求不定方程整数解的方法浅析

求不定方程整数解的方法浅析摘要：第一章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操作步骤：①想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围； ②根据该变量的范围求出该变量的整数解；③分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值.常见的构造不等式的技巧：①注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设Λ≤≤≤z y x ”的条件.2）若题目要求是正整数解，则有“Λ,1,1,1≥≥≥z y x ”若要求是相异的正整数，则有“Λ,3,2,1≥≥≥z y x ”②利用基本不等式求变元范围，常见的如“()xy y x 42≥+”③分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范围.④可利用二次方程有整数解的条件，即“0≥∆”，或更强点的 “∆ 为完全平方数”.常规应用：①一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值；②在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利 用此方法对其他变量进行估值；③对于方程“02=++w vx ux （其中u,v,w 是常数或者是含其他变量的式子）”可利用关于x 的方程有整数根的条件，即“0≥∆”， 或更强点的“∆ 为完全平方数”对其他变量进行估值； ④具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规 不等式进行估值，比如”转化为关于x+y 与xy 的表达式， 用()xy y x 42≥+等“例1：求不定方程()332y x y x +=+的正整数解.解： 方法1：由于此不定方程是对称的，这里不妨设1≥≥y x ，则 ()()22332x y x y x ≤+=+1）当x=1时，经检验：()()1,1,=y x 不满足方程；2）当x=2时，经检验：()() 1,2,=y x 满足方程，()() 2,2,=y x 满足方程；3）当x=3时，经检验：()()1,3,=y x 不满足方程，()()2,3,=y x 不满足方程，()()3,3,=y x 不满足方程；∴综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为()()()(). 2,2 2,1 1,2,，，=y x 方法2：已知方程化为 ()()()222y xy x y x y x +-+=+令 t y x =+， 则即 t y x =+利用不等式：()xy y x 42≥+ 则： 1）当t=2时，此方程无正整数解；2） 当t=3时，2=y ， 1=y3） 当t=4时，2=y . ∴综上所述：不定方程的正整数解为()()()(). 2,2 2,1 1,2,，，=y x 例2：求不定方程019262=-++-y x yx yx 的整数解.解：方法1：已知方程可化为:019)1322=-+--y x y yx （, 则 此方程可看成关于x 的一元二次方程有整数解的情况∴ )19(4)1342---=∆y y y （=4（1-5y)则∆必是一个完全平方数，这里不妨设：∴512m k -= 由求根公式：1531+-=m x 故方程要有整数根，当且仅当5, 11 51=-=+m m 或经检验：64==m m 或符合题意当4=m 时，21=x ，3142=x ，3-=y 当6=m 时，7161=x ，42=x ，7-=y ∴综上所述：原方程的整数解为)7,4(),3,2(),--=y x （方法2：已知方程化为：x x y 21)3(2-=-分离y: 2)321--=x x y （ 事实上当y=0时，x=21 ,不合题意，则有： 1≥y ，即 1)3212≥--x x （ ∴2)321-≥-x x （ (*)i ）若,0≤x 则有：0)2(2≤+-x 无解ii ）若,0>x 由x 为整数则有1≥x , 则(*)式化为：∴ 6)4(2≤-x∴. 6, 5, 4, 2=x当 2=x 时，y=-3;当4=x 时，y=-7;当5=x 时，25-=y 不合题意舍去;当6=x 时，911-=y 不合题意舍去; ∴综上所述：原方程的整数解为)7,4(),3,2(),--=y x （ 2、同余分析法其一般操作步骤：①方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为 同余式；②由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征），从而达 到解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强 的观察力！常规的取模原则：①能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模； ②由费马小定理有“)3(mod 3x x ≡”③频率较高者有模3，模4，模8.常规应用：①事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛 而方便的应用；②一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用；③具体的：它能解决“Ax+By=C"型整数解问题.例1：求不定方程7x+19y=213的正整数解.解：方程两边同时7mod 得：两边同时乘以3：)7(mod 26-≡y,27 +=∴k y 代入原方程得： ∴ k x 1925-=k x 1925-= （其中k 为整数）令x>0,y>0, 得 ,027 >+k01925>-k ，∴ 192572-<<k∴k=0 ,1.∴方程的正整数解为()()().9,6, 2,25,=y x例2：证明：无整数解.证明： )16mod 151-1-16001599（≡≡=（*） 设x x x x 14321,,,,Λ是方程的整数解，1）若n x i 2=，则)16(mod 01644≡≡n x i ，2）若12+=n x i ，则)8(mod 12≡x i ，故182+=k x i ，从而)16(mod 111664)18224≡++=+=k k k x i （，)16mod 144144241 （≤+++∴x x x Λ与（*）式矛盾∴该方程无整数解.例3：求不定方程75-12=y x 的全部正整数解.解：i ）若75-12=y x ，则方程两边模4得：)4mod 31（≡，矛盾；ii ）若75-12=y x ，则方程两边模3，得：)3mod 11--（）（≡y ，∴y 为奇数若x>1,方程两边模8得：即)8mod 15（≡y ，又 )8mod 152（≡∴y 2，这与y 为奇数矛盾∴ 1=x ，从而1=y综上所述:原方程有唯一的整数解()() 1,1,=y x .3、约数倍数分析法：此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的 方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法. 常规的次方法分为两类：①因式分解法：1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解；2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解；3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解. ②分离未知量法：1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是 将其他未知量转化到某个常数的分母位置；2）将处于分子位置的常数作质因数分解；3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）来求解部 分未知量.常规应用：①多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整 数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分 扎实；②具体的：它能解决“0=+++D Cy Bx Axy )0≠A （”型不定方程.例1：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：设起初有m 俩汽车；开走一辆后，平均每辆汽车的人数为n 根据人数相等可列方程：)32,2( )1(122≤≥⋅-=+n m n m m ；整理为：)32,2( 0122≤≥=---n m m n mn ； 分析： 属于类型“0=+++D Cy Bx Axy )0≠A （”思路一（部分因式分解）：这就化成了例1：求不定方程()72+=+xy y x 的整数解解：分离变量：Θ x,y 为整数∴3)2-y （ ∴ 3 12±±=-，y ∴此方程的解为 （-1,3），（5,1），（1,5），（3，-1）。