数值分析第8章作业

合集下载

数值分析第8章答案

数值分析第8章答案

第八章 常微分方程初值问题数值解法1、解:欧拉法公式为221(,)(100),0,1,2+=+=++=n n n n n n n y y hf x y y h x y n代00y =入上式,计算结果为 123(0.1)0.0,(0.2)0.0010,(0.3)0.00501≈=≈=≈=y y y y y y2、解:改进的欧拉法为1112[(,)(,(,))]n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++将2(,)=+-f x y x x y 代入上式,得2111111221n n n n n n h hh x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+ 同理,梯形法公式为 211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n nn n n n h h y y x x x x 将00,0.1y h ==代入上二式,,计算结果见表9—53、证明:梯形公式为111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++代(,)f x y y =-入上式,得11[]2++=+--n n n n hy y y y解得 21110222()()()222n n n n h h h y y y y h h h++----===⋯=+++ 因为01y =,故2()2nn h y h-=+ 对0x∀>,以h 为步长经n 步运算可求得()y x 的近似值n y ,故,,xx nh n h==代入上式有2()2x hnh y h-=+22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h xx h h h h hn h h h h h h h y e h h h+-+→→→→-==-=-=+++4、解:令2()xt y x e dt =⎰,则有初值问题2',(0)0x y e y ==对上述问题应用欧拉法,取h=0.5,计算公式为 210.5,0,1,2,3n x n n y y e n +=+=由0(0)0,y y ==得1234(0.5)0.5,(1.0) 1.142012708(1.5) 2.501153623,(2.0)7.245021541≈=≈=≈=≈=y y y y y y y y5、解: 四阶经典龙格-库塔方法计算公式见式(9.7)。

数值分析课后习题答案

数值分析课后习题答案

0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0

1 2
0 0 0 1 1 0
1 2

1 2


1 2
1
0 0 0 1 0

1 2

1 2


0
1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解,并求解方程组
Ax=b,其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3

16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5

2 A 1
1 3
1 2


2 11
22
1
5 2
1

3 21来自,所以 A12
1
2 1 1



5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6

3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623

数值分析第八章

数值分析第八章

0.0123
0.1059
0.0026
0.0521
0.0011
0.0342
5.9612e-004
0.0256
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/34
MATLAB求解常微分方程初值问题命令:
(1)用临时函数定义一阶微分方程的右端函数; (2)用MATLAB命令ode23()求数值解。
使用格式:[T,Y] = ode23('F',Tspan,y0)
6/34
由梯形公式推出的预-校方法:
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
h yn1 yn [ f ( x n , yn ) f ( x n1 , ~ yn1 )] 2 预-校方法又称为修正的Euler法,算法如下 k 1 = f ( x n , yn ) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1) , h yn1 yn [k1 k 2 ] 2
数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较
n h 10 0.2 20 0.1 30 0.0667 40 0.05 2.186e-007
RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 RK3 0.0012
1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005
RK2
Euler
ans = 1/(x-1+2*exp(-x))
解析解:
1 y( x ) x 1 2e x
15/34
1. 创建罗伦茨模型右端函数的M文件 function z=flo(t,P) A=[-8./3 0 P(2);0 -10 10;-P(2) 28 -1]; z=A*P;

最新(完美版)第八章习题答案_数值分析

最新(完美版)第八章习题答案_数值分析

第八章习题解答3、设方程()0f x =有根,且'0()m f x M <≤≤。

试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞,当20M λ<<时,均收敛于方程的根。

证明:设()()x x f x ϕλ=-,可知()x ϕ在(,)-∞∞上可导对于任意给定的λ值,满足条件'0()m f x M <≤≤时(1)''()1()x f x ϕλ=- 则1'()11M x m λϕλ-≤≤-< 又20Mλ<<,M>0 则02M λ<<时,11M λ-<- 所以11'()11M x m λϕλ-<-≤≤-< 若令max{1,1}L M m λλ=--,则可知'()1x L ϕ≤<(2)由0()(0)'()(0)'()xx x dx x ϕϕϕϕϕε=+=+⎰ 则()lim 1x x L x ϕ→∞⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以,存在一个数a ,当x a >时,()x x ϕ<同时,()x ϕ在[,]a a -内有界,即存在0b >使得[,]x a a ∀∈-,()x b ϕ<我们选取 max{,}c a b =,则对任意x 有0()max{,}x c x ϕ<则对给定的任意初值0x ,设0max{,}d c x =则0[,]x d d ∈-,于是在区间[,]d d -上有()x d ϕ<即满足映内性有(1)、(2)可知,()x ϕ满足收敛定理迭代序列0{}k k x ∞=收敛于方程的根6. 给出计算...222+++=x 的迭代格式,讨论迭代格式的收敛性,并证明2=x解:构造迭代格式10,1,2,k x k +==∙∙∙2k x ≤令()x ϕ=x ⎤∈⎦时,()x ϕ⎤∈⎦'()x ϕ=,当x ⎤∈⎦时,1'()12x ϕ<<所以,迭代格式收敛,且收敛于()x xϕ=在⎤⎦上的根,即x=x=2。

数值分析课后参考答案08

数值分析课后参考答案08

第八章习题解答1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根,将方程写成以下三种不同的等价形式:①211x x=+;②x =x =试判断以上三种格式迭代函数的收敛性,并选出一种较好的格式。

解:①令121()1x x ϕ=+,则'132()x x ϕ=-,'132(1.5)0.592611.5ϕ=≈<,故迭代收敛;②令2()x ϕ=2'2322()(1)3x x x ϕ-=+,'2(1.5)0.45581ϕ≈<,故迭代收敛;③令3()x ϕ='3()x ϕ=,'3(1.5) 1.41421ϕ≈>,故迭代发散。

以上三中以第二种迭代格式较好。

2、设方程()0f x =有根,且'0()m f x M <≤≤。

试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-(0,1,2,)k = 产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞,当20Mλ<<时,均收敛于方程的根。

证明:设()()x x f x ϕλ=-,则''()1()x f x ϕλ=-,故'1()1M x m λϕλ-<<-,进而可知, 当20Mλ<<时,'1()1x ϕ-<<,即'()1x ϕ<,从而由压缩映像定理可知结论成立。

3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根cos 0x x -= 取初值010.5,4x x π==,比较计算结果。

解:Newton 法:1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =; 割线法:23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =; 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。

数值分析习题(含答案)

数值分析习题(含答案)

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取(3.14109 , 3.14209)之间的任意数,都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字?(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算) 解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

数值分析第四版习题及答案

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ,求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位 ,试指出它们是几位有效数字: x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:(i)x *+x ;+x 4,(ii)x *x ;x ;,(iii )x ;/x ;,其中 x ;,x ;,x 3,x ;均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ?设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字),试问计算^00将有多大误差? 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根,使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时,怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的,而对t 的测量有土 0.1秒的误差,证明当t 增加时s 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 序列{yn}满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…),若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?f (x) =1 n (x X -1),求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大?1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ,X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时,f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。

数值分析课件第八章

数值分析课件第八章

k k 2 n k Ak v0 1 a1 x1 a2 x2 an xn , 1 1
2 n a1 x1 a2 x2 an xn k A v0 1 1 uk k k k max(A v0 ) 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 x1 (k ) max(x1 )
的按模最大特征值及其特征向量. 取p 0.75.
1 0.5 0.25 解:B A pI 1 0.25 0.25 0.5 0.25 1.25 用幂法求B的主特征值及其特征向量,具体结果见书上。
2. 瑞利商加速法
定理9 设A R
nn
为对称矩阵, 其特征值满足
,1 1 幂法中存在的问题:v k a1x1 0, 1 1
k 1
定 理8 设A R nn有n个线性无关的特征向量 其特征值 ,
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max(v )为向量v的绝对 v 值最大的分量,规范化得 u (v 0). 就有 max(v )
解:选取u 0 v 0 [1,1,1]T , 则v1 Au 0 [2.5, 2.25, 2.75]T ,
v2 v 2 Au1 , max(v 2 ) ?, u 2 ?, 计算结果见书上。 max(v 2 )
A=[1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2] u=[1,1,1]' v=A*u,v1=max(v),u=v/v1
x0
(3)
( Ax, x) n minn . xR (x,x)
x0
二、特征值估计与扰动

数值分析习题集及答案

数值分析习题集及答案

数值分析习题集及答案数值分析习题集(适合课程《数值⽅法A》和《数值⽅法B》)长沙理⼯⼤学第⼀章绪论1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.2.设x的相对误差为2%,求的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:4.利⽤公式求下列各近似值的误差限:其中均为第3题所给的数.5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设按递推公式( n=1,2,…)计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多⼤误差?7.求⽅程的两个根,使它⾄少具有四位有效数字(≈.8.当N充分⼤时,怎样求?9.正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝?10.设假定g是准确的,⽽对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11.序列满⾜递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12.计算,取,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?13.,求f(30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式计算,求对数时误差有多⼤?14.试⽤消元法解⽅程组假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15.已知三⾓形⾯积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明⾯积的误差满⾜第⼆章插值法1.根据定义的范德蒙⾏列式,令证明是n次多项式,它的根是,且.2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的⼆次插值多项式.3.4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5.设,k=0,1,2,3,求.6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i)ii)7.设且,求证8.在上给出的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使⽤函数表的步长应取多少?9.若,求及.10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).11.证明.12.证明13.证明14.若有个不同实根,证明15.证明阶均差有下列性质:i)若,则;ii)若,则.16.,求及.17.证明两点三次埃尔⽶特插值余项是并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18.求⼀个次数不⾼于4次的多项式,使它满⾜并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19.试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式,以便使它能够满⾜以下边界条件,,.20.设,把分为等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上⼀致收敛到.21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.23.求在上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.i)ii)25.若,是三次样条函数,证明i);ii)若,式中为插值节点,且,则.26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可⽤式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利⽤区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较.2.求证:(a)当时,. (b)当时,.3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳⼀致逼近多项式.4.假设在上连续,求的零次最佳⼀致逼近多项式.5.选取常数,使达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6.求在上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7.求在上的最佳⼀次逼近多项式.8.如何选取,使在上与零偏差最⼩?是否唯⼀?9.设,在上求三次最佳逼近多项式.10.令,求.11.试证是在上带权的正交多项式.12.在上利⽤插值极⼩化求1的三次近似最佳逼近多项式.13.设在上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.15.在上利⽤幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过.16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.17.求、使为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18.、,定义问它们是否构成内积?19.⽤许⽡兹不等式估计的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20.选择,使下列积分取得最⼩值:.21.设空间,分别在、上求出⼀个元素,使得其为的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22.在上,求在上的最佳平⽅逼近.23.是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系.24.将在上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25.把在上展成切⽐雪夫级数.29.编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图.30.编出改进FFT算法的程序框图.31.现给出⼀张记录,试⽤改进FFT算法求出序列的离散频谱第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1);(2);(3);(4).2.分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分:(1); (2);(3); (4).3.直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4.⽤⾟普森公式求积分并计算误差.5.推导下列三种矩形求积公式:(1);(2);(3).6.证明梯形公式和⾟普森公式当时收敛到积分.7.⽤复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍⼊误差)?8.⽤龙贝格⽅法计算积分,要求误差不超过.9.卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这⾥是椭圆的半长轴,是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记为近地点距离,为远地点距离,公⾥为地球半径,则.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离公⾥,远地点距离公⾥,试求卫星轨道的周长.10.证明等式试依据的值,⽤外推算法求的近似值.11.⽤下列⽅法计算积分并⽐较结果.(1)龙贝格⽅法;(2)三点及五点⾼斯公式;(3)将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式,并与准确解相⽐较。

数值分析习题(含答案)

数值分析习题(含答案)

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取(3.14109 , 3.14209)之间的任意数,都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字?(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算) 解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

数值分析第八章

数值分析第八章

解 : 确 定 有 根 区 间 Q f (1 ) = − 9 < 0 , f ( 2 ) = 8 > 0
∴ [1, 2 ]为有根区间
取x n 做为近似值 , 误差为 1 × 10 − 4 , 2 只需
b−a 2 n +1
为使误差不超过
1 1 < × 10 − 4 2 n +1 2
(n + 1) ln 0.5 < ln0.5 − 4 ln10 n≥ − 4ln10 ≈ 13.3 ln0.5
(3) 对∀x0 ∈[ a, b] , 令 x n = ϕ ( x n−1 ) 要证 xn → x *
xn − x

证明 : 对 ∀ x , y ∈ [a , b ], 由微 分中值定理 ϕ ( x) − ϕ ( y) = ϕ′(ξ )(x − y) ξ ∈( x, y)
= ϕ ( xn−1 ) − ϕ ( x )
二分法的误差 :
第八章
非线性方程及非线性方程组解法
a
a2 a1 x0
x* x1 b2 b b1
第八章习题
P288: 3 , 6, 7, 8, 9, 10(计算一个), 11(写公式计算2,3步) 12, 13, 14, 16(1)(写公式计算2,3步)
[a , b ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a 2 , b2 ] ⊃ L ⊃ [an , bn ] ⊃ L
x 15 − x 14 = 0 . 0036223
x 4 = 1 . 5633947 x 7 = 1 . 6081705 x10 = 1 .5884803 x 13 = 1 . 5972529
x 5 = 1 .6178746 x 8 = 1. 5840930 x 11 = 1 .5991837 x14 = 1 .5925061

《数值分析》第8章

《数值分析》第8章
证明. 对于 Jacobi 迭代,迭代矩阵记为 J = D −1 ( L + U )
假设 ρ (J ) ≥ 1 ,则 J 至少存在一个特征值满足: λ ≥ 1 ,设 x 是相应的特征向量,则 x ≠ 0 ,且
29
n× n
Jx = λ x ⇔ ( D −
⎧ x ( k +1) = Gx ( k ) + f ⎨ (0) ⎩x
7 8
写成分量形式为:
i −1 n ⎧ ( k +1) 1 = (bi − ∑ aij x(jk +1) − ∑ aij x(jk ) ) (i = 1,", n, k = 0,1,") ⎪ xi aii j =1 j = i +1 ⎪ ⎨ ⎪ (0) (0) (0) (0) T ⎪ ⎩ x = ( x1 , x2 ,", xn )
⎡ 0 ⎤ ⎢a ⎥ 0 ⎥ , L = − ⎢ 21 ⎢ # % % ⎥ % ⎢ ⎥ ann ⎦ ⎣ a n1 " a n , n − 1 ⎤ ⎡ 0 a12 " a1n ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0 % # ⎥ ⎥ ,U = − ⎢ ⎥ ⎢ % an −1, n ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ 0 ⎦ ⎣
§2 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 迭代法
1 k
为迭代法的平均收
25
26
Def 3.3 设 A = (aij ) ∈ R ,如果矩阵 A 满足条件
aii > ∑ aij
j≠i
n× n
( i = 1, 2," , n)
Def 3.4 设 A = (aij ) ∈ R 排列阵 P 使
n× n
,当 n ≥ 2 时,如果存在 n 阶

数值分析老师布置题目及“参考答案”(1到8章)

数值分析老师布置题目及“参考答案”(1到8章)

第二章3.给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。

解:由表格知,若采用线性插值法计算即,则若采用二次插值法计算时,7.设且求证:解:令,以此为插值节点,则线性插值多项式为插值余项为8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?解:若插值节点为和,则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h,即若截断误差不超过,则9.若,解:根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

12.证明证明:得证。

14.若有个不同实根,证明:证明:有个不同实根且令则而令则得证。

16.求及。

解:若则17.证明两点三次埃尔米特插值余项是解:若,且插值多项式满足条件插值余项为由插值条件可知且可写成其中是关于的待定函数,现把看成上的一个固定点,作函数根据余项性质,有由罗尔定理可知,存在和,使即在上有四个互异零点。

根据罗尔定理,在的两个零点间至少有一个零点,故在内至少有三个互异零点,依此类推,在内至少有一个零点。

记为使又其中依赖于19.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足.解:利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中,A为待定常数22.求在上分段线性插值函数,并估计误差。

解:在区间上,函数在小区间上分段线性插值函数为误差为23.求在上分段埃尔米特插值,并估计误差。

一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0 0.11.000000.99500-0.05000在区间上,令函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为误差为又24.给定数据表如下:X j0.250.300.390.450.53Y j0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值,并满足条件:解:由此得矩阵形式的方程组为2 1 M02 M12 M22 M31 2 M4求解此方程组得三次样条表达式为将代入得课外:解:有题意,插值条件为0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.00000 0.99500 0.980070.95534 0.921060.877580.82534为使用牛顿插值公式,先构造查分表0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.980070.955340.921060.877580.82534-0.14930-0.24730-0.34280-0.43480-0.52240-0.49650-0.49000-0.4775-0.4600-0.438000.021670.041670.058330.07330.050000.041650.03742-0.01670-0.00846第三章4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式?解:在闭区间上连续存在,使取则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。

数值分析第8章

数值分析第8章

n
1
k
,
xn uk
35
对给定的误差 ,当 | k – k 1 | < 时,得
k
k
j 1 j 2,, n , 所以 lim k 0 由假设条件 k 1
从而
lim
k

vk
k 1
a1 x1
k 1 1 1
17
所以当k充分大时,有
vk a x
vk a x

k 1 1 1
即为矩阵 A 的对应特征值 1 的近似特征向量。
vk 1 Avk a x 1vk
1 2 n1 n 0
Axi i xi A xi x
1
1 i i
其相应的特征向量 x1 , x2, …, xn 线性无关,则 A-1 的特 征值为1/ i ,对应的特征向量仍为 xi (i=1,2, …,n).
33
此时,A-1 的特征值满足
1
5 6.7500, 13.5000, 10.1250
13.5007
13.5000
0.5, 1, 0.7500
0.5, 1, 0.7500
可得到B的主特征值 113.5000 特征向量 v1 (0.5 ,1.0, 0.7500)T 因此,A的主特征值为 1 = 1 +p 11.0000, 特征向量仍为v1 =(0.5,1,0.7500)T。
k 1 1 1 k 2 2 2 k
k n n n k
k n 2 1 a1 x1 a2 x a 2 n xn 1 1 k 1 a1 x1 k
16

数值分析习题解答8

数值分析习题解答8

所以
h 1 1 ( 2 K 1 + 3 K 2 + 4 K 3 ) = hy ′( x n ) + h 2 y ′′( x n ) + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 9 2 6

y n + 1 = y n + hy ′( x n ) +

1 1 2 h y ′′( x n ) + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 6
解:由改进欧拉方法 得
yn+1 = yn + 0.5 h [( axn+ b) + ( axn+1+ b)]
将 xn = n h 代入,得
yn+1 = yn + 0.5 h [a(2n+1)h + 2b] = yn + 0.5 a(2n+1) h2 + bh
对上式两端做求和运算
∑y
n= 0
N −1
n+1

所以,有
xn +1
xn
f ( x , y )dx ≈
xn + 1 1 xn +1 [ ∫ ( x n − x )dx f n −1 + ∫ ( x − x n −1 )dx f n xn h xn 1 3 = h[− f n −1 + f n ] 2 2
y n +1 = y n +
6.对初值问题
h (3 f n − f n −1 ) 2
8.证明公式
h ⎧ ⎪ y n +1 = y n + 9 (2 K 1 + 3K 2 + 4 K 3 ), ⎪ K 1 = f ( x n , y n ), ⎪ ⎪ ⎨ h h ⎪ K 2 = f ( x n + 2 , y n + 2 K 1 ), ⎪ ⎪ K = f ( x + 3 h, y + 3 hK ). 3 n n 2 ⎪ 4 4 ⎩

数值分析习题第八章

数值分析习题第八章

第八章1.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x (1)考察用Jacobi 迭代法,Gauss-Seidel 迭代法解此方程组的收敛性;(2)用Jacobi 迭代法,Gauss-Seidel 迭代法解此方程组,要求当()()4110-∞+<-k k x x 时迭代终止。

解:(1)因此方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1032241125A是对角优势矩阵,故其Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代均收敛。

(2)此方程组的Jacobi 迭代格式为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-=---=+++10310151521415125152211331123211k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取初值()()T X 0,0,00=进行迭代计算,得近似解为()()()()417181*********.09999999.1,9999739.2,9999964.3-∞⨯≈--=X X X T此方程组G-S 迭代格式为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-=---=+++10310151521415125152211331123211k k k k k k k k k x x x x x x x x x取初值()()T X 0,0,00=,迭代8次达到精度要求,近似解为()()()()478810414468.0000003.2,999985.2,000036.4-∞⨯≈--=X X X T5.设方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321221321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321221321x x x x x x x x x 试考察解此方程组的Jacobi 迭代法及Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第八章 矩阵特征值问题计算
3.用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量
12732343()341;()463213331a A b A --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
当特征值有3位小数稳定代终止。

解:套用幂法公式
010,,,1,2,....
max()k
k k k k v u v Au u k v -≠==
=
取0(1,1,1)0T u =≠,将A 1代入上式,计算结果见下表
则1A 的主特征值19.605572λ≈,特征向量1(10.6050.394369)T
x ≈- 将2A 代入幂法公式,取0(1,1,1)T
u =,计算结果见下表
则2A 主住特征值18.869699λ≈,特征向量1(0.604228,1,0.160881)T
x ≈-
4.用反幂法求矩阵
621231111A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 的最接近于6的特征向量。

解:本题按带原点平移的反幂法计算。

平移向量p=6,则将
021231115B A pI ⎡⎤
⎢⎥=-=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
进行三分解:PB=LU ,其中
1
002310101511
001,10,02
221004
2701005
5P L U ⎡
⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ 然后1(1,1,1)T
Uv =,解得
1
111,max()v v u v =
1,,,2,3,....
max()k
k k k k k k v Ly PU Uv y U k v -===
=
计算结果如下:
11222(1.6185185190.8074074070.185185185)(10.4988558350.114416475), 6.61784897(0.4988558350.135011422 1.108009154),(0.7429443160.3974065590.80518688),(10.5349075970.276180698),7.34599T T T T T v u v u u λλ==≈=-==≈333445896(0.5349075970.0087268990.993018482),(0.7875884090.4080538440.183892311)(10.5181054460.233487833),7.269698727(0.5181054460.02556489 1.020451912),(0.7728370020.4055137110.188972T T
T T y v u y v λ===≈=-=45556576)(10.5247079390.244518023),7.293933905(0.5247079390.017835946 1.014268757)(0.7775695350.4060862260.187827547),(10.5222506890.241557235),7.286058616(0.5222506890.019568109 1.T
T T T T u y v u y λλ=≈=-==≈=-66777015654488)(0.7760201390.4059579180.188084164)(10.5231280710.242370209),7.288626351(0.5231280710.019193826 1.015355061)(0.7765281410.4059856420.188028715)(10.5228215440.242140245)T T T T
T v u y v u λ==≈=-==,7.2871783336
λ≈
可以看出,A 的6最接近的特征值为7.288,对应的特征向量为(10.52280.24214)T。

9.用OR 法计算
120211013A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 的全部特征值。

解1A A =,取()
k k nn s a =作为平移因子来计算A 的全部特征值1
3s = 231211212231 2.828427124 4.2426046860.707106781()0 1.7320508060.577350268000.4082482452.0 1.2247448701.22474487 1.6666666670.2357022600.23570226 3.333333333T T
P P A s I R A RP P s I -⎡⎤
⎢⎥-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-⎡⎤
⎢⎥=+=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
2 3.333333333s =
同理得
34 3.372247822
1.998760145s s ==
12445124 4.370421512
0.073615329()00.0012403272.3722813080.0000208950.000020895
1.988760145T
P A s I R A RP s I -⎡⎤-==⎢⎥-⎣
⎦--⎡⎤=+=⎢
⎥-⎣⎦
因此A 的另两近似特征值分别为-2.372281308和1.998760145。

相关文档
最新文档