积分变换法ppt

1.积分变换
通过积分运算，把一个函数 f (x) 变换为另一个函数
F(a)，即F(a) f (x)K(a, x)dx
K(a, x)：积分变换的核，决定了变换的具体形式
f (x)：原函数，F(a)：像函数 几种积分变换：
傅里叶变换 拉普拉斯变换 梅林变换
f
(k)
1
(2 )1/2
f
( x)eikx dx
l l
f
( )eikn d ]eiknxkn
数学物理方法
Lim Lim 1
f (x)
[
2 kn 0 n
l l
f
( )eikn d ]eiknxkn
1
2
kn 0
[
n
l l
f ( )eikn d ]eiknxkn
（定积分定义） 1
[
f ( )eik d ]eikxdk
2
三维形式的傅里叶积分：
2 n1 2
2i
a0 ( an ibn eiknx an ibn eiknx )
2 n1
2
2
cn eikn x
n
数学物理方法
为了求系数
cn
需证明：
1 2l
e d l i(kn km )
l
nm
当n m时， 1 l ei0 d 1
2l l
当n m时， 1 l e d i (nm)/l 1
f ( p) f (t)e ptdx
0
F (a) f (t)xa1dx
0
数学物理方法
2.为什么进行积分变换？
（1）经过变换后，函数关系变得简单。 如：常微分方程 代数方程；
奇异函数（阶跃函数、 函数、格林函数等）规则函数
（2）对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于无界 问题，积分变换法适宜。
设想周期函数的周期2l 不断增大而趋于无穷，即自变量
每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有限值，函
数并不重复变化，即它已经转化为非周期函数。此时可以把
符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。可以证明： 如果定义在 (, ) 的函数在任一有限区间上满足狄利克雷
条件，且绝对可积( f (x) dx有界）。则在 f (x)的连续点处，傅
1 2l
l
l
f
l
( )eikn
1 kn
l
d
代入到 f (x) cneiknx 中得
n
Lim Lim f (x)
[ 1 l f ( )eikn d ]eiknx
[ 1 kn l f ( )eikn d ]eiknx
2l l n
l
2 kn 0 n
l
Lim 1
[
2 kn 0 n
里叶积分存在：
f (x) 1
2
f ( )eik d eikxdk
若 f (x)的第一类间断点处，积分等于 1 [ f (x 0) f (x 0)] 2
——傅里叶积分定理
数学物理方法
从傅里叶级数到傅里顺积分的过渡：
由于l ，所以相邻两kn值之差为
kn
kn1 kn
l
0
将
cn kn
一个以2l 为周期的函数 f (x)，若在区间[l,l]满足狄利克
雷条件：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有
限个极值点，则 f (x)在[l,l]上可展开为傅里叶级数
利用三角函数f (的x)正交a20关系n1，(a可nco得s nl
x
bnsin
n
l
x
)
an
1l l l
f
( )cos
关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题），但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤）。
数学物理方法
3.积分变换法求解数理方程的基本思想
n d
l
bn
1l l l
f
( )sin
n d
l
(n 0,1, 2, )
(n 1, 2, )
数学物理方法
傅里叶级数的复数形式（指数形式）：
令kn
n
l
，则
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos kn x
bn
sin
kn x)
a0 [ an (eiknx eiknx ) bn (eiknx eiknx )]
f
( x1 ,
x2
,
x3 )
1 (2
)3
[ f ( , , )e d ]e dk dk dk
i(k11k22 k33 )
i(k1x1k2x2 k3x3 )
12 3
123
123
采用记号：（书写方便）
3
x xiei i1
3
iei i1
3
k kiei i1
d 3 d1d2d3
cn
n
1 2l
e dx l i(kn km ) x
l
1 2l
l f (x)eikmxdx
l
cnnm cm
n
cn
1 2l
l f ( )eikn d
l
二、傅里叶积分和傅里叶积分定理
已知：满足狄利克雷条件的周期性函数 f (x)可展开成傅 里叶级数。
问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
数学物理方法
如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找到适
当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解
问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而
得到所要求的解。从物理上讲，经过积分变换后，域发生
了变化。 例：
e it
时间域t 频率域
e ikx
空间域 波矢域
数学物理方法
第一节 傅里叶变换
一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
d 3k dk1dk2dk3 k k11 k22 k33
f
(x)
1
(2
)3
[
f ( )eik d 3 ]eikxd 3k
数学物理方法
f (x) 1
2
f
(
)eik
d
eikxdk
傅里叶积分的三角形式：
f (x) 1
dk
d f ( )eik (x )
2
1

d f ( ) dk[cos k(x ) i sin k(x )]
2
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦项是 k
的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f (x) 1
dk
f ( ) cos[k(x )]d
0
1
dk{[
f ( ) cos k( )d ]cos(kx) [ 1
l
l d[ei (nm)/l ]
2l l
2l i (n m) l
1
ei (nm)/l
i2l(n m)
l l
0
1
2l
e d l i(kn km )
l
nm
数学物理方法
对 f (x) cneiknx 两边同乘以eikmx，再对 x从l到l积分得
n
1
2l
l l
f
( x)eikm x dx