数学分析完整版本ppt课件
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大学数学分析ppt课件
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
Yunnan University
§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析课件
算一些复杂的极限表达式。
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
《数学分析》PPT课件
2 345
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
17-1 数学分析全套课件
z
P•
O
dh Q•
S
y x
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例1 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
例2 曲面z ( x2 y2 ) 3 在何处的切平面平行
于平面2x 2 y z 0，写出切平面方程
y0 )
fx ( 0x0,, y0x)2x
x2 y2
在 (0, 0)的连续性与可微型
y
2f
y ( 0x0 , y0
前页
)y
后页
0
返回
本次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )可微定义 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
A x B y o( ),
（1） fx ( x0 , y0 )与 fx ( x0 , y0 ) 存在
（2） lim (x,y )(0,0)
f ( x0 ,
y0 )
fx ( x0 , y0 )x x2 y2
f y ( x0 ,
y0 )y
0
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( , y) ( x x0 ) f y ( x0,) ( y y前0 )页. 后页 返回
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定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微. 此时，切平面方程为
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f
数学分析 第一章ppt
(1) y log(x 1) arctan 1 cos x
2
(2) y f ( x)
g ( x)
, 其中f ( x) 0, g ( x)为初等函数
3
(3) y 1 x x x
2
2016/8/27
解:
（ 1 ）初等函数 （2）初等函数 因为y f ( x)
2016/8/27
2
; 对于
(5)对于反正弦函数 y arcsin x和反余弦函数
（ 例1：求函数y log （x1 ） 16 x ）的定义域。
2
解:
16 x 2 0 x 1 0 x 1 1
?
1 x 2或2 x 4 定义域为： D (1， 2) （2， 4）
2016/8/27
解:
x （ 1 ）y 与y x是两个不同的函数 ,因为前者 x 的定义域为 (,0) (0,), 后者的定义域为 （ ， ），两个函数定义域不 同.
2
(2) y lg( x )与y 2 lg x是两个不同的函数，
2
因为前者的定义域为 (,0) (0,), 后者的定义域为（ 0， ），两个函数定 义域不同 .
S X \ S，其中S是X的一个子集
C X
有限集与无限集
若集合S由n个元素组成，n是确定的非负整数，则称
集合S为有限集。
不是有限集的集合称为无限集，前面所说的N,Z,Q,R 都是无限集。
无限集:可列集合不可列集
可列集：若一个无限集上的元素可以按某种规律排成一个序列，或者可以表示成 { } 如 正整数集
(4)反余切函数arc cot x
数学分析课件
P(a, b)
(a +θh, b +θk)
Q(a + h, b + k)
Φ(t ) = f (a + th, b + tk) 证 令 f (a + h, b + k) f (a, b) = Φ(1) Φ(0) 于是 上连续， 由定理的条件知 Φ(t) 在 [ 0, 1 ] 上连续，在 ( 0, 1 ) 内可微. 于是根据一元函数中值定理， 内可微 于是根据一元函数中值定理， 存在 θ 使得 P (a +θh, b +θ Φ(1) Φ(0) = Φ′(θ )
注意：这里的两个二阶混合偏导数是相等的. 注意：这里的两个二阶混合偏导数是相等的.
从上面两个例子看到， 注意 从上面两个例子看到，有
2z 2z , = x y y x
但这一结论并不总成立. 但这一结论并不总成立.
例如 f (x, y) =
x2 y2 2 2 xy 2 , x + y ≠0 2 x +y 0, x2 + y2 = 0
复合函数的高阶偏导数： 复合函数的高阶偏导数：
2z 设z = f ( x , y ), x = ( s , t ), y = ψ ( s , t ), 计算 2 . s z z x z y , = + s x s y s 2 z z = ( z x + z y ) = ( ) 2 s x s y s s s s
二 者 不 等
问题： 问题：备怎样的条件才相等？ 具备怎样的条件才相等？ 具 具备怎样的条件才相等
定理17.7 定理17.7 若 f ( x,y) 和 f ( x,y) 都在点( x , y ) 连续, 则 xy yx 0 0
(a +θh, b +θk)
Q(a + h, b + k)
Φ(t ) = f (a + th, b + tk) 证 令 f (a + h, b + k) f (a, b) = Φ(1) Φ(0) 于是 上连续， 由定理的条件知 Φ(t) 在 [ 0, 1 ] 上连续，在 ( 0, 1 ) 内可微. 于是根据一元函数中值定理， 内可微 于是根据一元函数中值定理， 存在 θ 使得 P (a +θh, b +θ Φ(1) Φ(0) = Φ′(θ )
注意：这里的两个二阶混合偏导数是相等的. 注意：这里的两个二阶混合偏导数是相等的.
从上面两个例子看到， 注意 从上面两个例子看到，有
2z 2z , = x y y x
但这一结论并不总成立. 但这一结论并不总成立.
例如 f (x, y) =
x2 y2 2 2 xy 2 , x + y ≠0 2 x +y 0, x2 + y2 = 0
复合函数的高阶偏导数： 复合函数的高阶偏导数：
2z 设z = f ( x , y ), x = ( s , t ), y = ψ ( s , t ), 计算 2 . s z z x z y , = + s x s y s 2 z z = ( z x + z y ) = ( ) 2 s x s y s s s s
二 者 不 等
问题： 问题：备怎样的条件才相等？ 具备怎样的条件才相等？ 具 具备怎样的条件才相等
定理17.7 定理17.7 若 f ( x,y) 和 f ( x,y) 都在点( x , y ) 连续, 则 xy yx 0 0
数学分析PPT课件汇总
常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少 有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯 一一个具有性质P的数。
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组 着 1 .
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少 有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯 一一个具有性质P的数。
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黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
数学分析课件
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黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组 着 1 .
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
相关主题
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边
b
( 或 黎 曼 积 分 ) ， 记 作 f(x)dx a
其 中 f ( x ) 称 为 积 分 函 数 ，x 称 为 积 分 变 量 ，[ a , b ] 称 为 积 分 区 间 ，a , b
分别称为积分 的上限和下限。 利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为
变力作功问题可表示为
b
S f (x)dx
oa x1
b xi1 i x i xn1
x
以 [xi1,xi]为底 f(， i)为高的小矩形面积
Ai f(ξi)Δix
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曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
当分割无限加,细 即小区间的最大长度
max{x1,x2, xn}
趋近于零( 0)时，
曲边梯形面积为
n
Alim 0i1
f(i)xi
i 1
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为 一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积 分下一个定义
定 义 设 f (x) 是 定 义 在 区 间 [a , b]上 的 一 个 函 数 ， 在 闭 区 间
[a, b] 上 任 取 n-1 个 分 a x1 x i1 x i x n b 把 [a,b] 分 成 n 个 小 闭 区 间 ， 我 们 称 这 些 分 点 和 小 区 间 构 成 的 一
||T||m ax { xi} 0近 似 程 度 就 无 限 高 .
将这种方法用于一般的曲边梯形： 在区间[ab, 内 ] 插入若干 ax0x1x2xn1xnb,
把区间 [a,b] 分成 n
个小区间 [ xi1, xi ]，
y
长度为 xi xi xi1;
在每个小区 [xi间 1,xi]
上任取一i点 ，
C D
图1 长江三峡溢流坝断面
，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
假设抛物线方程为 y 1x2 , x[0 , 1], 将[0,1] 等分成n
等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形第i 个小曲边梯形用
宽为 1
，高为
1
i
2
的矩形代替，
2. 变 力 所 作 的 功 : 4. 原 函 数 的 构 造 型 定 义 :
1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算， 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工 程 实 际 中 经 常 接 触 的 大 都 是 曲 边 图 形 ,他 们 的 面 积 怎 么 计 算 呢 ？ 我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
a
b
W F (x)dx a
例
用定义求积分
1 d x .
01 x2
解 分法与介点集选法如例 1 , 有
1 d x
01 x2
lim n
n i1
1
1 i
2
1 n
lim n
n
n
i1 n 2 i 2
.
n
上 式 最 后 的 极 限 求 不 出 来 ,
1
但却表明该极限值就是积分
dx
F F ( i ) , i [ xi1 , xi ]
在 [ xi1 , xi ] 上，力 F 作的功
2）求 和
Wi F ( i )xi
力 F 在 [a , b] 上作的功
n
n
W Wi F (i )xi
i1
i1
分 割 越 细 ， 近 似 程 度 越 高 ， 分 割 无 限 细 时 ， 即 分 割 细 度
y=1-x.^2;
y1='1-x.^2';
s n = s u m ( ( 1 / n ) * ( 1 - x . ^ 2 ) ) , b a r ( x , y , ' m ' ) s n = 0 . 7 1 5 0
n=10 情况
10Biblioteka 90.80.70.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
n=50 情况, S(50) = 0.6717
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
n=100 情况 S(100)=0.6717
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.6666
。
。
0.3
0.2
0.1
原理设计的，如图1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，
下面部分是圆弧。建造这样的大坝自
然要根据它的体积备料，计算它的体积就
需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢？在介绍微分定义
A B
时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾 ，但它们可以相互转化，早在三国时代， 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术”
第九章 定积分
教学目标：
掌握定积分概念及基本性质； 理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱 布尼兹公式； 掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法 等）。
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§1 定积分的概念
定积分概念的引入 一． 背景： 1. 曲 边 梯 形 的 面 积 : 3. 函 数 的 平 均 值 :
y
y
oa
bx o a
bx
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学
F(x)
A
B
F 虽 然 是 变 力 ， 但 在 很 短 一 段 间 隔 内 x ， F 的 变 化 不 大 ， 可 近 似 看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
1） 对 [a , b]作 分 割
a x 1 x i 1 x i x n b
当每个小区间的长度都很小时，小区间 [ xi1 , xi ] 上的力
.
01 x2
三．理解定积分定义要注意以下三点：
1） 定 积 分 定 义 与 我 们 前 面 讲 的 函 数 极 限 的 “ ” 定 义 形 式 上 非 常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定
了 细 度 || T || 以 后 ， 积 分 和 并 不 唯 一 确 定 ， 同 一 细 度 分 割 由 无 穷
再演示一下这个过程
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3）取 极 限 对 上 面 和 式 取 极 限 ，极 限 值 ,就 是 力 在 [a , b] 上 作 的 功 。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力 作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取 极限”，或者说都归结为形如
n
f ( i ) x i
黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20） 德国数学家，出生在德国一个乡村牧师家庭，在哥廷根大学 和柏林大学学习，1851年获博士学位1859年任教授，1886年 因肺结核去世。他四十年的生涯中，在数学许多分支，都作 出了划时代贡献。他在1851年的博士论文“复变函数论的基 础” 给出了保角影射的基本定理，是几何函数论的基础，1854年 定义了黎曼积分，又提出了关于三角级数收敛的黎曼条件。 同年在他的另一篇论文中引入n维流形和黎曼空间的概念，并定义了黎曼空间的曲 率，开辟了几何学的新领域。1857年他在关于阿贝尔函数的论文中，引入了黎曼面 概念，奠定了复变函数的几何理论基础，1858年他关于素数分布的论文，用黎曼函 数论述了素数的分布，开辟了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点分布 的黎曼猜想，至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论 等方面都有杰出贡献，不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家。