数学建模实验答案_概率模型

实验10 概率模型（2学时）

（第9章 概率模型）

1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2）

关于每天报纸购进量的优化模型：

已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。

求每天购进量n 份，使日平均收入，即

1

()[()()()]()()()n

r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞

==+=----+

-∑∑

达到最大。

视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足

*

()n a b

p r dr a c

-=

-⎰

已知b =0.75, a =1, c =0.6，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？

[提示：normpdf, normcdf]

要求：

(1) 在同一图形窗口内绘制10

()()n

y n p r dr =⎰和2()a b

y n a c

-=

-的图形，观察其交点。

[提示] 22

()2()r p r μσ--

=

，0

()()()n n

p r dr p r dr p r dr -∞

-∞

=-⎰⎰

⎰

☆(1) 运行程序并给出结果：

(2) 求方程0()n

a b

p r dr a c

-=

-⎰的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。

mu=500;sigma=50;

a=1; b=0.75; c=0.6;

r=n+1;

while (a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6

r=r+1;

end

r=n+1:r;

G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma));

r=0:n;

G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma))

☆(2) 运行程序并给出结果：

2.（编程）轧钢中的浪费p307~310

设要轧制长l =2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。

平均每得到一根成品材所需钢材的长度为

()

()

m

J m

P m

=

其中，

2

2

()

2

()(), ()

2

x m

l

P m p x dx p xσ

πσ

-

-

∞

==

⎰

求m使J(m)达到最小。

等价于求方程

()

()

z

z

z

λ

ϕ

Φ

=-

的根z*。

其中：

()z Φ是标准正态变量的分布函数，即 ()()z

z y dy ϕ∞

Φ=⎰

()z ϕ是标准正态变量的概率密度函数，即

22

()z z ϕ-

=

*

,,*z l m m

l

z σσ

μσ

λμλ-=⇒=

=

-=

(1) 绘制J (m )的图形（l =2, σ=0.2），观察其最小值的位置。

★(1) 给出程序和运行结果：

(2) 求使J (m )达到最小值的m *。

由(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。分别用求无约束最小值的MATLAB 函数fminbnd, fminsearch, fminunc 求解，并比较结果。

★(2) 给出程序及运行结果（比较[310]）：

(3) 在同一图形窗口内绘制1()

()()

z y z z ϕΦ=和2()y z z λ=-的图形，观察它们的交点。（参考题1的(1)）

★(3) 给出程序及运行结果（比较[309]图2）：

z=-2:0.1:2;

y1=(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1); l=2; sigma=0.2;

(4)求方程

()

()

z

z

z

λ

ϕ

Φ

=-的根z*，并求m=l-σz*。（参考题1的(2)）

提示：由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。

★(4) 给出程序及运行结果（比较[310]）：

3.（验证）航空公司的预订票策略p313~316

模型如下：

给定λ, n , p , b /g ，求m 使单位费用获得的平均利润J (m ) 最大。

∑--=---+-=1

1])()/1([1

)(n m k k p n k m g b qm n m J λ

约束条件为 1

()(01)m n j j k k P m p α

α---==

≤<<∑

其中：

m 预订票数量的限额。 λ( < 1 ) 利润调节因子。 n 飞机容量。

p 每位乘客不按时前来登机的概率，q = 1 – p 。 b 每位被挤掉者获得的赔偿金。 g 机票价格。

b /g 赔偿金占机票价格的比例。

不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布，其概率为

p q p q p C k K P p k m k k

m k -=≤≤===-1,10,)(

被挤掉的乘客数超过j 人的概率为

∑---==

1

)(j n m k k

j p

m P

（等价于m 位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m – n – j – 1

人）

该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。