19.1.1 变量与函数 教案

19.1.1 变量与函数

一、教学目标

1．核心素养：

通过常量、变量学习，培养学生的符号意识，加强推理能力．经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，以培养学生数学抽象、直观想象．2．学习目标

（1）从具体的事例中找出常量、变量．

（2）理解常量、变量的相对性．

（3）探索具体问题中的数量关系和变化规律，理解函数的概念以及自变量的意义．

（4）会求函数自变量的取值范围．

（5）感受数形结合的数学思想方法．

3．学习重点

（1）.常量、变量的意义．

（2）.函数的概念，会求函数自变量的取值范围．

4．学习难点

（1）.常量、变量的相对性的理解

（2）.求实际问题中自变量的取值范围．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1：阅读教材P71----P72，了解变量与常量是如何规定的？

在一个变化过程中，___________称为变量，___________为常量．

任务2：阅读教材P73----P74，函数是如何定义的？函数的本质是什么？

函数是刻画变量之间的数学模型。函数是指在一个变化过程中，涉及到个变量，对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有确定的值与之对应。所以，函数的定

义．

任务3：怎样求函数自变量的取值范围？函数值呢？

结论：用数学式子表示的函数，自变量的取值范围应使式子有意义，即注意以下几点：

① 若解析式是整式，则自变量取 ． ② 若解析式是分式，则自变量的取值 ．

③ 若解析式是二次根式，则自变量的取值 ． 注意实际问题中的自变量的取值范围：（1）应符合实际意义；（2）应使所列数学式子有意义．

结论：求函数值的方法 ．

2．预习自测

1.某种报纸每份2元，购买x 份此种报纸共需y 元，则y ＝2x 中的常量是 ，变量是 ．

2.下列图象中表示 y 是x 的函数的( )

A. B. C. D.

3.在函数1

1-=x y 错误!未找到引用源。中，自变量x 的取值范围是 ( ) A. x ≥1 B .x ≠1 C. x ≥－1且 x ≠1 D.全体实数 预习自测

1．2；x,y 2．C 3．B

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）基本等量： 路程=速度•时间 矩形的周长=2（长+宽）

圆面积公式：2r S π=

（2）分式的分母不能为0.

（3）二次根式的被开方数是非负数。

2．问题探究

问题探究一 如何确定关系式的常量、变量？

活动一 常量与变量 若球体的体积为V ，半径为R ，则公式33

4R V π= ,其中的变量是 ，常量是 ．

解析：判定常量与变量的关键是判断一个变化过程中，哪些量的数值发生了变化，显然π3

4是常量，V 与R 是变量，3R 的指数3与变量和常量无关． 活动二 常量、变量的相对性▲

设路程为 s ，速度为 v ，时间为 t ，在关系式 s ＝ vt 中，下列说法正确的是( )

A ．当 s 一定时， v 是常量， t 是变量

B ．当 v 一定时， s 是变量， t 是常量

C ．当 t 一定时， t 是常量， s 、 v 是变量

D ．当 t 一定时， v 是变量， s 是常量

解析：常量与变量是相对于变化过程而言的，可以相互转化．故本题选C ． 问题探究二 怎样判定一个关系式是否是函数？★

活动一 函数实质 某一个变化过程中，有两个变量，它们是互相联系的，当其中一个变量取一定的值时，另一个变量就 ，函数的实质

是 ．

活动二 判定函数 下列式子中，不是函数的是（ ）

A. x y =

B. 2x y =

C. )0(≥=x x y

D.

)2(2≥-±=x x y

解析：函数的概念的题目要紧扣定义，函数值必须是唯一的，否则不是函数．选

D.

问题探究三 如何求函数自变量的取值范围？★▲

活动一 解读“有意义”

函数自变量的取值范围是指使函数的关系式有意义的自变量的取值．（1）当函数的解析式是整式时，自变量的取值范围是任意实数；

（2）当函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；

（3）当函数的解析式是二次根式时，自变量必须取非负数；

（4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义．▲

活动二 典例分析 应用举例

等腰三角形的腰长为x ，底边长为y,周长为10，写出y 与x 的函数关系式，并求x 的取值范围．

解析：由三角形的周长得出函数关系式，显然是整式的形式x y 210-=，但作为三角形的的边x ， y,满足是正数，且符合三角形的三边关系．所以0>x ，0>y ，y x x >+即满足：0>x ，0210>-x ，x x x 210->+

答案：52

5<

【知识梳理】

（1）常量、变量是相对的，在一定情况下，可以转化，关键是看在变化过程中，其值是否发生变化．

（2）函数的本质是单值对应．

（3）函数自变量的取值范围就是使式子和实际问题有意义．

【重难点突破】

（1）本节内容是关于函数的最基础的知识，对后续学习内容，打好基础至关重要。

了解变量与常量，理解函数的定义，会函数自变量的取值范围，为后面研究具体的初等函数做准备．

（2）求函数自变量的取值范围既要考虑数学式子本身有意义，即分母不等于0，二次根式的被开方数非负，又要考虑实际问题的实际意义。出现的情况都要考虑．

4．随堂检测

1．某人以5千米/时的速度步行，所走的路程S=5t ，在这个过程中，下列判断中错误的是 （ ）

A ．S ，t 是变量

B ．t 是变量

C ．5是常量

D ．5，S 是常量 （知识点：常量与变量）

【参考答案】D.

2.用总长为100 m 的篱笆围成长方形场地，设此长方形的面积为 S (m 2)，一边长为 L (m)．下列说法正确的是( )

A.L 是常量

B.S 是常量， L 是变量