宁夏长庆高级中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题理

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2020-2021学年宁夏银川一中高二上学期期中数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年宁夏银川一中高二上学期期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.下列命题中的真命题是( )A. √3是有理数B. 2√2是实数C. e 是有理数D. {x|x 是小数}是R 的真子集2.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。

若的最小值为1，则椭圆的离心率为A.B.C.D.3.圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为( )A. 一个点B. 椭圆C. 双曲线D. 以上选项都有可能4.下列命题中正确的个数为( )①“ac <0”是“二次函数y =ax 2+bx +c(a,b ，c ∈R)有两个异号零点”的必要不充分条件； ②”sinθ=12”是“θ=π6”充分不必要条件；③“偶函数的图象关于直线x =0成轴对称”的逆否命题；④“若sinx −cosx =√32，则sinx +cosx =√52的逆命题；⑤设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a|a|>b|b|”的充分条件A. 1B. 2C. 2D. 35.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )．A.B.C. 36D.6. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有一个白球D. 恰有一个红球与恰有二个红球7.从{1,2，3，4，5}中随机选取一个数为，从{1,2，3}中随机选取一个数为，则的概率是( )A.B.C.D.8.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于0.5的概率为( )A.B.C.D.9.(湖南师大附中期末)在△ABC 中，若顶点B ，C 的坐标分别为(−2,0)和(2,0)，中线AD 的长度为3，则点A 的轨迹方程为A. x 2+y 2=3B. x 2+y 2=4C. x 2+y 2=9(y ≠0)D. x 2+y 2=9(x ≠0)10. 抛物线y 2=12x 截直线y =2x −6所得的弦长等于( )A. √15B. 2√15C. √152D. 1511. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F(−c,0)作圆(x −c)2+y 2=c 2的切线，切点为E ，且该切线与双曲线的右支交于点A.若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则该双曲线的离心率为( ) A. √3+12 B. √3C. √3+1D. 212. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．15.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：488 932 812 458 989 431 257 390 024 556734 113 537 569 683 907 966 191 925 271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为______．16.设点F1、F2的坐标分别为(−√3,0)和(√3,0)，动点P满足∠F1PF2=60°，设动点P的轨迹为C1，以动点P到点F1距离的最大值为长轴，以点F1、F2，为左、右焦点的椭圆为C2，则曲线C1和曲线C2的交点到x轴的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|m−1<x<m2+1}，B={x|x2−4<0}．(1)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18.(本小题满分13分)已知椭圆E的方程为．(Ⅰ)求椭圆E形状最圆时的方程；(Ⅱ)若椭圆E最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上19. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(Ⅰ)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(Ⅱ)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．20. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2017.82017.92017.102017.112017.122018.1月份代码x123456市场占有率y(%)111316152021(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；(3)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限1年2年3年4年总计车型A10304020100B15403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：∑(6i=1x i −x)2=17.5，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=35，√1330≈36.5．参考公式：相关系数r =∑x i n i=1y i −nxy√(∑x i 2n i=1−nx 2)(∑y i 2n i=1−ny 2)=∑(n i=1x i −x)(y i −y)√(∑(n i=1x i −x)2)(∑(n i=1y i −y)2)，回归直线方程为y =b ^x +a ^其中：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy∑x i2n i−1−nx 2，a ^=y −b ^x ．21. 已知椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，斜率为12的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点P(1,32)在直线l的左上方．(1)若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点F 2，求此时直线l 的方程； (2)求证：△PAB 的内切圆的圆心在定直线x =1上．22. 已知椭圆M ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的一个顶点A 的坐标是(0,−1)，且右焦点Q 到直线x −y +2√2=0的距离为3． (1)求椭圆方程；(2)试问是否存在斜率为k(k ≠0)的直线l ，使l 与椭圆M 有两个不同的交点B 、C ，且|AB|=|AC|？若存在，求出k 的范围，若不存在，说明理由．。

2020-2021学年宁夏长庆高级中学2019级高二上学期期中考试数学(理)试卷及答案

2020-2021学年宁夏长庆高级中学2019级高二上学期期中考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)第I 卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求）1.命题“若22y >x ,则y >x ”的逆否命题是( )A ．若y <x ,则22y <xB ．若y ≤x ,则22y ≤xC ．若y >x ,则22y >xD ．若y ≥x ,则22y ≥x 2.“()01－2=x x ”是“0=x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.命题“0≥,∈2x x R x +∀”的否定是( )A ．0<,∈∀2x x R x + B ．0≤,∈∀2x x R x + C ．0<,∈∃2000x x R x + D ．0≥,∈∃2000x x R x +4.方程()0<122xy y x =+所表示的曲线形状是( )A ．B ．C ．D ．5.已知直线03－:=+y x l ,椭圆1422=+y x ,则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交 6.若直线l 的方向向量为()2,0,1=,平面α的法向量为()4－,02－，=,则( )A ．α∥lB ．α⊥lC ．α⊂lD ．l 与α斜交 7.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．13422=+y xB ．1422=+y xC ．14322=+y xD ．1422=+y x8.抛物线x y 42=的焦点到双曲线13y －22=x 的渐近线的距离是( )A ．21B ．23C ．1D ．39.已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AF AK 2=,则AFK Δ的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．3210.如图所示,1F ,2F 是椭圆14221=+y x C ：与双曲线2C 的公共焦点,A ,B 分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 是矩形,则2C 的离心率是( )A ．2B ．3C ．23D ．2611.在平行六面体1111-D C B A ABCD 中,M 为AC 与BD 的交点,若B A =11,D A =11,A A =11,则下列向量中与B 1相等的向量是( )A ．++2121－ B ．c b a ++2121 C ．+21－21 D ．c b a +21－21－12.已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,ABM Δ为等腰三角形,且顶角为°120,则E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分,共20分）13.过椭圆191622=+y x 的焦点F 的弦中最短弦长是_____________．14.直线1－x y =被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是________． 15.如图,在三棱柱111-C B A ABC 中,所有棱长均为1,且⊥1AA 底面ABC , 则点1B 到平面1ABC 的距离为________．16.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果()－4－1,,2=,()0,2,4=,()－1－1,2,=．对于结论：①AB AP ⊥；②AD AP ⊥；③是平面ABCD 的法向量；④∥.其中正确的是____________．三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.如图,斜率为34的直线l 经过抛物线px y 22=的焦点()0,1F ,且与抛物线相交于A ,B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．18.已知()()0≤5-1:x x p +,()01≤≤-1:＞m m x m q +． (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；(2)若5=m ,q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求实数x 的取值范围．19.如图,正方体1111-D C B A ABCD 中,M 、N 分别为AB 、C B 1的中点．选用合适的方法证明以下问题： (1)证明平面BD A 1∥平面11CD B ； (2)证明MN ⊥面BD A 1.20.设P 是圆2522=+y x 上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且PD MD =. (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点()03，且斜率为54的直线被C 截得的线段的长度．21.如图,已知在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,且2=AD ,1=AB ,⊥PA 平面ABCD ,E ,F 分别是线段AB ,BC 的中点, (1)证明：FD PF ⊥；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PFD .22.已知椭圆C 的两个焦点分别为()01-1，F 、()012，F ,短轴的两个端点分别为1B 、2B . (1)若211B B F Δ为等边三角形,求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F F 11⊥,求直线l 的方程．。

宁夏2020版高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷

宁夏2020版高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）双曲线的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（）A . (－∞，0)B . (1，+∞)C . (－∞，0)∪(1，+∞)D . (－∞，－1)∪(1，+∞)2. （2分） (2016高二下·黔南期末) 重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A . 19B . 20C . 21.5D . 233. （2分） (2016高二下·吉林期中) 三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（）A .B .C .D . 不确定4. （2分） (2019高二上·贵阳期末) 学校某课题组为了解本校高二年级学生的饮食均衡发展情况，现对各班级学生进行抽样调查已知高二班共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是A . 13B . 19C . 20D . 515. （2分）直线l1：x+my+6=0和直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的取值为（）A . ﹣1或3B . 3C . ﹣1D . 1或﹣36. （2分）已知点A（-3,1,4），则点A关于原点的对称点的坐标是（）A . (1，-3，-4)B . (-4，1，3)C . (3，-1，-4)D . (4，-1，3)7. （2分）若某程序框图如右下图所示，则该程序运行后输出的a等于（）A . 127B . 63C . 31D . 158. （2分） (2015高一上·深圳期末) 已知圆C的标准方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x﹣2），若直线l和圆C有公共点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D . [﹣1，1]9. （2分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·浙江期中) 设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A .B .C . 5D . 611. （2分）(2018·孝义模拟) 在四面体中，，，底面，的面积是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·义乌期末) 设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A . b＞aB . a3+b3＜0C . a2﹣b2＜0D . b+a＞0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·扬州期末) 已知点与直线，则点关于直线l的对称点坐标为________.14. （1分）(2016·淮南模拟) 实数x，y满足，则的取值范围是________．15. （1分）已知2x+3y﹣2=0，则x2+y2的最小值为________．16. （1分） (2018高一下·六安期末) 已知等差数列，，若函数，记，用课本中推导等差数列前项和的方法，求数列的前9项和为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2020高三上·江西月考) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.18. （5分） (2018高三上·湖北月考) 在如图四边形中，为的内角的对边，且满足 .(Ⅰ)证明：成等差数列；(Ⅱ)已知求四边形的面积.19. （5分） (2017高三上·惠州开学考) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，且4Sn=（an+1）2（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{ }的前n项和，证明：≤Tn＜1（n∈N+）．20. （10分） (2017高二下·湖北期中) 如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．21. （5分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是BE，DC的中点.求证：GF∥平面ADE.22. （5分） (2019高二上·开福月考) 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．。

宁夏长庆高级中学2020学年高二数学上学期期中试题理

宁夏长庆高级中学2020学年第一学期高二年级数学期中试卷（理科）满分：150分考试时间：120分钟I 卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分){}101,10,3,2.1a n d a a n 求中，已知等差数列===( )A ．27B ．29C ．32D ．38（）=-︒︒︒︒10sin 160cos 10cos 20sin .2A.－32 B.32 C.－12 D.12{}）（求已知项和的前等比数列D S a q a S n a n n n n ,36,3,4..31=== A ．54 B ．-52 C ．-54 D ．52 4．△ABC 中，cos A ＝3－3sin A ，则A 的值为( )A.π6B.π2C.2π3D.π6或π2 5．在△ABC 中， B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形的值是则是第二象限角，且已知)4cos(,53cos .6απαα--=( )A.210 B ．－210 C.7210 D ．－7210{}{}（）项和的前成等比数列，则，若的公差为等差数列=n n n S n a a a a a 84,2,2.7A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋12D.n n －128.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．0B ．1 C.-3 D ．3 9.等差数列{a n }中，若a 1，a 2 011为方程x 2－10x ＋6＝0的两根，则a 2＋a 1 006＋a 2 010＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40 10.使函数)cos(2)yx x ϕϕ=+++为奇函数，且在[0,]4π上是减函数的ϕ的值是（）A ．3π B ．56π C ．43πD ．116π11.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．4 C.1 D ．3 12.已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin cos 0b A a B C ++=，若32,sin 5c C ==，则a b +=（）A.C.D. II 卷二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知在ABC △中，15BC =，10AC =，60A =︒，cos B =_________． 14.设a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b的最小值是________．{}===+n n n n n S a S a S n a 则，若，项和为的前已知数列,21.1511________.的最小值为则已知的对边分别是中，角在C ABB A B A c b aC B A ABC cos .cos tan cos tan )tan (tan 2.,,,,.16+=+∆三、解答题(共6小题,共60分))4()122(42;12)7(1)10.(172x x x x x x ->+-≥-）（）（解下列不等式：分本小题18. （本小题12分）已知3sin 5α=,(,)2παπ∈，5cos 13β=-,β是第三象限的角.⑴ 求cos()αβ-的值；⑵ 求sin()αβ+的值.19.（本小题12分）已知锐角三角形ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（1）求角B 的大小；（2）若a =，5c =，求b 的值．20.（本小题12分）在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ..,3,3)2()1(.272cos 2sin 4,,,,)12.(212的值和求若的度数；求角的对边，分别是角中，在分本小题c b c b a A A C B C B A c b a ABC =+==-+∆{}{}{}{}.,)2()1()2()1(.,83)12.(22112n n nn n n n n n n n n n n T n c b a c b b b a b n n S n a 项和的前求数列令的通项公式；求数列是等差数列，且项和的前已知数列分本小题++=+=+=++理科数学答案一．选择题1. B2.D3.D4.D5.D6.A7.A8.C9.B 10.B 11. C 12.D 二．填空题 13.36 14.223+ 15.1)23(-n 16.21 三．解答题17.解：（1）43≤≤x （2）32≠x 6533)sin()2(6516)cos(132sin 135cos 54cos 53sin )1(0sin 0cos ),2(.18=+-=-∴-=∴-=-=∴=<∴<∴∈βαβαββααββαππαΘΘΘΘ又是第三象限角又解： 7072353322527cos 2)2(6)1(21sin sin sin 2sin sin 220,20.19222=∴>=⨯⨯⨯-+=-+===∴=∴=<<<<∴∆b b B ac c a b B B A B A A b a B A ABC ΘΘΘπππ又锐角解：{}12)121121(...)7151()5131()311(21)121121(21)12)(12(11)2(12211664316,3)1(.20111142+=⎥⎦⎤+--++-+-+⎢⎣⎡-=∴+--=+-==-=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+∴==+n n n n T n n n n a a b n a d a d a d a S a n S a n n n n n n n ΘΘ项和，为其前为等差数列，解：[]⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴>>⎩⎨⎧==+∴-+=∴=+===∴<<=∴=-∴=+-+=-+-∴=-+∆12210,0232cos 3,3,3)2(3021cos 0)1cos 2(72cos 4cos 44,272cos )cos(12272cos 2sin 4,,,,)1(.21222222c b c b c b bc c b bca cb Ac b a A A A A A A A A C B A C B C B A c b a ABC 或又又即的对边分别是角中，在解：ΘΘΘΘπππ{}{}{}2221543143211111322211111211122323)2)1(2...242322(32)2)1(...242322(3)1(32)2()1()2(1334173211217115611156252311183)1(.22++++++++--⋅=∴⋅-=-∴⋅++⋅++⨯+⨯+⨯=⋅+++⨯+⨯+⨯=+⋅=++=+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+==+=∴∴+=+=∴==+=-=≥∴-+====∴+=n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n T n T n n T n T n b a C n b d b d b d b b b a b b a d b b b a b n a a n n S S a n n n S S a n n n S n a ΘΘΘΘ，即的公差为设是等差数列，且符合时，当时，当又时，当项和的前数列解：。

宁夏2021年高二上学期期中数学试卷(理科)A卷(考试)

宁夏2021年高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018高二下·甘肃期末) 在中，的对边分别为 ,若，，，则的值为（）A .B .C .D . 62. （2分）在公差不为零的等差数列{an}中，2a5﹣a72+2a9=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7 ，则log2（b5b9）=（）A . 1B . 2C . 4D . 83. （2分） (2016高二上·高青期中) 不等式≤0的解集为（）A . （﹣∞，1]∪（3，+∞）B . [1，3）C . [1，3]D . （﹣∞，1]∪[3，+∞）4. （2分）函数的最小值为（）A . 6B . 7C . 8D . 95. （2分）(2018高二上·阜阳月考) 在中，角的对边分别为，已知，则（）A . 1B . 2C .D .6. （2分）下列命题中正确的是（）A . 函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数B . 函数y=2sin(-2x)在区间[0,]上是单调递增的C . 函数y=2sin(-x)-cos(+x)的最小值是﹣1D . 函数y=sinπx•cosπx是最小正周期为2的奇函数7. （2分） (2017高一上·六安期末) 手表时针走过1小时，时针转过的角度（）A . 60°B . ﹣60°C . 30°D . ﹣30°8. （2分）已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（）A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分）已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q="2," a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28= （）A . 25B . 210C . 215D . 22010. （2分） (2017高三上·赣州期中) 若函数，则关于m的不等式的解集为（）A .B . （0，2）C .D .11. （2分）(2018·攀枝花模拟) 已知等比数列的前项和满足 ,且则等于（）A .B . 27C .D . 912. （2分） (2016高二上·玉溪期中) 设φ∈R，则“φ=2kπ+ （k∈Z）”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·天津模拟) 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 a=2csinA，c= ，且△ABC的面积为，则a+b=________．14. （1分） (2016高三上·临沂期中) 在等差数列{an}中，a4=5，a7=11，设bn=（﹣1）nan ，则数列{bn}的前101项之和S101=________．15. （1分） (2016高二上·济南期中) 已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为________．16. （1分） (2017高一下·河北期末) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________三、解答题. (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·正定期末) 在中，角，，所对的边分别为，，，若，， .（1）求的值；（2）求的面积.18. （15分） (2017高二上·如东月考) 已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：.（1）若成等比数列，求实数的值；（2）若，求证：数列为等差数列；（3）在（2）的条件下，求 .19. （5分） (2017高二下·襄阳期中) 命题p：方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：直线y=x+m与抛物线y2=4x有公共点．若“p∨q”为真，求实数m的取值范围．20. （10分） (2019高一下·马鞍山期中)（1）若不等式对恒成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式 .21. （15分） (2019高二上·六安月考)（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，且，求的最小值.22. （5分） (2019高三上·雷州期末) 已知数列的前项和 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和 .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。

宁夏2021年数学高二上学期理数期中考试试卷(II)卷

宁夏2021年数学高二上学期理数期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记为（）A . （0，b，0）B . （a，0，0）C . （0，0，c）D . （0，b，c）2. （2分）已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .3. （2分）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0），点M是线段AB上一点，点N是y轴上一点，则|PM|+|PN|+|MN|的最小值是（）A . 2B . 6C . 3D . 24. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 实数满足，若的最小值为1，则正实数（）A . 2B . 1C .D .5. （2分） (2019高二上·青海月考) 已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）.A .B .C . 或D . 或6. （2分） (2015高二下·双流期中) 已知F1 ， F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上除顶点外的任意一点．从某一焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P．则P的轨迹为（）A . 抛物线B . 椭圆C . 圆D . 双曲线7. （2分）(2018·茂名模拟) 过抛物线的焦点，且与其对称轴垂直的直线与交于两点，若在两点处的切线与的对称轴交于点，则外接圆的半径是（）A .B .C .D .8. （2分）直线3x﹣y+1=0的斜率是（）A . 3B . -3C .D . -9. （2分）已知O为坐标原点，P是曲线：上到直线：距离最小的点，且直线OP是双曲线的一条渐近线。

则与的公共点个数是（）A . 2B . 1C . 0D . 不能确定，与a、b的值有关10. （2分） (2020高二下·北京期中) 已知过点且与曲线相切的直线的条数有（）条.A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）(2017·太原模拟) 已知点P在抛物线y2=x上，点Q在圆（x+ ）2+（y﹣4）2=1上，则|PQ|的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·莆田月考) 已知点为椭圆上任意一点，则到直线的距离的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，点D在线段BC上，且=3，点O在线段DC上（与点C，D不重合），若=X+（1-x），则x的取值范围是________14. （1分） (2017高一上·福州期末) 已知直线恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________．15. （1分）直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得劣弧所对的圆心角为________16. （1分）(2017·金山模拟) 点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高一下·张家界期末) 已知直线和互相垂直.（1）求实数的值；（2）求两直线的交点坐标.18. （5分） (2019高一下·绵阳月考) 某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30 ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？19. （10分）(2018高二上·无锡期末) 已知圆C的圆心为，过定点，且与轴交于点B，D．（1）求证：弦长BD为定值；（2）设，t为整数，若点C到直线的距离为，求圆C的方程．20. （10分） (2016高二上·江北期中) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．21. （5分）椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点．（1）求椭圆W的方程；（2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由．22. （10分） (2018高二下·邱县期末) 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2020-2021学年宁夏长庆高级中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年宁夏长庆高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是 A ．“若x y <，则22x y <” B ．“若x y >，则22x y >” C ．“若x ≤y ，则22x y ≤” D ．“若x y ≥，则22x y ≥”【答案】C【解析】因为命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是若x y ≤，则22x y ≤”选C2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.3．命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是（） A ．2R,||0x x x ∀∈+<B ．2R,||0x x x ∀∈+≤C ．2000R,0x x x ∃∈+<D ．2000R,0x x x ∃∈+≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得出. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是“2000R,0x x x ∃∈+<”.故选：C.4．方程()2210x y xy +=<表示的曲线是()A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】因为0xy <,所以图像在二,四象限, 结合221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.【详解】因为221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆, 又0xy <,说明图像在二,四象限,故选D. 【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.5．已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交【答案】C【分析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系【详解】解：由223014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(3)14x x +-=，化简得2524320x x -+=，因为2244532640∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C6．若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2,0,4)n =--，则（） A ．//l α B ．l α⊥ C ．l α⊂ D ．l 与α斜交【答案】B【分析】由l 的方向向量(1,0,2)a = ，平面α的法向量(2,0,4)n =-- 可得2n a =-，从而得解.【详解】∵(1,0,2)a = ，(2,0,4)n =--， ∴2n a =- ，即//n a .∴l α⊥. 故选：B【点睛】本题考查利用直线l 的方向向量与平面α的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.7．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．24x ＋23y ＝1B ．24x ＋y 2＝1C ．2 4y ＋23x ＝1D ．x 2＋24y ＝1【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得23a a c =⎧⎨+=⎩，解得a ，c ，利用b 2＝a 2﹣c 2得到b 2,从而得到标准方程.【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2,右焦点到左顶点的距离为3知a+c=3,解得a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，因此椭圆的方程为24x ＋23y ＝1．故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．8．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（）A ．1B ．12C ．3D ．3 【答案】D【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0) ，双曲线2213y x -=的一条渐近线为0,303x x y -=-= ，所以所求距离为32，选D. 9．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且2AK AF =，则AFK ∆的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【详解】F （2，0）,K （-2，0），过A 作AM ⊥准线，则|AM|=|AF|， ∴|AK|=2|AM|，三角形APM 为等腰直角三角形，设A （m 2，22m ）（m ＞0）,由AM MK =得2222m m =+，解得2m = 则△AFK 的面积=4×22m•12=42m=8, 故选B.10．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．32D ．62【答案】D【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝32＝6. 【解析】椭圆的几何性质．11．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+ 【答案】A【分析】利用空间向量的加法运算法则求解. 【详解】如图，由空间向量的线性运算可得：()1111111111111222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-， ()111222c b a a b c =+-=-++，故选：A12．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（） A ．5B ．2C 3D 2【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．【解析】双曲线的标准方程和简单几何性质．二、填空题13．过椭圆221169x y +=的焦点F 的弦中最短弦长是______．【答案】92【分析】根据椭圆的简单性质，以及椭圆方程，可直接得出结果. 【详解】由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为2218942b a ==．故答案为：92. 14．直线1y x =-被抛物线24y x =截得线段的中点坐标是________. 【答案】(3,2)【分析】本道题可以设出交点坐标，然后将直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可得出交点坐标．【详解】设交点分别为()()1122,1,,1A x x B x x --，所以中点坐标为1212,122x x x x ++⎛⎫- ⎪⎝⎭将直线方程代入抛物线方程中，得到2610x x -+=，解得126x x +=代入中点坐标，故中点坐标为()3,2【点睛】本道题考查了直线与抛物线综合问题，设出交点坐标，将直线方程代入抛物线方程，即可计算出结果，较容易．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，且1AA ⊥底面ABC ，则点1B 到平面1ABC 的距离为______．【答案】217【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到面的距离；【详解】解：如图建立空间直角坐标系：则31,02A ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0B ，()10,1,1B ，()10,0,1C ，则131,,122C A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()11010C B ,,=，()10,1,1C B =-，设平面1ABC 的一个法向量为(),1n x y =,，则有113110,220.C A n x y C B n y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩令 1z =，解得3,1,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则所求距离为11·2171113C B n n==++．21 16．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．【答案】①②③【解析】由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的；在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此时无解，所以是不正确的，所以正确命题的序号为①②③.点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.三、解答题17．斜率为43的直线l 经过抛物线22y px =的焦点()1,0F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．()1求该抛物线的标准方程和准线方程； ()2求线段AB 的长．【答案】（1）抛物线的方程为24y x =，其准线方程为1x =-；（2）25.4【分析】()1根据焦点可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；()2设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线l 的方程与抛物线方程联立消去y ，整理得241740x x -+=，，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知121725244AB x x p =++=+=，代入即可求出所求．【详解】()1由焦点()1,0F ，得12p =，解得 2.p =所以抛物线的方程为24y x =，其准线方程为1x =-，()2设()11,A x y ，()22,.B x y直线l 的方程为()41.3y x =⋅- 与抛物线方程联立，得()24134y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，整理得241740x x -+=，由抛物线的定义可知，121725244AB x x p =++=+=．所以，线段AB 的长为25.4【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题．18．已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[4，＋∞)；（2）[4,1)(5,6]--⋃.【分析】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，由题意可得A ⊆B ，根据集合的包含关系，列出方程，即可求得结果；（2）由题意可得：p ，q 命题，一真一假，分别求得当p 真q 假时、 p 假q 真时x 的范围，即可得结果.【详解】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由题意得：A ⊆B ，所以01511m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩，解得m ≥4，故m 的取值范围为[4，＋∞)．（2）根据条件可得：p ，q 命题，一真一假，当p 真q 假时，156?4x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，无解；当p 假q 真时，5?146x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得－4≤x <－1或5<x ≤6. 故实数x 的取值范围为[4,1)(5,6]--⋃．【点睛】本题考查根据充分条件求参数范围、利用复合命题真假求参数范围，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.19．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、1B C 的中点．选用合适的方法证明以下问题：（1）证明：平面1//A BD 平面11B CD ；（2）证明：MN ⊥面1A BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可（1）求出两个平面的法向量，若两法向量共线，则可得证；（2）求出向量()1,1,1MN =-，若此向量与平面1A BD 的法向量共线，则可得证【详解】（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()12,0,2A ，()2,2,0B ，()12,2,2B，()0,2,0C ，()10,0,2D ，设平面1A BD 的法向量为(),,m x y z =，∵()12,0,2DA =，()2,2,0DB =，∴220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，∴取()1,1,1m =-，同理平面11B CD 的法向量为()1,1,1n =-，∴//m n ，∴平面1//A BD 平面11B CD ；（2）∵M 、N 分别为AB 、1B C 的中点，∴()1,1,1MN =-，∴//MN m ，∴MN ⊥面1A BD ．20．如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且4||||5=MD PD .（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度. 【答案】（1）2212516x y +=.（2）415. 【解析】试题分析：（1）由题意可知：M 的坐标为（x ，y ），P 的坐标为（x'，y'），则45MD PD =，得'5'4x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22''25x y +=，整理得：2212516x y +=. （2）设直线方程为：()435y x =-，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x 1+x 2=3，x 1•x 2=-8，弦长公式：丨AB 丨()()22121k x x +-C 所截线段的长度．试题解析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()','x y ，由已知得'5'4x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩. ∵P 在圆上，22''25x y +=，即225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得2212516x y +=，即C 的方程为2212516x y +=. （2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=.∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-8∴线段AB 的长度为()()()22212121216414114125255AB x x y y x x ⎛⎫=-+-=+-=⨯= ⎪⎝⎭.∴直线被C 所截线段的长度为415. 21．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，（1）证明：PF FD ⊥；（2）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，说明见解析.【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，分别求出直线PF 与FD 的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF FD ⊥；（2）求出平面PFD 的法向量（含参数)t ，及EG 的方向向量，进而根据线面平行，则两个向量垂直数量积为0，构造方程求出t 值，得到G 点位置；【详解】∵PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=︒，1AB =，2AD =，如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0F ，()0,2,0D ．（1）不妨令()0,0,P t ，∴()1,1,PF t =-，()1,1,0DF =-，∴()()111100PF DF t ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴PF DF ⊥，即PF FD ⊥；（2）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由00n PF n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00x y tz x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =-，解得2t x y ==， ∴,,122t t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设点G 的坐标为()0,0,m ，又1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2EG m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使//EG 平面PFD ，只需0EG n ⋅=，即1010222t t m ⎛⎫-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，即04t m -=，解得14m t =，从而满足14AG AP =的点G 即为所求．【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论证明空集位置关系或求出相应的角和距离.22．已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）2214133x y +=；（Ⅱ）10x +-=或10x --=．【详解】试题分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把11F P FQ ⊥转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求试题解析：（1）112F B B ∆为等边三角形，则2222222433{{{1113a ab bc a b c b =-==⇒⇒-=== 椭圆C 的方程为：223314x y +=；（2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()221{12y k x x y =-+=得()()2222214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+∵11F P FQ ⊥， ∴11·0F P FQ =，即()()()()()2121212121211111x x y y x x x x k x x +++=++++--()()()22221212271111021k k x x k x x k k -+--+++==+＝解得217k =，即k = 故直线l的方程为10x +-=或10x -=.【解析】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．。

宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题(wd无答案)

宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 是虚数单位，复数的共轭复数是( )A．2－i B．2＋i C．－1＋2i D．－1－2i(★★) 2. ，则等于A．B．C．D．(★★) 3. 若实数，则与的大小关系是A．B．C．D．不确定(★★) 4. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．(★) 5. 下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是A．①综合法，②反证法B．①分析法，②反证法C．①综合法，②分析法D．①分析法，②综合法(★★) 6. 若，则等于（）A．2B．0C．-2D．-4(★) 7. 若，则的解集为A．B．C．D．(★★★) 8. 我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（）A．4B．2C．3D．1(★★) 9. 已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是A．B．C．D．(★★★) 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为A．4072B．2026C．4096D．2048(★★★) 11. 若函数的图像和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是A．B．C．D．(★★★) 12. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球(★★★) 13. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 14. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围是 ________ ．(★★) 15. ________ ．(★★★) 16. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．(★★★) 17. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________ .三、解答题(★★) 18. 已知函数 f( x)＝ x 3－ x 2＋ x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数 g( x)＝ x 2围成的图形的面积．(★★) 19. 设为正实数，且，求证：(★★★) 20. 已知函数.(1)求函数的极值；(2)当时，求函数的最值．(★★★★) 21. 中国民间十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图案包含个小正方形．（1）求出的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式猜测出的表达式；（3）求 ( )的值．(★★★) 22. 已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值，求在上的最小值．(★★★) 23. 设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围(★★★) 24. 已知函数f（x）＝－2xlnx＋x 2－2ax＋a 2，其中a>0.（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.。

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）1.i是虚数单位，复数1−3i的共轭复数为()1−iA. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−2i2.，则f′(x0)等于()A. 2B. 1C.D. 03.若实数a=√3+√7，b=2√5，则a与b的大小关系是()A. a<bB. a=bC. a>bD. 不确定4.函数f(x)=(x−3)e x的单调递增区间是()A. (0,3)B. (1,4)C. (2,+∞)D. (−∞,2)5.如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A. ①−分析法，②−综合法B. ①−综合法，②−分析法C. ①−综合法，②−反证法D. ①−分析法，②−反证法6.若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于()A. 2B. 0C. −2D. −47.若f(x)=x2−2x−4lnx，则f′(x)>0的解集为()A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)8.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是()A.B.C.D.10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5⋯，则此数列的前55项和为()A. 4072B. 2026C. 4096D. 204811.若函数f(x)={2x 2lnx x>0−x3−4x2x≤0的图象和直线y=ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是()A. (−2e ,4) B. (0,4) C. (−2e,0) D. (−2e,0)∪(0,4)12.袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中A. 一定有3号球B. 一定没有3号球C. 可能有5号球D. 可能有6号球13.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，且对任意x1，x2∈(0,3)都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，若a=2−√3，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是()A. f(a)<f(b)<f(c)B. f(c)<f(a)<f(b)C. f(c)<f(b)<f(a)D. f(a)<f(c)<f(b)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）14.在复平面内，复数z=(m+2)+(m2−m−2)i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为______ ．15.∫(1−1√1−x2+x)dx=______ ．16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q=8300−170P−P2.问该商品零售价定为______元时毛利润最大(毛利润=销售收入−进货支出)．17.已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=ln(x+b)相切，则2a +3b的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）18.求函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积．19.设x>0，y>0，且x+y=1，求证(1+1x )(1+1y)≥9．20.已知函数f(x)=x3−12x(1)求函数f(x)的极值；(2)当x∈[−3,3]时，求f(x)的最值．21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；(3)求1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1的值．22.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)设a=b=4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围．23.已知函数f(x)=−2xlnx+x2−2ax+a2，其中a>0．(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解．24.已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c−16．(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[−3,3]上的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数1−3i1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2−i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．根据两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求出复数1−3i1−i，可得它的共轭复数．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的概念，同时考查了导数的意义，属于基础题．根据=f′(x0)，将已知条件代入即可求出所求．【解答】解：∵，∴=f′(x0)=．故选C．3.【答案】A【解析】解：∵(√3+√7) 2=10+2√21，(2√5)2=20又2√21<10，∴10+2√21<20，即(√3+√7)2<(2√5)2∴√3+√7<2√5，即a<b故选A由题设条件知，此两数都是无理数，且形式不利于直接比较大小，由于两数皆为正数，故可以根据不等式的性质比较两数的平方的大小，从而得出两数的大小，选出正确答案本题考查不等式与不等关系，解答本题关键是将比较两个正无理数大小的问题转化它们平方的大小比较的问题，这是无理数比较大小时常用的思路，转化为有理数比较大小，要注意此转化所依据的不等式的性质，从理论上体会这一转化的合理性．4.【答案】C【解析】解：函数f(x)=(x−3)e x，∴f′(x)=e x+(x−3)e x=(x−2)e x，令f′(x)=0，解得x=2；当x>2时，f′(x)>0，f(x)是单调增函数，∴f(x)的单调增区间是(2,+∞)．故选：C．求函数f(x)的导数，利用导数f′(x)>0求出f(x)的单调增区间．本题考查了利用函数的导数判断单调性问题，是基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键，属于基础题．根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配的是①−综合法，②−分析法，故选B．6.【答案】D【解析】解：∵f′(x)=2f′(1)+2x∴f′(1)=2f′(1)+2∴f′(1)=−2∴f′(x)=−4+2x∴f′(0)=−4故选：D．利用导数的运算法则求出f′(x)，令x=1得到关于f′(1)的方程，解方程求出f′(1)，求出f′(x)；令x=0求出f′(0)．在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．7.【答案】C【解析】解：由题，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2−4，x>0，整理得x2−x−2>0，解得x>2或x<−1，令2x−2−4x结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2,+∞)．故选：C．由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′(x)>0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似图形，属于中档题．相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．根据形状相同，大小不一定相同的几何体为相似体，逐一判断，可得结论．【解答】解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状相同，大小不一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故答案选C．9.【答案】C【解析】解：由函数y=xf′(x)的图象可知：当x<−1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，此时f(x)增当−1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)减当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0，此时f(x)减当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)增．故选C．根据函数y=xf′(x)的图象，依次判断f(x)在区间(−∞,−1)，(−1,0)，(0,1)，(1,+∞)上的单调性即可本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数公式以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，属于中档题．利用第n 行的所有数字之和为2n−1，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【解答】解：第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，以此类推，即每一行数字的和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n =1−2n 1−2=2n −1，每一行的数字个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n =n(n+1)2，可得当n =12，去除所有的“1”的数字个数为78−23=55，则此数列前55项的和为S 12−23=212−1−23=4072．故选：A ．11.【答案】D【解析】解：当x >0时，由f(x)=ax 得2x 2lnx =ax ，得a =2xlnx ，当x ≤0时，由f(x)=ax 得−x 3−4x 2=ax ，此时x =0时方程的一个根，当x ≠0时，a =−x −4x ，设ℎ(x)={2xlnx,x >0−x 2−4x,x <0，当x >0时，ℎ′(x)=2lnx +2x ⋅1x =2lnx +2 =2(1+lnx)，由ℎ′(x)>0得1+lnx >0得lnx >−1，得x >1e 此时函数为增函数，由ℎ′(x)<0得1+lnx <0得lnx <−1，得0<x <1e ，此时函数为减函数，即当x =1e 时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1e )=2×1e ln 1e =−2e ，当x <0时，ℎ(x)=−x 2−4x =−(x +2)2+4，作出ℎ(x)的图象如图：要使f(x)与直线y=ax有四个不同的公共点，等价为ℎ(x)与y=a有3个不同的交点，<a<0或0<a<4，则a满足−2e,0)∪(0,4)，即实数a的取值范围是(−2e故选：D．根据分段函数的表达式，先得到x=0是f(x)与y=ax的一个根，利用参数分离法构造函数ℎ(x)，得到ℎ(x)与y=a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．12.【答案】D【解析】解：因为2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，3+4=7，3+5=8，3+6=9，4+5=9，4+6=10，5+6=11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，3×4=12，3×5=15，3×6=18，4×5=20，4×6=24，5×6=30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D先计算任意2个球的和，和任意两个球的积，再根据甲乙的说法，判断即可．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．13.【答案】C【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，则函数f(x)关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f(c)=f(4)=f(2)，<0，则函数f(x)在(0,3)上为减函数，又由对任意x1，x2∈(0,3)都有f(x2)−f(x1)x2−x1若a=2−√3=，b=log23，则有0<a<1<b<2，2√3则f(c)<f(b)<f(a)，故选：C ．根据题意，由f(3−x)=f(3+x)分析可得函数f(x)关于直线x =3对称，据此可得f(c)=f(4)=f(2)；由函数单调性的定义可得函数f(x)在(0,3)上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．14.【答案】(−2,−1)∪(2,+∞)【解析】解：因为复数z =(m +2)+(m 2−m −2)i 对应的点在第一象限，可得：{m +2>0m 2−m −2>0，解得：m ∈(−2,−1)∪(2,+∞)．故答案为：(−2,−1)∪(2,+∞)．利用复数的对应点所在象限列出不等式组，求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．15.【答案】π2【解析】解：∫(1−1√1−x 2+x)dx =∫√1−x 21−1dx +∫x 1−1dx ，其中∫√1−x 21−1dx 表示12个单位圆，其面积为12×π×12=π2， ∫x 1−1dx =(12x 2)|−11=0， ∴∫(1−1√1−x 2+x)dx =π2，故答案为：π2．∫(1−1√1−x 2+x)dx =∫√1−x 21−1dx +∫x 1−1dx ，再根据定积分的几何意义与运算法则分别对两部分积分，即可．本题考查定积分的几何意义与运算性质，将原式分开积分，并理解定积分的几何意义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】30【解析】解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，设毛利润为L，即L(P)=PQ−20Q=Q(P−20)=(8300−170P−P2)(P−20)=−P3−150P2+11700P−166000，所以L′(P)=−3P2−300P+11700．令L′(P)=0，解得P=30或P=130(舍去)．此时，L(30)=23000．因为在P=30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0．所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，故答案为：30毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，由于函数为单峰函数，故极值就为函数的最值．17.【答案】5+2√6【解析】解：y=ln(x+b)的导数为y′=1x+b，由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1−b，切点为(1−b,0)，代入y=x−a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则2a +3b=(a+b)(2a+3b)=2+3+2ba+3ab≥5+2√2ba⋅3ab=5+2√6．当且仅当a=√63b，即a=3−√63，b=3−√6时，取得最小值5+2√6．故答案为：5+2√6．求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：∵(1,2)为曲线f(x)=x 3−x 2+x +1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k =f′(1)=(3x 2−2x +1)|x=1=2， ∴过点(1,2)处的切线方程为：y −2=2(x −1)，即y =2x ．∴y =2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图：由{y =2x y =x 2得二曲线交点A(2,4)，又S △AOB =12×2×4=4，g(x)=x 2围与直线x =2，x 轴围成的区域的面积S =∫x 220dx =13x 3|02=83， ∴y =2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为：S′=S △AOB −S =4−83=43．【解析】由题意利用导数可求得过点(1,2)处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积．本题考查导数的几何意义，考查定积分在求面积中的应用，求得题意中过点(1,2)处的切线方程是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：要证(1+1x )(1+1y )≥9成立，-----(1分)因为x >0，y >0，且x +y =1，所以y =1−x >0.---------------(1分) 只需证明(1+1x )(1+11−x )≥9，--------------------(1分) 即证(1+x)(2−x)≥9x(1−x)，-------------------------(2分) 即证2+x −x 2≥9x −9x 2，即证4x 2−4x +1≥0.---------------(1分) 即证(2x −1)2≥0，此式显然成立，----------------------(2分) 所以原不等式成立．----------------------------------(1分)【解析】分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．20.【答案】解：(1)f/(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，令f/(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)=0，解得x=2，x=−2，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：∴f(x)极大值为f(−2)=16，f(x)极小值为f(2)=−16；(2)由(1)知，f(−2)=16，f(2)=−16，又f(−3)=9，f(3)=−9∴f(x)最大值为f(−2)=16，f(x)最小值为f(2)=−16．【解析】(1)先求出函数f(x)的导数，令f′(x)=0，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值，(2)由(1)得x=−2时，函数取最大值，x=2时，函数取最小值．本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，本题是一道基础题．21.【答案】解：(1)∵f(1)=1，f(2)=1+4=5，f(3)=1+4+8=13，f(4)=1+ 4+8+12=25，∴f(5)=1+4+8+12+16=41．(2)∵f(2)−f(1)=4=4×1，f(3)−f(2)=8=4×2，f(4)−f(3)=12=4×3，f(5)−f(4)=16=4×4，由上式规律得出f(n+1)−f(n)=4n．∴f(n)−f(n−1)=4(n−1)，f(n−1)−f(n−2)=4⋅(n−2)，f(n−2)−f(n−3)=4⋅(n−3)，…f(2)−f(1)=4×1，∴f(n)−f(1)=4[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]=2(n −1)⋅n ， ∴f(n)=2n 2−2n +1．(3)当n ≥2时，1f(n)−1=12n 2−2n+1−1=12(1n−1−1n )， ∴1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1=1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)=1+12(1−1n)=32−12n．【解析】(1)先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f(5)； (2)总结一般性的规律，可知f(n +1)−f(n)=4n ，利用叠加法，可求f(n)的表达式； (3)根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，(3)问考查了裂项法求数列的和，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的导数为f′(x)=3x 2+2ax +b ，可得y =f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k =f′(0)=b ，切点为(0,c)，可得切线的方程为y =bx +c ； (2)设a =b =4，即有f(x)=x 3+4x 2+4x +c ，由f(x)=0，可得−c =x 3+4x 2+4x ，由g(x)=x 3+4x 2+4x 的导数g′(x)=3x 2+8x +4=(x +2)(3x +2)，当x >−23或x <−2时，g′(x)>0，g(x)递增；当−2<x <−23时，g′(x)<0，g(x)递减．即有g(x)在x =−2处取得极大值，且为0； g(x)在x =−23处取得极小值，且为−3227，由函数f(x)有三个不同零点，可得−3227<−c <0，解得0<c <3227，则c 的取值范围是(0,3227).【解析】(1)求出f(x)的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； (2)由f(x)=0，可得−c =x 3+4x 2+4x ，由g(x)=x 3+4x 2+4x ，求得导数，单调区间和极值，由−c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．23.【答案】(I)解：函数f(x)=−2xlnx+x2−2ax+a2，其中a>0．可得：x>0．g(x)=f′(x)=2(x−1−lnx−a)，∴g′(x)=2−2x =2(x−1)x，当0<x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当1<x时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．(II)证明：由f′(x)=2(x−1−lnx−a)=0，解得a=x−1−lnx，令u(x)=−2xlnx+x2−2(x−1−lnx)x+(x−1−lnx)2=(1+lnx)2−2xlnx，则u(1)=1>0，u(e)=2(2−e)<0，∴存在x0∈(1,e)，使得u(x0)=0，令a0=x0−1−lnx0=v(x0)，其中v(x)=x−1−lnx(x≥1)，由v′(x)=1−1x≥0，可得：函数v(x)在区间(1,+∞)上单调递增．∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e−2<1，即a0∈(0,1)，当a=a0时，有f′(x0)=0，f(x0)=u(x0)=0．再由(I)可知：f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增，当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，∴f(x)>f(x0)=0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)>f(x0)=0；又当x∈(0,1]，f(x)=(x−a0)2−2xlnx>0．故当x∈(0,+∞)时，f(x)≥0恒成立．综上所述：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解．【解析】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．(I)函数f(x)=−2xlnx+x2−2ax+a2，其中a>0.可得：x>0.g(x)=f′(x)=2(x−1−lnx−a)，可得g′(x)=2−2x =2(x−1)x，分别解出g′(x)<0，g′(x)>0，即可得出单调性．(II)由f′(x)=2(x−1−lnx−a)=0，可得a=x−1−lnx，代入f(x)可得：u(x)=(1+ lnx)2−2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈(1,e)，使得u(x0)=0，令a0= x0−1−lnx0=v(x0)，再利用导数研究其单调性即可得出．24.【答案】解；(1)f′(x)=3ax2+b，∵函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c−16．∴f′(2)=12a+b=0，f(2)=8a+2b+c=c−16．解得a=1，b=−12．(2)由(1)可得：f(x)=x3−12x+c，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，∴x=−2时，f(x)有极大值28，∴(−2)3−12×(−2)+c=28，解得c=12．∴f(x)=x3−12x+12，列出表格：由表格可知：在x=2处取得极小值12−16=−4.又f(−3)=21．∴f(x)在[−3,3]上的最小值是−4．【解析】(1)f′(x)=3ax2+b，由函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c−16.可得f′(2)=12a+b=0，f(2)=8a+2b+c=c−16.联立解出．(2)由(1)可得：f(x)=x3−12x+c，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，可得x=−2时，f(x)有极大值28，解得c.列出表格，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

宁夏2020学年高二数学上学期期中试题理

高二数学上学期期中试题理一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．椭圆1422=+y x 的离心率为（）A ．23 B ．43 C ．22 D ．32 2．在等差数列中，若，则的值为（）A ． 75B ． 50C ． 40D ． 30 3．若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x | －21< x <31}，则a + b 的值为（）A ．－10B ．－14C ． 10D ． 144. 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（）A ．5B ．38-Ｃ．10 Ｄ．385．在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（）A. 60°B. 90°C. 150°D. 120°6．设a R ∈，则1a >是11a< 的（） A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S =（） A ． 2 B.73 C. 83D. 3 8．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为A ．2B ．3C ．5D ．79.对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则212b a a -=（）A ．1 B ．－1 C ．2 D ．±111．已知a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.1412．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A ．32 B ．33 C ．22 D ．23 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_______.14.已知数列{ a n }满足条件a 1 = –2 , a n + 1 =2 +nna 1a 2-, 则a 4 = ___15．命题“”为假命题，则实数a 的取值区间为16. 数列}{n a 满足11a =,nn a a n n ++=+211,则10a = 三.解答题:17.（10分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,3a b == （1）若1cos 3C =，求sin A . （2）若4c =，求ABC △的面积.18（12分）△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+ （1）求∠B 的大小.（2）若a =4，35=S ，求b 的值。

宁夏银川市2020_2021学年高二数学上学期期中试题理含解析

某某某某市2020-2021学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12题，共60分）1. 已知命题:p x ∀∈R ，210x x -+≥，下列p ⌝形式正确的是（） A. 0:p x ⌝∃∈R ，使得20010x x -+≥ B. 0:p x ⌝∃∈R ，使得20010x x -+< C. :p x ⌝∀∈R ，210x x -+< D. :p x ⌝∀∈R ，210x x -+≤【答案】B 【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.【详解】否定量词，否定结论，即0:p x ⌝∃∈R ，使得20010x x -+<. 故选：B【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2. 椭圆2251162x y +=的焦点坐标为（）A. (3,0)B. (0,3)C. (9,0)±D. (0,9)±【答案】B 【解析】根据题意，椭圆的标准方程为2211625x y +=，则其焦点在y 轴上，且225a =，216b =，则3c =，故焦点坐标为()0,3±，故选B.3. 设1F 、2F 分别是双曲线2214y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，且15PF =，则2PF =（） A. 1 B. 3C. 3或7D. 1或9【答案】C 【解析】由双曲线的定义得，122PF PF -=,又因为1PF 5=，则2PF =. 3或7，故选C.4. “﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】求出方程22143x y m m +=-+表示椭圆的充要条件是34-<<m 且12m ≠,由此可得答案.【详解】因为方程22143x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是403043m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩,解得34-<<m 且12m ≠, 所以“﹣3＜m ＜4”是“方程22143x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的X 围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉43m m -≠+,本题属于基础题.5. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x x 甲乙，，则下列结论正确的是（）A. x x <甲乙；乙比甲成绩稳定B. x x >甲乙；甲比乙成绩稳定C. x x >甲乙；乙比甲成绩稳定D. x x <甲乙；甲比乙成绩稳定【答案】A 【解析】【分析】根据公式求出甲、乙两人的平均分即可判别x 甲与x 乙的大小，通过观察茎叶图的离散程度可得乙成绩更稳定. 【详解】7277788692815x ++++==甲，788288919586.85x ++++==乙，x x ∴<甲乙根据茎叶图的数据分布，甲的数据大量集中在七十几，八十几和九十几各占一个，乙的数据集中在八十几和九十几，所以乙比甲稳定. 故选：A.6. 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为（） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】B 【解析】分析】事件A 和B 的交集为空：A 与B 就是互斥事件，也叫互不相容事件，强调的是事件不能同时发生；它们必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，是互斥事件的特例，满足互斥的情况，还得满足A 交B 为全集；【详解】有3个白球，4个黑球，从中任取3个球： ①是互斥事件，但不是对立事件； ②是互斥事件，同时也是对立事件； ③既不是互斥事件，也不是对立事件； ④既不是互斥事件，也不是对立事件；故选：B【点睛】本题考查了对立事件的概念，两个事件在时间上互斥同时还共同构成一个全集，属于简单题；7. 若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（）A. 45B.35C.25D.15【答案】C 【解析】从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，2520A=这个两位数大于40,则十位数字4或5，共有11248C C=.概率为82 205=.故选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多题目.8. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”.若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A. 31-33 D. 3【答案】D 【解析】∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为23∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为23设“勾”为x ，“股”为y ，则2223216xyx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得24x =或212x =.∵x y <∴24x =，即2x =. ∴23y =∴小正方形的边长为232y x -=∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为2(232)31162P ==-. 故选D. 9. 圆A半径为4，圆心为1,0,()(,0)1A B -是圆A 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线与半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A. 22134x y +=B. 2216x y +=C. 22143x y +=D. 22(1)16x y ++=【解析】【分析】数形结合利用垂直平分线的定义得到动点Q到定点A、B的距离之和为定值4（大于两定点间的距离2)AB=，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．【详解】解：如图，直线l为线段BP的垂直平分线，∴连接BQ，由线段垂直平分线的性质得：BQ PQ=，而半径AP AQ PQ=+，且A、B两点为定点，42AQ BQ AB∴+=>=，∴由椭圆定义得：Q点轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆，且24a=，22c=，2a∴=，1c=，3b∴=∴椭圆方程为：221 43x y+=，故选C．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．10. 已知P为椭圆2212516x y+=上的一个点，点M，N分别为圆22(3)1x y++=和圆22(3)4x y-+=上的动点，则PM PN+的最小值为（）A. 6 B. 7C. 10 D. 13【解析】【分析】先求椭圆焦点和定义定值，圆心、半径，利用圆的性质判定P 与焦点连线时PM PN +最小，再计算即得结果.【详解】依题意可知，椭圆2212516x y +=的焦点分别是两圆22(3)1x y ++=和22 (3)4x y -+=的圆心()()12,,,0330F F -，根据定义12210PF PF a +==，两圆半径为121,2rr ==，故椭圆上动点P 与焦点连线时与圆相交于M ，N 时，PM PN +最小，最小值为12210127a r r --=--=.故选：B.【点睛】本题考查了圆的性质和椭圆的定义，属于中档题.解题关键在于两圆圆心是椭圆的焦点，结合椭圆定义和圆的性质即解决最小距离问题.11. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 线与双曲线的左右两支分别交于P 、Q 两点，若2QP QF =，则双曲线C 的离心率为（）【答案】C 【解析】【分析】由122QF QF a -=，且2QP QF =，可得12PF a =，再结合212PFPF a -=，可得24PF a =，进而在△12PF F 中，由余弦定理可得到齐次方程2230c ac a --=，求出ca即可.【详解】由题意，可得122QF QF a -=，因为2QP QF =，所以1122PF QF QF a =-=，又212PF PF a -=，所以24PF a =，在△12PF F 中，12tan PF F ∠=12π3PF F ∠=，由余弦定理，可得22222211221211244161cos 22222PF F F PF a c a PF F PF F F a c +-+-∠===⋅⨯⨯，整理得2230c ac a --=，则22230c ac a a --=，即230e e --=，解得1132e ±=，因为0e >，所以1132e +=.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：（1）由条件直接求出,a c （或,a b 或,b c ），或者寻找,a c （或,a b 或,b c ）所满足的关系，利用2211c b e a a b c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭求解；（2）根据条件列出,a c 的齐次方程，利用ce a=转化为关于e 的方程，解方程即可，注意根据1e >对所得解进行取舍.12. 椭圆22195x y +=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则12y y -的值为（） A. 6 B.32C.92D. 3【答案】D 【解析】2ABF ∆的内切圆面积为π1r ∴=，由题意得：3a =，b =2c =()2221114622ABF S AB BF AF a ∆=⨯++⨯=⨯= 又2121262ABF S c y y ∆=⨯⨯-=123y y ∴-=故选D点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出2ABF ∆的面积，易知2ABF ∆的内切圆的半径长1r =，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共分）13. 双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.【答案】30x y ±-= 【解析】【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知：双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键.14. 某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽______人. 【答案】56 【解析】【分析】用样本容量乘以一线教师所占的比例，即为所求．【详解】一线教师占的比例为28073609=，故应抽取的一线教师人数为772569⨯=. 故答案为：56.15. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下： 90 79 66 19 19 25 27 19 32 81 24 58 56 96 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 13 79 89 ，这三天中恰有两天下雨的概率约为______. 【答案】30% 【解析】【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393、137．共6组随机数，∴所求概率为6=30%20．故答案为：30%．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．16. 已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________.【答案】2【解析】【分析】设13AF x =，15BF x =，23AF y =，2BF y =，根据椭圆的定义可得x y =，进而得出12AF F △为等腰直角三角形，从而求得离心率.【详解】11||3||5AF BF =，不妨设13AF x =，15BF x =，由点B 作BP x ⊥轴，同时也过点A 向x 轴引垂线，1212:3:1AF F BF F SS=，且22AOF BPF22:3:1AF BF ∴=，设23AF y =，2BF y =，由12122AF AF BF BF a +=+=，335x y x y ∴+=+，x y ∴=，所以12556AF AF x y x x x +=+=+=，所以23AF x =，12AF F ∴为等腰三角形，34AB x x x ∴=+=，15BF x =，22211AF AB BF ∴+=，1AF B ∴为直角三角形，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △为等腰直角三角形，112OF OA AF ∴==， 11,OF c AF a ==,即2c e a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出12AF F △为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题. 三、解答题（本大题共6小题，共分）17. 已知3a <，设p ：2(3)30x a x a -++<，q ：2450x x +->. （1）若p 是q ⌝的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围. 【答案】（1）5a <-；（2）13a ≤< 【解析】【分析】（1）解不等式2(3)30x a x a -++<，可得命题p 所对应的集合A ，解不等式2450x x +->，可得命题q 所对应的集合B ，由p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q p ⇒，且p 推不出¬q ，从而可得RB A ，进而建立不等关系，可求出实数a 的取值X 围；（2）由p 是q 的充分不必要条件，可得p q ⇒，且q 推不出p ，从而可得A B ，进而建立不等关系，可求出实数a 的取值X 围.【详解】（1）因为()()2(3)330x a x a x a x -++=--<，且3a <，所以3a x <<，记集合{}3A x a x =<<，又因为2450x x +->，所以5x <-或1x >，记集合{5B x x =<-或}1x >，则{}51B x x =-≤≤R，因为p 是¬q 的必要不充分条件，所以¬q p ⇒，且p 推不出¬q ，所以RB A ，即{}51x x -≤≤ {}3x a x <<，所以53aa ->⎧⎨<⎩，即5a <-.故实数a 的取值X 围是5a <-.（2）因为p 是q 的充分不必要条件，则有p q ⇒，且q 推不出p ，所以A B ，即{}3x a x << {5x x <-或}1x >，所以31a a <⎧⎨≥⎩，即13a ≤<. 故实数a 的取值X 围是13a ≤<.18. 如图，点12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，且满足1AF x ⊥轴，2130AF F∠=︒，直线2AF 与椭圆C 相交于另一点B ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1ABF 的周长为43C 的标准方程．【答案】（1）33；（2）22132x y +=【解析】【分析】（1）通过求解直角三角形，得到123c AF =，243cAF =，结合椭圆定义即可求得离心率；（2）通过椭圆定义，结合三角形的周长，求出a ，再利用离心率和222a b c =+，即可得解.【详解】（1）12Rt AF F △中，2130AF F ∠=︒，122F F c =，∴112tan30AF F F ︒=，即1332AF c=，解得1233c AF =， 122cos30F F AF ︒=，即2322c AF =，解得2433c AF =，∴由椭圆的定义，得124323233c c a AF AF =+=+，即3a c =，∴离心率33c e a ==；（2）1ABF 的周长111122443AF BF AB AF BF AF BF a =++=+++==，∴3a =，33c e a ==，∴1c =，∴2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率和标准方程的求解，其中涉及到椭圆的定义，考查了学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.19. 某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率.【答案】（1）0.04a =，中位数为77.5；（2）1415. 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由(0.010.020.060.050.02)51a +++++⨯=求得a ，然后利用中位数公式求解.（2）先分别得到打分区间在[60,65)和打分区间在[65,70)的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，所以(0.010.020.060.050.02)51a +++++⨯=，解得0.04a =，所以中位数为758077.52+=；（2）打分区间在[60,65)的同学共有100.0152⨯⨯=人，分别记为,A B ，打分区间在[65,70)的同学共有400.0254⨯⨯=人，分别记为a b c d ,,,，从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ；Ba ，Bb ，Bc ，Bd ；ab ，ac ，ad ；bc ，bd ；cd其中，至少有一位同学来自打分区间[65,70)共有14种情况：Aa ，Ab ，Ac ，Ad ；Ba ，Bb ，Bc ，Bd ；ab ，ac ，ad ；bc ，bd ；cd所以至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率为1415P =. 【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图：求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1求解；求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的12对应点求解；求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标中点与其概率之积的和求解；20. 某市2月份到8月份温度在逐渐上升，为此居民用水也发生变化，如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况.（1）根据表中的数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+.（2）为了鼓励市民节约用水，该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨，则水费为元/吨；若每月每户家庭用水超过7吨，则超出部分水费为3元/吨.预计该家庭8月份的用水量及水费.参考公式：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆn iii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==--∑∑，ˆˆa y bx=-. 【答案】（1）ˆ0.8 2.8y x =+；（2）吨，元.【解析】【分析】（1）根据最小二乘法公式，计算可的结果；（2）根据回归直线方程预测该家庭8月份的用水量，再根据题意计算出水费.【详解】（1）1(23456)45x =++++=，1(4.55677.5)65y =++++=， ()()51(24)(4.56)(34)(56)(44)(66)(54)7664)7.56)8iii x x y y =--=--+--+--+--+--=∑（）（(，()52222221(24)(34)(44)(54)(64)10ii x x =-=-+-+-+-+-=∑.∴()()()515218ˆ0.810iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑， ˆˆ60.84 2.8ay bx =-=-⨯=. ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.8 2.8yx =+；（2）当8x =时，ˆ0.88 2.89.2y=⨯+=吨，水费为7 2.5(9.27)324.1⨯+-⨯=元. ∴预计该家庭8月份的用水量为吨，水费为元.【点睛】本题考查了根据最小二乘法求回归直线方程，考查了根据回归直线方程对总体进行预测，属于基础题.21. 如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为A ，B ，3OA OB +=，OAB 的面积为1．（1）求C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的两点，且//MN AB ，记直线BM ，AN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得C 的方程. （2）设直线MN 的方程12y x m =-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，用此两点的坐标表示12k k ⋅，联立直线MN 的方程和椭圆的方程后消去y ，利用韦达定理可证12k k ⋅()00,M x y ，求出MN 的方程后再求出N 后可证12k k ⋅为定值.【详解】（1）解：由题意知，3,11,2a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩由于0a b >>，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=．（2）证明：由(1)得()2,0A ，()0,1B ，直线AB 的斜率为12-．（方法一）因为//AB MN ，故可设MN 的方程为12y x m =-+．设()11,M x y ，()22,N x y ，联立221,21,4y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得222220x mx m -+-=，所以122x x m +=，从而212x m x =-．直线BM 的斜率111111112x m y k x x -+--==，直线AN 的斜率222221222x my k x x -+==--，所以()()()211221122121111111112242222x m x m x x m x mx m m k k x x x x -+-+----+-⋅=⋅=-- ()()()()12122121121121111111122142242222x x m x x x m m x x m m m x m m x x x x x x -+++--⋅+-+-==-- 1211211114224x x x x x x -==-．故1214k k ⋅=为定值．（方法二）设()00,M x y ，220014x y +=．因为//MN AB ，所以MN 的方程为()0012y x x y =--+，联立()00221,21,4y x x y x y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得()20000220x x y x x y -++=，解得0x x =（舍去）或02x y =，所以点N 的坐标为0012,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0012001112224x y k k y x -⋅=⋅=-，即12k k ⋅为定值14．【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.22. 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点⎭.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）直线l ：x ky n =+与椭圆M 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625. 【解析】【分析】（1）首先根据题意得到2b a =，再根据椭圆经过点⎭，即可得到答案. （2）首先设直线l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()2224240ky kny n +++-=，根据0CA CB ⋅=得到所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，再计算ABC 面积的最大值即可.【详解】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则12B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kny n +++-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224kn y y k -+=+，212244n y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=，由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky n =+，22x ky n =+代入上式，并整理得()()()()2212121220k y y k n y y n ++-++-=，则()()()()22222214222044k n k n n n k k +---++-=++，化简得()()5620n n --=，解得65n =或2n =，因为直线x ky n =+不过点()2,0C ，所以2n ≠，故65n =.所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121||||2ABC S DC y y =⋅-△word- 21 - / 2116225⎛=⨯-= ⎝= 设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABC S =10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t =时，1625ABC S ==，所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】12y y +，12y y ⋅，然后利用0CA CB ⋅=得到直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为解题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．。

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二(上)期末数学(理科)试卷 (解析版)

2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．03．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣47．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．204811．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（共4小题）.14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为．15．（+x）dx＝．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．17．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为．三、解答题（共7小题，共70分）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i 解：复数＝＝2﹣i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．0解：∵，∴＝f′（x0）＝故选：C．3．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定解：∵＝10+2，＝20又2＜10，∴10+2＜20，即＜∴+＜2，即a＜b故选：A．4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）解：函数f（x）＝（x﹣3）e x，∴f′（x）＝e x+（x﹣3）e x＝（x﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：B．6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．7．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状，一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故选：C．9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．11．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球解：因为2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9，4+5＝9，4+6＝10，5+6＝11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，2×6＝12，3×4＝12，3×5＝15，3×6＝18，4×5＝20，4×6＝24，5×6＝30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），则函数f（x）关于直线x＝3对称，c＝e ln4＝4，f（c）＝f（4）＝f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若＝，b＝log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．解：因为复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，可得：，解得：m∈（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．15．（+x）dx＝．解：（+x）dx＝dx+xdx，其中dx表示个单位圆，其面积为×π×12＝，xdx＝（x2）＝0，∴（+x）dx＝，故答案为：．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为30元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）＝pQ﹣20Q＝Q（p﹣20）＝（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）＝﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）＝﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）＝0，解得p＝30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）＝23000．因为在p＝30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故答案为：3017．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为5+2．解：y＝ln（x+b）的导数为y′＝，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，∵a、b为正实数，则+＝（a+b）（+）＝2+3++≥5+2＝5+2．当且仅当a＝b，即a＝，b＝3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．解：∵（1，2）为曲线f（x）＝x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k＝f′（1）＝（3x2﹣2x+1）|x＝1＝2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB＝×2×4＝4，g（x）＝x2围与直线x＝2，x轴围成的区域的面积S＝x2dx＝x3＝，∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形的面积为：S′＝S△AOB﹣S＝4﹣＝．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．【解答】证明：要证（1+）（1+）≥9成立，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，所以y＝1﹣x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）只需证明（1+）（1+）≥9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（1+x）（2﹣x）≥9x（1﹣x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即证2+x﹣x2≥9x﹣9x2，即证4x2﹣4x+1≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（2x﹣1）2≥0，此式显然成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝2，x＝﹣2，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增16单调递减﹣16单调递增∴f（x）极大值为f（﹣2）＝16，f（x）极小值为f（2）＝﹣16；（2）由（1）知，f（﹣2）＝16，f（2）＝﹣16，又f（﹣3）＝9，f（3）＝﹣9∴f（x）最大值为f（﹣2）＝16，f（x）最小值为f（2）＝﹣16．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝1+4＝5，f（3）＝1+4+8＝13，f（4）＝1+4+8+12＝25，∴f（5）＝1+4+8+12+16＝41．（2）∵f（2）﹣f（1）＝4＝4×1，f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4，由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（n）﹣f（n﹣1）＝4（n﹣1），f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n﹣2）﹣f（n﹣3）＝4•（n﹣3），…f（2）﹣f（1）＝4×1，∴f（n）﹣f（1）＝4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．（3）当n≥2时，＝＝（﹣），∴+++…+＝1+（1﹣+﹣+…+﹣）＝1+（1﹣）＝﹣．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x＝﹣处取得极小值，且为﹣，由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】（I）解：函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）＝f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）＝＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a）＝0，解得a＝x﹣1﹣lnx，令u（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2＝（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）＝1＞0，u（e）＝2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）＝0，令a0＝x0﹣1﹣lnx0＝v（x0），其中v（x）＝x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）＝1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0＝v（1）＜a0＝v（x0）＜v（e）＝e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a＝a0时，有f′（x0）＝0，f（x0）＝u（x0）＝0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）＝0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）＝0；又当x∈（0，1]，f（x）＝﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解；（1）f′（x）＝3ax2+b，∵函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．∴f′（2）＝12a+b＝0，f（2）＝8a+2b+c＝c﹣16．解得a＝1，b＝﹣12．（2）由（1）可得：f（x）＝x3﹣12x+c，f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），∴x＝﹣2时，f（x）有极大值28，∴（﹣2）3﹣12×（﹣2）+c＝28，解得c＝12．∴f（x）＝x3﹣12x+12，列出表格：x[﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2） 2 （2，3] f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：在x＝2处取得极小值12﹣16＝﹣4．又f（﹣3）＝21．∴f（x）在[﹣3，3]上的最小值是﹣4．。

庆高级中学2020-2021学年高二第二学期期中考试数学(理)试卷

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第二学期高二年级期中试卷数学（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟卷Ⅰ一、选择题（共12题，每题5分，共60分，均为单选题，将选项填涂在答题卡相应位置）1. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( ) A ．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法 B ．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法 C ．①用系统抽样法；②用分层抽样法 D ．①用分层抽样法；②用系统抽样法2. 为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．283. 一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（） A ．0.16 B ．0.12 C ．0.18 D ．0.584. 素数也称为质数，孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2. 例如3和5，5和7，71和73都是孪生素数. 在小于20的正奇数中随机取两个数，则取到的两个数是孪生素数的概率是（） A ．91 B ．452 C ．952 D ．4545. 已知随机变量X 服从二项分布()p n B X,~，若()45=X E ，()1615=X D ，则=p （）A ．41 B ．31 C ．43 D ．54 6. 有5位同学排成一排照相，其中甲不能在首位，乙和丙必须相邻，则有（）种排队方法.A ．42B ．48C ．36D ．287. 某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为（） A ．1.6万户 B ．4.4万户 C ．1.76万户 D ．0.24万户8. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比1 000大的奇数共有( ) A ．36个 B ．48个 C ．66个 D ．72个 9. 设随机变量X 等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量12-=X Y ，则()6＜Y P 的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.210. 某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是( ) A ．甲学科总体的方差最小 B ．丙学科总体的均值最小C ．乙学科总体的方差及均值都居中D ．甲、乙、丙的总体的均值不相同11. 如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有( )A ．24种B ．72种C ．84种D ．120种12. 某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法( )A ．36种B ．33种C ．27种D ．21种卷Ⅱ二、填空题（共4题，每题5分，共20分，将答案作答在答题卡相应位置） 13. 把某班甲、乙两名同学自高二以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图如图，由此判断甲的平均分________乙的平均分．(填：＞，＝或＜)14. 明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象．他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为________．15. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________．16. 如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．13题图14题图16题图三、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，将答案作答在答题卡相应位置）17.（本题10分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.（1）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10，求出m，n的值；（2）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．18.（本题12分）已知nxx⎪⎭⎫⎝⎛+12展开式中前三项的二项式系数和为16.（1）求n的值；（2）求展开式中含2x项的系数.19.（本题12分）现有一堆颜色不同，形状相同的小球放入两个袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球. 乙袋中有4个红色小球，3个白色小球.（1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（2）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率；（3）将两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X ，求X 的分布列.20.（本题12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．21.（本题12分）“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展。