函数——值域(教案)

函数（3）——值域

二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；

2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元

法等。

（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；

2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；

函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。 （二）新课讲解：

例1、试画出下列函数图象。

（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈

练习：已知函数与分别由下表给出，那么

((1))_____;((2))______((3))______;

((4))_______f f f g g f g g ====

1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域：

（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）2

1y x =- {2,1,0,1,2}x ∈--

（3）3

1y x =+ （4）1,00,01,0

x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞）

， （答案四{1,0,1}-） 2．配方法求二次函数值域

例2．已知函数

2

23y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。 （1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2

(1)4y x =+-

∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．

（2）∵2

23y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，

∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，

当2x =时，max 5y =，

∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：

当1x =时，min 0y =，

当2x =时，max 5y =，

∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；

（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

练习：已知函数

2

31213y x x =-+，求它在下列各区间上的值域： （1）[1,1]-； （2）[1,4]； （3）(1,3]．

3．部分分式法求分式函数的值域

例3．求函数

54

1x y x +=

-的值域。 解： 545(1)99

5111x x y x x x +-+===+

---， ∵9

01

x ≠- ∴5y ≠ 即函数值域为(,5)(5,)-∞+∞．

说明：形如

cx d y ax b +=+ (0,)c bc ad ≠≠的值域为{|}

c y y a ≠． 4．利用“已知函数的值域”求值域

例4．求下列函数的值域：

（1

）y =； （2

）

y = （3

）y （4）

21

23y x x =++． 解：（1）0y ≥； （2

）y ≥ （3）05y ≤≤； （4）1

02

y <≤

． 5．换元法求函数值域

例5

．求函数y x =-

解：令u = （0u ≥），则211

22

x u =-

+，

22111

(1)12

22

y u u u =--+

=-++， 由函数图象可知，当0u ≥时，1

2y ≤，

∴函数y x =-1

(,]2

-∞．

五．小结：1．函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。 六．作业：

1．已知函数

2

361y x x =-+，分别求它在下列区间上的值域： （1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈．

2．求值域：（1）

322x y x +=

-； （2）3y x =-； （3）2

4

22y x x =--；

（4

）

y =；