高考数学(精讲 精练 精析)专题 函数的基本性质试题(江苏)(含解析)

专题2 函数的基本性质

【三年高考】

1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，

,10,

()2

,01,

5

x a x f x x x +-≤<⎧⎪

=⎨-≤<⎪⎩

其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是. 【答案】25

-

【考点】分段函数，周期性质

【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.

2．【20XX 年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为

'2222

(

,)y x

P x y x y -++；

当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'

C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A 的“伴随点”是点'

A ，则点'

A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'

C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】

试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为1

1(,)22P '-，而11(,)22

P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，

其伴随曲线分别为2222(

,)0y x f x y x y -=++与

2222

(,)0y x

f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(

,)0y x f x y x y -=++与曲线

2222

(,)0y x

f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线

y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222

(

,)y x

x y x y

-++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.

考点：对新定义的理解、函数的对称性.

【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．

3．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3

()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，

()()f x f x -=-；当12x >

时，11

()()22

f x f x +=- .则f (6)= ． 【答案】2 【解析】 试题分析：当12x >

时，11()()22f x f x +=-,所以当1

2

x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3

(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦

．

考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.

【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.

4．【20XX 年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a

f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩

.

①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.

考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.

【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．

5．【2016高考上海理数改编】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，

对于命题：①若()()f x g x +、

()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，则命

题①②的真假是①为，②为． 【答案】假，真 【解析】

试题分析：①不成立，可举反例

2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 0

3,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩

, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩

②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++

前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故①为假，②真.

考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.

【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.

6．【2016高考新课标2文数改编】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2

-2x -3| 与y =f (x )

图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1

=m

i i x =∑．

【答案】m

考点：函数的奇偶性，对称性.