第4章 运输问题和指派问题78722
第4讲- 运输问题和指派问题教材
0
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
对于例4.1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个 销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由于总 产量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。
x33 x34 30
s.t.
x11
x44 10 10
x12
x22
15
x13 x23 x33
25
x14
x24
x34
x44
20
xij 0 (i, j 1, 2, 3, 4; i j)
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
x11 x12 x13 x14 7
x21
x22
x23
x24
4
x31
x32
x33
x34
9
s.t.
x11 x21 x31 3
x12
x22
x32
6
x13
x23
x33
5
x14 x24 x34 6
xij
例4.3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销 地的销量和各产地运往各销地每件物品的运 费如表4－6所示。问应如何调运，可使得总 运输费最小？
(第四章)运输问题和指派问题
产地
能力
Ⅰ
10.8 10.8+0.15 10.8+2*0.15 10.8+3*0.15 25
Ⅱ
－
11.1 11.1+0.15 11.1+2*0.15 35
Ⅲ
－
－
11
11+0.15
30
Ⅳ
－
－
－
11.3
10
销量
10
15
25
20
100
70
销地 Ⅰ
产地
Ⅰ
10
Ⅱ
－
Ⅲ
－
Ⅳ
－
销量
10
生产与储存方案
Ⅱ
A2 6 4 -1 5
0
Vj 6
4
5
以上所有检验数≤0，故初始方案已是最优方案 不用进行第三步的调整
不平衡运输问题
• 当总供应量≠总需求量时，称为不平衡运输问 题
• 不平衡运输问题的求解：先化为平衡的运输 问题，再用表上作业法
• 供＞求，虚设一个收点，收量为供求之差，各发 点到该虚收点的单位运价为0
运输问题的扩展－－指派问题
现实生活之中，我们也经常遇到指派人员做某 项工作的情况。指派问题的许多应用都用来帮 助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工 作指派人员的问题。其他的一些应用如为一项 任务指派机器、设备或者是工厂 。
还有哪些这样的问题呢？
想想看！
实例
有4 个工人,要指派他们分别完成4 项 工作,每人做各项工作所消耗的时间如下 表。要求1人只做1件事，如何指派使总 的消耗时间最少?
• 由于某种原因，不能指派某个人做某件事
• 如A1由于技能不达标，不能做B3，只须在一般模 型中去掉x13变量。
【交通运筹学】第4章 运输与指派问题
• 【例】设某运输队有4辆卡车，需分派驶往4个不同的目 的地，由于各辆卡车的性能、消耗和效率不同，因而驶 往各目的地的运输成本也不同，见表，单位：百元。试 求使总成本最低的车辆分派方案。
22
• 匈牙利算法
匈牙利方法求解指派问题的步骤为：
第一步：将效率矩阵 每行的各元素减去该行的最小元 素，再将所得矩阵每列的各元素减去该列的最小元素， 那么所得矩阵的每一行和每一列都有零元素。
第四章 运输与指派问题
1
主要内容
• 第一节 运输问题的数学模型 • 第二节 运输单纯形法 • 第三节 指派问题
2
第一节 运输问题的数学模型
• 【例5.1】现从两个产地A1，A2将物品运往B1，B2，B3三个地 区。各产地的产量、各需求地（销地）的需求量及产地到需求 地的运价如表5-1所示，问如何安排运输计划使总的运输费用最 小。
各工地需要的数量（百根）及从各管桩厂到各工地的运 、 输单价（千元/百根）如表所示，试用最小元素法求解该
运输问题。
、
10
• 二、元素差额法（Vogel近似法） 最小元素法的缺点是：可能开始时节省一处
的费用，但随后在其他处要多花几倍的运费。元 素差额法对最小元素法进行了改进。如果不能按 最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一 个差额，差额越大，说明不能按最小运费调运时， 运费增加就越多，因此对差额最大处就应当采用 最小运费调运。
•
3
解 设 xij i 1,2; j 1,2,3 为 i 个产地运往第 j
个需求地的运量，这样得到运输问题的数学模型为：
（1）目标函数为总的运费最小，即：
min Z 6x11 4x12 6x13 6x21 5x22 5x23
运输问题和指派问题
除了从卡路里河引入的水不能供给豪利格拉斯之外， 从这三条河流之中引入的水都可以供给这四个城市。对于 每一个从水源到城市的可能的组合，每立方英尺的成本在 表6.9中给出。
如果以100万立方英尺为单位的话，这个表的最后一 行列出了在未来一年中每一个城市的用水需求量（总量为 12.5）。最后一行中列出了每一年从每一条河流中可能引 入的水量（总量为16）。
生产进度安排
北方飞机制造公司为全世界的航空公司生产各种商务飞 机。制造过程最后的一步是生产喷气发动机并把它们安装到 已经完成的飞机框架之中去（非常快的一个操作）。按照公 司的一些订单合同，不久公司要交付使用相当多数量的飞机。 所以有必要现在为未来4个月这些飞机喷气发动机的生产制 定计划。
为了保证按时交付，公司必须要按照表6.10第二列的数 量来供应需要安装的发动机。因此，在1~ 4月的月末需要完 成的发动机数量分别是10、25、50、70台。
可转化为运输问题，如表6.7所示。
表6.7 运输问题的变形：求佳产品公司问题的数据
目的地（产品）
单位成本（美元）
1
2
3
4
供应量
出发地（工厂）
1
41
27
28 24
75
2
40
29
— 23
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运输、指派问题和网络最优化
▪为每个单独旳产品种类设计并求解运送问题 ▪对于针对还在运营旳工厂旳每一种选择，为每
一种产品种类处理相应旳运送问题体现了从这 些工厂运送产品到配送中心或顾客区所需要旳 配送成本是多少。 ▪在找出最佳旳新生产和配送系统旳过程之中解 决了许多这么旳运送问题 ▪北美工厂数降低了20%，而且企业每年节省了2 亿美元旳税前费用
这次会议，他雇用了四个临时工（安、伊安、琼、肖恩）每 一种人负责完毕下面旳一项任务：
1．书面陈说旳文字处理。 2．制作口头和书面陈说旳电脑图。 3．会议材料旳准备，涉及书面材料旳誊录和组织。 4．处理与会者旳提前和当场注册报名。
数据，模型与决策
第四讲 运输、指派问题与网络最优化
运送问题变形
耐芙迪企业选择顾客
数据，模型与决策
第四讲 运输、指派问题与网络最优化
运送问题变形 德罗水管站分配自然资源
米德罗水管站是一种主管着广阔地域旳水资源分配旳机构。因 为这个地域十分干燥，所以这个机构需要从外地引水。这些引 人旳水来自于科伦坡、塞克隆以及卡路里河这三条河流。引人 这些水之后，这个机构把水转卖给这个地域旳顾客。它旳主要 客户是布都、劳斯戴维斯、圣哥以及豪利格拉斯等城市旳供水 部门。
口旳九个区域（在进一步细化旳计划之中，就把城市提成 了超出100个更小旳区域）表5-12 给出了每一所学校与每一 种区域之间旳近似距离。最右一列给出了来年每一种区域 旳高中学生数量（这些数字在将来几年之内估计会有缓慢 旳增长）。最下面旳两行表达了每一所学校所能够安排旳 至少和最多旳学生数量。
数据，模型与决策
数据，模型与决策
第四讲 运输、指派问题与网络最优化
实际问题
配送问题
P&T企业是一家由家族经营旳小企业。它收购生菜 并在食品罐头厂中把它们家工成罐头，然后在把 这些罐头食品分销到各地。企业旳一种主要产品 是豌豆罐头，在三个食品罐头厂生产（接近华盛 顿旳贝林翰；俄勒冈州旳尤基尼；明尼苏达州旳 艾尔贝李）然后用卡车把它们运送到美国西部旳 四个分销仓库（加利福尼亚州旳萨克拉门托；犹 他州旳盐湖城；南达科他州旳赖皮特城；新墨西 哥州旳澳尔巴古）。
运输问题和指派问题
4.2 运送问题旳数学模型和电子表格模型
需要注意旳是，运送问题有这么一种性 质（整数解性质），即只要它旳供给量 和需求量都是整数，任何有可行解旳运 送问题就必然有全部决策变量都是整数 旳最优解。所以，没有必要加上全部变 量都是整数旳约束条件。
因为运送量经常以卡车、集装箱等为单 位，假如卡车不能装满，就很不经济了 。整数解性质防止了运送量（运送方案 ）为小数旳麻烦。
4.4 运送问题旳变形
现实生活中符合产销平衡运送问题旳每一种条件旳情况极少。一种特 征近似但其中旳一种或者几种特征却并不符合产销平衡运送问题条件旳 运送问题却经常出现。 下面是要讨论旳某些特征： （1）总供给量不小于总需求量。每一种供给量（产量）代表了从其出 发地（产地）中运送出去旳最大数量（而不是一种固定旳数值，≤）。 （2）总供给量不不小于总需求量。每一种需求量（销量）代表了在其 目旳地（销地）中所接受到旳最大数量（而不是一种固定旳数值，≤） 。 （3）一种目旳地（销地）同步存在着最小需求量和最大需求量，于是 全部在这两个数值之间旳数量都是能够接受旳（需求量可在一定范围内 变化，≥、≤）。 （4）在运送中不能使用特定旳出发地（产地）--目旳地（销地）组合（ xij=0）。 （5）目旳是使与运送量有关旳总利润最大而不是使总成本最小（Min－ > Max）
min z 160 xA1 130 xA2 220 xA3 170 xA4
140 xB1 130 xB2 190 xB3 150 xB4
190 xC1 200 xC 2 230 xC 3
xA1 xA2 xA3 xA4 50
xB1
xB 2
xB3
xB 4
60
xC1
xC 2
mn
min z
特殊的运输问题指派问题
特殊的运输问题指派问题指派问题是运输问题中的一种特殊情况，"派合适的人去做合适的事"是对该问题的最贴切描述。
工人相当于产地，工作相当于销地，那么劳动就是产品，工资就是运费。
所以，运输问题所拥有的特点指派问题都有，而特殊之处就是在指派问题中，各个产地和销地的产量和需求量都是"1"。
这个全新的特点使得其解法在运输问题解法的基础上得到了简化。
本文意在介绍这种更加简洁的算法--匈牙利法，从而帮助读者从实际意义的角度理解它，摆脱矩阵计算的盲目性。
其实，指派问题也有单纯形法解释，只不过其中涉及到了对偶理论和松弛互补定理，所以暂且回避。
话说回来，匈牙利这个名字与具体解法无关，望初学者们不要被这个突如其来的名字所吓倒。
以下是解决指派问题的具体步骤：第一步：得到模型首先仍然是模型标准化，标准化对指派问题提出了两点要求，其实就是运输问题中的那两点要求，笔者不啰嗦了。
为了满足这两点要求，需要对原始模型进行转化。
1.平衡转化a.人数工作数添加适当数量的"虚拟工人"，使两个量相等。
当工人不足时，就意味着一定会有人做不只一项工作，所以这里的虚拟工人就是实际工人中的一个或几个，由于要求总费用最小，因此，假想工人的工资是完成各项工作的工资的最小值。
b.人数工作数添加适当数量的"虚拟工作"，使两个量相等。
由于虚拟工作并不需要投入劳动，所以，相应工资是"0"。
当某人因为某种原因，不能从事某工作时，使其工资为无限大正数，强迫公司不让他进行该工作。
2.目标函数的最小优化转化这步转化是标准运输问题中没有的，因为在运输问题中，目标函数的意义是"总运价"，而总运价必须最低。
但在指派问题中，由于指派标准的不同，目标函数的意义多变了些，例如代表工人的总工资，工人工作的总用时，这时目标函数需要最小化；当它代表工人的总产能，工人的工作总速度时，目标函数就需要最大化。
运筹学 第四章 运输与指派问题 第一讲 运输模型与运输单纯形法
4.2 运输单纯形法 Transportation Simplex Method
Chapter 4 运输与指派问题 T&A Problem
4.2.1 初始基可行解的确定 1. 最小元素法： 最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价 Cij 对应的变量 xij 优先赋值
xij min ai , b j
为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量 的连线为闭回路的边。
Chapter 4 运输与指派问题 4.1 运输模型 T&A Problem Model of Transportation Problems
孤立点：若变量组 xi1 j1 , xi2 j2 , , xir jr 中某一变量是它所在行
Chapter 4 运输与指派问题 4.1 运输模型 T&A Problem Model of Transportation Problems
注：有些问题表面上与运输问题没有多大关系，也可以建立与
运输问题形式相同的数学模型。
【例4.2】有三台机床加工三种零件，计划第i台的生产任务为a i
(i=1,2,3)个零件，第j种零件的需要量为bj (j=1,2,3)，第 i 台机床
5
4 2 B2
7
A2 8
3 1 6
8 2 2 9 图4.1
B3
8
A3
5
3
B4
3
Chapter 4 运输与指派问题 4.1 运输模型 T&A Problem Model of Transportation Problems
【例4.1】现有A1，A2，A3三个产粮区，可供应 粮食分别为10，
8，5(万吨)，现将粮食运往B1，B2，B3，B4四个地区，其需要量
线性规划运输问题
第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。
第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。
每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n 个，全部为等式约束。
前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。
在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。
图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题是指在运输中寻找最优方案的问题，主要包括供应商到销售点、工厂到市场、仓库到经销商等物流过程。
常见的运输问题有：
1. 指派问题：将n个工作任务分配给m个工作人员，每个工作任务有一个工作量和时间上的限制，目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
2. 运输问题：用最少的代价将一批货物从若干个供应商运送到若干个销售点，满足供求平衡条件。
可以使用线性规划方法，将供应商和销售点之间的运输路线看作一个网络，利用线性规划的方法求解最小代价或最大收益。
3. 配给问题：采购部门需要为生产线提供原材料，同时工厂需要将成品配给销售部门。
目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
4. 路径问题：给定一个网络，寻找两个点之间的最短路径。
可以采用广度优先搜索等方法解决。
5. 负载平衡问题：当多个任务需要在多个工作站上完成时，如何平衡各个工作站的负载。
可以采用贪心算法、动态规划等方法解决。
在实际应用中，以上问题常常彼此关联，可以采用综合算法或求解器进行求解。
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运输问题和指派问题
运输问题
数学模型和电子表格模型 各种变形的建模 应用举例
平衡指派问题（总人数等于总任务数）
指派问题 数学模型和电子表格模型
各种变形的建模
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4.1 运输问题基本概念
第4章 运输问题 和指派问题
▪ 运输问题最初起源于人们在日常生活中把某些 物品或人们自身从一些地方转移到另一些地方 ，要求所采用的运输路线或运输方案是最经济 或成本最低的，这就成为了一个运筹学问题。
第4章 运输问题 和指派问题
需要注意的是：运输问题有这样一个性质 （整数解性质），只要它的供应量和需求 量都是整数，任何有可行解的运输问题必 然有所有决策变量都是整数的最优解。因 此，没有必要加上所有变量都是整数的约 束条件。
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单位 ，如果卡车不能装满的话，就很不经济了 。整数解性质就避免了运输量（运输方案 ）为小数的麻烦。
第4章 运输问题 和指派问题
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第4章 运输问题和指派问题
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第4章 运输问题 和指派问题
本章内容要点
运输问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
指派问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
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本章节内容
第4章 运输问题 和指派问题
▪ 随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展， 如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联运 体系创造更多的价值，向运筹学提出了更高的 挑战。
▪ 要求科学地组织货源、运输和配送使得运输问 题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是实现 现有资源的最优化配置。
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4.1 运输问题基本概念
第4章 运输问题 和指派问题
(1)决策变量 设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4)
（2）目标函数 本问题的目标是使得总运输费最小。
M inz3x1111x12 3x1310x14
x21 9x22 2x23 8x24
7x314x32 10x33 5x34
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4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
第4章 运输问题 和指派问题
（3）约束条件
M in z 3 x11 1 1 x12 3 x13 1 0 x14
①满足产地产量 （3个产地的 产品都要全部 配送出去）
②满足销地销量 （4个销地的 产品都要全部 得到满足）
③非负
x 21 9 x 22 2 x 23 8 x 24
7 x31 4 x32 1 0 x33 5 x34
i1
x
ij
0
(i 1, 2 ,
, m ; j 1, 2 ,
, n)
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4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
第4章 运输问题 和指派问题
对于例4.1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四 个销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由 于总产量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问 题。
表4－1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨） 3
6
5
6
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4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
第4章 运输问题 和指派问题
（1）产销平衡运输问题的数学模型
m
n
ai b j
i 1
j 1
具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地
Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为 mn
M in z
cij xij
i1 j 1
n
xij a i
(i 1, 2 ,
, m ) (产 量 约 束 )
j1
m
s .t . x ij b j ( j 1, 2 , , n ) ( 销 量 约 束 )
▪ 一般的运输问题就是解决如何把某种产品从若干个产地 调运到若干个销地，在每个产地的供应量和每个销地的 需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如 何确定一个使得总的运输费用最小的方案。
▪ 平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需 求量（销量）和单位成本。
4.1 运输问题基本概念 4.2 运输问题数学模型和电子表格模型 4.3 各种运输问题变形的建模 4.4 运输问题应用举例 4.5 指派问题 4.6 各种指派问题变形的建模
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本章主要内容框架图
第4章 运输问题 和指派问题
产销平衡（总产量等于总销量）
产大于销（总产量大于总销量）
销大于产（总产量小于总销量）
2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固 定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝ 总需求”。
3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成 本与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单 位成本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。
x11 x12 x13 x14 7
x 1
x 22
x 23
x 24
4
x 31
x 32
x33
x 34
9
s .t.
x11
x12
x 21 x 22
x31 3 x32 6
x13
x 23
x 33
5
x14 x 24 x34 6
x
ij
0 (i
1, 2 , 3;
j
1,2,3,4 )
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4.1 运输问题基本概念
第4章 运输问题 和指派问题
▪ 例4.1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品， 每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产 品分别运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每 日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各 销售点的单位产品运价如表4－1所示。问该公司应如何 调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使 总运费最少？
天津财经大学 珠江学院
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
第4章 运输问题 和指派问题
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作 业法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”还是采用“ 单纯形法”来求解。
例4.1的电子表格模型
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4.2 运输问题数学模型和电子表格模型