2019-2020学年北京四中七年级(上)期中数学试卷--含详细解析

2019-2020学年北京四中七年级（上）期中数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2的倒数是()A. −2B. −12C. 12D. 22.举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为()A. 5.5×103B. 55×103C. 0.55×105D. 5.5×1043.下列运算正确的是()A. 5a2−3a2=2B. 2x2+3x2=5x4C. 3a+2b=5abD. 7ab−6ba=ab4.有理数a，b在数轴上的对应位置如图，则下列结论正确的是()A. ab>0B. ab<0 C. a+b<0 D. a−b<05.用代数式表示“m的2倍与n平方的差”，正确的是()A. (2m−n)2B. 2(m−n)2C. 2m−n2D. (m−2n)26.下列说法正确的是()A. 平方等于本身的数是0和1B. −a一定是负数C. 一个有理数不是正数就是负数D. 一个数的绝对值一定是正数7.下列关于单项式−2x2y的说法中，正确的是()A. 系数为2，次数为2B. 系数为2，次数为3C. 系数为−2，次数为2D. 系数为−2，次数为38.方程x−4=3x+5移项后正确的是()A. x+3x=5+4B. x−3x=−4+5C. x−3x=5−4D. x−3x=5+49.下列各式中去括号正确的是()A. −(−a−b)=a−bB. a2+2(a−2b)=a2+2a−2bC. 5x−(x−1)=5x−x+1D. 3x2−14(x2−y2)=3x2−14x2−14y210.如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为()A. 1B. 2C. 4D. 5二、填空题（本大题共9小题，共19.0分）11.0.03095精确到千分位的近似值是______．12.如图是我市12月份某一天的天气预报，该天的温差是______．13.比较大小：−56______ −45．14.已知x=−3是关于x的方程kx−2k=5的解，那么k的值为______．15.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中|c|<|a|<|b|，化简：|a|+2|a−b|−|c−2a|=______．16.若关于x的多项式x4−ax3+x3−5x2−bx−3x−1不存在含x的一次项和三次项，则a+b=______．17.请阅读一小段约翰⋅斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息确定最后一个音符的时间长应为______．18.小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价(不含配送费)提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为______元．菜品单价(含包装费)数量水煮牛肉(小)30元1醋溜土豆丝(小)12元1豉汁排骨(小)30元1手撕包菜(小)12元1米饭3元219.如图，若点A、B、C、D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则|a−2x|+|2x+b|+|2x−c|+|2x+d|的最小值为______.(用含有a，b，c，d的式子表示结果)三、计算题（本大题共3小题，共15.0分）20.求12x−2(x−13y2)+(−32x+13y2)的值，其中x=−2，y=23．21.一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0.我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为(a,b)．(1)若(1,b)是“相伴数对”，求b的值；(2)若(m,n)是“相伴数对”，其中m≠0，求nm；(3)若(m,n)是“相伴数对”，求代数式m−223n−[4m−2(3n−1)]的值．22.对于三个数a，b，c，用M{a,b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，用min{a,b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，如：M{−1,2，3}=−1+2+33=43，min{−1,2，3}=−1．(1)若M{x−1,−5,2x+3}=12(1+3x)，求x的值；(2)已知M{2x,−x+2,3}，min{−1,0，4x+1}，是否存在一个x值，使得2×M{2x,−x+2,3}=min{−1,0，4x+1}.若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）23.计算：(1)(−11)+8+(−14)；(2)8÷(−2)−(−4)×3；(3)(−34+78−12)×16；(4)−12−(1−13)÷3×(−32)224.计算：(1)3x2−6x−x2−3+4x−2x2−1；(2)(5a2+2a−1)−4(3−8a+2a2)25.解方程：(1)3(2x−1)=4x+3；(2)2x−56−3x+12=126.工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为40mm，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差，以下是该工厂加工的20个乒乓球的直径检验记录：(“+”表示超出标准，“−”表示不足标准．)(1)其中偏差最大的乒乓球直径是______；(2)这20个乒乓球平均每个球的直径是多少mm？(3)若误差在“±0.25”以内的球可以作为合格产品，若误差在“±0.15mm”以内的球可以作为良好产品，这些球的合格率是______，良好率是______．27.在同一直线上的三点A，B，C，若满足点C到另两个点A，B的距离之比是2，则=2，则称点C是其余两点的亮点(或暗点).具体地，当点C在线段AB上时，若CACB=2，则称点C是[B,A]的亮点；当C在线段AB的延称点C是[A,B]的亮点；若CBCA=2，称点C是[A,B]的暗点．例如，如图1，数轴上点A，B，C，长线上时，若CACBD分别表示数−1，2，1，0.则点C是[A,B]的亮点，又是[A,D]的暗点；点D是[B,A]的亮点，又是[B,C]的暗点(1)如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．[M,N]的亮点表示的数是______，[N,M]的亮点表示的数是______；[M,N]的暗点表示的数是______，[N,M]的暗点表示的数是______；(2)如图3，数轴上点A所表示的数为−20，点B所表示的数为40.一只电子蚂蚁P从B出发以2个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．①求当t为何值时，P是[B,A]的暗点；②求当t为何值时，P，A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．28.古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数(三边形数)；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数(四边形数)．(1)请你写出既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为______；(2)记第n个k边形数为N(n,k).例如N(1,3)=1，N(2,3)=3，N(2,4)=4．①N(3,3)=______，N(n,3)=______，N(n,4)=______．②通过进一步研究发现N(n,5)=32n2−12n，N(n,6)=2n2−n，请你推测N(n,k)(k≥3)的表达式，并由此计算N(10,24)的值．29.阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的k个数：x1，x2，x3，…，x k，称为数列A k：x1，x2，x3，x k，其中k为整数且k≥3.定义V(A k)= |x1−x2|+|x2−x3|+⋯+|x k−1−x k|.例如，若数列A5：1，2，3，4，5，则V(A5)= |1−2|+|2−3|+|3−4|+|4−5|=4.根据以上材料，回答下列问题：(1)已知数列A3：3，5，−2，求V(A3)；(2)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4，为4个互不相等的整数，且x1=3，x4=7，V(A4)=4，直接写出满足条件的数列A4；(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，且x1+x2+x3+x4+x5= 25.直接写出V(A5)的最大值和最小值，并说明理由．答案和解析1.【答案】B)=1．【解析】解：∵−2×(−12∴−2的倒数是−1，2故选：B．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2.【答案】D【解析】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故B错误；C、不是同类项不能合并，故C错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；故选：D．根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变是解题关键，注意不是同类项不能合并．4.【答案】B【解析】解：根据图形可知：a>0，b<0，|a|>|b|，<0，a+b>0，a−b>0，则ab<0，ab下列结论正确的是B；故选B．根据所给的图形判断出a>0，b<0，|a|>|b|，再对每一选项进行分析，即可得出答案．此题考查了数轴，在解题时要把“数”和“形”结合起来，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养学生的数形结合思想．5.【答案】C【解析】解：用代数式表示“m的2倍与n平方的差”是：2m−n2，故选：C．根据题意可以用代数式表示m的2倍与n平方的差．本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．6.【答案】A【解析】解：∵平方等于本身的数是0和1，∴选项A符合题意；∵−a可能是负数，也可能是正数或0，∴选项B不符合题意；∵一个有理数有可能是正数、负数或0，∴选项C不符合题意；∵一个数的绝对值是正数或0，∴选项D不符合题意．故选：A．根据有理数的乘方的运算方法，有理数的分类，正数和负数的含义和判断，以及绝对值的含义和求法，逐项判断即可．此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，有理数的分类，正数和负数的含义和判断，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．7.【答案】D【解析】解：单项式−2x2y的系数为−2，次数为3．故选：D．利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵x−4=3x+5，∴x−3x=5+4，故选：D．把3x移到等号左边，−4移到等号右边，注意移项要变号．此题主要考查了解一元一次方程，关键是注意移项要变号．9.【答案】C【解析】解：−(−a−b)=a+b，故选项A错误；a2+2(a−2b)=a2+2a−4b，故选项B错误；5x−(x−1)=5x−x+1，故选项C正确；3x2−14(x2−y2)=3x2−14x2+14y2，故选项D错误；故选：C．根据各个选项中的式子，进行变形，即可判断是否正确，本题得以解决．本题考查去括号与添括号，解答本题的关键是明确去括号与添括号法则．10.【答案】B【解析】解：由1起跳，1是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在3上．由3起跳，3是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在5上由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上．3−5−2−1−3，周期为4；又由2019=4×504+3，∴经过2019次跳后它停在的点所对应的数为2．故选：B．根据题意，分析可得电子跳蚤的跳动规律为3−5−2−1，周期为4；又由2019= 4×504+3，经过2019次跳后它停在的点所对应的数为2．此题主要考查了数的变化规律，得到电子跳蚤落在数字上的循环规律是解决本题的关键．11.【答案】0.031【解析】解：0.03095精确到千分位的近似值是0.031．故答案是：0.031．精确到千分位就是对千分位以后的数字进行四舍五入，据此即可求解．本题考查了近似数，一个数精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．12.【答案】7℃【解析】解：该天的温差为5−(−2)=5+2=7(℃)，故答案为：7℃．用最高气温减去最低气温列出算式，然后再依据有理数的减法法则计算即可．本题主要考查的是有理数的减法，掌握减法法则是解题的关键．13.【答案】<【解析】解：∵56>45，∴−56<−45．故答案为：<．先比较出两个数的绝对值，再根据两个负数比较，绝对值大的反而小，即可得出答案．此题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较大小的方法即两个负数比较，绝对值大的反而小是本题的关键．14.【答案】−1【解析】解：把x=−3代入，得−3k−2k=5．解得k=−1．故答案是：−1．根据方程解的定义，将方程的解代入方程，就可得一个关于字母k的一元一次方程，从而可求出k的值．本题考查了一元一次方程的解的定义，解决本题的关键在于：根据方程的解的定义将x=−3代入，从而转化为关于k的一元一次方程．15.【答案】−a+2b−c【解析】解：由数轴可得：a<0，b>0，c<0，∵|c|<|a|<|b|，∴a−b<0，c−2a>0，则原式=−a−2a+2b−c+2a=−a+2b−c．故答案为：−a+2b−c．先判断绝对值符号里面式子的正负，然后去绝对值即可．本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，解答本题的关键是结合数轴判断正负．16.【答案】−2【解析】解：x4−ax3+x3−5x2−bx−3x−1=x4+(1−a)x3−5x2−(b+3)x−1，∵多项式x4−ax3+x3−5x2−bx−3x−1不存在含x的一次项和三次项，∴1−a=0，b+3=0，解得a=1，b=−3，∴a+b=1−3=−2．故答案为：−2．先确定三次项及一次项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．本题考查了多项式，在多项式中不含哪次项，则那次项的系数为0．17.【答案】14【解析】解：依题意得：34−12=14，故答案为：14．观察图形不难发现，音符数字的和为34，然后列式计算即可得解．本题是对数字变化规律的考查，观察出音符时间长的和都相等，为34是解题的关键．18.【答案】54【解析】解：小宇在购买表中所有菜品时，应采取这样的下订单方式：水煮牛肉订一单，豉汁排骨订一单，醋溜土豆丝和手撕包菜还有2份米饭合订一单共订了3份30元订单，故他点餐总费用最低可为(30+12+30+12+2×3)−12×3−3+3=54元， 答：他点餐总费用最低可为54元． 故答案为：54．根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论． 本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．19.【答案】−a −b +c +d【解析】解：如图所示：，当2x 在−d 和c 之间时，|a −2x|+|2x +b|+|2x −c|+|2x +d|有最小值， 最小值|a −2x|+|2x +b|+|2x −c|+|2x +d|=2x −a −2x −b −2x +c +2x +d =−a −b +c +d ． 故答案为：−a −b +c +d ．先找到b 和d 的相反数所在位置，可得|a −2x|+|2x +b|+|2x −c|+|2x +d|取最小值时，2x 在−d 和c 之间，依此去绝对值再化简即可求解．考查了数轴、绝对值，关键是得到|a −2x|+|2x +b|+|2x −c|+|2x +d|取最小值时，2x 的范围．20.【答案】解：12x −2(x −13y 2)+(−32x +13y 2)，=12x −2x +23y 2−32x +13y 2， =−3x +y 2， 当x =−2，y =23时，原式=−3×(−2)+(23)2=6+49=649．【解析】先根据整式的加减运算法则把原式化简，再把x =2，y =23代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．先把原式化简再求值以简化计算，注意去括号时符号的变化．21.【答案】解：(1)将a =1，代入a 2+b 3=a+b 2+3有，12+b 3=1+b 5，化简求得：b =−94；(2)根据题意，得：m2+n3=m+n5，则15m+10n=6m+6n，∴9m+4n=0，9m=−4n，n m =−94；(3)由(2)知9m+4n=0，则原式=m−223n−4m+2(3n−1)=m−223n−4m+6n−2=−3m−43n−2=−9m+4n3−2=−2．【解析】(1)结合题中所给的定义将(1,b)代入式子求解即可；(2)由定义知m2+n3=m+n5，整理得9m+4n=0，据此进一步求解可得；(3)原式去括号、合并同类项、整理得出原式=−9m+4n3−2，将(2)中9m+4n=0代入可得．本题考查了整式的加减，解答本题的关键在于熟读题意，根据题中所给的定义进行求解即可．22.【答案】解：(1)由题意：M{x−1,−5,2x+3}=x−1−5+2x+33=x−1，∴x−1=12(1+3x)，解得：x=−3．(2)由题意：M{2x,−x+2,3}=2x−x+2+33=x+53，若4x+1≥−1，则2×x+53=−1．解得x=−132．此时4x+1=−25<−1.与条件矛盾；若4x+1<−1，则2×x+53=4x+1．解得x=710．此时4x+1=195>−1.与条件矛盾；∴不存在．【解析】(1)由M{x−1,−5,2x+3}=x−1−5+2x+33=x−1，结合题意得x−1=12(1+3x)，解之可得；(2)由M{2x,−x+2,3}=2x−x+2+33=x+53，再分4x+1≥−1和4x+1<−1两种情况分别求解可得．本题主要考查算术平均数和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握新定义，并结合算术平均数和已知条件得出关于x的方程．23.【答案】解：(1)原式=(−11)+(−14)+8=(−25)+8=−17；(2)原式=−4−(−12)=−4+12=8；(3)原式=−34×16+78×16−12×16=−12+14−8=−6；(4)原式=−1−23×13×94=−1−12=−112．【解析】(1)原式利用加法法则计算即可求出值；(2)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；(3)原式利用乘法分配律计算即可求出值；(4)原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24.【答案】解：(1)原式=3x2−x2−2x2−6x+4x−3−1，=−2x−4；(2)原式=5a2+2a−1−12+32a−8a2，=−3a2+34a−13．【解析】(1)首先找出同类项，再合并即可；(2)先去括号，再合并同类项即可．此题主要考查了整式的加减，关键是注意去括号时符号的变化．25.【答案】解：(1)去括号得：6x−3=4x+3，移项合并得：2x=6，解得：x=3；(2)去分母得：2x−5−9x−3=6，移项合并得：−7x=14，解得：x=−2．【解析】(1)方程去括号，移项合并，把x系数化为，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．26.【答案】40.5mm70%60%【解析】解：(1)其中偏差最大的乒乓球直径是40mm+0.5mm=40.5mm，故答案为：40.5mm；(2)这20个乒乓球平均每个球的直径是40+120(1×(−0.4)+2×(−0.2)+1×(−0.1)+ 11×0+3×0.3+2×0.5)=40.05mm；(3)这些球的合格率是2+1+1120×100%=70%，良好率是1+1120×100%=60%，故答案为：70%，60%．(1)根据题意列式计算即可；(2)根据平均数的定义即可得到结论；(3)根据误差在“±0.25”以内的球可以作为合格产品，若误差在“±0.15mm”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比即可得到结论．此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．27.【答案】2 0 10 −8【解析】解：(1)设[M,N]的亮点表示的数是x ，根据定义有x+24−x =2， 解得x =2；设[N,M]的亮点表示的数是y ，根据定义有4−yy+2=2， 解得y =0；设[M,N]的暗点表示的数是z ，根据定义有z+2z−4=2， 解得z =10；设[N,M]的暗点表示的数是k ，根据定义有4−k −2−k =2， 解得k =−8；故答案为：2；0；10；−8．(2)①当P 为[B,A]暗点时，P 在BA 延长线上且PB =2PA =120，t =120÷2=60秒 ②P 为[A,B]亮点时，PA =2PB ，40−2t −(−20)=2×2t ，t =10； P 为[B,A]亮点时，2PA =PB ，2[40−2t −(−20)]=2t ，t =20； A 为[B,P]亮点时，AB =2AP ，60=2[−20−(40−2t)]，t =45； A 为[P,B]亮点时，2AB =AP ，120=−20−(40−2t)，t =90； 综上，t =10或20或45或90．(1)设其亮点或暗点表示的未知数，再根据定义列出方程； (2)根据新定义列出进行解答便可．本题是新定义题，关键是读懂定义，根据定义的特征，列出方程，把新知识转化为已经熟悉的知识来进行解答．28.【答案】36 6 12n(n +1) n 2【解析】解：(1)由题意第8个图的三角形数为12×8(8+1)=36， ∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36， 故答案为36．(2)①N(3,3)=6，N(n,3)=12n(n+1)，N(n,4)=n2，故答案为6，12n(n+1)，n2．②∵N(n,3)=n(n+1)2=n2+n2=(3−2)n2+(4−3)n2，N(n,4)=n2=2n2+0×n2=(4−2)n2+(4−4)n2，N(n,5)=32n2−12n=(5−2)n2+(4−5)n2，N(n,6)=2n2−n=4n2−2n2=(6−2)n2+(4−6)n2，由此推断出N(n,k)=(k−2)n2+(4−k)n2(k≥3)，∴N(10,24)=(24−2)×102+(4−24)×102=1000．(1)由题意正方形数是n2，探究出三角形数是平方数是最小的值即可解决问题．(2)①探究规律，利用规律解决问题即可．②提供公式变形，探究规律解决问题即可．本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．29.【答案】解：(1)V(A3)=|3−5|+|5−(−2)|=2+7=9；(2)V(A4)=|3−x2|+|x2−x3|+|x3−7|=4可看成3条线段的长度和，如图所示．∵7−3=4，∴x2、x3在3到7之间，∵x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，∴数列A4为：3，4，5，7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7．(3)∵数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，∴当x1=x2=x3=x4=x5=5时，|x1−x2|+|x2−x3|+|x3−x4|+|x4−x5|取最小值，最小值为0；当x1=x3=x5=0，x2+x4=25或x1=x2=x4=x5=0，x3=25时，|x1−x2|+|x2−x3|+|x3−x4|+|x4−x5|取最大值，最大值为2×25=50．∴V(A5)的最大值为50，最小值为0．【解析】(1)根据定义V(A k)=|x1−x2|+|x2−x3|+⋯+|x k−1−x k|，代入数据即可求出结论；(2)在数轴上标出x1、x4表示的点，利用数形结合可得出x2、x3在3到7之间，找出符合题意的搭配方式即可；(3)由数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，结合V(A k)的定义，即可得出结论．本题考查了列代数式、有理数和绝对值，读懂题意熟练掌握新定义式是解题的关键．。