代入消元法 公开课获奖课件

y＝2x－3，① 3x＋2 y＝8.②
把①代入②，
得3x＋2(2x－3)＝8，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝1.
x＝2，
所以原方程组的解是

y＝1.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
2 x－y＝5，① (2) 3x＋4 y＝2.②
由①，得y＝2x－5.
③把③代入②，得3x＋4(2x－5)＝2，
① ②
由①，得 y 5 x. ③
2
把③代人②，得
500x+250× 5 x =22 500 000, 2
（来自《教材》）
知2－讲
解这个方程，得 x=20 000.
把x=20 000代入③，得 y=50 000.
x 20000,
所以这个方程的解是

y

50000.
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000
由①，得x＝48－y.③
把③代入②，得10(48－y)＋12y＝520，
解得y＝20. 把y＝20代入③，得x＝28.
所以方程组的解是
x＝28，

y＝20.
答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛．
（来自《教材》）
知2－练
2 张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路 施工步行一段路，1.5 h 后到达县城. 他骑车的 平均速度是15 km/h，步行的平均速度是5 km/h，路程全长20 km. 他骑车与步行各用多 少时间？
导引：问题中包含两个条件： 大瓶数：小瓶数=2 : 5， 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.
（来自《教材》）
知2－讲
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. 根据大、
小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的
数量关系，得
5x 2 y, 500x 250 y 22500000.
所以，我们把第二个方程2x+y=16 中的y换为10-x，这
个方程就化为一元一次方程2x+(10-x) = 16.解这 个方程，
得x=6. 把x=6代入y=10-x，得y=4.从而得到这个方程组
的解.
知1－讲
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果 消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转 化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求 另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐 一解决的思想，叫消元思想．
解方程组时，不要急于求解，首先要观察方程组 的特点，因题而异，灵活选择解题方法，达到事半功 倍；本题中，若由②求得y后再代入①，既增加了一 步除法运算又因为出现分数而增加了运算量，而把2y 看作一个整体，则大大简化了解题过程．
知2－讲
例4 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小 瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2: 5. 某厂每天生产这种消毒液22.5 t， 这些消毒 液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
ìïïíïïî
x＋y＝5， 2x＋3 y＝11.
由①得x＝5－y，③
把③代入②得10－2y＋3y＝11，解得y＝1.
把y＝1代入③得x＝4.
则方程组的解为
ìïïíïïî
x＝4， y＝1.
本题容易出现将③代入①这种循环代入错误， 从而解不出方程组．
易错点：用代入法消元时因循环代入而致错
A．9天
B．11天
C．13天
D．22天
1 知识小结
利用代入消元法解二元一次方程组的关键是找准代 入式，在方程组中选择一个系数最简单(尤其是未知数前 的系数为±1)的方程，进行变形后代入另一个方程，从 而消元求出方程组的解．
2 易错小结
【中考·广州】解方程组
解：ìïïíïïî
x＋y＝5①， 2x＋3 y＝11②，
小瓶.
（来自《教材》）
知2－练
1 有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其 中每支篮球队10人，每支排 球队12人，每名运 动员只能参加一项比赛. 篮球、排球队各有多 少支参赛？
（来自《教材》）
知2－练
解：设篮球队有x支参赛，排球队有y支参赛．
根据题意，得
x＋y＝48，① 10x＋12 y＝520.②
例1
解方程组：
ìïïíïïî
x3x
-
y= 8y
3, =
14.
① ②
知1－讲
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，
比较简便.
解：由①，得 x=y+3.
③
将③代入②，得 3(y+3) -8y=14.
解这个方程，得 y=-1.
把y= -1代入 ③，得 x=2.
所以这个方程组的解是
ìïïíïïî
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝－1.
所以原方程组的解是
x＝2，

y＝－1.
（来自《教材》）
知1－练
x＝2 y，①
2
用代入法解方程组 确的是( B )

y－x＝3.②
下列说法正
A．直接把①代入②，消去y
B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y
D．直接把②代入①，消去x
知1－讲
例2
用代入消元法解二元一次方程组： ìïïïïïíïïïïïî
x+ 2 x－ 3
y 3 y 4
= =
13 , 2 3. 2
导引：将两个方程先化简，再将化简后方程组中的一个
进行变形，然后用代入消元法进行求解．
解：原方程组化简得：ìïïíïïî
3 4
x+2 y = 39, x - 3 y = 18.
知1－讲
2．代入消元： (1)定义：将二元一次方程组中一个方程中的某个未 知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并 代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二 元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的 方法称为代入消元法，简称代入法．
知1－讲
(2)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤及方法： ①变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式； ②代入； ③求出一个未知数； ④求出另一个未知数； ⑤写出解 .
x x

b1 b2
y y

c1 , c2 ,
这里a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数，x，y是未知数．
1 用代入法解下列方程组
y 2x 3, (1) 3x 2 y 8;
2x y 5, (2) 3x 4 y 2;
知1－练
（来自《教材》）
解：(1)
答：张翔骑车与步行分别用1.25 h，0.25 h.
（来自《教材》）
知2－练
3 【中考·绵阳】若 a+b+5+ 2a b 1 0,
则 (b－a)2 015＝( A )
A．－1
B．1
C．5 2 015
D．－5 2 015
知2－练
4
已知关于x，y的方程组

x＝3－m， y＝1＋2m，
① ②
由①得 y = 39- 3x . ③ 2
知1－讲
把③代入②得 4x - 3? 39- 3x 18, 解得x＝9. 2
把x＝9代入③，得y＝6.
所以原方程组的解为
ìïïíïïî
x= y=
9, 6.
总结
知1－讲
当二元一次方程组中的系数较复杂时，可先将
方程组整理成二元一次方程组的标准形式
aa12
x场、负y场，可以列方程组 2x y 16 表示本章引 言中问题的数量关系. 如果只设一个未知数:胜x场，那 么这个问题也可以用一元一次方程
2x+(10-x) = 16 来解.
思考
知1－导
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关
系？
我们发现，二元一次方程组中第一个方程x+y=10
可以写为y=10-x. 由于两个方程中的y都表示负的场数，
则y用
只含x的式子表示为( B )
A．y＝2x＋7
B．y＝7－2x
C．y＝－2x－5
D．y＝2x－5
知2－练
5 【中考·常德】某气象台发现：在某段时间里，
如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下
雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了
雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，
则这一段时间有( B )
知1－练
3
用代入法解方程组
2x y 6, 3x+4 y 4.
①
较简单的
②
方法是( A )
A．消y
B．消x
C．消x和消y一样
D．无法确定
知识点 2 代入消元法的应用
知2－讲
例3
用代入消元法解方程组：4 x 3x

8 2
y y

12, 5.
① ②
导引：观察方程组可以发现，两个方程中x与y的系数的
绝对值都不相等，但①中y的系数的绝对值是② 中y的系数的绝对值的4倍，因此可把2y看作一个
整体代入．
知2－讲
解：由②，得2y＝3x－5.③
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得
y 1. 2
x 2,
所以这个方程组的解是

y

1 2
.
总结
知2－讲
x y
= =
2, - 1.
（来自教材）
总结
知1－讲
利用代入法解二元一次方程组的思路： 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个
未知数的式子表示出来，并代入另一个方程，从而 消去一个未知数，化二元方程为一元方程．用代入 法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个 未知数是解题关键，它影响着解题的繁简程度，因 此应尽量选取系数比较简单的方程．