矩阵的秩与向量组的秩一致

矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。

“矩阵的秩与向量组的秩一致。

矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。

”怎样证明？就当做习题练一练。

设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0
逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。

分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。

（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）
逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？
逻辑2——（“线性无关，延长无关。

”定理）——
已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。

分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k
若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0
，如何证明“这组常数只能全为0”？
每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。

前n 个等式即
c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0
由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。

逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。

（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。

）
逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？
唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0
分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。

（画外音：画个示意图最好。

）
任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。

记为β = c1a1+ c2 a2 + ---+ c r a r
把式中各个向量，增加入第r+ 1个分量，这个表达式还成立吗？（潜台词：增加入第 r+ 1个分量，讨论的背景是A的一个 r + 1阶子式。

r + 1 阶子式为 0，则
r + 1个 r + 1维向量线性相关。

β 所在的那行，可以被另 r 行线性表示。

问题就在于，和增加一个分量之前对比，线性表示的“系数变还是没变”。

）
实际上，这 r+ 1个 r+ 1维向量排成A 的r + 1阶子式。

是那个不为 0 的r 阶子式的“加边行列式”。

其值为0 （画外音：继续画示意图。

）
对这个 r + 1阶子式作试算变形，设法利用r 维向量β = c1a1+
c2a2+ ---+ c r a r
把第一行乘以− c1 ，第二行乘以−c2 ，……，第r行乘以− c r ，全都加到第r+ 1行。

则第 r+ 1行的前r 个分量都变为0，设此时第 r+ 1行的第 r+ 1个分量为c ，
按第r + 1行来展开 r + 1 阶子式得方程： (左上r 阶子式）c = 0，只有c = 0
这就表明，增加入第 r+ 1个分量，β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r 对r+1维向量还是成立。

添加的第 r+ 1列，自然可以随意换为第 r+ 2个分量那列，或第 r+3个分量那列，……，讨论过程与结论都一样。

即，线性组合关系存在，组合系数始终不变。

这样一来，A的任意一行，都能被r 阶子式所在的r个行线性表示。

A的秩就是其行（或列）向量组的秩。

矩阵的秩与向量组的秩一致。

求向量组的秩，排成一个矩阵，作初等变换求矩阵的秩。

想通了。

有意思，很愉快。

你对向量线性相关的定义式，是否理解得更细了。