2020年数学中考分类编汇含分析点评- 代数几何综合(98页)

等知识，难度较大.
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以
及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学
知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌
握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
2、（绵阳市2020年）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x 轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
MM1 PM1 所以 NN1 PN1 ,………………(1)
不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
xM t yM
则（1）式变为 xN
t yN ,又yM =k xM-2, yN=k xN-2,
所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2)
y 1 x2
把y=kx-2(k≠0)代入
2 中，整理得x2+2kx-4=0,
所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，
故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，
函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法
代数几何综合
1、（2020年潍坊市压轴题）如图，抛物线 y ax2 bx c 关于直线 x 1 对称，与坐标轴
D
2，3
交于 A、B、C 三点，且 AB 4 ,点 2 在抛物线上，直线是一次函
数 y kx 2k 0的图象，点 O 是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形 OBDC 的面积，求 k 的值.
2
2 ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,
7 ,3 令kx-2=1.5,得l与CD的交点F( 2k 2 )，
2 ,0 令kx-2=0，得l与x轴的交点E( k )，
根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,
2
7
(3 2 ) (2
7 ),解得k 11 ,
m=
m=1
2x2-2-(2m-2) = m-1,
x=-
x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
④当P的坐标为（m，2-2m）时，
x- m = 2m-2 m=
m=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 x=-
x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
综上所述，不存在满足条件的点Q。
x D l
3、
在，请说明理由。
解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标
为（0，-2），c = -2 , - , b=0 , 点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的
AO B
交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；
②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为
C
（1，0）；
（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上，
设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，
①当△BOC∽△PDB时，,,p= 或p = ,
点P的坐标为（m，）或（m，）；
②当△BOC∽△BDP时， ，，p=2m-2或p=2-2m,
点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；
综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；
（3）不存在满足条件的点Q。
点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，
令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,
垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，
∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，
① 当P的坐标为（m，）时，
m-x = ，
m=0
m=1
2x2-2- = m-1,
x=
x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
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② 当P的坐标为（m，）时，
x-m=
m=-
m=1
2x2-2- = m-1,
x=-
x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，
m-x =2m-2
a b c 0 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以 4a 2b c 1.5 ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
b 1
y 1 x2 x 3
又 2a ，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以
2
2.
y 1 x2 x 3
（2）由（1）知
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于 M、N 两
点，问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P ，使得不论 k 取何值，直线 PM 与 PN 总是关 于 y 轴对称？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),
即： k 2k
k
2k
5
y 1 x 2 x 3 1 (x 1)2 2,
（3）由（1）知
2
22
y 1 x2
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
2
假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作
垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,
（2020•昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直 线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得
以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角
y
形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第
一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直
角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存