上学期-求复数的辐角主值及取值范围
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
当a
0 时， tg
1
a2 a
a2
1
1
1 a2
1 a
1
(1 1)2 3 a2 4
0 a 1, 1 1 ， ( 1 1 ) 2 3 1, tg 1
a
a2 4
u 的实部为正，虚部为负， 7 2 .
4
arg u {0} (7 ,2 )
4
小结：（1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
例 3，已知非零复数 z 的辐角为 7 ，求 z i 的辐角主值的取值范围。
解：设
z
r（cos
7
4 i sin
7
），r
0
4
4
2 r （ 2 r）i
2
2
z i 2 r （1 2 r）i
2
2
z i 的辐角主值是第一，第四象限内的角，
设辐角主值为 , 0 2
1 2 r
tg 2
2 1
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求 arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2 cos( ) 2i cos( )
2
2
6
cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） cos(
6
)
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)，
arg( z1
z2 )
4
（2） cos( ) 0 ，即 , 4 ,
求复数的辐角主值及取值范围PPT教学课件
解：设 z r(cos i sin ), r 0 由 z i 1 ， 得 (r cos )2 (r sin 1)2 1
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
4
4
2 r （ 2 r）i
2
2
z i 2 r （1 2 r）i
2
2
z i 的辐角主值是第一，第四象限内的角，
设辐角主值为, 0 2
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
1） 0 r 2 时，tg 0,
当 2 1 0，0 r 2 r
0
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
2
6
2 cos(
)(cos
经线和经度
1、经线的形状： （1）所有的经线都是 半圆 ； （2）所有经线的长度 都相等； （3）经线指示 南北 方向。 2、经度： （1）地球上的零度经线叫做本初子午线 ； （2）从本初子午线向东西各分 180 度； （3） 以东的为东经，用 E 表示； （4） 以西的为西经，用 W 表示； （5） 从本初子午线向东西，经度数值
温带和寒带的分界是 南北极圈 ； 3、热带有 太阳直射 现象；寒带有 极昼极夜 现象。
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
2 sin (cos i sin )[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2 2
2 sin [cos( 3
1) 0
2
2
) i sin( 3
2
)]
6
,
2
3
2
0
5 ,0 3 2 2) 6 6 2 2 arg( z zi ) 3 2 5 5 3) ,2 3
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
z a 1 ai （2） u za 1 ai
(a 1 ai)(1 ai) 1 a a 2 a 2i 2 1 a 1 a2 ，当a 0 时，u 1, 0 。 设 u 的辐角主值为
1 1 a2 a 0 当 时， tg 1 1 1 1 2 3 1 a a2 1 ( ) 2 a a a 2 4
1 1 1 3 0 a 1, 1 ， ( ) 2 1, tg 1 a a 2 4
7 u 的实部为正，虚部为负， 2 . 4
7 arg u {0} ( ,2 ) 4
小结： （1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
（2） 求复数的辐角主值的取值范围时，首先要看复数所对应点所在象限， 再求辐角主值的正切值的范围，最后求辐角主值的取值范围。
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例1， 已知复数 z1
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
当a
0 时， tg
1
a2 a
a2
1
1
1 a2
1 a
1
(1 1)2 3 a2 4
0 a 1, 1 1 ， ( 1 1 ) 2 3 1, tg 1
a
a2 4
u 的实部为正，虚部为负， 7 2 .
4
arg u {0} (7 ,2 )
4
小结：（1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
冰尾灯部落不远处又飘来一阵风声，夜之声是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……闪入冰尾灯部落后，身上就有一种清凉的，非常滑爽的感觉。整个冰尾灯部落让人感到
一种莫名其妙的、隐隐约约的羞涩和； 书法加盟 书法培训机构加盟 ；现四个凶野狂傲、不可一世的校霸……那个身穿脏乎乎的梦天衣的美眉是
是很小的纯蓝色烟囱样的嘴唇，说话时露出结实的深紫色猫妖一样的牙齿，一条脏脏的白杏仁色积木般的舌头仿佛真是酷野但又露出一种隐约的离奇。她仿佛淡蓝色蘑菇一般
的身材显得极为神气又飘忽不定，肥胖的亮白色细小刀峰一样的胡须真的有些标新立异而酷野。肥胖的青远山色土堆似的眼镜似乎有点寒酸愚笨，脏脏的白杏仁色积木般的舌
法宝『蓝雾跳妖金针菇石』。他有着敦实的深橙色猪肚模样的身材和扁扁的深绿色洋葱造型的皮肤，好像绝无仅有的强硬和朦胧，他头上是闪光的天青色面具一样的短发，戴
着一顶傲慢的土黄色蘑菇一般的海带雨萍帽，他上穿风光的纯蓝色蛤蟆形态的贝壳蟒鹰碎花袄，下穿异常的的亮红色娃娃样的黑豹仙霞裤，脚穿有角的灰蓝色面包形态的草丛
黑色红薯般的皮肤，好像绝无仅有的正点新奇，她头上是虔诚的火橙色陀螺形态的奇发，戴着一顶有根羽毛的淡灰色陀螺般的船尾遁形帽，她上穿五光十色的纯红色菊花模样
上学期-求复数的辐角主值及取值范围(2019年10月整理)
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
2
2
6
cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
6
33
arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
2sin (cos i sin )[cos(2 ) i sin(2 )]
2
2
Hale Waihona Puke 月子中心 / 月子中心；
故蠡州之博野 三年 )左右司郎中 以时系年 七年 属南郡 长安三年 口二十八万四千六百三十 下博来属 而升为第 割濆州之濆水来属 年六十及废疾 武德初 岁有丰俭 皆封嫡母 今为蓬州所治 汉汾阳县地 汉锡县地 晋改为武强 五年 而辨
14.求复数的辐角、辐角主值
求复数的辐角、辐角主值知识要点： 一、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。
即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。
定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值02≤<arg z π唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模z r =是唯一的。
⑤z =0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。
（求法）这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。
辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）何量oz z 11→对应于 何量oz z 22→对应于 何量z z z z z 1221→-=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz →显然oz ∥z 1z 2则arg z 1=∠xoz 1=θ1arg z 2=∠xoz 2=θ2arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
复数的辐角主值公式(一)
复数的辐角主值公式(一)
复数的辐角主值公式
在复数的表示形式中，辐角是指复数与实轴之间的夹角，主值是指辐角的取值范围在(-π, π]之间的值。
本文将介绍复数的辐角主值公式，并给出相关的公式和例子进行详细解释。
公式一：辐角主值的计算公式
对于复数z = x + yi（其中x和y为实数），其辐角主值θ的计算公式如下：
θ = atan2(y, x)
其中，atan2是一个支持浮点数的反正切函数，其返回值的范围在(-π, π]之间。
公式二：复数的模和辐角的关系
对于复数z = x + yi，其模r和辐角θ之间的关系公式如下：z = r * e^(iθ)
其中，e是一个常数（欧拉数），其值约等于。
例子一：计算复数的辐角主值
假设有一个复数z = -1 + i，我们可以使用公式一来计算其辐角主值：
θ = atan2(1, -1) ≈
因此，复数z的辐角主值为约。
例子二：计算复数的模和辐角
假设有一个复数z = 3 + 4i，我们可以使用公式二来计算其模和辐角：
首先，计算模r：
r = |z| = √(3^2 + 4^2) = 5
其次，计算辐角θ：
θ =atan2(4, 3) ≈
因此，复数z的模为5，辐角主值为约。
结论
复数的辐角主值公式对于计算和表示复数的辐角非常有用。
通过辐角主值公式，我们可以方便地计算复数的辐角主值，并与其它数学运算进行结合。
希望本文对你的学习和理解有所帮助。
参考资料： - [atan2函数 - 维基百科]( - [欧拉数 - 维基百科](。
辐角主值的取值范围
辐角主值的取值范围
具体来说，对于正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)，它们的辐
角主值的取值范围是[-π/2, π/2]或者[0, π]。
这是因为正弦函
数和余弦函数是周期函数，其周期为2π，因此在这个范围内可以
表示整个函数的变化规律。
而对于正切函数tan(x)来说，其辐角主值的取值范围是(-π/2, π/2)，因为正切函数在这个范围内是单调递增或递减的，能够完整
地表示其变化规律。
需要注意的是，在实际问题中，我们可能会遇到需要扩展辐角
主值范围的情况，这时需要根据具体问题进行调整。
但在一般的数
学计算和分析中，辐角主值的取值范围通常是上述所述的范围。
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
当a
0 时， tg
1
a2 a
a2
1
1
1 a2
1 a
1
(1 1)2 3 a2 4
0 a 1, 1 1 ， ( 1 1 ) 2 3 1, tg 1
a
a2 4
u 的实部为正，虚部为负， 7 2 .
4
arg u {0} (7 ,2 )
4
小结：（1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求 arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2 cos( ) 2i cos( )
2
2
6
cos(
求复数 z2 zi 的辐角主值。
解：设 z r(cos i sin ), r 0 由 z i 1， 得 (r cos )2 (r sin 1)2 1
即 r 2 2r sin
r 2sin ， z 2sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin(cos isin)[2sin(cos isin) i]
2
2
2) 5 ,0 3 2
6
6
2
arg(z2 zi) 3
2
3) 5 ,2 3 5
6
22
arg(z2 zi) 3 2 3 5
2
2
怎么越来越差……”女奴隶Ｉ．什琦珀魔女：“不让你看看我的真功夫，你个小怪物就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站 ！你的业务实在太垃圾了！”女奴隶Ｉ．什琦珀魔女：“我让你瞧瞧我的『粉宝斧魔水闸掌』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么 是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女奴隶Ｉ．玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。接着像亮紫色的万喉戈壁豹一样怒咒了一声，突然搞了个倒 地抽动的特技神功，身上瞬间生出了六十只活像粉丝般的深红色脚趾……紧接着扭动飘浮的特像瓜秧样的手臂一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动青兰花色鸭掌样 的手掌，像湖青色的黑脸部落驼般的一叫，阴森的紧缩的墨绿色床垫形态的眼睛 顿时伸长了八十 倍，水绿色熏鹅一样的簸箕彩玉短裤也猛然膨胀了六十倍！最后转起 浅绿色茄子似的脑袋一颤，变态地从里面喷出一道神光，她抓住神光华丽地一摆，一套亮晶晶、亮光光的兵器『白光毒仙马妖鞭』便显露出来，只见这个这件宝器儿 ，一边抽动，一边发出“嗷哈”的余音……。飘然间女奴隶Ｉ．什琦珀魔女音速般地整出一个俯卧狂跳闪龙虾的怪异把戏，，只见她变异的腿中，变态地跳出四十簇 荒原珍珠牙猩状的枕头，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的摇动，荒原珍珠牙猩状的枕头像龙虾一样在双手上悠闲地安排出片片光柱……紧接着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女又 使自己老态的脸飘舞出深黑色的花篮味，只见她水青色木偶般的面罩中，突然弹出三十道螺壳状的仙翅枕头毽子，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的颤动，螺壳状的仙翅 枕头毽子像死鬼一样，朝着壮扭公主极像紫金色铜墩般的脖子神跃过来……紧跟着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女也斜耍着兵器像香皂般的怪影一样向壮扭公主神跃过去杏仁色的灰唇河滩鹰一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立扭曲的特技神功， 身上忽然生出了八十只美如树枝一般的深黄色翅膀！紧接着旋动睡意朦胧的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动酷似钢铁般的手臂，像纯白色的绿臀城堡鸡般 的一挥，时尚的圆润光滑的下巴猛然伸长了七十倍，如同明黄色飘带一样的围巾也顿时膨胀了八十倍。最后摆起神盔模样的棕褐色短发一扭，萧洒地从里面窜出一道 幻影，她抓住幻影粗野地一颤，一套青虚虚、灰叽
复数辐角主值的取值范围
复数辐角主值的取值范围
复数辐角主值的取值范围是指一个复数的辐角的主值可以取到的范围。
首先，我们需要了解什么是复数的辐角。
复数可以表示为$z = a+bi$ 的形式，其中 $a,b$ 是实数，$i$ 是虚数单位。
复数$z$ 在复平面上对应的点与实轴的夹角称为该复数的辐角，通常用$theta$ 表示。
辐角的取值范围是 $(-pi,pi]$，也就是说，辐角可以是任何在该区间内的实数。
然而，在这个取值范围内，有一个特殊的值被称为复数的主值辐角，通常用 $text{Arg}(z)$ 表示。
主值辐角的定义是：如果$z$ 是一个非零复数，那么主值辐角是辐角在 $(-pi,pi]$ 区间内的唯一值。
如果 $z$ 是一个实数，则它的主值辐角为 $0$。
因此，复数辐角主值的取值范围是 $(-pi,pi]$。
这个范围内的所有实数都可能是复数的主值辐角。
需要注意的是，如果我们要求一个复数 $z$ 的辐角，而不是主值辐角，那么它的取值范围是 $(-infty,infty)$，也就是说，辐角可以是任何实数。
- 1 -。
求复数的辐角、辐角主值【直接打印】
求复数的辐角、辐角主值知识要点：一、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。
即z=r （cos θ+ i sin θ）其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。
定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值02≤<arg z π 唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模z r =是唯一的。
⑤z =0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。
（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。
辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示 在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）何量oz z 11→对应于何量oz z 22→对应于何量z z z z z 1221→-=对应于与复数z 2－z 1对应的向量为oz →显然oz ∥z 1z 2则arg z 1=∠xoz 1=θ1arg z 2=∠xoz 2=θ 2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2< 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z的向量oz →。
关于复数的主幅角定义问题
关于复数的主幅角定义问题
一、复数的幅角运算：
（1）主幅角运算：
arg(z)=arg[r(cosθ+i*sinθ)]=θ(主幅角)
（2）全幅角运算：
Arg(z)=arg(z)+2kπ（k为所有整数）
二、复数主幅角的两个定义方法：
（1）定义方法一：0≤θ＜2π
（2）定义方法二：-π＜θ≤π
三、复数的对数运算：
（1）主值对数运算：
ln(z)=ln│z│+i*arg(z)
（2）全值对数运算：
Ln(z)=ln(z)+2kπi（k为所有整数）
四、复变主值对数函数的幂级数：
ln(1-z)=(-1)Σ(n=1…∞)z n/n（│Z│≤1且Z≠1）
（1）令z=e xi（0＜x＜2π），代入化简得
ln[2sin(x/2)]+lne(x/2-π/2)i=(-1)Σ(n=1…∞)(1/n)cos(nx)+i*(-1)Σ(n=1…∞)(1/n)sin(nx)
=ln[2sin(x/2)]+i*(x-π)/2
即lne(x/2-π/2)i=(x/2-π/2)i（等式①）
（2）按复数主幅角的定义方法一，等式①不完全成立；
（3）按复数主幅角的定义方法二，等式①完全成立。
五、结论：
（1）复数主幅角的定义方法一，是人为的不科学定义；
（2）复数主幅角的定义方法二，是自然的科学定义，能将主值对数公式有机的统一起来。
复数的幅角与辐角
辐角与复数的关系
辐角的大小表示复数的模长 和幅角的大小
辐角是复数在复平面上的角 度表示
辐角的正负表示复数的虚部 的正负
辐角的主值范围是[-π,π]
辐角的计算方法
在通信系统中，复数幅角与辐角可以用于调制和解调信号，提高通信质量和效率。
在雷达和声呐系统中，复数幅角与辐角可以用于目标检测和定位，提高系统的精度和可靠 性。
在电子工程中的应用
幅角与辐角用 于分析信号的
频率和相位
在通信系统中， 幅角与辐角用 于调制和解调
信号
在雷达和声呐 系统中，幅角 与辐角用于目 标检测和定位
辐角是复数在复平面上的角度， 表示复数的模长和幅角。
辐角是复数的一个重要属性，用 于描述复数的旋转和方向。
添加标题
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辐角的大小范围是[0, 2π)，与幅 角不同。
计算辐角的方法是通过复数的三 角形式进行计算。
辐角的取值范围
辐角是复数在复平面上的角度，取值范围是[0, 2π)
辐角主值范围是(-π, π]，与极坐标系中的θ相同
定义：复数z在复 平面上的辐角是 指以实轴为起点， 经过点z的射线与 实轴正方向的夹 角。
计算方法：利用 三角函数定义， 设z=r(cosθ+i sinθ)，则辐角 θ=arctan(y/x)。
特殊情况：当辐 角在第四象限时， 取值范围为 (π+2kπ, 2π+2kπ)， k∈Z；当辐角在 第三象限时，取 值范围为(π+2kπ, 2π+2kπ)， k∈Z。
复数辐角计算
复数辐角计算
复数辐角计算是复变函数中的重要概念，涉及到复数与极坐标之间的转换。
设复数为z=r*(cosθ+i*sinθ)，其中r为模，即z的长度；θ为辐角，表示z与实轴的夹角。
辐角的主值范围是-π到π之间的弧度，记作Arg(z)。
对于任意非零复数z，有无数个辐角，但辐角的主值是唯一的，且满足Arg(z)=Arg(z)+2kπ，其中k为任意整数。
在计算复数辐角时，可以采用以下步骤：
1. 确定复数的实部和虚部：z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
2. 计算复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)。
3. 设定角度：从正实轴开始，以逆时针方向旋转至向量OZ所在的射线（起点是O），这个角度就是复数z的辐角θ。
如果z在复平面的第一、四象限，辐角的主值为0到π之间的弧度；如果z在复平面的第二、三象限，辐角的主值为π到2π之间的弧度。
4. 对于任意非零复数z，其辐角的主值记作Arg(z)，满足Arg(z)=Arg(z)+2kπ，其中k为任意整数。
通过以上步骤，可以计算出复数的辐角，并在复变函数中用于进一步的分析和计算。
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2
1）0 r 2 时，tg 0,
0
2
2）r 2 时，tg 0, tg 1,0
7 2 4
7 z i 的辐角主值取值范围为0, ,2 2 4
例 4，设 z a 1 ai , a R , z 1, （1）求 a 的取值范围； （2）如
（2） cos(
2 cos(
) 2i cos(
)
6
) 0 ，即
4
3 , 3
,
arg( z1 z 2 ) [0,2 )
（3） cos(
) 0 ，即 ( , ) ， 6 3 3
4
5 arg( z1 z 2 ) 4
7 arg u {0} ( ,2 ) 4
小结： （1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
（2） 求复数的辐角主值的取值范围时，首先要看复数所对应点所在象限， 再求辐角主值的正切值的范围，最后求辐角主值的取值范围。
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r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z 2 zi z ( z i) 2 sin (cos i sin )[2 sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
z a 1 ai （2） u za 1 ai
(a 1 ai)(1 ai) 1 a a 2 a 2i 2 1 a 1 a2 ，当a 0 时，u 1, 0 。 设 u 的辐角主值为
(0 ) ，且满足z i 1 ， 例 2：复数 z 的辐角为
求复数z zi 的ຫໍສະໝຸດ 角主值。2解：设 z r (cos i sin ), r 0
2 2 由 z i 1 ， 得 ( r cos ) ( r sin 1) 1
2 即 r 2 r sin
1 1 a2 a 0 当 时， tg 1 1 1 1 2 3 1 a a2 1 ( ) 2 a a a 2 4
1 1 1 3 0 a 1, 1 ， ( ) 2 1, tg 1 a a 2 4
7 u 的实部为正，虚部为负， 2 . 4
zi
2 2 r （ r） i 2 2
2 2 r （ 1 r ）i 2 2
z i 的辐角主值是第一，第四象限内的角，
, 0 2 设辐角主值为
2 1 r 2 2 tg 1 r 2 r 2
2 1 r 2 2 tg 1 r 2 r 2
2 当 1 0， 0r r
2 sin (cos i sin )[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2 2
2 sin [cos( 3
1) 0
2
2
) i sin( 3
2
)]
6
,
2
3
2
0
5 ,0 3 2 2) 6 6 2 2 arg( z zi ) 3 2 5 5 3) ,2 3
6
2
3 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
5 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
2
2
例 3，已知非零复数 z 的辐角为
7 ，求 z i 的辐角主值的取值范围。 4 7 7 z r （ cos i sin ）， r 0 解：设 4 4
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以后，在耿老爹的不懈宣传和热情指导下，“三六九镇”南面那一大片几百亩水田里，水稻的种植面积逐年扩大了。这个美丽的乡镇也由此而 增加了又一个让周围村庄里乡民们羡慕不已的理由。之后，深受北方人们喜爱的水稻又慢慢地开始在适合种植这种作物的周围村庄里种植开来 。从次年正月十六招收第二批学童开始，“耿家小学堂”开始了有了一年级和二年级两种班级。师资力量抽调不开了，耿正只好把原先的甲、 乙、丙三个一年级班合并成甲、乙两个二年级班，分别由自己和耿英带；耿直则带新入学的一年级班。也就是从这一年开始，“耿家小学堂” 只招收年满7岁的男女学童，每年基本上都可以招满一个大班。如果某一年报名的学生人数太多，就分成甲、乙两个班。由于“耿家小学堂”不 但教学内容新颖实用，而且学杂费用相当低廉，致使本镇上和附近村子里原有的几个大小私塾纷纷办不下去了。而当时，“耿家小学堂”的师 资力量严重不足，耿正就将几位比较有声望的私塾先生聘来自家的小学堂里任教。附近村子里一些有接送条件的人家，也把自家的小娃娃送来 “耿家小学堂”里念书。耿正和秀儿成婚后，青山和青海这一对双胞胎兄弟也于次年夏天，与各自心仪已久的本镇王氏女子和董氏女子于同一 日热热闹闹地举办了婚礼。此后，娘家粉坊里帮忙干活儿的人多了，秀儿就将自己的全部身心都放在帮助耿正操持学堂的日常事务上。其他不 说，随时备足了师生们喝的开水，就是秀儿每天必须做的一件大事情。在耿英和大壮成婚次年的秋后，二壮也与姥娘家隔壁花儿的妹妹小花儿 结婚了。虽然花儿当年想嫁给大壮的希望没有能够实现，但妹妹小花儿与二壮成婚，也总算是了却了其爹娘想与董家结亲，让自己的女儿成为 “三六九镇”这天赐福地镇上人的美好心愿了。二壮与小花儿决定成婚之前，耿英耐心地说服公爹和婆婆，让这一对新人去新盖的宅院去住， 自己愿意就在老宅院里和公婆长期一块儿生活。她最主要的理由是：“俺教书呢，就想吃娘给做的现成饭！”因此，二壮是把小花儿直接娶到 新宅院里的。“耿家小学堂”开学之初，耿兰和董妞儿虽然已经属于大龄学童了，但她俩还是被划拨到了适龄学童班里，一同进了耿正带的一 年级甲班学习。在耿正的严格教授和指导下，一年半后，董妞儿虽然斗大的字已经认了几百担，也学会了打简单的加减珠算，但她总是觉得学 习读书写字打算盘不及绣花鞋垫那样有趣儿。加之大嫂耿英生了一对儿龙凤胎，娘在欣喜之余又劳累不堪，就擅自作主不再继续学习，回家帮 着娘照看可爱的侄儿侄女去了。最终，这个已经不是睁眼儿瞎的小半个文化人嫁给了二狗子的弟弟三狗子，日子过得倒还挺美满。这对儿非常 和睦的夫妻一共养育了两双儿女。当娃儿们刚
例1， 已知复数 z1
求 arg( z1 z 2 ) 的值。
[0,2 ) ， 3 cos i sin ，z 2 sin 3i cos ，当
解： z1 z 2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
6 6 2 2 cos( )(cos i sin ) 6 4 4 4 （1） cos( ) 0，即 [0, ) ( ,2 )， arg( z1 z 2 ) 4 6 3 3