多元复合函数求导法则【包含偏导数】

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多元复合函数求导法则

多元复合函数求导法则

z
z f u f = + . 区别类似 y u y y
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
u x y
x y
两者的区别
把复合函数 z = f [ ( x , y ), x , y ] 中的
y 看作不变而对 x 的偏导数
例 3 设 z = uv + sin t ,而 u = e t , v = cos t ,
dz z du z dv = + dt u dt v dt
z
u v
t
则 证 设 t 有增量 t, u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t ); 由于函数 z = f ( u, v ) 在点
z z z = u + v + o( ρ ), ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o( ρ ) 当 t → 0时, = + + t u t v t t
例5 设 z = e cos v , 而 u = xy , v = x + y ,
u
z z , . 求 x y
解 dz = d ( e cos v ) = e cos vdu + e ( sin v )dv
u
u u
du = d( xy) = ydx + xdy,dv = d( x + y) = dx + dy,
例1 设
而 x = sin t , y = ( t )
z
x
y
t
推广
1.上定理的结论可推广到 1.上定理的结论可推广到 中间变量多于两个的情况: 中间变量多于两个的情况: z = f ( ( t ),ψ ( t ), ω ( t ))

高数第四节-多元复合函数的求导法则

高数第四节-多元复合函数的求导法则

u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 :设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在,z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数,则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解:令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6:设 z y 2 ( x y) , 为可微函数,求证
连续偏导数,求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节:多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,

多元复合函数的求导法

多元复合函数的求导法

多元复合函数的求导法在一元函数中,我们已经知道,复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用,对于多元函数来说也是如此。

下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。

我们先以二元函数为例:多元复合函数的求导公式链导公式:设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式:例题:求函数的一阶偏导数解答:令由于而由链导公式可得:其中上述公式可以推广到多元,在此不详述。

一个多元复合函数,其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。

在一阶偏导数的链导公式中,项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。

全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题:设z=u2v,u=cosx,v=sinx,求解答:由全导数的链导公式得:将u=cosx,v=sinx代入上式,得:关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数,只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。

多元函数的极值在一元函数中我们看到,利用函数的导数可以求得函数的极值,从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。

多元函数也有类似的问题,这里我们只学习二元函数的极值问题。

二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式:f(x,y)≤f(x0,y0)成立,那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0);如果恒有等式:f(x,y)≥f(x0,y0)成立,那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是:.注意:此条件只是取得极值的必要条件。

凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点,但驻点却不一定是极值点。

7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

z z u z v x u x v x
z
u v
x y
z z u z v y u y v y
(2 2型)
求导公式
函数结构(路线图)
例 z u2v uv2,u x cos y, v x sin y, 求 z , z .
wy
求和的项数等于路径条数(加法原理)
每一项的因子数等于每条路线上的步骤数 (乘法原理)
推广(2) 设w = f (u, v) , u (x, y, z), v (x, y, z) 其复
合函数为 w f [(x, y, z), (x, y, z)] u
x
w w u w v x u x v x
用7.3的方法直接求偏导数
推广(1) 设z= f (u,v,w), u u(x, y),v v(x, y), w w(x, y) 其复合函数为 z f [u(x, y),v(x, y), w(x, y)]
z z u z v z w. z
u v
x
dy dy du dx du dx
y
u
x
1.全导数
A.典型结构
定理1(全导数) 设函数 u = (x) 与v = (x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对 应点(u , v)处有一阶连续偏导数,则对于复合函数
z f [(x), (x)] 最终的自变量只有一个时求全导
z f f v z f v . z x
x x v x y v y
v
x y
注意2:一般地对于函数z f (x, y)
即 z v
不至于引起混淆时,不必区分

9-4多元复合函数的求导法则

9-4多元复合函数的求导法则

f1 2xye f1 3e y f 3 e y ( f 3 2 x y f 3 e ) .3
例 4设 w f(x y z ,x), yzf其 有中 连 二阶偏导数, 2w.求 xz
解 令 u x y z , vx; yz
w x
u f u x fv x vf1 yzf2 ,
则复 z f合 u (x ,y ), 函 v (x ,y )数 也可微
dzzdxzdy x y
( z u z v)d x ( z u z v )dy u x v x u y v y
z( u d x u d) y z( vd x vd)y u x y v x y
从而 xz2uylnv3vu2,yz2xyu 2lnvuv2.
例 1设 1 u ( x y ) z , z x 2 又 y 2 , 求 u 及 u . x y
解 d u d(xy)z z ( x y ) z 1 d ( x y ) ( x y ) z lx n y ) d (z
z ( x y ) z 1 ( d d ) ( x x y ) z l x n y ) d ( x 2 y ( 2 )
z ( x y ) z 1 ( d d ) x ( x y y ) z lx n y ) 2 x ( ( 2 y d ) [ z ( x y ) z 1 2 x ( x y ) z lx n y ) d ( ]x
从而 zsi2 nersi2 n,
r
z2rco2sersi2n .
例 9 设 u f ( x 2 y 2 ,x , sy x ) i , 求 n d . u 解 d u d f(x 2 y 2 ,x y ,sx i)n

2.4 多元复合函数的求导法则

2.4 多元复合函数的求导法则
中的 y看作不变而对 x的偏导数
例1 设
而 x sin t, y (t)
其中 (t)可导,求 dz .
dt
x
解 dz z dx z dy z
y
t
dt x dt y dt
例2 设z eu sin v,而u xy,v x y,
求 z 和z . x y
解 z z u z v
x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( ysinv cos v), z
exy [ y sin(x y) cos(x y)],
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1
ux vy
eu (x sin v cos v) exy [xsin(x y) cos(x y)].
dz z du z dv dt u dt v dt
u
z
vt
链式法则的规律: “连线相乘,分线相加”
推广
1.上述定理的结论可推广到
中间变量多于两个的情况:
z f [(t), (t),(t)] u (t),v (t), w (t)
dz dt
z du u dt
z dv v dt
z dw w dt
exy[x sin( x y) cos( x y)]dy
dz z dx z dy x y
比较
求 z , z .
x y
解 dz d(eu sinv) eu sinvdu eu cosvdv
du d(xy) ydx xdy,dv d(x y) dx dy,
dz (eu sinv y eu cosv)dx (eu sinv x eu cosv)dy

微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)

微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)

方向导数的最大值.梯度的模为
| gradf ( x, y) |

f x

2


f y

2
.
P
当f 不为零时,
都可定出一个向量f
i
f
j ,这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度,记为
gradf
( x,
y)

f x
i
f y
j.
设e


cosi

sin

j 是方向
l 上的单位向量,
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }

x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0

f cos f sin .
x
y
20
例 1 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点(1,1)
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z . x
z
解: z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
但z f (0 x,0) f (0,0) lim (x)2 lim x 不存在
x
x
x0 x
x0 x
类似:

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

7(4)多元复合函数的求导法则

7(4)多元复合函数的求导法则

f u
u t
f v
v t
f w w t
kt k1
f
( x,
y, z)
tx
f u
t
y
f v
t
z
f w
tkt k1
f
(
x,
y,
z)
k tk f ( x, y, z) kf (u,v, w)
uxf ux
yv
f
vy
wz
f
wz
kf (xu,yv, wz )
(C ) x f y f z f kf ( x, y, z); x y z
求fxy (0, 0)和f yx (0, 0)
解 当( x, y) (0,0)时, 有
f x ( x,
y)
3x2 y( x2 (x2
y2) x3 y y2 )2
2x
3x2 y x2 y2
2x4 y ( x2 y2 )2
,
fy(x, y)
x3 x2 y2
(
2 x2
x3
y2 y2
)2
.
19
设多元f 复( x合,函y)数的求x导2x法3则yy2 0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
f
y
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问: 函数对某自变量的偏导数之结构

3多元复合函数与隐函数的求导法则

3多元复合函数与隐函数的求导法则

求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x

m x
m u m v m v u x v x v x

f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v

f1 2x
f2 ye xy
z y

f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
),而 u
x ,v y
y z
,求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x

w w u w v x u x v x
于是
2w xz

f11

xyf12

yf2
yz(
f21

xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y

z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz

z x
dx

z y
dy中, 得
dz


z u

u x

z v

v x
dx


z y

z u

多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一.多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。

定义 设函数),(v u f z =,而u 、v 均为x 、y 的函数,即),(y x u u =,),(y x v v =,则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。

其中u 、v 叫做中间变量,x 、y 叫做自变量。

现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则,推广到多元复合函数。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

定理 如果函数),(y x u u =,),(y x v v =在点(x,y )处都具有对x 及对y 的偏导数,函数),(v u f z =在对应点(u,v )处具有连续偏导数,则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点(x,y )处存在两个偏导数,且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则,它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。

作为初学者,我们常用图示法表示各变量之间的关系(如图所示)。

u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数,如“z —u ”表示u z ∂∂。

现在我们利用图来求xz ∂∂,首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径:x u z →→和x v z →→,那么结果就一定是两项之和,又在第一项中有u z →和x u →两个环节,那么这一项一定是两式相乘,即xu u z ∂∂∂∂。

同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。

于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地,无论复合函数的复合关系如何,因变量到达自变量有几条路径,就有几项相加,而一条路径中有几个环节,这项就有几个偏导数相乘。

9-4多元复合函数的求导法则

9-4多元复合函数的求导法则

z
u
v
t
(2) 特别地,z f ( x, y) 而y g( x)
w
x
zy x
(3) z f ( x, y,t) 而x (t), y (t)
z
全导数
偏导数
xt yt
t
第4页,共22页。
例1 设 z uv+ sin t,u=et ,v cos t,求 dz .
dt
ut
解 dz z du z dv z
第12页,共22页。
二、多元复合函数的全微分
1. 四则运算法则
第13页,共22页。
2. 复合运算法则
设函数 z f (u,v),u ( x, y),v ( x, y) 均可微, 则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)] 也可微,且有
( z u z v )dx ( z u z v )dy

u f f z
x x z x
f1
e
y
f

3
x
fu1
y
z
x
y
2u
xy
y
u x
y
f1
e
y
f
3
f12 xe y f13
e
y
f3
e
y
(
f
32
xe
y
f
33
).
f12 xe y f13 e y f3 e y f32 xe2 y f33 .
第10页,共22页。
例5 设 w f ( x y z, xyz),其中 f 有连续的
解2 令 u x y z, v xyz; 则 w f (u, v)
w x
f u f v u x v x

6.3多元复合函数求导法则

6.3多元复合函数求导法则

z
z z u z v z w y u y v y w y
如 z f [( x, y), x, y],
z f u f , z f u f . z
x u x x y u y y
ux v wy
ux xy y
例1 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
x y
解: z
z v
x eu sin v
v x eu cos v 1
z
ux vy
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
z f ((t), (t),(t))
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数 dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数 的情况:
z f (u,v), u (x, y),v (x, y)
z f (u), u ( x, y)
可推广到三元或三元以上
定理 若函数
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
u
z
vt
z f (u,v)
推广 1.上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况:
解:令 u x y z, v xyz;
w f u f v x u x v x
f1 yzf2;
x
wu y
vz

f1
f

84多元复合函数的求导

84多元复合函数的求导
第四节 多元复合函数的求导法则
设函数 z=f(u)可微,
u=g(x,y) 偏导数存在,
z x
f
(u)

gx(
x,
y)

dz du

u x
问题:设函数 z=f(u,v)可微,
u ( x)与 v ( x) 导数存在,
dz dx

z u

du dx

z v

dv dx
函数关系图
dy
z x

ye xy ez 2
,
z y

xe xy ez 2
.
(u)2 (v)2
z z u z v o() , x u x v x x
lim z z lim u z lim v lim o() , x0 x u x0 x v x0 x x0 x
x
u
z
y
v
z u

1

1 (x
)2
1 y

1
1

1 (x
)2
(
x y2
)
1

y x2
x y2
y
y
z v
1 1 ( x)2
1 y

1

1

1 (x
)2
(
x y2
)
(1)

x x2
y y2
y
y
z z u v
2y x2 y2

2(u 2(u2
解 d(exy 2z ez ) 0,
求 z ,z x y
dexy d (2z) dez 0,

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
3uv , u e , v sin t , 求 . dt z du z dv dz 解 dt u dt v dt
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v),而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微, 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导, u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量,对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量,对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性,二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y

高等数学:7-3 多元复合函数的求导法则

高等数学:7-3 多元复合函数的求导法则

链式法则如下图所示
u
x
z
v
y
z z u x u x
z v
v x
fu ux fv vx
z z u z y u y v
v y
fu uy
fv vy
链式法则:“分段相乘,分叉相加”
注 1 上述公式可推广:中间变量及自变量的个数
可增加或减少。例如
ux zv
wy
x
z
uy vt
2 当复合函数中自变量与中间变量共存时
dz z du z dv . dt u dt v dt 证 设 t 获得增量 t, 则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数 z f (u,v) 在点 (u,v) 有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当 u 0,v 0 时,1 0, 2 0
w

z y
f u
u y
f y
.
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y) 中
把复合函数 z f [( x, y), x, y] 中 的 u 及 y 看作不变
的 y 看作不变而对 x 的偏导数 而对 x 的偏导数
(3)当仅有一个中间变量时
z f (u), u ( x, y) 则复合函数z f [(x, y)]
z z u z v y u y v y
eu sinv x eu cosv 1 e u ( x sinv cos v).
例2 u f ( x, y, z) e x2 y2 z2 而 z=x2siny。求
u u x y 解 u f x f y f z f f z x x x y x z x x z x

第六节多元复合函数求偏导

第六节多元复合函数求偏导
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
x y
解: u f x x
2 x ex2 y2z2
2z
e
x2
y2Biblioteka z22x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u f f z y y z y
2 ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x 2 cos y
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z
xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z 2x
中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
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§8.4 多元函数求导法则
【定理】若函数及都在点可导;
函数在对应点具有连续偏导数,
则复合函数在点可导,且其导数为
(1)
证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数
的对应增量为。

据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有
这里,当时,。

上式两边除以得
而当时,有,从而
所以
故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。

用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

例如, 设与复合而得到
函数。

若在点可导,
对具有连续偏导数,
则复合函数在点可导, 且
(2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

例如, 设
与 复合而得到
函数
,若
在点 具有对及的偏导数,
函数
在对应点具有连续偏导数,
则在点的两个偏导数存在, 且
(3)
事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。

但均是的二元函数,所以应把(1)式中的
直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。

类似地, 设及
均在点具有对及的偏
导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数
在点的两个偏导数都存在,且
(4)
例如,若有连续偏导数,而
偏导数存在,则复合函数
可看作上述情形中当的特殊情形, 因此
(4)式变成
等式两边均出现了
或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明:
左边的是将复合函数
中的看作常数,而对求偏导数;
右边的是把函数中的及看作常数,而对
求偏导数。

因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为
由该复合函数变量间的关系链,可对此求(偏)导数法则作如下解释:
求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。

而沿第一条线路对
求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的
函数,求导结果自然是
( 这与一元复合函数求导法则很类似);而沿第二条线路对
求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的
函数,求导结果自然是。

上述变量关系图象一根链子,它将变量间的相互依赖关系形象地展示出来。

对某个变量求导,就是沿企及该变量的各条线路分别求导,并把结果相加,这一法则称之为锁链法则。

这一法则可简单地概括为
【例1】设 , 而 , , 求和。

解:
【例2】设而,求与。

解:。

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