课时跟踪检测(四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时跟踪检测(四十二) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时跟踪检测（四十二） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考合格性考试达标练1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．－2 解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A. 3．化简cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝( )A ．1B ．2C ．12D ．－1解析：选B cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B ．233 C ．43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43.又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D ．6.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为________．解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.答案：327．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是________．解析：因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.答案：－cos α28．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－569．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α ＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）.因为α为第二象限角，且 sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，所以原式＝24cos α＝－ 2.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A ．43B ．－43C ．34D ．－34解析：选C tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.3．已知角α是第一象限角，且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A ．25B ．75C ．145D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 4．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由sin B sin C ＝cos 2A2得sin B sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ，∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )， ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1. 又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°， ∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin 2θ＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值．解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425. 8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24. C 级——拓展探索性题目应用练已知点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图所示．∵AB 为半圆的直径，∴∠APB ＝π2，又AB ＝1，∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切半圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14.∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4<3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，S 四边形ABTP 取得最大值24＋14。
课时跟踪检测(四十二) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时跟踪检测（四十二） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考合格性考试达标练1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cosα＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 2．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A. 3．化简cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝( )A ．1B ．2C ．12D ．－1解析：选B cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B ．233 C ．43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43.又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sinα2＋cos α2＝－233. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D ．6.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为________．解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.答案：327．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是________．解析：因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 答案：－cos α28．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－569．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）.因为α为第二象限角，且 sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，所以原式＝24cos α＝－ 2.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sinα＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A ．43B ．－43C ．34D ．－34解析：选C tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.3．已知角α是第一象限角，且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A ．25B ．75C ．145D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 4．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由sin B sin C ＝cos 2A2得sin B sin C ＝1＋cos A 2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ，∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )， ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1. 又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°， ∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin 2θ＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值．解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35.又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725.所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24. C 级——拓展探索性题目应用练已知点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图所示．∵AB 为半圆的直径，∴∠APB ＝π2，又AB ＝1， ∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切半圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)＝24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14.∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4<3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，S四边形ABTP取得最大值24＋14.。
课时作业12：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79D ．－89考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.3．(2018·辽宁师范大学附属中学高三期末)化简：cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．－1考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 B解析 cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．(2018·天津和平区高三期末)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α等于( ) A ．－35 B.35 C ．－45 D.45考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角余弦值 答案 D解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13， 则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D.5.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．－2sin 5°D ．2sin 5°考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 C解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D.112考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5. 7．(2018·北京东城区高三期末)若cos α＋sin α＝23，则2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值为( )A.59 B ．0 C ．－518 D ．－59考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 D解析 ∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α＝2×22(sin 2α－cos 2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59.二、填空题8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.9．(2018·广东茂名高三第一次综合测试)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为 ．考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －74解析 ∵sin α＋cos α＝12，∴1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.又∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，∴sin α－cos α＝72，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 4α的值为 ． 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －429解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， 故sin 4α＝2sin 2α·cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.11．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝ .考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案17250解析 ∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45.∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425. cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－725×22＋2425×22＝17250.三、解答题12．已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α.考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式证明 因为sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 又α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α， 得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.14．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值 答案 －247解析 由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210， 即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 15．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin 2αsin α－cos α的值．考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 解 (1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－29＝169.又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正切公式的应用
在三角函数求值中的应用
01
利用二倍角的正切公式，可以求出一些特殊角的三角函数值。
在三角函数化简中的应用
02
在化简一些三角函数式时，可以利用二倍角的正切公式将式子
化简为更简单的形式。
在解三角形中的应用
03
在解三角形时，可以利用二倍角的正切公式来求出一些未知角
度或边长。
06
结论
总结二倍角的正弦余弦正切公式
正弦公式
$\sin(2A) = 2\sin Aห้องสมุดไป่ตู้cos A$
余弦公式
$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$
正切公式
$\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$
对三角函数学习的意义
01
02
03
深入理解三角函数的性 质和关系
掌握三角函数在数学和 实际生活中的应用
为后续学习三角函数和 相关学科打下基础
对后续学习的作用
为学习三角函数和解析几何等学科打 下基础
为学习物理、工程、经济等领域中的三角 函数应用提供支持
为进一步学习数学分析、微积分等 高级数学课程打下基础
THANKS
感谢观看
应用举例
在解三角函数方程时，通过使用二倍角的余弦公式可以 将方程化简，从而方便求解。例如，在求解 $\sin(x+60^\circ)$ 时，可以使用二倍角的余弦公式 将 $\sin(x+60^\circ)$ 化为 $\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$，从而简化计算。
互余关系
$\sin(π - α) = \sin α$，$\cos(π α) = - \cos α$，$\tan(π - α) = \tan α$
高中数学二倍角的正余弦、正切公式知识讲解及测试题
3.1.3 二倍角的的正弦、余弦、正切公式(1)—B 班回顾 两角差的余弦公式 =-)cos(βα_____________________________ 两角和的余弦公式 =+)c o s (βα_____________________________ 两角差的正弦公式 =-)s i n (βα______________________________两角和的正弦公式 =+)s i n (βα______________________________ 两角差的正弦公式 tan()αβ+=______________________________两角差的正弦公式 tan()αβ-=______________________________问题1：已知sin15a ︒=，试用 a 表示sin30︒.探究：二倍角的正弦公式sin 2α= 2S α问题2：根据二倍角的正弦公式探究过程，试写出二倍角的余弦、正切公式cos2α= 2C αtan 2α= 2T α问题3：2S α，2C α，2T α中角α有何要求？例1、求值：（1）22sin cos 1212ππ- （2）sin75cos75︒︒（3）2tan151tan 15︒-︒ （4）224sin 1533-︒总结：cos2α=22cos sin αα-= =例2、（1）已知1sin cos 3αα=，则cos4α=_______________ （2）已知1sin(),43x π-=-则sin 2x =_______________（3）cos20cos40cos80︒︒︒=____________________变式：（1）sin10sin50sin70︒︒︒=____________（2）sin6sin 42sin66sin78︒︒︒︒=_____________思考：1c o s c o sc o sc o s 242n αααα-=__________ 例3、求证：21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-当堂检测 1.已知sin2α=53，cos 2α=－54，则角α是 （ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角2．=α-α2sin 2cos 44____________________; 3．=α+-α-tan 11tan 11___________________; 4．=θ-θ+2cos cos 212______________________. 5．已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式
课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式在学习三角函数时，我们已经了解了正弦、余弦和正切函数。
在本次课时跟踪检测中，我们将学习两个角度的和与差的正弦、余弦和正切公式。
通过这些公式，我们可以计算两个角度相加或相减的正弦、余弦和正切值。
首先，我们来看两角和的公式。
1.两角和的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之和可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2.两角和的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之和可以表示为：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB3.两角和的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之和可以表示为：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)接下来，我们来看两角差的公式。
1.两角差的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之差可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB2.两角差的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之差可以表示为：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB3.两角差的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之差可以表示为：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以帮助我们在计算角度和或差的正弦、余弦和正切值时，避免重复计算。
通过将已知的角度的正弦、余弦和正切值带入公式，我们可以求解未知角度的正弦、余弦和正切值。
例如，如果我们知道sinA和cosA的值，我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来计算任意角B的正弦和余弦值。
同样，如果我们知道tanA和tanB的值，我们可以使用两角和的正切公式计算角度(A + B)的正切值。
理解和掌握这些公式对于解决与三角函数相关的问题非常重要。
二倍角的正弦余弦正切公式
正切二倍角公式是三角函数中一个重要的公式，用于将一个角的正切函数值转化为两个相同或相反角之间的正 切函数值。这个公式基于tan(α + π/4)的展开式，通过化简得到。在实际应用中，可以用于求解角度、计算斜 率以及解决各种实际问题。
02
二倍角公式的证明
基于正弦函数的二倍角公式证明
总结词
利用正弦函数的和差化积公式证明
基于正切函数的二倍角公式证明
总结词
利用正切函数的定义证明
详细描述
根据正切函数的定义，我们知道tan(a+b)=(sina+b)/(cosa+b)，令a=b，则 有tan(2a)=2tan/1-tan^2，即tan2a=2tan/1-tan^2。
03
二倍角公式的应用
在三角函数计算中的应用
三角函数的加减运算
二倍角公式可以用于简化三角函数的加减运算，例如sin(2A) = 2sin(A)cos(A)， cos(2A) = cos²(A) - sin²(A)。
三角函数的求值
二倍角公式可以用于求三角函数的具体数值，例如sin(45°) = √2/2，cos(60°) = 1/2。
在解三角形中的应用
解直角三角形
多倍角公式的推广
要点一
总结词
多倍角公式是二倍角公式的推广，可以视为将一个角度 分成多个相等的部分，每个部分都是原角度的1/n。其 证明方法与二倍角公式类似，通过三角恒等式进行证明 。
要点二
详细描述
多倍角公式是将一个角度分成多个相等的部分，每个部 分都是原角度的1/n。例如，sin(nA) = sin[(n-1)A + A] = sin[(n-1)A]cosA + cos[(n-1)A]sinA = nsinA (n-1)sin^2 A。类似地，我们可以通过三角恒等式证明 多倍角公式的正确性。
二倍角的正弦余弦和正切公式
二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。
2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。
3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。
这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。
下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。
根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。
高中数学-二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切
∵ sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β,
∴ 当α＝β 时，sin(α+β)＝sin2α＝2sinαcosα
sin2α＝2sinαcosα ∵ cos(α +β)＝cosαcosβ －sinαsinβ
(S2 α)
∴ 当α = β时, cos(α＋β)＝cos2α ＝cos2α －sin2α
例6. 求值： cos215°+sin250°–cos175°·cos95°
•
解:原式＝
1 cos30 1 cos100 sin5
2
2
cos 5
1 1 cos30 1 sin10 1 sin10
2
2
2
1 3 4
例7. 已知sin( ) 5 ,且0 ,
4
13
4
求3sin2 4sin cos cos2 的值。
3. 6
(4)1－cos 2 π＝－1(2cos 2π －1)
2
82
8
＝－1cosπ＝－ 2.
24
4
练习1.已知sinα＝5 ，α∈( ,π)，求sin2α，
13
cos2α，tan2α的值.
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα＝－ 1 sin 2 1 ( 5 )2 12.
例13 化简
2
2,
2 2cos
1
其中180 360.
4
例14 已知: x+y=3–cos4θ，x – y=4sin2θ,
1
1
求证：x 2 y2 2.
例15 求证 sin4 cos2 cos tan .
二倍角的正弦、余弦、正切公式
自主探究： 自主探究：
3 3.已 3.已知cosα = ,则cos2α = 5
7 − 25
3 α 4 4.已 4.已知sin = ,cos = − , 则角α是( 2 5 2 5 A.第一象限角 B.第二象限角 C .第三象限角 D.第四象限角
二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、
复习： 复习：
两角和、差的余弦公式： 两角和、差的余弦公式：
cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β
cos(α − β ) = cosα cos β + sinα sin β
记忆口诀：“余余正正，符号相反” 记忆口诀： 余余正正，符号相反”
α
D
)
交流展示： 交流展示：
1.填空：
(1)sin15 cos15 =
tan 22.5 (3) = 2 o 1 − tan 22.5
o
o
o
π 2π (2)cos --sin = 8 8
2
(4)2cos2 22.5o --1=
5π 5π 5π 5π (5)(sin +cos )(sin --cos )= 12 12 12 12
共同探究： 共同探究：
1 13 2.已 2.已知 cos α = ,cos(α − β ) = ， 7 14 且0 < β < α < （2）求β .
π
2 （1）求 tan 2α的值；
课堂小结： 课堂小结： 二倍角的正弦、余弦、正切公式： 二倍角的正弦、余弦、正切公式：
课时跟踪检测 (四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时跟踪检测 （四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式层级(一) “四基”落实练 1.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选A 原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D ．35解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．若9－cos 2θcos θ＋1＝4，则(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021的取值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．0解析：选A 因为9－cos 2θcos θ＋1＝4，所以9－(2cos 2θ－1)＝4(cos θ＋1)， 即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)， 所以sin θ＝±1－cos 2θ＝0， 所以(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021＝1. 4．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方，得1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a ＝2sin 18°，若a 2＋b ＝4，则1－2cos 227°a b＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选A ∵a ＝2sin 18°，a 2＋b ＝4， ∴b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，∴1－2cos 227°a b ＝1－2cos 227°2sin 18°4cos 218°＝－cos 54°4sin 18°cos 18°＝－sin 36°2sin 36°＝－12.6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34. 答案：347．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∵当x ＝θ时，函数f (x )取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π6＋2k π＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝1＋331－33＝2＋ 3. 答案：2＋ 38．已知角α的终边经过点(－8，－6)，则1＋cos 2α＋sin 2αcos (π＋α)＝________.解析：因为点(－8，－6)到原点的距离r ＝(－8)2＋(－6)2＝10，所以sin α＝－610＝－35，cos α＝－810＝－45.所以1＋cos 2α＋sin 2αcos (π＋α)＝2cos 2α＋2sin αcos α－cos α＝－2cos α－2sin α＝－2×⎝⎛⎭⎫－45－2×⎝⎛⎭⎫－35＝145. 答案：1459．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .证明：左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α的值． 解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 即cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)． 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.层级(二) 素养提升练1．已知tan 2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：选C 已知tan 2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－22，解得tan α＝2，所以2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝－3＋2 2.2．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)的结果是________． 解析：原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70°＝3cos 10°－cos 10°·cos 20°2sin 10°·cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin (20°－30°)sin 10°＝－1.答案：－13．已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋3cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域． 解：f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＋3cos 2x＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，得2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )∈[－1,2]．即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为[－1,2]． 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)由题意知cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－33＋410.5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15 ° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°·sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。
高中数学课时跟踪检测(四十三)二倍角的正弦、余弦、正切公式新人教A版必修第一册
课时跟踪检测（四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考水平达标练1．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.2．化简sin 235°－12sin 20°等于( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1解析：选B 原式＝1－cos 70°2－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－12.3．已知sin θ＝45，sin θcos θ＜0，则sin 2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．2425解析：选A ∵sin θ＝45＞0，sin θcos θ＜0，∴cos θ＜0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425.4．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( ) A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D. 5．计算：sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( )A ．12B ．1C ． 3D ．2解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2t an 22.5°＝1tan 45°＝1.6．已知sin 2θ＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1＋342＝78.答案：787．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ＜0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3·cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×32＝12.答案：128．若1＋tan α1－tan α＝2 019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 019.答案：2 0199．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.10．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.解：(1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725 ＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.B 级——高考水平高分练1．已知tan x ＝12，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝( )A.110B.15C.35D.910解析：选 D 因为tan x ＝12，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2＝12＋sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝12＋tan x tan 2x ＋1＝12＋25＝910.2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝( ) A ．－79B ．－59C ．59D ．79解析：选 B 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝23，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－59.3．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α ＝ sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tanα＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.4．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4和cos 2α的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②联立①②，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×15－1＝－35.5.如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ， ∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m.又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ， ∴AD ＝CD ＝10 3 m.∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)， ∴103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32， 又2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12，∴AE ＝30sin π6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.。
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
=
2tan
=tan
1-tan2
2θ.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
忽视角的范围致误
典例 化简: 2 + 2 + 2cos(2π<α<3π).
错解 2 + 2 + 2cos =
2 + 2cos 2=2cos4.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?
π
12
π
π 2
+ cos
=
8
8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
4
2
2
2
(2)1+ 2
(2)原式=1+sin =1+ .
3
答案:(1)1+ 2
.
π
12
=1+cos
π
3
=1+ 2 .
6
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
利用二倍角公式解决给角求值问题
1
θsin θ=1+2(cos
1
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)+2sin
1
2
(1-cos2)+sin2
2sin2 +sin2
(2)证明左边=
=
(1+cos2)+sin2
2cos2 +sin2
2sin2 +2sincos
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
二倍角的正弦 【2 】.余弦和正切公式(基本)【进修目的】1．能从两角和的正弦.余弦.正切公式推导出二倍角的正弦.余弦.正切公式,并懂得它们之间的内涵接洽.2．能闇练应用二倍角公式进行简略的恒等变换（包括导出积化和差.和差化积.半角公式．但不请求记忆）,能灵巧地将公式变形并应用．3．经由过程应用公式进行简略的恒等变换,进一步进步应用接洽的不雅点.化归的思惟办法处理问题的自发性,领会换元思惟.方程思惟等在三角恒等变换中的感化.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦.余弦.正切公式 1．二倍角的正弦.余弦.正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的前提是：在公式22,S C αα中,角α可认为随意率性角,但公式2T α中,只有当2k παπ≠+实时()42k k Z ππα≠+∈才成立; (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍情势,其它如4α是2α的二倍.2α是4α的二倍.3α是32α的二倍等等都是实用的.要熟习多种情势的两个角的倍数关系,才能闇练地应用好二倍角公式,这是灵巧应用公式的症结.如：2cos2sin2sin ααα=;11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式.倍角公式之间的内涵接洽在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内涵接洽如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=;1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．22tan tan 21tan ααα=-．2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±;降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式可以或许解答的三类根本题型 求值题.化简题.证实题1．对公式会“正着用”,“逆着用”,也会应用代数变换中的常用办法：因式分化.配方.凑项.添项.换元等;2．控制“角的演化”纪律,追求所求结论中的角与已知前提中的角的关系,如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等,把握式子的变形偏向,精确应用公式,也要抓住角之间的纪律(如互余.互补.和倍关系等等);3．将公式和其它常识连接起来应用,尤其留意第一章与第三章的慎密连接. 【典范例题】类型一：二倍角公式的简略应用 例1．化简下列各式： （1）4sincos22αα;（2）22sincos 88ππ-;（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒． 【思绪点拨】逆用二倍角的正弦.余弦和正切公式．【答案】（1）2sin α（2）2-（3）22+ 【解析】 （1）4sincos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=．（2）2222sin cos cos sin cos 888842πππππ⎛⎫-=--=-=-⎪⎝⎭．（3）22tan 37.512sin 37.512tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒+=⋅=︒=-︒-︒． 【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值,而是将所给式子作为一个整体变形,慢慢向二倍角公式的睁开情势接近,然后逆用倍角公式,要细心领会本题中的解题思绪．触类旁通：【变式1】求值：（1）cos sin cos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;（2）22cos 18π-;（3）22tan 751tan 75-．【答案】（1（2;（3）【解析】（1）原式=22cossin cos12126πππ-==;（2）原式=cos(2)cos842ππ⨯==; （3）原式=3tan150tan(18030)tan 303=-=-=-． 类型二：应用二倍角公式求非特别角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思绪点拨】解这类题型有两种办法： 办法一：实用sin 2sin 2cos ααα=,不断地应用二倍角的正弦公式．办法二：将正弦标题中的正弦情势全体转化为余弦情势,应用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．【答案】116【解析】办法一： sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒． ∴1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=办法二：原式1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．办法一和办法二经由过程不雅察角度间的关系,发明其特点（二倍角情势）,逆用二倍角的正弦公式,使得问题消失连用二倍角的正弦公式的情势．在此进程中还应当看到化简今后的分子分母中的角是互余（补）的关系,从而使最终的成果为实数．应用上述思惟,我们还可以把问题推广到一般的情况：一般地,若sin 0α≠,则11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=．触类旁通：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒ sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒． 类型三：应用二倍角公式化简三角函数式 例3．化简下列各式： (1)4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθ【思绪点拨】（1）不雅察式子剖析,应用二倍角公式把倍角睁开成单角,再进行化简．（2）不雅察式子剖析,应用二倍角公式把倍角睁开成单角,应用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos2- 【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++ (2)4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形情势：αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+．经常起到清除式子中1的感化．②因为2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而,可进行无理式的化简和运算．例4．化简：222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】 原式2cos 22sin 4cos 4cos 4απαπαπα=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2cos 22sin cos sin 2442ααπππααα==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 21cos 2αα==．【总结升华】 三角函数的化扼要从削减角的种类.函数的种类入手．经由过程切化弦.弦化切.异化同.高次降幂等手腕,使函数式的构造化为最简情势．触类旁通：【变式1】（1的化简成果是．（2）已知3sin 5α=,且α∈(2π,π),则2sin 2cos αα的值为．【答案】（1）sin3cos3-（2）32-【解析】（1）原式=|sin3cos3|- =sin3cos3-（2）因为3sin 5α=,且α∈(2π,π),所以4cos 5α=-,原式=22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-． 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值标题中的应用例5．求值： （1）已知3sin()1225πθ-=,求cos()6πθ-．（2）已知sin()4m πα+=,求sin2α．【思绪点拨】不雅察所求的角与已知角的关系,发明它们是二倍的关系,所以用二倍角公式去求解． 【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =91225-⨯ =725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=221m -【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型,求解的要点是应用公式沟通已知前提和所求式子之间的接洽,考核公式应用和变换的技能． 触类旁通：【变式1】 已知1sin cos 3αα+=,且0απ<<,求sin 2α,cos2α,tan 2α的值．【答案】89-9-17【解析】由1sin cos 3αα+=,得21(sin cos )9αα+=, 即112sin cos 9αα+=,∴8sin 22sin cos 9ααα==- 由1sin cos 3αα+=,得1cos sin 3αα=-,∴221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．即22121sin sin sin 93ααα-=-+． 整顿得29sin3sin 40αα--=．解得1sin 6α+=或1sin 6α=（舍去）．∴22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭．∴sin 2tan 2cos 217ααα==．【总结升华】解题进程中留意角α的规模的剖断．【变式2】已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,（1）求tan α的值;（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．【解析】 （1）tantan 1tan 14tan 41tan 21tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-,解得1tan 3α=-．（2）222sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 212cos 12cos αααααααααα---==++-1115tan 2326α=-=--=-． 【总结升华】 第（1）问中应用了方程的思惟求tan α的值;对于第（2）问的题型,一般须要将分式转化为含tan α的式子求解,或者经由过程消元转化的办法求解． 类型五：二倍角公式的分解应用例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的聚集; （2）f (x )的单调区间．【思绪点拨】用降幂公式把原式降幂,然后用帮助角公式化成sin()A x k ωϕ++的情势．【答案】（12|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）单增区间 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 单减区间 5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）原式=1sin 2cos21x x +++ =sin 2cos22x x ++)24x π++则当22,42x k πππ+=+即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时,max ()2f x =（2）f (x )的单调递增区间为：222242k x k πππππ-≤+≤+,则3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦f (x )的单调递减区间为：3222242k x k πππππ+≤+≤+,则 5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题重要考核特别角的三角函数值.两角和的正弦.二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ωϕ=+的性质等常识．要记住倍角公式两类重要变形并能闇练应用：（1）缩角升幂公式21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21cos 2cos2αα+=,21cos 2sin 2αα-=．（2）扩角降幂公式21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=． 例7． 已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ,(1,sin cos )x x =+b ,求函数()f x =⋅a b ．（1）求()f x 的最大值及响应的x 值;（2）若8()5f θ=,求cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【思绪点拨】应用向量数目积公式的坐标情势,将题设前提中所涉及的向量数目积转化为三角函数中的“数目关系”,从而树立函数f(x)关系式．【答案】（11+3()8x k k Z ππ=+∈（2）1625【解析】 （1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ,(1,sin cos )x x =+b ,所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭．是以,当2242x k πππ-=+,即3()8x k k Z ππ=+∈时,()f x 1．（2）由()1sin 2cos 2f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=,双方平方得91sin 425θ-=,即16sin 425θ=．是以,16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．触类旁通：【变式1】已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.第11页，－共12页【答案】（Ⅰ）2π,52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k z ∈（Ⅱ）12- 【解析】（Ⅰ）1cos ()sin cos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+-1sin().242x π=+- 所以函数()f x 的最小正周期为2π. 由322242k x k ππππ+≤+≤π+,k ∈Z ,则52244k x k πππ+≤≤π+. 函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+,k ∈Z . (Ⅱ)由342x ππ≤≤,得7244x πππ≤+≤. 则当342x ππ+=,即54x π=时,()f x取得最小值12-. 【变式2】已知向量m =（sinA,cosA ）,1)=-n ,m ·n =1,且A 为锐角．（1）求角A 的大小;（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）由题意,得cos 1m n A A ⋅=-=, 2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由A 为锐角得66A ππ-=,3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =, 所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R,第12页，－共12页 所以sinx ∈[－1,1]．是以,当1sin 2x =时,()f x 有最大值32,当sin x=－1时,()f x 有最小值－3,所以所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
类型 3 化简与证明
[典例 3] 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos
2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
1．化简与求值应关注四个方向：分别从“角”“函 数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
2．公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，sin
αcos α＝12sin 2α，cos
sin 2α
α＝
，cos2α－sin2α＝cos 2
2sin α
2tan α
α，
＝tan 2α.
1－tan2α
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
α＋sin
αcos
α－cos
＝ 2α－1
2sin αcos α ＝
sin2α＋sin αcos α－（2cos2α－1）－1
2sin αcos α sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
2tan α tan2α＋tan α－2
＝
2×2 22＋2－2＝1.
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课时跟踪检测（四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考水平达标练1．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.2．化简sin 235°－12sin 20°等于( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1解析：选B 原式＝1－cos 70°2－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－12.3．已知sin θ＝45，sin θcos θ＜0，则sin 2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．2425解析：选A ∵sin θ＝45＞0，sin θcos θ＜0，∴cos θ＜0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425.4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( ) A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D.5．计算：sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( )A ．12B ．1C ． 3D ．2解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1tan 45°＝1.6．已知sin 2θ＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝34，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋342＝78. 答案：787．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________. 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ＜0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3·cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫－12×12＋32×32＝12. 答案：128．若1＋tan α1－tan α＝2 019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 019.答案：2 0199．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.10．(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，求α. 解：(1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35 ＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725 ＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1， sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 解得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， 故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.B 级——高考水平高分练1．已知tan x ＝12，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝( ) A.110 B.15 C.35D.910解析：选D 因为tan x ＝12，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2＝12＋sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝12＋tan x tan 2x ＋1＝12＋25＝910.2．设sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝( )A ．－79B ．－59C ．59D ．79解析：选B 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－59. 3．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解：(1)因为tan α ＝ sin α cos α ＝43， 所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.4．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4和cos 2α的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②联立①②，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×15－1＝－35.5.如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ， ∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m.又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ， ∴AD ＝CD ＝10 3 m.∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)， ∴103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32， 又2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12， ∴AE ＝30sin π6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.。