独立同分布随机变量序列的顺序统计方法(2019)

独立同分布随机变量序列的顺序统计方法

设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ，对其按从小到大的顺序排列，得到新的随机序列12,,...,n y y y ，满足：12...n y y y ≤≤≤；假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量，每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。

(1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y

解：k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之

和：12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值，而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ，对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y

事件的个数(变量的组合数)为111n n k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭

，每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---，则

11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭

=> 1!()()[1()]() (1)(1)!()!

k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --=

-≤≤--

(2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解：(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率

(,)k l y y f u v dudv 可以等效为这样一些事件发生的概率之和：12,,...,n x x x 这n 个随机变量有任意一个在u 处无穷小邻域取值，而剩余的n -1个随机变量中有任意一个在v 处无穷小邻域取值，再剩余的n -2个变量中有任意k -1个的取值小于等于u ，再再剩余的n -k -1个变量中，有任意的有n -l 个的取值大于等于v ，相应最后剩下的l -k -1个变量在[u ,v ]区间上取值

事件的个数(变量的组合数)为

121!111(1)!()!(1)!n n n n k n k n l k n l l k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

每个事件发生的概率为

11[()][()]()[1()][()()]k n l l k f u du f v dv F u F v F v F u ------

则有

11!(,)[()][()]()[1()][()()](1)!()!(1)!

k l k n l l k y y n f u v dudv f u du f v dv F u F v F v F u k n l l k ----=

------ 于是得到： 11(,)

!()[1()][()()]()()(1)!()!(1)!

0k l y y k n l l k f u v n F u F v F v F u f u f v u v k n l l k otherwise ----⎧--≤⎪----=⎨⎪⎩

(3)写出随机变量,k l y y 相关函数[]k l E y y 的表达式。

11[](,)!{()[1()][()()]()()}(1)!()!(1)!k l k l y y v k n l l k E y y uv f u v dudv

n uv F u F v F v F u f u f v du dv k n l l k ∞∞-∞-∞∞-----∞-∞==------⎰⎰⎰⎰

【例1】设总体X 的密度函数为2()3,01p x x x =<<，现从该总体中抽取一个容量

为 5 的样本，试计算

(2)1()2P x <。 解：10,)(3)(32<<==>=x x x F x x f

由题意得：N=5， K=3

k n k k n k n k n n xi x F x F x f C C C x f -------=))(1(*))((*)(*)(1111 )15

436(*60)(15

1296x x x x x f -+-==> 0.1207)1/2(==>f

【例2】设总体分布为 U ( 0 , 1 ) , X 1, X 2, … , X N 为样本，求 X (1) , X (N )的联合密度函数。

(1)根据概率密度计算分布函数

(2)套用格式求序列联合分布

(3)带入K=1, L=N

提示：

2)()1()()1(||)1(),(---=n n n x x n n x x f