, X 2, , X n
为其上的随机向量,如果
FX1,X2, ,Xn x1, x2, , xn =FX1 x1 FX2 x2 FXn xn
f Xn xn
§3.2 二维离散型随机向量
若随机向量(X,Y) 所有可能取值是可列多对 (xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(X,Y)是二维离散型随机变量. 设 P{X=xi,Y=yj}=pij ， (i，j=1,2, …) 则pij (i，j=1,2, …)称为(X,Y)的(联合)概率分布律。
所以，ξ，η不相互独立。
离散型随机变量的条件分布
对于离散型随机向量，当p.j>0时，称
P
X xi Y y j
P{X xi ,Y y j} pij
P{Y y j}
p. j
为Y=yj条件下X的条件分布律。
类似地
当pi.>0时，在X=xi条件下Y的条件分布律
P Y y j X xi
x1 X x1 h1, x2 Y x2 h2
P X x1 h1,Y x2 h2 P X x1 h1,Y x2
P X x1,Y x2 h2 P X x1,Y x2
F x1 h1, x2 h2 F x1 h1, x2 F x1, x2 h2 F x1, x2
第3章随机向量及其分布
随机向量的概念及其分布函数二维离散型随机向量二维连续型随机向量随机变量函数的分布
§3.1随机向量的概念及其分布函数
二维随机向量及其分布
定义1 设，F, P 为概率空间,如果 X i为随机变量, i 1, 2, , n ,则称向量 X1, X 2 , , X n 为随机向量。

随机向量

Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy

2x 3y 6
f(x, y)dxdy
3 1 ( 6 2 x ) 3 0
2 x
D
2
2x+3y=6
dx
0
6e
( 2 x 3 y )
6 e
0
3
1 3 y ( e 3
dy 1 ( 6 2x ) )3 dx 0
2/5
1 2/5
P
3/5
2/5
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
独立
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 0.05 1 0.1 2 0.1
求:(1)常数a的取值;
0
1
0.1
a
0.2
0.2

x
1

联合分布函数与边缘分布函数的关系定义则称设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) P( X x)

f (s, t )dtds ( f (s, t )dt )ds f
x
2 s
ds e
1 2 s x 1 3t y ( 1 e 2 x )( 1 e 3 y ) dt 6( e ) ( e ) 0 3 0 2
(1 e 2 x )(1 e 3 y ) 即: P ( X x , Y y ) 0
x 0, y 0 其它
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布定义如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。

概率论与数理统计习题库,第三章

长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417#00001已知随机变量X 与Y 独立，其分布律分别为，与*00001解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概从上表可以确定Z 的取值域为{0,1},W 的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。

例如 P{Z=0}=0.12+0.18=0.3于是，Z 、W 的分布律分别为：#00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球0101Y X(1)求(X,Y)的分布律。

(2)求X 与Y 的相关系数 *00002 解：（1）显然X 、Y 的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=2522C C ，同理计长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808417ij （2）256)(256)(52)(52)(====Y D X D Y E X E503254101),(101)(-=-==Y X COV XY E41256256503-=-=∴XY ρ#00003设(X,Y)具有概率密度⎩⎨⎧<<<=其它01||0},{y x c y x f ，1)求常数c ；2)求P{Y>2X} ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域由归一性图⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====>∴>=⇒=⇒=--GG GGyDyyG S Sdxdy dx dy dxdy X Y P GX Y c cdx dy Cdxdy y 的面积是其中或见如图区域14311}2{}2){21111123)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。

第三章随机向量课后习题参考答案

第三章随机向量1．解：222247112121322322447722211323224477223247{0,0}0;{0,1}0;1{0,2};{1,0}0;3566{1,1};{1,2};3535312{2,0};{2,1};35353{2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================3132473132472{3,0};352{3,1};{3,2}035C C X Y C C C P X Y P X Y C ===========2．解：2421302 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1181813(2){1,3}[(6)]881127(3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)82321(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞+∞-∞-∞+∞+∞==--=∴=∴=<<=--=<=+∞=--=-=+≤=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2422020112(46)823x x x dx -=-+=⎰⎰⎰ 3．解：20124.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0xX yY y x dy x xx f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞-∞+∞-∞⎧-=-≤≤⎪ ==⎨⎪⎩⎧-=-+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它4．解：00()(,)00()(,)0y x x X yy y Y e dy ex f x f x y dy e dx yey f y f x y dx +∞--+∞-∞--+∞-∞⎧=>⎪ ==⎨⎪⎩⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它5．解：2222221112222000101(1)()0101,0,(,)()()20401{}[](1)121(1)(0)]0.1445X yX Y y x xx x f x ex y X Y f x y f x f y X Y Y X P Y X e dy dx e dx dx----<<⎧ =⎨⎩⎧<<>⎪==⎨⎪⎩∆-≥≤≤==-=-=Φ-Φ≈⎰⎰⎰其它因为相互独立,所以其它(2)方程有实根则=4即6．解：（1）21114(,)121xF dx cxydy c-+∞+∞===⎰⎰ 故 214c = （2）2224121(1)214,11()80,X x x ydy x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩⎰其它2527,01()20,Y y x y f y ydx ⎧≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩其它 7．解：（1）由于X 在(0,1)上服从均匀分布故1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩其它则1y e <<又xy e =单调递增且可导，其反函数为：ln x y = 设x e Y =的概率密度为：()g y于是'1,11(ln )()00,y ey yg y ⎧⎧<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩g 其它（2）由于0y <，故 X Y ln 2-=的反函数为12()y h y e-=故 '21[()](()),0()200,0yf h y h y e yg y y -⎧⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩≤⎩g 8．解法1：由于X 和Y 是两个相互独立的随机变量，由卷积公式()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰可得当0z ≤时， ()Z f z =0当01z <<时， 0()1zy z Z f z e dy e --==-⎰当1z ≤时，由01x ≤≤，知01z y ≤-≤，即：1z y z -≤≤11()zy z z Z z f z e dy e e ----==-⎰解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。

第3章随机向量练习题

第 3 章随机向量练习题
1、设一个袋子中装有 3 个红色、2 个白色、3 个蓝色球，从袋中任取两个球，记 X 为取到的
红球数，Y 为取到的白球数，求（1）（X，Y）的联合分布；（2）关于 X、Y 的边缘分布律。
（1）
Y
0
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
0 3 / 28 6 / 28 1 / 28
1 9 / 28 6 / 28 0
（4）判断随机变量 X1 与 X2 的独立性，说明理由 .
（1）
X2
0
X1
（2） E [ X2 X1 = 0 ] = 1 e1
1
p X1 i
0 1
e2 0
e1 e2 e1 1 e1 1 e1
（3）V

e 1 e2
e2 e3
e2 e3 e2 e4
26、设随机向量
Y 服从区间（0，x）上的均匀分布，试求 X 与 Y 的联合密度函数。（
f
(x,
y)

1 x
ex
，
0

y

x
）
0 ，其它
24、设随机向量（X，Y）~
e y f (x, y)
0
0 x 2, 0 y ln 2 其它
，试求（1）条件密度
f Y X ( y x ) ；（2）计算 P ( X + 2Y 1 ) 的概率值。
（
（1）( 1 e2 ) / 2 ；（2）1 1 / 2e
）
19、设随机向量（X，Y）的概率密度为
ce (3x4 y) f (x, y)
0
x
0, y 其它

第三章05n维随机向量

j
, Xk )
④若随机变量X1,X2,„,Xn相互独立，且方差都存在，则 D(X1±X2±„±Xn)=DX1+DX2+„+DXn 并且对任意常数a1,a2,„,an有
D( ai X i ) ai2 DX i
i 1 i 1 n n
9
五、协方差矩阵和相关系数矩阵
定义3.23 如果n维随机向量(X1，X2，„，Xn)中的各个分量 Xi (i=1,2, „,n)的方差都存在，则以Cov(Xi,Xj)为元素的n阶矩阵称为该随机向量的协方差阵。记作V，即其中vii=Cov(Xi,Xi)=DXi v11 v12 v1n vij=Cov(Xi,Xj)=Cov(Xj,Xi)=vji v21 v22 v2 n V 如n=2时 Cov(X, X) Cov(X, Y) v v v V nn n1 n 2
①如果随机变量X1,X2,„,Xn的期望都存在，则对任意常数 n n a1,a2,„,an有 E ( ai X i ) ai EX i
i 1 i 1
1 n 1 n 特别地： E( X i ) EX i n i 1 n i 1
8
第五节*、n维随机向量
②若随机变量X1,X2,„,Xn相互独立，且期望都存在，则
Cov(Y, X) Cov(Y, Y) Cov(X, Y) DX Cov(Y, X) DY
10
五、协方差矩阵和相关系数矩阵
定义3.24 如果n维随机向量(X1，X2，„，Xn)中任意两个分量Xi与Xj的相关系数rij都存在(i,j=1,2, „,n) ，则以rij为元素的n阶矩阵称为该随机向量的相关系数矩阵。记作R，即 r11 r12 r1n 1 r12 r1n r21 r22 r2 n r 21 1 r 2 n R r r r r r 1 nn n1 n 2 n1 n 2 其中rii=1，rij=rji ，(i,j=1,2,„,n) 如n=2时 ρ XX ρ XY 1 ρ XY R ρ ρ ρ YY 1 YX YX

2012ppt第三章随机向量

1 / 4 2 / 8 3/12 + 3 / 16, 3 y 4, 4 x,
1,
4 y, 4 x,
例 3.1.4 多项分布(Multinomial Distribution) 一次试验可能出现 r+1 种不同的结果 A1, , Ar1， P(Aj ) pj 0, j 1, ,r 1，其中 p1 pr1 1。独立地重复 n 次试验，记 Aj 出现的次数为 X j , j 1, ,r 。则称随机向量 (X1, , Xr ) ～ MN(n; p1, p2, , pr ) 。
定义在样本空间上的 k 维随机向量 X ，是一个 k 的映射。引进 X 是为研究
可由 X 表示出的那些随机事件的概率。
联合分布函数是全面描述随机向量统计规律的基本工具。理论上，根据随机向量的
联合分布函数可以确定任意一个可由该随机向量表示的事件的概率。
k
{X1 x1, , X k xk} { : Xi () xi} 。
(1) c 应使联合密度函数满足规范性，即
1

p(x, y)dxdy

0
ce2xydxdy
0

c

1 2
e2 x

0
e y
0

1 2
c,
因此， c 2 。 (2) (x, y) 2 ,
13
第三章随机向量
联合密度函数的基本性质：
(1) 非负性： p(x1, , xk ) 0, (x1,
(2) 规范性：

p(x1, , xk )dx1
xk ) k ； dxk 1。

第3章作业题解

P(Y = 2 | X = 1) = 0.02 = 2 0.25 25
即
Y
0
2
5
P
1/5
18/25
2/25
(3)当 Y=0 时，X 的条件分布为
P( X = 1 | Y = 0) = 0.15 = 3 0.20 4
即
P( X = 3 | Y = 0) = 0.05 = 1 0.20 4
X
1
3
P
3/4
(6 − x − y)dxdy
0 09
∫ ∫ = 1
0.5
[(6
−
x) y
−
1
y2
1.5
]dx
=
1
0.5
[
3
(6
−
x)
−
9
]dx
90
20
90 2
8
0.5 7 x
5
= ∫0
( − )dx = 8 6 12
1 1
1− x
(3)
P{( X ,Y ) ∈ D} = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫0 dx∫0
1/4
(4)当 Y=2 时，X 的条件分布为
P( X = 1 | Y = 2) = 0.25 = 0.581 0.43
P( X = 3 | Y = 2) = 0.18 = 0.419 0.43
即
X
1
3
P
0.581
0.419
(5)当 Y=5 时，X 的条件分布为
P( X = 1 | Y = 5) = 0.35 = 0.946 0.37
(
y)
=
⎧6( ⎨
⎩
y − y) 0

概率论与数理统计课件第三章随机向量及其独立性习题课

如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为
P ( X n, Y m )
e
14
(7.14) (6.86) m! ( n m )!
m
n m
,
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
求边缘分布律. 解 P ( X n)
当 y b 时,
8.
设(X,Y)的概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其它
(1)求c的值; (2)求两个边缘密度.
y
yx
o
x 1
x
cy( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其它
试求 : Z max( X , Y ) 的分布律. 解因为X与Y相互独立, 所以 P{ X i , Y j } P{ X i }P{Y j }.
X 0
Y
0
(1 2)
2 2
1
(1 2)
2
1
(1 2)
(1 2) 2
1 P (max( X , Y ) 0) P( X 0,Y 0) 2 , 2
第三章习题课
1.
已知X,Y的联合分布如下 Y X 0 0 0.4 1 b 1 a 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立. 试确定常数 a与b. 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得
a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1} = P{X=0, Y=1} 得 (0.4+b)(a + b) = b (2) 由(1) (2) 得 a = 0.1

第3章二维随机向量辅导及习题选解

第3章二维随机向量一、二维随机向量及其分布函数1. 两个随机变量X 与Y 构成的整体),(Y X 称为二维随机向量或二维随机变量.2. 二元函数2),(},,{),(R y x y Y x X P y x F ∈≤≤=称为),(Y X 的分布函数，或称为X 与Y 的联合分布函数.3. ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数；1),(0≤≤y x F 且1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ；),(y x F 关于y x ,均右连续.二、边缘分布与条件分布1. 如果),(Y X 只取有限个或可列个值，那么称),(Y X 为二维离散型随机向量.若),(Y X 的所有可能取值为),2,1,(),( =j i y x j i ，则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为),(Y X 的概率分布，或X 与Y 的联合分布律，其中1,0=≥∑∑ijijij pp .,2,1,}{====∑⋅i p x X P p jij i i,2,1,}{====∑⋅j p y Y P p iij j j分别称为关于X 、Y 的边缘分布律.2. 设),(Y X 为二维随机向量，),(y x F 为其分布函数，若存在非负可积函数),(y x p 使得2),(),(),(R y x dudv v u p y x F xy∈=⎰⎰∞-∞-则称),(Y X 为二维连续型随机向量，称),(y x p 为),(Y X 的密度函数，或X 与Y 的联合密度函数，且有（1）2),(,0),(R y x y x p ∈≥；（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x p .分别称⎰+∞∞-=dy y x p x p X ),()(、⎰+∞∞-=dx y x p y p Y ),()(为关于X 、Y 的边缘密度函数.【注】由联合分布求边缘分布属于考研的基本要求.3. 组成二维随机变量),(Y X 的随机变量Y X ,各自的分布函数)(),(y F x F Y X 称为),(Y X 的边缘分布函数.若),(y x F 是),(Y X 的分布函数，则),(lim ),(}{)(y x F x F x X P x F y X +∞→=+∞=≤=，),()(y F y F Y +∞=4. 设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为ij p ，若0>⋅j p ，则称),2,1(}|{ ====⋅i p p y Y x X P jij j i为在}{j y Y =条件下X 的条件分布律；若0>⋅i p ，则称内容提要),2,1(}|{ ====⋅j p p x X y Y P i ij i j为在}{i x X =条件下Y 的条件分布律.5. 设二维连续型随机变量),(Y X 的密度函数为),(y x p ，若0)(>y p Y ，则称)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =为在条件y Y =下X 的条件密度函数；若0)(>x p X ，则称)(),()|(|x p y x p x y p X X Y =为在条件x X =下Y 的条件密度函数. 【注】条件分布在考研中有所涉及.三、随机变量的独立性1. 随机变量X 与Y 相互独立⇔)),((),()(),(2R y x y F x F y x F Y X ∈∀=2. 离散型随机变量X 与Y 相互独立⇔),(,j i p p p j i ij ∀=⋅⋅⇔联合概率矩阵)(ij p 的任意两行（或列）成比例. 【注】第二个条件（以后简称比例方法）在解题时非常方便，后面有例题3.8等说明.3. 连续型随机变量X 与Y 相互独立⇔)()(),(y p x p y x p Y X =几乎处处成立.【注】几乎处处成立是指在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立.4. 设),(Y X ～),,,,(222121ρσσμμN ，则X 与Y 相互独立⇔0=ρ.四、两个随机变量函数的分布1. 设离散型随机变量),(Y X 的分布律ij j i p y Y x X P ===},{，则),(Y X f Z =的分布律为∑===kj i z y x f ijk pz Z P ),(}{2. 设连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x p ，则),(Y X f Z =的分布函数为⎰⎰≤=≤=zy x f Z dxdy y x p z Z P z F ),(),(}{)(Z 的概率密度为)()(z F z p Z Z '=（在)(z p Z 连续点处）.3. 常见函数的概率密度（1）Y X Z +=，⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z p dx x z x p z p Z ),(),()(.一般地，bY aX Z +=，⎰∞+∞--=dx b axz x p b z p Z ),(||1)( 或 ⎰∞+∞--=dy y abyz p a z p Z ),(||1)(. （2）XYZ =，⎰+∞∞-=dx zx x p x z p Z ),(||)(.（3）XY Z =，⎰∞+∞-=dx xzx p x z p Z ),(||1)(. （4）},max{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为)()()(z F z F z F Y X Z =，从而Z 的密度函数为)()()()()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z +=.（5）},min{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为))(1))((1(1)(z F z F z F Y X Z ---=，从而Z 的密度函数为)())(1())(1)(()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z -+-=.【注】本节是考研的重点内容之一，尤其是二维连续型随机变量函数的概率分布经常考到，掌握好相应的方法及公式非常重要.题型一二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律例3.1 设随机变量i X ～⎪⎪⎭⎫⎝⎛-412141101)2,1(=i ，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P =等于【】.（1999年，数学三）A. 0B. 41C. 21D. 1解选A . 由1}0{21==X X P 知0}0{21=≠X X P ，即0}1,1{}1,1{}1,1{}1,1{21212121====-====-==-=-=X X P X X P X X P X X P利用边缘分布律与联合分布律的关系，很容易求出X 与Y 的联合分布律如下表所示最后确定的是0}0,0{21===X X P ，从而0}1,1{}0,0{}1,1{}{21212121===+==+-=-===X X P X X P X X P X X P . 【注】1}0{21==X X P 隐含0}0{21=≠X X P 是解决问题的关键。

概率论cii课件余力老师版权所有仅供学习第3章随机向量练习题

第3章随机向量练习题1、设一个袋子中装有3个红色、2个白色、3个蓝色球，从袋中任取两个球，记X 为取到的红球数，Y 为取到的白球数，求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）关于X 、Y 的边缘分布律。

（1）2,1,0,,),(282323====--j i C C C C j Y i X P ji j i（2）2、将一枚均匀的硬币连续掷三次，以随机变量X 表示三次中出现正面的次数，随机变量Y 表示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求随机向量（X ，Y ）的联合分布以及关于X 、Y 的边缘分布。

并判断X 与Y 的独立性。

不独立3、将一枚均匀的骰子掷两次，记X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出3点或6点的次数。

求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）X 与Y 是否相互独立；（3）Z = X - Y 的分布列和分布函数。

（1）（2）相互独立；（3） ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<≤--<=221100112219/89/536/736/10)(z z z z z z z F Z4、设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数 31=p 的（ 0 – 1 ）分布，求随机变量 Z = max ( X , Y ) 的分布律.5、设随机变量X 与Y 相互独立、同分布，P ( X = i ) = 1 / 3，i = 1，2，3。

又设 ξ = max ( X , Y )，η = min ( X , Y )。

（1）写出（ξ，η）的联合分布列，并判断 ξ与 η 的独立性；（2）计算概率 P { X + Y ≤ 3 } 。

（1）不独立；（2） 1 / 3 。

6、设二维离散型随机变量的联合分布为求（1）X 、Y 的边缘分布；、（2）cov ( X , Y ) ；（3）P ( Y = 1 | X < 2 ) 。

（1）（2）1 / 2 ；（3）4 / 57、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件和 10件，先从箱中随机抽取一件产品，记 ⎩⎨⎧=其它等品若取到i ,0,1i X （i = 1，2，3），试求：（1）随机变量X 1 与X 2 的联合分布与边缘分布；（2）随机变量X 1 与X 2 的相关系数 21X X ρ；（3）D ( X 1 - X 2 )、D ( X 1 + X 2 ) 。

概率论与数理统计第3章题库

第3章多维随机向量及其分布填空题1. 二维随机向量(,)X Y 的联合分布律如下表所示已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a = _______ , b =________. 答案：0.4，0.1知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维离散型随机向量的联合分布律的性质提示二：事件的独立性提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：{0}0.4P X a ==+,{1}0.5P X Y a b +==+= {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====由独立性知，(0.4)0.5a a =+⨯，0.4a =，0.1b =. 2. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为6,01(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则=≤+}1{Y X P __________ . 答案：41知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x 3.设(,)X Y 的联合分布函数为230,0(1)(1),(,)0,x y x y e e F x y --≥≥⎧--=⎨⎩其他，则(,)X Y 的联合概率密度为___________.答案：230,06,(,)0,x y x y e e f x y --≥≥⎧=⎨⎩其他知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维连续型随机向量的联合概率密度与联合分布函数之间的关系提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：230,06,(,)(,)0,x y x y e e F x y f x y x y --≥≥⎧∂==⎨∂∂⎩其他.4. 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为.答案：230,06,(,)0,x y x y e e f x y --≥≥⎧=⎨⎩其他知识点：二维均匀分布，二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P65，P66 学习目标: 4，2 难度系数: 2提示一：二维均匀分布的定义提示二：二维连续型随机向量的边缘概率密度的定义提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：2112e D S dx x ==⎰，211, 1,0(,)20, x e y f x y x ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他21,x e ≤≤111()22xX f x dy x ==⎰，1(2)4X f = 5. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，1{}{}3k P X k P Y k +====，1,0=k ，则{}P X Y ==答案：59知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：离散型随机变量的独立性提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：{}{0,0}{1,1}P X Y P X Y P X Y ====+=={0}{0}{1}{1}P X P Y P X P Y ===+==1122533339=⋅+⋅=6. 若Y X 、的分布律为：设Y X 、相互独立，则β= . 答案：19知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：离散型随机变量的独立性提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：1{1}=3P Y =，所以2{2}=3P Y =，又1{3}=18P X β=+ 由Y X 、相互独立知{3,2}{3}{2}P X Y P X P Y =====，即12()183ββ=+⨯，所以19β= 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,2P X Y ≤= _________ .答案：49知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：连续型随机变量的独立性提示二：均匀分布提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：{}{}max ,1P X Y ≤={1,1}{1}{1}P X Y P X P Y ≤≤=≤≤4=9. 8.设,,X Y Z 相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，则随机向量(,,)X Y Z 的联合概率密度为___________.答案： 3(),0,0,0(,,)0,x y z e x y z f x y z λλ-++⎧>>>=⎨⎩其他知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：连续型随机变量的独立性提示二：指数分布提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：, 0() 0, 0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，3(),0,0,0(,,)0,x y z e x y z f x y z λλ-++⎧>>>=⎨⎩其他.9.设,X Y 为随机变量，已知{}20,05P X Y ≥≥=, 3{0}{0}5P X P Y ≥=≥=, 则 {}{}max ,0P X Y ≥= ______ ; {}{}min ,0P X Y <= ______ .答案：45，35知识点：离散型随机变量函数的分布参考页: P76 学习目标: 5 难度系数: 2提示一：随机变量函数的取值的概率提示二：事件运算的性质提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：设{0},{0}A X B Y =≥=≥, 依题意有32()(),()55P A P B P AB === {}{}{}{}max ,01max ,0P X Y P X Y ≥=-<{}10,0P X Y =-<<1()1()()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB =-=-+=+=+-45={}{}min ,0P X Y <={}{}1min ,01{0,0}P X Y P X Y -≥=-≥≥35=.选择题1.已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布表如左表所示，且已知{0}0.6P X ==，则b a ,分别为（）(A) 4.0,1.0==b a ； (B) 1.0,4.0==b a ； (C)3.0,2.0==b a ； (D) 0.1,0.3a b ==.答案：（C ）知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维离散型随机向量的联合分布律的性质提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：{0}0.4P X a ==+，即0.40.6a += ，所以0.2a =由分布律的性质{1}0.5P X Y a b +==+=，所以0.3b =. 故选（C ）. 2．设随机变量i X （1,2i =）的概率分布为且12{0}1P X X ==，则12{}P X X ==（）（A ）0; （B ）14; （C ）12; （D ）1.答案：（A ）知识点：二维离散型随机向量的联合分布律，二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P60，P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维离散型随机向量的联合分布律的性质提示二：二维离散型随机向量的边缘分布律与联合分布律的关系提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：由12{0}1P X X ==可求得12(X X ，）的联合分布律12{}P X X ==121212{1,1}{0,0}{1,1}0P X X P X X P X X =-=-+==+===故选（A ）.3. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，区域G 由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度为（）.（A ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ；（B ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ；（C ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ；（D ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(Gy x y x f .答案：（A ）知识点：二维均匀分布参考页: P65 学习目标: 4 难度系数: 1提示一：二维均匀分布的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：1201()6G S x x dx =-=⎰，所以联合概率密度为⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ，故选（A ）.4. 设随机变量,X Y 相互独立，,X Y 的概率分布分别为则 {}2P X Y +==（）. (A)112； (B) 18； (C) 16； (D) 12. 答案：（C ）知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标:3 难度系数: 1提示一：离散型随机变量的独立性提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：{}2{1,1}{2,0}{3,1}P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==- {1}{1}{2}{0}{3}{1}P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==- 11111114383836=⋅+⋅+⋅=, 选(C). 5. 设随机变量X Y 、相互独立且同分布，则下列等式成立的是（）（A ） X Y =-；（B ） {}0P X Y ==；（C ） 1{}2P X Y == ；（D ） {}1P X Y ==. 答案：（C ）知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：离散型随机变量的独立性提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+==1{1}{1}{1}{1}2P X P Y P X P Y ==-=-+===. 故选（C ）.6. 设随机变量X 和Y 相互独立且同分布，1{1}{1},2P X P Y =-==-={1}P X ==1{1}2P Y ==，则下列各式中成立的是（）.（A ） 1{}2P X Y ==；（B ） 1{0}4P X Y +==；（C ） {}1P X Y ==；（D ） 1{1}4P XY ==.答案：（A ）知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：离散型随机变量的独立性提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+==1{1}{1}{1}{1}2P X P Y P X P Y ==-=-+===，选（A ）.7. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间()0,1上的均匀分布，则{}221P X Y +≤（）（A ）14；（B ）12；（C ）8π；（D ）4π. 答案：（D ）知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：连续型随机变量的独立性提示二：二维均匀分布的定义提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：(),X Y 的联合概率密度为1, 01,01(,) x y f x y <<<<⎧=⎨⎩0,其他则{}224114P X Y ππ+≤==，选（D ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=（）（A ）15；（B ）13；（C ）25；（D ）45. 答案：（A ）知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一：连续型随机变量的独立性提示二：指数分布提示三：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示四（同题解）题型：选择题题解：(),X Y 的联合概率密度为44, 0,0(,) x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩0,其他则440{}44y x y y xyP X Y dy e dx e e dy +∞+∞----≤==-⎰⎰⎰45014()5y y e e dy +∞--=-=⎰，选（A ）. 9. 设随机变量X 与Y 相互独立，已知X 服从区间[]0,1上的均匀分布，Y 的分布律如下表所示,则{}1max ,2P X Y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭为( ) . （A ）1; （B ）1 ; （C ）1; （D ）23. 答案：（D ）知识点：随机变量的独立性参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：连续型随机变量的独立性提示二：均匀分布提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：{}{}11max ,1max ,22P X Y P X Y ⎧⎫⎧⎫≥=-<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 11111,12222P X Y P X P Y ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭1221233=-⋅=，选（D ）.10. 如果),(Y X 的概率密度,21),(22)1(2)1(-+--=y x e y x f π则X 与Y （）（A ）均服从(0,1)N ；（B ）一定相互独立；（C ）不一定相互独立；（D ）一定不相互独立. 答案：（B ）知识点：二维正态分布参考页: P74 学习目标: 4 难度系数: 1提示一：二维正态分布的定义提示二：二维正态分布的随机变量X 与Y 不相关的充要条件是X 与Y 独立提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：二维正态分布的定义知，随机变量X 与Y 不相关，所以X 与Y 相互独立. 选（B ）. 11.设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布律是则min{,}Z X Y =的分布律是（）. （A ）（B ）（C ）（D ）答案：（B ）知识点：离散型随机变量函数的分布参考页: P76 学习目标: 5 难度系数: 2提示一：离散型随机变量函数的分布提示二：二维随机变量的独立性提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：Z 的取值是0,1. {1}{min{,}1}P Z P X Y ==={1,1}P X Y ==={1}{1}P X P Y ===224339=⨯= 5{0}1{1}9P Z P Z ==-==. 故选（B ）. 12. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则正确的选项是（）.（A ）1{0}2P X Y +≤=；（B ）1{1}2P X Y +≤=；（C ）1{0}2P X Y -≤=；（D ）1{1}2P X Y -≤=.答案：（B ）知识点：连续型随机变量函数的分布参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 1提示一：连续型随机变量函数的分布提示二：正态分布的性质提示四（同题解）题型：选择题题解： )1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，又,X Y 相互独立，所以~(1,2)X Y N + 由正态分布的性质1{1}2P X Y +≤=. 故选（B ）. 13. 设随机变量X Y 、相互独立且均服从正态分布2~(,)X N μσ，则{}1P X Y -<（）(A) 随μ的增加而增加； (B) 随μ的增加而减少； (C) 随σ的增加而增加； (D) 随σ的增加而减少. 答案：（D ）知识点：连续型随机变量函数的分布参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 2提示一：连续型随机变量函数的分布提示二：用标准正态分布函数计算正态变量取值概率提示三：分布函数的性质提示四（同题解）题型：选择题题解： X Y 、相互独立且均服从正态分布2~(,)X N μσ，所以2~(0,2)X Y N σ- {}1P X Y P -<=<=Φ，选（D ）14. 设随机变量,,X Y Z 相互独立, ~(1,2)X N ，~ (22)Y N ，，~ (3,7)Z N , 记{}{},a P X Y b P Y Z =<=<, 则（）.(A) a b <; (B) a b >;(C) a b =; (D) a b ，大小关系不确定. 答案：（B ）知识点：连续型随机变量函数的分布参考页: P78难度系数: 2提示一：连续型随机变量函数的分布提示二：用标准正态分布函数计算正态变量取值概率提示三：分布函数的性质提示四（同题解）题型：选择题题解： ,,X Y Z 相互独立, ~(1,2)X N ，~ (22)Y N ，，~ (3,7)Z N所以~(1,4), ~(1,9)X Y N Y Z N ---- {}{}10110()222X Y a P X Y P X Y P -++⎧⎫=<=-<=<=Φ⎨⎬⎩⎭ {}{}10110()333Y Z b P Y Z P Y Z P -++⎧⎫=<=-<=<=Φ⎨⎬⎩⎭11()()23Φ>Φ, 由()x Φ单调不减知a b >，故选（B ）.15. 随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）(A) ()2F x ；(B) ()()F x F y ；(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦；(D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.答案：（A ）知识点：连续型随机变量函数的分布参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 2提示一：连续型随机变量函数的分布提示二：随机变量的独立性提示三：分布函数的定义提示四（同题解）题型：选择题题解： 2(){max{,}}{,}()Z F z P X Y z P X z Y z F z =≤=≤≤=，选（A ）.16. 随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}min ,Z X Y =的分布函数为（）.(A) ()2F x ;(B) ()()F x F y ;(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦;(D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.答案：（C ）知识点：连续型随机变量函数的分布参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 2提示一：连续型随机变量函数的分布提示二：随机变量的独立性提示三：分布函数的定义提示四（同题解）题型：选择题题解：(){min{,}}1{min{,}}Z F z P X Y z P X Y z =≤=->21{,}1[1()]P X z Y z F z =->>=--，选（C ）.17.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N , Y 的分布律为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F z 的间断点个数为（）. （A ）0 ;（B ）1 ;（C ）2 ;（D ）3 .答案：（B ）知识点：连续型随机变量函数的分布参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 3提示一：连续型随机变量函数的分布提示二：随机变量的独立性提示三：用标准正态分布函数计算正态变量取值概率提示四分布函数的性质题型：选择题题解：}(}){{P Z z P X z z Y F =≤=≤{0}{0/0}{1}{/1}P Y P z Y P Y P X z Y ==≤=+=≤= 1(), 021[1()], 02XX z z z z ⎧Φ<⎪⎪=⎨⎪+Φ≥⎪⎩ 011lim ()lim ()24z z z F z z --→→=Φ=，0013lim ()lim [1()]24zz z F z z ++→→=+Φ=，选（B ）.计算题1. 一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0(,)0,.xy x y ee e x y F x y ---+⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他（1）问,X Y 是否独立为什么（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 答案：(1) ,X Y 独立；（2）0.1e-知识点：二维随机向量的边缘分布函数参考页: P59 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：由二维随机向量的联合分布函数确定边缘分布函数提示二：随机变量的独立性提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：（1）先求边缘分布函数：0.51,0,()lim (,)0,0.x X y e x F x F x y x -→+∞⎧-≥==⎨<⎩0.51,0,()lim (,)0,0.y Y x e y F y F x y y -→+∞⎧-≥==⎨<⎩因为(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，所以,X Y 独立.（2）{0.1,0.1}{0.1}{0.1}[1{0.1}][1{0.1}]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤ 0.050.050.1ee e ---=⋅=.2．设随机变量(,)X Y 的联合分布律如下表，求X 和Y 的边缘分布律，并验证X 和Y 的独立性. 答案：,X Y 不独立知识点：二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律提示二：随机变量的独立性提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：先求边缘分布律1{1}={1,1}+{1,2}{1,3}9P X P X Y P X Y P X Y =====+===213{2}={2,1}+{2,2}{2,3}999P X P X Y P X Y P X Y =====+===+=2215{3}={3,1}+{3,2}{3,3}9999P X P X Y P X Y P X Y =====+===++=1225{1}={1,1}+{2,1}{3,1}9999P Y P X Y P X Y P X Y =====+===++=213{2}={1,2}+{2,2}{3,2}999P Y P X Y P X Y P X Y =====+===+=1{3}={1,3}+{2,3}{3,3}9P Y P X Y P X Y P X Y =====+===由于1155{1,1}{1}{1}99981P X Y P X P Y ===≠===⨯=，故X 和Y 不独立. 3. 箱内装有12件产品,其中2件为次品,从箱中随机地取两次产品,每次1件,定义随机变量,X Y 如下:0,1,X ⎧=⎨⎩第一次取出的是正品第一次取出的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩第二次取出的是正品第二次取出的是次品(1)在有放回抽样情形下求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律； (2)在不放回抽样情形下求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律； (3)问在上述两种情形下X 与Y 是否相互独立答案：（1）（2）（3）有放回抽样时，X 与Y 相互独立；不放回抽样时，X 与Y 不独立.知识点：二维离散型随机向量的联合分布律，二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维离散型随机向量的联合分布律提示二：由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律提示三：随机变量的独立性提示四（同题解）题型：计算题题解：(1)有放回抽样{}1010250,0121236P X Y ===⋅=(正正) ,{}10250,1121236P X Y ===⋅=(正反) {}21051,0121236P X Y ===⋅=(反正), {}2211,1121236P X Y ===⋅=(反反) (,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为(2)不放回抽样{}109150,0121122P X Y ===⋅=(正正) ,{}10250,1121133P X Y ===⋅=(正反) {}21051,0121133P X Y ===⋅=(反正), {}2111,1121166P X Y ===⋅=(反反)(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为(3) 显然，有放回抽样时，X 与Y 相互独立；不放回抽样时，X 与Y 不独立.4．袋中有5个球，分别标有数字1，1，2，2，3，从袋中任取一球后不放回，再取第二次，分别以,X Y 为第一次、第二次取得球上标有的数字，求：（1）(,)X Y 的联合分布律与,X Y 的边缘分布律；（2）,X Y 是否独立答案：（1）（2）,X Y 不独立知识点：二维离散型随机向量的联合分布律，二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维离散型随机向量的联合分布律提示二：由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律提示三：随机变量的独立性提示四（同题解）题型：计算题题解：(1) {}2111,15410P X Y ===⋅=，{}2211,2545P X Y ===⋅= {}2111,35410P X Y ===⋅=，{}2212,1545P X Y ===⋅={}2112,25410P X Y ===⋅=，{}2112,35410P X Y ===⋅={}1213,15410P X Y ===⋅=，{}1213,25410P X Y ===⋅=(,)X Y 的联合分布律与,X Y 的边缘分布律为（2）因为,,,j i j p p p ⋅⋅⋅≠⨯，所以,X Y 不独立.5. 将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 答案：知识点：二维离散型随机向量的联合分布律，二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维离散型随机向量的联合分布律提示二：由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：一枚硬币连掷三次相当于3重伯努利试验，故1~(3,).2X B 331{}(),0,1,2,32k P X k C k ===，{0,1}{0}{1|0}0P X Y P X P Y X =======，03311{0,3}{0}{3|0}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，13313{1,1}{1}{1|1}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=， {1,3}{1}{3|1}0P X Y P X P Y X =======， 23313{2,1}{2}{1|2}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=， {2,3}{2}{3|2}0P X Y P X P Y X =======，{3,1}{3}{1|3}0P X Y P X P Y X =======，33311{3,3}{3}{3|3}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，于是(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律为6. 袋中有1 个红球，2 个黑球与3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球.以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （1）求{}1/0P X Z ==；（2）求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律. 答案：（1）49（2）知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2 提示一：条件概率提示二：古典概型提示三：二维离散型随机向量的联合分布律提示四（同题解）题型：计算题题解：（1）{}1/0P X Z ==11122222{1,0}463{0}96C C P X Z P Z ======. （2）,X Y 的可能取值均为0,1,2, 且{}22310,064P X Y ====，{}11232210,163C C P X Y ====， {}22210,269P X Y ====，{}132211,066C P X Y ====，{}122211,169C P X Y ====，{}1,20P X Y ===，{}2112,0636P X Y ====，{}{}2,12,20P X Y P X Y ======. 所以二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为7. 箱内有6个球，其中红球，白球，黑球个数分别为1，2，3. 现从箱中随机地取两个球，以,X Y 分别表示取得的红球与白球的个数. 求随机变量(,)X Y 的联合分布律. 答案：知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2 提示一：古典概型提示二：二维离散型随机向量的联合分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：X 的可能取值为0,1, Y 的可能取值为0,1,2, 于是{}232610,05C P X Y C ====，{}11232620,15C C P X Y C ====，{}222610,215C P X Y C ====，{}11132611,05C C P X Y C ====，{}11122621,115C C P X Y C ====，{}1,20P X Y ===.所以随机变量(,)X Y 的联合分布律为8. 已知随机变量,X Y 以及XY 的分布律如下表所示，求{2}P X Y =. 答案：14知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系提示二：利用联合分布律计算二维离散型随机向量取值的概率提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：1{4}{2,2}12P XY P X Y =====; {2}{2,1}{1,2}0P XY P X Y P X Y ====+===;1{1}{1,1}3P XY P X Y =====; 由已知,X Y 的分布律可确定(,)X Y 取其他值时的概率，(,)X Y 的联合分布律为故{2}{0,0}{2,1}044P X Y P X Y P X Y ====+===+=. 9. 设随机变量X 的概率分布为2Y X =，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律.答案：知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系提示二：二维离散型随机向量的联合分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：{1,0}0P X Y =-==，1{1,1}{1}4P X Y P X =-===-=1{0,0}{0}2P X Y P X =====，{0,1}0P X Y === {1,0}0P X Y ===，1{1,1}{1}4P X Y P X =====10. 设随机变量X 与Y 独立同分布，其中X 的概率分布为记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =. 求(,)U V 的联合分布律. 答案：知识点：二维离散型随机向量的联合分布律参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系提示二：二维离散型随机向量的联合分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：4{1,1}{1,1}9P U V P X Y ======4{2,1}{1,2}{2,1}9P U V P X Y P X Y =====+=== 1{2,2}{2,2}9P U V P X Y ======. (,)U V 的联合概率分布律为11.设随机变量Z 服从[2,2]-上的均匀分布，令随机变量1,11,1Z X Z ⎧-≤-⎪=⎨⎪>-⎩若若，1,11,1Z Y Z ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若若，试求：（1）(,)X Y 的联合分布律；（2）关于X 和关于Y 的边缘分布律；（3）判断X 与Y 是否独立答案：（1）（2）（3）X 与Y 不独立.知识点：二维离散型随机向量的联合分布律，二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：二维离散型随机向量的联合分布律提示二：均匀分布提示三：由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律提示四：随机变量的独立性题型：计算题题解：（1）(,)X Y 的可能取值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1），且1211{1,1}{1,1}{1}44P X Y P Z Z P Z dx --=-=-=≤-≤=≤-==⎰{1,1}{1,1}0P X Y P Z Z =-==≤->=1111{1,1}{1,1}{11}42P X Y P Z Z P Z dx -==-=>-≤=-<≤==⎰2111{1,1}{1,1}{1}44P X Y P Z Z P Z dx ===>->=>==⎰故(,)X Y 的联合分布律为（2）X 与Y 的边缘分布律为（3）因为有1{1,1}{1}{1}4P X Y P X P Y =-=-=≠=-=-，故X 与Y 不相互独立.12. 设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，令0, ln 21, ln 2X U X <⎧=⎨≥⎩，0, ln31, ln3X V X <⎧=⎨≥⎩ （1）求(,)U V 的联合分布律；（2）判断U 与V 是否相互独立答案：(1)（2）U 与V 不独立.知识点：二维离散型随机向量的联合分布律，二维离散型随机向量的边缘分布律参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：二维离散型随机向量的联合分布律提示二：指数分布提示三：由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律提示四：随机变量的独立性题型：计算题题解：（1）{0,0}{ln2,ln3}{ln2}P U V P X X P X ===<<=<ln 211122x e dx -==-=⎰{0,1}{ln 2,ln3}0P U V P X X ===<>={1,0}{ln2,ln3}{ln2ln3}P U V P X X P X ===≥<=≤<ln 3ln 2111236x e dx -==-=⎰{1,1}{ln2,ln3}{ln3}P U V P X X P X ===≥≥=≥ln 313x e dx +∞-==⎰(,)U V 的联合分布律为(2) 由于{0,0}{0}{0}P U V P U P V ==≠==，所以U 与V 不独立. 13. 设(,)X Y 的联合概率密度为1(6),02,24(,)80,x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其他又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<. 求{(,)}P X Y D ∈ 答案：(1)38 (2) 524知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：（1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦；（2）13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫=-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524=.14.设(,)X Y 的联合概率密度为6(1),01(,)0,y x y f x y -<<<⎧=⎨⎩其他(1) 求}5.0,5.0{>>Y X P ； (2) 求}5.0{<X P 和}5.0{<Y P ； (3) 求}1{<+Y X P . 答案：(1)18 (2) 78,12 (3) 34知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2难度系数: 1提示一：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解： (1) }5.0,5.0{>>Y X P 11120.50.516(1)6(1)2x y dydx x dx =-=-⎰⎰⎰18=; (2) }5.0{<X P 0.510.520016(1)6(1)2x y dydx x dx =-=-⎰⎰⎰78=，}5.0{<Y P 0.50.50.5200116(1)6[(1)]24x y dydx x dx =-=--⎰⎰⎰12=;(3) }1{<+Y X P 0.510.5220016(1)6[(1)]2x x y dydx x x dx -=-=--⎰⎰⎰34=.15. 设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为(1),0,0,1(,)0,Ay x y x y x y f x y -->>+<⎧=⎨⎩其他 (1) 求常数A ;(2) 求{}P Y X <.答案：(1) 24 (2)14知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维连续型随机向量联合概率密度的性质提示二：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：(1) 由联合概率密度的正则性，有1101(,)(1)xf x y dxdy Ay x y dydx +∞+∞--∞-∞==--⎰⎰⎰⎰3310(1)(1)[]23x x A dx --=-⎰24A=, 所以24A =.（2）1112221{}24(1)12(12)4y yP Y X dy y x y dx y y dy -<=--=-=⎰⎰⎰. 16. 设随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F = )23)(22(ππ++y arctg x arctgA ，试求（1）A ；（2）),(Y X 的联合概率密度(,)f x y ；（3）求X 与Y 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（4）X 与Y 是否独立答案：(1)21π (2)2226(4)(9)x y π++ （3） 22()(4)X f x x π=+，23()(9)Yf y y π=+ （4）,X Y 独立知识点：二维随机向量的联合分布函数二维连续型随机向量的联合概率密度，二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P59, P63，P66 学习目标: 1，2 难度系数: 2提示一：二维随机向量的联合分布函数的性质提示二：二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系提示三：利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度提示四：随机变量的独立性题型：计算题题解：(1) (,)[][]12222F A ππππ+∞+∞=++=，21A π= （2）2226(,)(,)(4)(9)XY f x y F x y x y π''==++（3）22()(,)(4)X f x f x y dy x π+∞-∞==+⎰)9(3),()(2y dx y x f y f Y +==⎰+∞∞=π （4）(,)()(),X Y f x y f x f y x y ∴=⋅-∞<<+∞,X Y 相互独立.17. 设(,)X Y 的联合概率密度为(34)0,0,(,)0,x y x y ke f x y -+>>⎧=⎨⎩其他(1) 求常数k ；(2) 求(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y ； (3) 求{}01,02P X Y <≤<≤；(4) 求{}(,)P X Y D ∈，区域{}343,0,0),(<+>>=y x y x y x D .答案：(1) 12 (2) 340,0(1)(1),(,)0,x y x y e e F x y -->>⎧--=⎨⎩其他（3） 38(1)(1)e e ---- （4）314e --知识点：二维随机向量的联合分布函数二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P59, P63 学习目标: 1，2 难度系数: 2提示一：二维连续型随机向量联合概率密度的性质提示二：二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系提示三：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示四：（同题解）题型：计算题题解：(1) (34)01(,)x y f x y dxdy k e dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰34340()()1212x y xyk kke dx e dy e e +∞+∞---+∞-+∞===⎰⎰， 12k =; (2) 0,0x y >>(34)0(,)(,)12xyxyu v F x y f u v dudv e dudv -+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰34343400034()()(1)(1)xy u v u x v yx y e du e dv e e e e ------=⋅==--⎰⎰340,0(1)(1),(,) 0,x y x y e e F x y -->>⎧--=⎨⎩其他;(3) {}01,02(0,0)(1,2)(0,2)(1,0)(1,2)P X Y F F F F F <≤<≤=+--=38(1)(1)e e --=--; (4) {}331(34)4(,)(,)12x x y DP X Y D f x y dxdy e dxdy --+∈==⎰⎰⎰⎰133-3303(1)14x x e e dx e --=--=-⎰.18．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从(,)b b -上的均匀分布，求方程20t tX Y ++=有实根的概率.答案：4b ≤时，1242b +；4b >时，1-知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 3提示一：利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率提示二：均匀分布提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：设A ={方程有实根}，则A 发生240X Y ⇔-≥ 即 224()(4)(,)x yP A P X Y f x y dxdy ≥=≥=⎰⎰2242211()444x bb bbb x dxdy b dx b b ---==+⎰⎰⎰ 32211[2]46242b b b b =+=+， 4b ≤.2221(4)1()44x P X Y b dx b -≥=--⎰33222111[4(88)]412b b b =-+1=19．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他求X 和Y 的联合分布函数.答案：22220,00,,01,01(,),01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y F x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或知识点：二维随机向量的联合分布函数二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P59, P63 学习目标: 1，2 难度系数: 2提示一：二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系提示二：无提示三：无提示四：无题型：计算题题解1：设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，由联合概率密度定义有(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或题解2：由联合概率密度得边缘概率密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01()0,Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他，所以,X Y 独立.,X Y 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或20. 设随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合分布函数. 其中D 是由x 轴、y 轴及直线21y x =+所围三角形区域.答案：22210 02142 002121(,)441 02122 >00<11 >01x y xy y y x y x F x y x x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪+--<≤<≤+⎪⎪⎪=++-<≤>+⎨⎪⎪-≤⎪>⎪⎪⎪⎩，或，且，且，且，且知识点：二维随机向量的联合分布函数二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P59, P63 学习目标: 1，2难度系数: 3提示一：二维均匀分布提示二：二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系提示三：无提示四：无题型：计算题题解：图3-1 图3-2区域D 如图3-1所示.由二维均匀分布的定义知，(,)X Y 的联合概率密度为4, (,)(,)0, x y Dx y ϕ∈⎧=⎨⎩其他将区域分为五块区域，如图3-2 ① 当12x ≤-或0y ≤时因为(,)0x y ϕ=，所以(,)0F x y =； ② 当102x -<≤且021y x <≤+时，因为(,)4x y ϕ= 所以(,)(,)x y F x y u v dudv ϕ-∞-∞=⎰⎰1(1)24yx y dudv -=⎰⎰242xy y y =+-；③ 当102x -<≤且21y x >+时 (,)(,)x yF x y u v dudv ϕ-∞-∞=⎰⎰211 024xx dvdu +-=⎰⎰2441x x =++；④ 当0x >且0<1y ≤时,)(,)x y F x y u v dudv ϕ-∞-∞=⎰⎰（01(1)24y y dudv -=⎰⎰22y y =-；⑤ 当0x >且1y >时0211 02(,)4x F x y dvdu +-=⎰⎰1=.综上所述，(,)X Y 的联合分布函数为22210 02142 002121(,)441 02122 >00<11 >01x y xy y y x y x F x y x x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪+--<≤<≤+⎪⎪⎪=++-<≤>+⎨⎪⎪-≤⎪>⎪⎪⎪⎩，或，且，且，且，且. 21. 设(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布，其中G 是由0x y -=，2x y +=与0y =所围成的三角形区域, 求X 和Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y .答案：,01()2,120, X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，2(1),01()0,Y y y f x -≤≤⎧=⎨⎩其他知识点：二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度提示二：无提示三：无提示四：无题型：计算题题解： 1,01,2(,)0,y y x yf x y <<<<-⎧=⎨⎩其他当10≤≤x 时， 0()(,)1xX f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰当12x <≤时， 20()(,)12xX f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰,01()2,120, X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.当10≤≤y 时，2()(,)122y Y yf y f x y dx dx y +∞--∞===-⎰⎰2(1),01()0,Y y y f x -≤≤⎧=⎨⎩其他. 22. 设二维随机变量），Y X (的联合概率密度为, 01, 01(,)0, A x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求：（1）参数A ；（2）X 和Y 的边缘概率密度并判断X 和Y 是否独立；答案：(1) 1 (2) 1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他 1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他,X Y 独立知识点：二维连续型随机向量的联合概率密度，二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P63，P66 学习目标: 2 难度系数: 1提示一：二维连续型随机向量的联合概率密度性质提示二：利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度提示三：随机变量的独立性提示四：（同题解）题型：计算题题解：（1）(,)1f x y dydx +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，1A ⇒=（2）当10<<x 时，10()(,)11X f x f x y dy dy +∞-∞===⎰⎰当10<<y 时，10()(,)11Y f y f x y dx dx +∞-∞===⎰⎰()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，所以X 和Y 独立.23. 设(,)X Y 的联合概率密度为212,(,)0xy x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其他(1) 求,X Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ; (2) 问X 与Y 是否独立答案：(1) 256(),01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他， 256(),01()0,Y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他(2) ,X Y 不独立知识点：二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度提示二：随机变量的独立性提示三：无提示四：（同题解）题型：计算题题解：（1）当10≤≤x 时， 225()(,)6()X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰其他， 0)(=x f X当10≤≤y 时，225()(,)6()Y yf y f x y dx xydx y y +∞-∞===-⎰其他， 0)(=y f Y即256(),01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他, 256(),01()0,Y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他（2）因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不独立.24. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为215,01(,)0,xy y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他，求关于,X Y 的边缘概率密度()X f x , ()Y f y ，并判别X 与Y 的独立性.答案：(1) 45, 01()0, X x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他， ()22151, 01()20, Y y y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(2) ,X Y 不独立知识点：二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度提示二：随机变量的独立性提示三：无提示四：（同题解）题型：计算题题解：(1)()()24015, 015, 01,0, 0, xX xy dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他()()()12221515, 011, 01,20, 0, y Y xy dy y y y y f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤≤-≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他（2）因为()()(),X Y f x y f x f y ≠,所以，X 与Y 不独立. 25. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为6, 01(,)0, y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其他（1）试求关于X 与Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.答案：(1) 23,01()0,X x x f x ⎧<<=⎨⎩其他， 6(1),01()0,Y y y y f y -<<⎧=⎨⎩其他(2) ,X Y 不独立知识点：二维连续型随机向量的边缘概率密度参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度。

概率论课后习题第3章答案

第三章多维随机向量及其概率分布(一)基本题答案1、设X 和Y 的可能取值分别为.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有j i 与ٛ且,42≤+≤j i ./),(474223C C C C j Y i X p j i j i −−===因而或0),(===j Y i X P 2).2,1,0;3,2,1,0,4(<+j i ==>+j i j i于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p.35/1/)0,0(472212033113=======C C C C y Y x X P p即 2、X 和. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210~X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为3、Y 的分布函数为显知有四个可能值：).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y ),(21X X }{{}{}11−=e ,2,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−≤=≤≤===Y P Y Y P X X P 易知{}{}{}{}{},221−−−=e e 12<=P ,10,1,02,11,02121≤≤>====>≤===Y Y Y P X X P Y Y P X X P{}{}{},212,10,12121−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}−− {}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P于是，可将X 1和X 24、∑=====nm m n P n X P 0),()(ηζ∑=−−−−=nm mn m n e m n m p p 0)!(!)1(λλ()[]).,2,1,0(!1!)1()!(!!!==−+=−−=−−−=−∑n n e p p n e p p m n m n n e n n n mn m nm n λλλλλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.∑∑∞=−−∞=−−−−−=−−==mn mn m n mn m m mn m n m n p m e p em n m p p m Y P )!()1(!)!(!)1()(λλλλλ).,2,1,0(,!)(!)()1( ==⋅=−−−−m m ep e e m ep pmp mλλλλλλ即Y 是服从参数为λp 的泊松分布.5、由定义F （y x ,）=P {}∫∫∞−∞−=≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,;1>y ），必须对积分区域进行适当分块：等5个部分.10,10,1;1,1;10,100≤≤≤≤>>>≤≤<x y x y x y y x 或;0<≤≤x （1）对于有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于有 ;,10,10≤≤≤≤y x 2204),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .故X 和Y 的联合分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =∫∫+−x y t s dsdt ze)2())(())((200202yt x s y t x se e dt e ds e−−−−−−==∫∫=)1)(1(2y x e e −−−−即⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()()220(),22x x y x yxy xY X f x y dxdy dx e dy e e d +∞+∞−−−−<≤===−∫∫∫∫∫x∫∫∞+−−−∞+−−=−−=03220)(2)1(2dx e e dx e e x x x x .312131(2)2131(2023=−−=−=∞+−−x x e e7、（1）时，0>x ,0)(,0;)(=≤==∫∞+−−x f x e dy e x f X Xx y X 时即 ⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,)(x x e x f x X （2）{}2/111210121),(1−−≤+−−−+===≤+∫∫∫∫e e dy e dxdxdy y x f Y X P y x x xy8、（1）（i ）时,，;),()(计算根据公式∫∞+∞−=dy y x f x f X 0≤x 当10;0)(<<=x x f X 当时()();24.224.2)2(8.4)(202x x x y dy x y x f xx X −=−=−=∫0)(,1=≥x f x X 时当即⎩⎨⎧<<−=.,0;10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ）利用公式计算. 当∫∞+∞−=dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y112)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2223(8.422y y y y y y +−=+−=当时，1≥y .0)(=y f Y 即⎩⎨⎧<<+−=.0;10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y 121111222211111(2)((1(,1(,)1.22222P X Y P X Y f x y dxdy dx dxdy +∞+∞⎧⎫<<=−≥≥=−=−=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∪58、47809、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的面积为)2(X f ,2121=dx =∫x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,21),其它D y x y x (f易知，X 的概率密度为∫∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,0,1,21),()(2其它e x xdy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能机会，即为 k {}).9, ,1,0(101====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,; =k i k (0====i k Y i X P（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非k ）的机会为，知)90(≤≤k k 9/1{}.)9,,1,0,; =k i k (9/1≠===i k Y i X P 11、（1）因∫−=−=12,)1(12)1(24)(yy y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨⎧≤≤−−=;1)1/()1(2)(2其它x y y x y x f ηξ因()∫−=−=x y x ydy x x f 022,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩⎨⎧≤≤=.0,0/2)(2其它x y x y x y f ξη（2）因;1,121)(2/12∞≤≤==∫x x nxdy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,1121)(其它x y xnxy x y f ξη因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<=≤<==∫∫∞∞,002121102121)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011)(2其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=.0)(2其它x y x yx y f ξη（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫∞−−x x f x e dy e x f x xy ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0,)(其它x y e x y f y x ξη ;0,)(0>==∫−−y ye dx e y f y yy η .故在y>0时，0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0,01)(其它y x y y x f ηξ12、1(1)(2)2(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−==+++∫>，故12(1)(2)0,(/1)0.n nY X n y y f y −⎧−+>=⎨⎩其它 13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−,0001),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.0001),()(5.0y y e y F y F yY 由于独立.Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X αY X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(方法二：以的概率密度，可知 ⎩⎨⎧≥≥=∂∂∂=+−.00,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==.00,05.0),()(5.0y y e dx y x f y f yY ∫∫∞+∞+−+−==>>==1.01.01.0)(5.0.25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于)()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .2418161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有),(61)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得41)(==i x X P ,从而有 1218124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得 ),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 838121),(22=−===y Y x X P .类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(411213y Y P ==得31)(3==y Y P ,从而,.111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3. 将上述数值填入表中有1x1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 {}j P y X P j ⋅==1/6 1/2 1/3115、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P121212.16、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,021)(2y y ey f yY 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()y x f y f x Y =⋅(f X ⎪⎩⎪⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y（2）二次方程有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P yx y x 2122221),(}{−≤∫∫∫∫==≤∫−−=1022)(dx ex y=dx edx edx x x x 2101010222221211)21(−−∫∫−=−=−πππ21−=［∫∫∞−∞−−−−1022222121dx edx exx ππ］.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλμ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}∫∫∫∫∞+∞−+−≥==)(),(xy x xy dydx e dydx y x f μλλμ∫∫∞+∞+−−=)(dx dy e e xy x μλμλ ),0u dx ee x x +=⋅=∫∞+−−λλλμλ{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,,0,0)(z z z z F Z μλμ18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4，故{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：322411,X X Y X X Y ==记}{}{}{{}.84.016.01}0{0112121=−========Y P Y Y P Y P 16.01,132===P X X P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 4321X X X X X =~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有 ∑∑==−===−====i k ik k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00}{}{},{}{∑=+−−−−−=−−=iik ki n ki k i nkn kk n P p pC P p c 022111()1()1∑=−−+ik k i n k n in n C Cp 02121)(,,1,0,)1(212121n n i p p C i n n i i n n+=−=−++).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式并,0=rnC .12121∑=+−=ik i n n k i n k n C C C21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(22σσπy x x f X −−=);(+∞<<−∞x ⎩⎨⎧≤≤−=.,0,),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−]上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为.221)()()(222)(dy edy y f y z f z f a y z Y X Z ∫∫−−−−∞+∞−=−=ππμσππ令σμ−−=y z t ,则上式右端等于.(2122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=∫−+−−−σμπσμππππσμπσμπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.∵),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()[])(11)(11y F y X P i X i ni −−=>Π−==故 ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,001(1()(11y y n y y n y f n n n N θθθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数S=XY 的概率密度，可用分布函数微分法求之.依题设，知二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ,,0,2/1,若若设为S 的分布函数,则当{s S P s F ≤=)(}0≤s 时,()0=s F ；当时, .2≥s ()1=s F 现设0<s<2. 曲线s xy =与矩形G 的上边交于点(s,1);位于曲线s xy =上方的点满足s xy >,位于下方的点满足s xy <. 故(){}{}{}).ln 2ln 1(2211211121s sdy dx dxdy S XY P s XY P s S P s F s x s sxy −+=−=−=>−=≤=≤=∫∫∫∫>于是,⎩⎨⎧≥≤<<−=.20,0,20,2/)ln 2(ln )(s s s s s f 或若若（二）、补充题答案1.由于即{},0)(),,min(,,max =<==Y X P Y X 故知ηξηξ{}{}{}03,23,12,1=========Y X P Y X P Y X P ；又易知{}{}{}{},9/1111,11,1==⋅=======ηξηξP P P Y X P{}{},9/12,22,2======ηξP Y X P {}{},9/13,33,3======ηξP Y X P {}{}{},9/29/19/11,22,11,2=+===+=====ηξηξP P Y X P{}{}{},9/22,33,22,3===+=====ηξηξP P Y X P {}.9/29/711,3=−===Y X P 所以2.（1）x{}.,2,1,0,0,)1( =≤≤−===n n m P P C n X m Y P m n {}（2）{}{}n X P n X m Y P m Y n X P ======,.,2,1,0,0,!)1( =≤≤⋅⋅−=−−n n m e P P C n m n mm n λλ3.22)1()1()1()0()0()1(p p Y P X P Y P X P z P +−===+====)1(2)0()1()1()0()0(p p Y P X P Y P X P z P −===+====而，由2)1,1()1,1(p Y X P Z X P ======),1()1()1,1(=====Z P X P Z X P 得. 2/1=p 5.:设随机变量ξ和η相互独立，都服从分 )1,0(N 布.则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−⋅=)(21exp 21),(22y x y x p π.显然， ,),(),(∫∫∫∫<SGdxdy y x p dxdy y x p,其中 G 和S 分别是如图所示的矩形ABCD 和圆.22/)21(),(2∫∫∫−−=a ax Gdx e dxdy y x p π，令,sin ,cos ϕγϕγ==y x 则 ∫∫∫∫=ππ20221),(a aSdxdy y x p 所以221212/a aaxe dx e −−−−<∫π.6.设这类电子管的寿命为ξ，则（1）三个管子均不要替换的概率为；（2）三个管子均要替换的概率为 .∫∞+==>1502.3/2)/(100)150(dx x P ξ21(−27/8)3/2(3=27/1)3/3=7.假设总体X 的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数)(x f ,(1x f )(x F )()2x f i (n x )1(n i X i ≤≤i X )(),1n f x f x =.依题意，所求的概率为{}∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞−∞−∞−−−−=−==>>><n n n nx i x x x x n n nn nn n i n n n n dx x f dx x f dx x f dx x f dx dx xx f X X X X X X P 112211111,...,2,1121)(...)()()(),,(.,...,,∫∫∞+∞−∞+∞−−−==)()()()(11n n n n n n n x dF x F dx x f x F.1)(1n x F nn n=∞−∞+=8.)(),()(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ)()()(2121n P k n P k P =+−===ξξξξ.由普哇松分布的可加性，知服从参数为的普哇松分布，所以 21ξξ+21λλ+)(21212112121!)()!(!)(λλλλλλλλξξξ+−−−−+−⋅==+=e n e k n ek n k P n k n k.1211211kn kk n −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλλλλλ9.当，0≤z (),0)(=≤=z Z P z F z ,0>z 当()z Z P z F z ≤=)(∫∫−+−=20)2(02xz y x z dy e dx∫∫−−−−−−−==202012x z z z y z x ze e dy e dxe ，所以 Y X z 2+=的分布函数为 ⎩⎨⎧>+−≤=−.0,)1(1,0,0),(z e z z y x F z10.由条件知X 和Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他若,0,31,31,41),(y x y x p以表示随机{})()(∞<<−∞≤=u u U P u F 变量U 的分布函数.显然，当0≤u 时， 0)(=u F ；当时，； 2≥u 1)(=u F 当，则20<<u []∫∫∫∫≤−uy x y x p ||,(≤−−−=−−===uy x u u dxdy dxdy u F ||2)2(411)2(44141))(2u−于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0;20),2(21)(u u u p .11.记为这3个元件无故障工作的时间，则的分布函数321,,X X X ),,min(321X X X T ={}[][].)(1),,min(1(31321t X P t X X X P t F T −=>−(11)13X P t ≤−−=>)()t T P =≤=⎩⎨⎧≤>−=∴⎩⎨⎧=≤>−=−−,0,0,0,1)()3,2,1(,0,0,0,1)(~3t t e t F i t t e t F X t T t i λλ∵ 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==−.0,0,0,3)(')(3t t e t F t f t T T λλ。

(仅供参考)第3章-随机向量-练习题

1
23
1
1/9 0
0
2
2/9 1/9 0
3
2/9 2/9 1/9
不独立；（2） 1 / 3 。
6、某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，先从箱中随机抽
取一件产品，记
1, X i 0,
若取到i 等品其它
（i
=
1，2，3），试求：（1）随机变量 X1
（
（1）
f
( x,
y)
1 0
(x, y) D 其它
，
fX
(x)
2
2x 0
0 x 1 其它
，
fY
( y)
1
y 2
0
0 y2 ；其它
（2）2 / 3 ）
23、设（X，Y）的联合密度函数
cxex( y1) f (x, y)
0
x 0, y 0 其它
，求（1）常数 c；（2）判
断随机变量 X 与 Y 是否相互独立。（（1）1；（2）不独立）
值，并求 Z = X 2Y 的密度函数。
（
0.3413
；
fZ (z)
5
1 2
( z1)2
e 50
，z R
）
16、设随机向量（X，Y）服从二元正态分布，其密度函数为
(x, y)
1
1 (x2y2 )
e 200
， < x < + ， < y < + 。求概率 P ( X < Y ) 及随机向量（X，Y）
1
0
1 / 6 1 / 12
2
1/6 1/6 1/6

第3章随机向量3-2

21
例.(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y -1 0 1
EX 2 = ∑∑xi 2 pij =3/4
EX = ∑xi2 pi =3/4} {或者
2 i
i
j
1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8
同理
EY=0 EY2=3/4
求X,Y的相关系数ρXY. 解:根据
(1) 以上公式是在以上公式是在(X,Y)的联合分布已知情况下的联合分布已知情况下应用; 应用 (2) 一般地,常用计算方法计算方法为: 计算方法 cov(X,Y)=E(XY)-EXEY 其中 EX,EY, EXY , , 由定理定理3.2计算. 定理
13
随机变量的相关系数及其性质
1.定义 1.定义设随机变量X和Y的方差为正值,称
2 2
∞ ∞
∫ ∫ g(x, y) f (x, y)dxdy
∞
∞
所以,
DX=11/36,
+∞ +∞
DY=11/36
2 2
1 EXY = ∫ ∫ (xy) f (x, y)dxdy = ∫0 ∫0 xy (x + y)dxdy =4/3 ∞ ∞ 8
ρXY = (EXY EXEY)
DX DY
1 = 11
i i
i
j
(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
cov( X ,Y) =
+∞ +∞
∞ ∞
∫ ∫ (x EX )( y EY) f (x, y)dxdy
∫ ∫
∞ +∞ +∞ ∞
或者 cov( X , Y ) =
xyf ( x , y ) dxdy EXEY

_随机数学_习题解答第三章答案

第三章习题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++ij ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k kk ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij ij a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。