随机过程

随机过程随机过程的定义 引言在许多实际问题中，不仅需要对随机现象对特定时间点上的一次观察，而且需要做多次的连续不断的观察，以观察研究对像随时间推移的演变过程。

首先我们观察的对象与通常意义上的函数()f t 是不同的， 观察研究的对象本身是一个随机变量X ，这个随机变量随时间的变化过程就是一个随机过程()X t ，通俗的理解。

随机变量X 的所有可能取值。

另一种解释是，随机过程是随机变量的函数。

随机两字的含义包含着随机过程()X t 的在某一时刻，如i t 时刻的取值，()()it t i i X t X t X ===仍然为一随机变量，随机变量i X 取值的样本空间Ω，样本空间中样本值可以是连续的，也可以是离散的。

如{}12,,,n x x x ，意味着在i t 时刻，随机变量i X 的取某一样本空间的某一元素的概率是确定的（做无穷多次实验的统计规律），在该时刻，所有样本空间元素的概率之和为1。

例如，随机相位正弦波信号。

()()sin X t a wt =+Θ 其中Θ服从均匀分布，则固定一个时刻i t 时，显然可求得i t 随机变量()i X t 的分布函数与概率密度。

可见其随机过程的概密度是时间参数t 与随机变量Θ的二元函数。

另一种理解是，对随机信号作一次观测相当于做一次随机实验，每次随机实验所得到的观测记录结果()i x t ，是一个确定函数，称为样本函数，所有样本函数的全体构成了随机过程。

随机过程的标准定义定义：设(Ω, Σ, P) 是一概率空间，对每一个参数t ∈T ， X (t,ω) 是一定义在概率空间(Ω, Σ, P) 上的随机变量，则称随机变量族 X T ={X (t ，ω); t ∈T}为该概率空间上的一随机过程。

其中T ⊂ R 是一实数集，称为指标集或参数集。

X (t,ω)通常简写为()X t 。

随机过程{X (t ); t ∈T }可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作 S 。

S 中的元素称为状态。

状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。

用映射表示 X T ，X (t,ω) : T × Ω → R ；即 X (⋅, ⋅)是一定义在T × Ω上的二元单值函数，固定t ∈T ，X (t, ⋅)是一定义在样本空间Ω上的函数， 即为一随机变量；对于固定的ω∈Ω ， X (⋅,ω) 是一个关于参数t ∈T 的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。

记号 X (t,ω)有时记为 X t (ω) 或简记为 X (t)。

随机过程的X (t,ω)四种不同情况下的意义： 1，当t 固定时，w 固定时，()X t 是一个确定值。

2，当t 固定时，w 可变时，()X t 是一个随机变量。

3，当t 可变时，w 固定时，()X t 是一个确定的时间函数，即样本函数。

4，当t 可变时，w 可变时，()X t 是一个随机过程。

数字特征的计算公式1，集平均或统计平均：给定随机过程(){},,X t w t T ∈，固定某一时刻t T ∈，()X t 是一随机变量，它的均值与t 有关记为()()X t E X t μ=⎡⎤⎣⎦(1.1)称()X t μ为随机过程(){},X t t T ∈的均值函数。

注意，()X t μ 是随机过程的所有样本函数在t 时刻的函数值的平均值。

而非时间平均的概念。

若()X t 为样本空间定义在()-∞∞， 连续型随机变量，则()()()()X E X t t x t f x dx μ∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰(1.2)例如()()sin X t a wt =+Θ，其中Θ在()02π， 上均匀分布，即()1,0220,f θπθπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则其均值函数()()()201cos cos 02X t E a wt a wt d πμθθθπ=+==+=⎡⎤⎣⎦⎰ 上例可见，()X t μ不是对时间的求和求积分，而是对固定时刻t 的随机变量()X t 的分布求和求积分。

2，随机过程(){},X t t T ∈ 的二阶原点矩和二阶中心矩，在均值函数()X t μ的概念上延伸。

固定时刻t 时，随机变量()X t 的二阶原点矩和二阶中心矩分别记作()()()222XE Xt x t f x dx ∞-∞⎡⎤ψ==⎣⎦⎰(1.3)()()()(){}()()()222XX X X D t Var X t E X t t x t u t f x dxσμΩ===-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦⎰ (1.4)并把22,X X σψ 分别称为随机过程的均方值函数和方差函数。

方差函数表示随机过程()X t 在时刻t 对于平均值()X t μ的平均偏离程度。

3，设任意12,t t T ∈，我们把随机变量()()12X t X t 和的二阶原点矩混合矩记作()()()1212,XX R t t E X t X t =⎡⎤⎣⎦(1.5)()()()()()()121212,XX R t t E X t X t x t x t f x dx Ω==⎡⎤⎣⎦⎰并称它为随机过程(){},X t t T ∈ 的自相关函数，简称相关函数记号类似地，还可以写出()()12X t X t 和的二阶混合中心矩记作()()()()()()(){}12121122,,XX X X C t t Cov X t X t E X t t X t t μμ==--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (1.6)()()()(){}()()()()()11221122X X X X E X t t X t t x t u t x t u t f x dx μμΩ--=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰称为自协方差函数或者协方差函数，记作()()1212,,XX X C t t C t t 或。

自相关函数与自协方差函数刻画的是随机过程自身在两个不同时刻的状态之间的统计依赖关系的数字特征。

4，上述数字特征之间的关系式 ()()2,X XX t R t t ψ=(1.7)()()()()121212,,XX XX X X C t t R t t t t μμ=-(1.8)当12t t t == 时()()()()22,,X XX X X t C t t R t t t σμ==-(1.9)5，柯西-施瓦茨不等式()(){}()()221212E X t X t E Xt E X t ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1.10)6，二维随机过程的数字特征互相关函数，固定某一时刻t 的随机变量()()X t Y t ，的互相关函数，定义如下12,t t T ∈()()()()()()121212,,XY R t t E X t Y t x t y t f x y dxdy Ω==⎡⎤⎣⎦⎰⎰(1.11)互协方差函数()()()()(){}121122,XY X Y C t t E X t t Y t t μμ=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(1.12)如果两个随机过程相互独立，且它们的二阶矩存在，则它们必然不相关()12,0XY C t t =，反之，从不相关一般不能推断出它们是否相互独立。

()()1212,,XX X R t t R t t 或平稳过程与遍历性过程在实际中，有相当的多的随机过程，不仅他的现有的状态，而且它过去状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。

有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性或统计规律不随时间的推移而变化。

严平稳过程若对任意的n ，()121,2,,,,,n n t t t T =∈，和任意实数h ，当12,,,n t h t h t h T+++∈时，n 维随机变量()()()()()()()()12n 12n ,,,,X t X t X t X t h X t h X t h +++ 与具有相同的分布函数，则称随机过程(){},X t t T ∈ 具有平稳性，称之为平稳随机过程。

例：()()sin X t a wt =+Θ 其中Θ服从均匀分布这个过程表明，作为随机过程， 不一定非具有不规则的波形，也就是说不一定非要包括很多频率分量。

简谐的、周期的或者非周期的波形是不是随机过程，取决于这些波形是不是可以预先被完全确定下来。

如果仅在概率意义上为已知，则它们属于随机过程。

从这个定义清楚看出，如果一个随机信号一旦被取样而记录下来，则这个特定的波形立即成为完全已知，它本身就不能被认为是随机的了，但是它仍然补认为是从中取样的那个随机过程的一部分。

用统计的办法研究足够数量的样本波形，可以估计这个过程概率密度函数，在这程情况下下任何未被取样的波形在概率意义上为已知。

在实际问题中，确定一个过程的分布函数，并用它来判断其平稳性，一般是很困难的。

但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后环境和主要条件都不随时间推移而变化，则一般可以认为是平稳的。

与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过程处于过渡阶段总是是非平稳的。

宽平稳过程定义：给定二阶矩过程（即二阶矩存在的过程）(){},X t t T ∈，如果对于任意,t t T τ+∈，满足()()()()()12X X E X t E X t X t R μττ=⎡⎤⎣⎦+=⎡⎤⎣⎦，常数，则称(){},X t t T ∈为宽平稳过程或广义平稳过程。

一个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的，但反过来，一般是不成立。

除了正态过程，因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而均值函数和自相关函数不随时间变的推移而变化，则概率密度也不随时间的推称而变化，由此一个宽平稳的正态过程也是严平稳的。

另外当我们同时时考虑两个平稳过程()(),X t Y t 时，如果它们的互相关函数只是时间差的单变函数，记为()XYR τ 即()()()(),XY XY R t t E X t Y t R τττ+=+=⎡⎤⎣⎦则称这两个过和平稳相关的，或称这两个过程是联合（宽）平稳的。

平稳过程自相关函数的性质自相关函数()()12,XXX R R t t τ或 不是一个值，而是一个函数是变量12,t t τ或的函数。

对于平稳随机过程，二维随机变量()()()X t X t τ+，与()()()0X X τ， 同分布，于是()()()()(),0XX R t t E X t X t E X X τττ+=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(1.13)上式右端只与τ有关，则上式可以记作()()()()()(),0XX X R t t E X t X t E X X R ττττ+=+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(1.14)这表明：平稳过程的自相关函数仅是时间差τ的单变量函数，换句话说它不随时间变换而推移。