电子与物质相互作用

fn0 (q) 简化为偶极振子强度， fn0 (q) → fn ， fn 表示原子对入射光子的响应（光学吸收）。
Bethe 理论也可用来描述电子在固体中运动时的非弹性散射作用总贡献，这是由振子强度的求和规则
不随原子环境改变的性质决定的，尽管此时已不能准确求得各种非弹性散射机制（如价电子激发）的截面。
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射角较大时屏蔽和无屏蔽 Rutherford 散射截面很相近，图中难以区分。 更精确的截面是通过解 Schrodinger 方程计算原子势获得。此外，考虑包括电子自旋和相对论效应的
Dirac 方程，可以获得描述电子弹性散射的 Mott 截面。
Mott 载面
图 10.1.2 屏蔽和无屏蔽 Rutherford 散射微分截面的比较。
屏蔽 Rutherford 公式的优点是它的简单解析性，缺点是近似程度差，特别是对于重原子和电子能谱学
中的电子能量(数 keV 范围)，Born 近似已不再成立。严格准确的微分弹性散射截面应该由相对论的 Dirac
方程导出，Mott 在 1929 年用散射问题的普遍方法（分波法）得到了相对论性微分弹性散射截面的一般数
的作用超过后者，也就是说电子云屏蔽了原子核的一部分的作用。
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图10.1.1 电子在原子势场中散射的示意图。左图中为经典力学图像，在小面积 dσ 中的电子运动方向偏转θ 后被散射到立体角 dΩ 中，散射角θ 对应一个特定的碰撞参数 b 。右图为波动力学中电子散射的图像，散
射后球面波在θ 角方向的振幅为 f (θ ) ，动量转移为 q = k − k0 ，而散射前后的波矢大小或能量不变。
Bethe 理论
电子在物质中与原子的电子云发生碰撞，造成散射电子的能量损失。原子电子因而获得能量形成电子
态的激发，这个激发过程是相当复杂的。Bethe 发展的原子激发态的理论模型[3]相当简练，可应用于推导单 原子或气体分子的非弹性散射微分截面，其中引入的概念仍是现代理论的基础。每个原子电子的行为可以
分别是第
l
分波的自旋向上和自旋向下的
相移，它们需要通过求解散射电子波函数的径向 Dirac 方程得到[2]。 Pl (cosθ ) 和 Pl1 (cosθ ) 分别是勒让德
函数和第一阶缔合勒让德函数。
图（10.1.3）是 400 eV 入射电子的 Mott 弹性散射微分截面与屏蔽 Rutherford 截面的比较。从局部放大 小图可见，两者之间的差异很大，屏蔽 Rutherford 微分截面随散射角度平滑变化，而 Mott 微分截面在若干 特定的大散射角度处有极大值分布。这些极值是许多散射分波干涉的结果，并且当取大量分波后会消失。
该效应只有对低速电子中才显著，而在高能时，有更多的高阶相移仍对微分截面有很大的贡献。图（10.1.4） 显示计算出的一些元素的微分散射截面，对于重元素（如 Au），在能量低于 4 keV 时微分散射截面中开始 出现精细结构，随着能量降低，结构变得更加明显。但对于 Al 来说，即使在能量低至 500 eV 时也未出现 精细结构。图（10.1.5）显示的是极坐标下微分截面，从图中可以看出存在一些叶结构，最主要的叶结构
对于轻元素，上式在大角度散射时是一个合理的近似。由于没有考虑原子外层电子对原子核的屏蔽效
应，上式过高估计了小角散射几率，当θ → 0 时，微分散射截面发散，显然是不合理的。考虑外层电子的
屏蔽效应后，假设核势能随距离指数衰减，则屏蔽 Rutherford 截面可以写成：
⎛ ⎜⎝
dσ dΩ
⎞ ⎟⎠SR
=
e2iδl+ − 1
+l
e2iδl− − 1
Pl (cosθ ) ；
(10.1.10)
∑{ } ( ) ( ) g θ
=1 ∞ 2ik0 l=1
−e + e 2iδ
+ l
2
iδ
− l
Pl1
cosθ
，
(10.1.11)
式中， =k0 是散射电子的动量， k0 =
E2 − m2c4
=c
，δ
+ l
和
δ
− l
面一般可以写成下面的普遍形式：
dσ = f (θ ) 2 ，
dΩ
(10.1.1)
f (θ ) 是复散射振幅，为散射角θ 或散射矢量 q 的函数。在一级波恩近似中（电子同每个原子仅发生单次
碰撞），它正比于原子势V (r) 的三维 Fourier 变换。
∫ f
(θ
)
=
−
m 2π =2
drV (r )eiq⋅r ，
间历经的平均距离，其定义式是：
λe =
1 Nσ e
=1
⎛ ⎜⎝
NAρ A
σe
⎞ ⎟⎠
，
(10.1.13)
式中， N 是原子数密度， N A 是 Avogadro 常数， ρ 是材料的质量密度， A 是原子质量。对于多元素材料
如化合物或合金，总弹性平均自由程的倒数满足关系式：
∑ λ −1 e
=
Cia λei ，
用初始波函数 Ψ0 向终态波函数 Ψn 的跃迁描述，利用 Born 一级近似，跃迁的微分截面可以写成：
∑ d 2σin = 4π e2 1
dqdω a0q3 E
n
Fn0 (q) 2δ (ω − ωn0 ) ，
（10.1.15）
式中， =q 是运动电子转移到原子上的动量， F 称为非弹性散射因子或动态结构因子，等于跃迁矩阵元的
微分散射截面对整个立体角的积分就是总散射截面：
{ } σe
=
∫
dσ dΩ dΩ
=
2π
π
∫0
sinθ
f (θ ) 2 + g (θ ) 2 dθ ，
(10.1.12)
图（10.1.6）是对几种元素的计算结果，从图中可以发现，总散射截面随原子序数及能量变化一般是单调
的，但在低能量 10~100 eV 时，不再具有单调性。弹性平均自由程是电子在固体中运动相邻两次弹性碰撞
(10.1.2)
弹性散射微分截面可以进一步表示如下：
dσ dΩ
=
4 a02q4
F (q) 2
=
4 a02q4
Z
−
fx (q) 2 ，
(10.1.3)
式中， a0 是第一玻尔半径， Z 是原子序数， fx (q)是原子对入射 X 线的散射因子，等于原子电子密度的
Fourier 变换：
fx (q) = ∫ exp (−i2π q ⋅ r)ρ (r) dr 。
i
其中， Cia 代表的是第 i 组分的原子百分比。
(10.1.14)
图 10.1.6 几种元素的总弹性散射截面随能量的变化关系。
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10.1.2 非弹性散射
电子的非弹性散射现象在电子能量损失谱、俄歇电子能谱和光电子能谱的分析中都占有很重要的地 位，所以在理论和实验方面都进行了深入的研究。电子在材料内部运动时，非弹性散射主要表现为同价电 子和内壳层电子的相互作用，这两个作用对应于电子能量损失的不同区域。当入射电子能量在 10－104 eV 之间时，它与固体发生的非弹性散射主要来自两个部分：电离（单电子激发）和体等离子体激元激发（集 体振荡）。其中，电离又包括内壳层电子激发和价电子激发：价电子的激发几率要远大于内层电子的，但 是，在此激发过程中入射电子损失能量较小，发生大角度散射的机率也很小，因此价电子激发很难使入射 电子的方向发生明显改变；在内壳层电子激发过程中，因为结合能较大，其激发截面随能量的增加而迅速 减小，因而内壳层电子激发是电子发生大角度散射的几率也不大。然而，俄歇电子或光电子是在内壳层电 子激发后的驰豫过程中产生的，且电离时入射电子的能量损失很大，电离截面有十分重要的地位。
q 是散射矢量的模，
q
=
2k0
sin
θ 2
，
(10.1.6)
式中， =k0 = m0v 表示入射电子动量， q 是入射电子转移给原子核的动量， E = m0v2 2 为电子能量，则
Rutherford 微分弹性散射截面为：
⎛ dσ ⎞ ⎜⎝ dΩ ⎟⎠R
=
Z 2e4
4E2 sin4 (θ
2) 。
(10.1.7)
Rutherford 散射截面
描述带电粒子的弹性散射模型中，最早也是最简单的是由 Rutherford 提出的非屏蔽弹性散射模型（图
10.1.1）。经典力学和非相对论性量子力学（Born 近似下）都给出了同样的微分截面公式。设 fx (q)=0，得
到：
dσ = 4Z 2 ， dΩ a02q4
(10.1.5)
学表达式[1]。这是与自旋有关的电子弹性散射理论，分波法中需求解出射球面波的相移，并且通过对这些
分波的求和最终解出出射波函数的振幅。
dσ = f (θ ) 2 + g (θ ) 2 ，
dΩ
(10.1.9)其中，来自射振幅为：∑{ ( ) ( )} f (θ ) = 1 ∞ 2ik0 l=0
(l + 1)
(10.1.4)
该积分表示把所有小体积元的电荷的贡献根据相位的不同而累加起来。按照 X 射线衍射理论得知，原子内 电子对入射 X 射线的散射机制是，电子在电磁场作用下的受迫振荡后散发电磁波（球面波）。由此可见，
原子对电子的散射振幅式中出现 fx (q)的原因是，电子云对两种入射粒子（电子和光子）的散射有内在的
(q)
2δ
(ω
−
ωn
)
，
(10.1.17)
Fn0 (q) 2 是一个无量纲因子，与目标原子有关，而与入射电子速度无关。式中的 fn0 (q) 称为一般化振子
强度，
fn0
(q)
=
=ωn R
Fn0 (q) 2
qa02