四边形之动点问题(习题及答案)

四边形之动点问题（习题）

➢例题示范

例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与

直线y =- 3

x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3

度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；

（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．

1

3 ⎪ 【思路分析】 1.

研究背景图形 由直线表达式 y =

3x + 6 ， y = - 3

x ，可知两直线垂直，

3

且 OA = 2 3，OB = 6，∠ABO = 30 o ， 得到∠COB = 60o ，OC = 3，BC = 3 ；

C ⎛ - 3 3 3 ⎫ 同时，联立直线表达式可知， ⎝ 如图，

， ． 2 2 ⎭

2.

分析运动过程，分段，定范围

①分析运动过程：动点 E 和 F 运动的起点，终点，速度；状态转折点；时间范围；所求目标．根据状态转折点 C 对运动过程进行分段，确定每段对应的时间范围分别为0 ≤ t < 3 和 3 ≤ t ≤ 6 ．如图，

②分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析 △BEF ，B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形， 需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．

3 3 2 2 ⎭

⎝ 3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪

3

（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -

3

x 交于点 C 3.

分析几何特征、表达、设计方案求解 ①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 到 t 值． - t ，根据 BE =BF 即可得 此时， t =

3 + 3 3

2

②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF 且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值． 此时，t =3

③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可 得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ， 根据 BF =EF ，且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥ BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值． 此时， t = 3

【过程书写】

3 3

（2）当3 ≤t ≤6 时，点F 在线段BC 上，若使△BEF 是等腰三角形，分三种情况考虑：

①当BE=BF 时，如图，

由题意得，BE=t，BF = 3 + 3 3 -t

∴t = 3 + 3 3 -t

∴t =3 + 3

2

3

，符合题意

②当BE=EF 时，如图，过点E 作EN⊥BC 于点N ∴BN=NF

∵BF = 3 + 3 3 -t

∴BN =

3 + 3∵BE =t

3 + 3 3 -t 3 -t

2

∴ 2 =t

32

解得，t=3，符合题意

③当BF=EF 时，如图，过点F 作FM⊥BE 于点M ∴BM=ME

∵BE=t

∴ BM =

t

2

∵BF = 3 + 3 3 -t

t

∴ 2

3=

3 + 3 3 -t

2

解得，t = 3 3 ，符合题意

综上，若△BEF 是等腰三角形，则t 的值为3 + 3 3

，3 或3 3 2

➢巩固练习

1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，

DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停

止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．

（1）用t 表示△CMN 的面积S；

（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？

（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？

2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，

BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD-DC 向点C 运动；动点Q 从点C 同时出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点P 到达点C 时，动点Q 随之停止，设运动的时间为t 秒．

（1）当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？

（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？

3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点

P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从点

C 同时出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时

间为t 秒（0

（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；

（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．

（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？

图1

图2

备用图