模糊控制-3截集两个原理隶属函数的确定
第4章_隶属函数的确定方法
第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。
对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。
因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。
其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。
本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。
4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。
因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。
例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。
如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。
(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。
模糊控制-3截集两个原理隶属函数的确定
• ②性质
a.若1 2，则1 A 2 A b.若A B，则 A B • ③分解定理Ⅰ
设A F ( X )，则A A [0,1]
x
• ④分解定理Ⅱ 设A F ( X )，则A A A [0,1] [0， 1] • ⑤分解定理的思路总结
1 (2)类似的，可得E(A,B,C)= 1(A - C) 180 1 I (A, B, C) 1 ((A B) (B C)) 60
(3)非典型三角形T(A, B, C) R E I R E I (1 R(A,B,C)) (1 E(A,B,C)) (1 I(A,B,C)) B),3(B C)) 180
• 解：根据三角形特性，三角形的内角和180°； 直角三角形的性质是由一个内角90°； 等腰三角形的性质是两个内角和相等； 正三角形则是三个内角相等，均为60°
设A,B,C是所考虑的三角形ABC的三个内角，且设A B C 则可选论域U为：U ={(A,B,C)|A +B+C=180,A B C} (1)当A=90时，ABC肯定是直角三角形，隶属度为1； 当A由90逐渐减小， ， ， ，（因为A B C，所以A只能减到60） 89 88 60 ABC的形状偏离直角三角形就越大； 当A由90逐渐增大， ， ， ， ， 91 92 180 ABC偏离直角三角形也越大，直到极端情况180，认为隶属度为0 如果认为隶属函数随着A变化而线形变化， 则直角三角形R的隶属度函数可取为： 1 R(A,B,C)=1A 90 90
①推理法
• 所谓推理法，顾名思义乃是依“理”推出隶属函 数的表达式。“理”是指所考虑的模糊集的特性。 • 步骤：
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
隶属函数及其确定方法
美国加利福尼亚大学控制论教授扎得（L、A、Zadeh）经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。
指出：若对论域（研究的范围）U中的任一元素x，都有一个数A（x）∈[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A（x ）称为x对A的隶属度。
当x在U中变动时，A（x）就是一个函数，称为A的隶属函数。
隶属度A（x）越接近于1，表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表示x属于A的程度越低。
用取值于区间[0，1]的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。
隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
隶属度函数及其确定方法分类隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。
对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法：模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。
对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。
模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A 的隶属度值。
隶属函数及确定方法
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u =27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1）用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
主观经验法主要依赖于专家的专业知识和经验，通过专家对模糊概念的深入理 解和主观判断，来确定隶属函数的形状、参数和阈值等。这种方法简单易行， 但受限于专家知识和经验的局限性。
统计学习法
总结词
基于数据样本和统计学习理论来确定隶属函数的方法。
详细描述
统计学习法利用已知数据样本，通过统计学习理论和方法，如回归分析、决策树、支持向量机等，来拟合和优化 隶属函数。这种方法客观、科学，但需要足够的数据样本和计算资源。
VS
详细描述
连续性是指隶属函数在定义域内的任何一 点都存在明确的隶属度值，没有跳跃或中 断。连续的隶属函数能够更好地描述模糊 现象，因为模糊现象本身也是连续变化的 。
单调性
总结词
隶属函数应该是单调的，以反映模糊集合的 单调性质。
详细描述
单调性是指随着输入值的增大或减小，隶属 度值也相应增大或减小。单调递增的隶属函 数表示随着输入值的增加，隶属度也逐渐增 加；单调递减的隶属函数则表示随着输入值 的增加，隶属度逐渐减小。
经济效益评价
在经济效益评价中，隶属函数可以用于将各 评价指标的量纲统一，通过计算隶属度来评 价项目的经济效益。
在模糊聚类分析中的应用
模糊聚类算法
隶属函数在模糊聚类算法中起到关键作用，通过计算样本点对各个聚类的隶属度，实现样本点的软分 类。
聚类效果的评估
在模糊聚类分析中，隶属函数可以用于评估聚类效果，通过计算样本点对各个聚类的隶属度分布情况 ，判断聚类的质量和稳定性。
模糊数学教程第6章确定隶属函数 的方法
目 录
• 引言 • 确定隶属函数的方法 • 隶属函数的特性 • 隶属函数的优化 • 隶属函数的应用 • 总结与展望
01 引言
模糊控制隶属函数的选择
模糊控制隶属函数的选择模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它可以处理模糊的输入和输出，使得系统能够更好地适应复杂的环境和变化。
而模糊控制的核心就是隶属函数，它决定了输入变量和输出变量之间的映射关系。
因此，选择合适的隶属函数对于模糊控制的性能和稳定性至关重要。
隶属函数是模糊控制中的一个重要概念，它描述了输入变量和输出变量之间的关系。
在模糊控制中，通常使用三角形、梯形、高斯等形状的隶属函数来描述输入变量和输出变量的模糊程度。
不同的隶属函数对于不同的问题具有不同的适用性，因此在选择隶属函数时需要考虑以下几个因素：1. 变量的物理意义：隶属函数的形状应该与变量的物理意义相符合，例如温度变量的隶属函数可以选择三角形或高斯函数，而速度变量的隶属函数可以选择梯形函数。
2. 变量的取值范围：隶属函数的形状应该与变量的取值范围相适应，例如当变量的取值范围较大时，可以选择高斯函数来描述隶属度，而当变量的取值范围较小时，可以选择三角形函数来描述隶属度。
3. 控制系统的性能要求：隶属函数的形状应该与控制系统的性能要求相匹配，例如当控制系统需要快速响应时，可以选择三角形函数来描述隶属度，而当控制系统需要平滑响应时，可以选择高斯函数来描述隶属度。
4. 经验和实验数据：隶属函数的选择还需要考虑经验和实验数据，例如当已有的实验数据表明某种隶属函数可以更好地描述变量之间的关系时，可以选择该隶属函数。
在实际应用中，选择合适的隶属函数是模糊控制的关键之一。
通过合理的选择隶属函数，可以提高模糊控制系统的性能和稳定性，使其更好地适应复杂的环境和变化。
因此，在设计模糊控制系统时，需要认真考虑隶属函数的选择，并根据实际情况进行调整和优化，以达到最佳的控制效果。
模糊控制系统的工作原理
模糊控制系统的工作原理模糊控制系统是一种常用于处理复杂控制问题的方法，其原理是通过模糊化输入变量和输出变量，建立模糊规则库，从而实现对非精确系统的控制。
本文将详细介绍模糊控制系统的工作原理。
一、模糊化输入变量模糊化输入变量是模糊控制系统的第一步，其目的是将非精确的输入变量转化为可处理的模糊语言变量。
这一步骤一般包括两个主要的过程：隶属函数的选择和输入变量的模糊化。
对于每一个输入变量，需要选择合适的隶属函数来表示其模糊化程度。
常用的隶属函数包括三角形隶属函数、梯形隶属函数、高斯隶属函数等。
通过调整隶属函数的参数，可以控制输入变量的隶属度，进而确定输入变量的模糊程度。
在选择隶属函数之后，需要对输入变量进行模糊化处理。
这是通过将输入变量与相应的隶属函数进行匹配，确定输入变量在每个隶属函数上的隶属度。
通常采用的方法是使用模糊集合表示输入变量的模糊程度，例如“高度模糊”、“中度模糊”等。
二、建立模糊规则库建立模糊规则库是模糊控制系统的核心部分，其目的是将模糊化后的输入变量与模糊化后的输出变量之间的关系进行建模。
模糊规则库一般由若干个模糊规则组成，每个模糊规则由一个或多个模糊条件和一个模糊结论组成。
模糊条件是对输入变量进行约束的条件，而模糊结论则是对输出变量进行控制的结果。
在建立模糊规则库时，需要根据具体控制问题的特点和实际需求，确定合适的模糊规则。
一般情况下，通过专家经验或者实验数据来确定模糊规则，以得到最佳的控制效果。
三、推理机制推理机制是模糊控制系统的关键环节，其目的是通过将输入变量的模糊程度与模糊规则库进行匹配，得到对输出变量的模糊控制。
推理机制一般包括模糊匹配和模糊推理两个步骤。
在模糊匹配的过程中，根据输入变量的模糊程度和模糊规则的条件，计算每个模糊规则的激活度。
激活度是输入变量满足模糊规则条件的程度，可以通过模糊逻辑运算进行计算。
在模糊推理的过程中，根据模糊匹配的结果和模糊规则库中的模糊结论，使用模糊逻辑运算得到对输出变量的模糊控制。
请说明模糊概念,模糊集及隶属函数三者之间的关系
请说明模糊概念,模糊集及隶属函数三者之间的关系.
模糊集合、隶属函数是模糊数学的基本概念。
经典集合论开宗明义地规定：对于给定集A，论域U中的任一元素X那么属于A，要么不属于A，二者必居其一。
这就使数学对事物类属、性态关系的描述，建立在“是”或“非”（用0表示非，用1表示是，记为｛0,1}）上。
模糊集合论则把这种类属、性态非此即彼的断定转换为对类属、性态程度的量化分析，并用“隶属度”的概念来刻划某元素属于某类的程度。
设U是一个给定的论域，若对于其中任何一个元素X，都有一个函数μA（X）与之对应，且满足0≤μA（X）≤1，则称μA（X）为隶属函数，集合A称为由μA（X）所确定的U 上的模糊集合。
μA（X）的大小反映X对于模糊集合A的隶属程度，μA（X）的值接近1，表示X隶属于A的程度很高；
μA（X）的值接近0，表示X隶属于A的程度很低。
就隶属度、隶属函数来说，用1和0来说明元素对集合“属于”和“不属于”的隶属关系，这是明晰的一面；同时又用介于1和0之间的实数值来刻划元素对集合隶属关系的程度，这又是模糊的一面。
这种方法上的两重性使模糊集合论在处理模糊现象时具有灵活辨证的特点，对于那些类属、性态缺乏明确判据的对象，人们就可通过模糊集合论的隶属函数、隶属度的分析，尽可能地逼近它，用以量见质的数学分析来实现由模糊向精确的转化。
请说明模糊概念、模糊集及隶属函数三者之间的关系。
请说明模糊概念、模糊集及隶属函数三者之间的关系。
隶属函数，也称为归属函数或模糊元函数，是模糊集合中会用到的函数，是一般集合中指示函数的一般化。
指示函数可以说明一个集合中的元素是否属于特定子集合。
一元素的指示函数的值可能是0或是1，而一元素的隶属函数会是0到1之间的数值，表示元素属于某模糊集合的“真实程度”（degree of truth）。
比如质数为一子集，整数3属质数，其命令函数为1，整数4不属于质数，其命令函数为0。
但针对模糊不清子集，可能将不能存有如此明晰的定义，假设胖子就是模糊不清子集，可能将体重80公斤的人其隶属于函数为0.9，体重70公斤的人其隶属于函数为0.8。
隶属函数数值是在0到1之间，看似类似机率，但两者是不同的概念。
隶属于函数最早就是由卢菲特·泽德在年第一篇有关模糊不清子集的论文中提到，他在模糊不清子集的论文中，明确提出用值域在0至1之间的隶属于函数，针对定义域中所有的数值定义。
第七章 模糊控制技术第三节模糊集合中的基本定义和运算
2.模糊集合的基本运算
• 设A和B是U中的模糊子集，隶属函数分别为μA和μB，则模 糊集合中的并、交、补等运算可以定义如下： 并运算：并（A∪B）的隶属函数μA∪B，对所有μ∈U被逐 点定义为取极大值运算即：（式中“∨”为取极大值运算 ）
交运算：交பைடு நூலகம்A∩B)的隶属函数μA∩B，对所有μ∈U被逐点 定义为取极小值运算即：（式中“∧”为取极小值运算）
第七章 模糊控制技术
主要内容
一、模糊集合 二、隶属函数及其确定 三、模糊集合中的基本定义和运算 四、模糊关系 五、模糊推理 六、模糊控制器的设计 七、模糊控制器设计实例
三、模糊集合中的基本定义和运算
1.基本定义
• 与经典集合论一样，模糊集合也定义了基本运算如并、交、 补等。以下定义模糊集合的幂集、空集、全集、集合的包含 和相等。 论域U中模糊集合的全体称为U中的模糊幂集，记做F(U)：
补运算：模糊集合A的补隶属函数μA ，对所有被逐点定义 为
三、模糊集合中的基本定义和运算
3.模糊集合运算的基本定律
模糊集合的运算满足以下的基本定律：
设U为论域。A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：
幂等律：
结合律： 交换律：
分配律：
同一律：
零一律：
吸收律：
双重否认律：
德·摩根律：
➢ 可以看出，模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，但是 模糊集运算不满足互补律，即：
对于任一u∈U，若μG(x)=0，称A为空集φ；若μG(x)=1，则 称为全集，A=U。
设A和B是U的模糊集，即A、B∈F(U)，若对任一u∈U都有 B(U)≤B(U)，则称B包含于A，或称B是A的子集，记做 。若对于任一u∈U都有B(U)=A(U)，则称B等于A，记做B=A 。
隶属函数及确定方法
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u=27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1） 用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
模糊控制中隶属度函数的确定方法
模糊控制中隶属度函数的确定方法一、引言模糊控制是一种利用模糊逻辑进行控制的方法，广泛应用于各个领域。
其中，隶属度函数是模糊控制中的重要组成部分，用于描述输入和输出变量之间的隶属关系。
确定合适的隶属度函数对于模糊控制系统的稳定性和性能至关重要。
本文将详细探讨模糊控制中隶属度函数的确定方法。
二、隶属度函数的概念隶属度函数（Membership Function ）是模糊集合中最核心的概念之一。
它用于描述一个元素对于某个模糊集合的隶属度程度。
在模糊控制中，输入和输出变量的隶属度函数决定了输入输出之间的映射关系。
三、常用的隶属度函数在模糊控制中，常用的隶属度函数包括三角隶属度函数、梯形隶属度函数、高斯隶属度函数等。
下面将分别介绍这些常用的隶属度函数。
3.1 三角隶属度函数三角隶属度函数是一种常见且简单的隶属度函数形式。
它以一个三角形为基础，通常具有两个参数：峰值和宽度。
三角隶属度函数的形状如图1所示。
3.1.1 三角隶属度函数公式三角隶属度函数的数学表达式如下所示：μ(x )={0,x ≤a or x ≥c x −a b −a ,a ≤x ≤b c −x c −b ,b ≤x ≤c 其中，a 、b 、c 分别表示三角隶属度函数的左脚、峰值和右脚的位置。
3.2 梯形隶属度函数梯形隶属度函数是一种介于三角隶属度函数和矩形隶属度函数之间的形式。
它以一个梯形为基础，通常具有四个参数：左脚、上升边沿、下降边沿和右脚。
梯形隶属度函数的形状如图2所示。
3.2.1 梯形隶属度函数公式梯形隶属度函数的数学表达式如下所示：μ(x )={ 0,x ≤a or x ≥d x −a b −a ,a ≤x ≤b 1,b ≤x ≤cd −x d −c ,c ≤x ≤d其中，a 、b 、c 、d 分别表示梯形隶属度函数的左脚、上升边沿、下降边沿和右脚的位置。
3.3 高斯隶属度函数高斯隶属度函数是一种基于高斯分布的隶属度函数形式。
它通常具有两个参数：峰值和方差。
请说明模糊概念,模糊集及隶属函数三者之间的关系.
模糊概念、模糊集及隶属函数三者之间的关系
模糊概念是指不能明确划分的概念，它指的是一些具有模糊界限的概念，如“大”、“高”、“热”等。
模糊集是指在模糊概念的基础上构建的集合。
它是由一组模糊元素组成的集合，每个模糊元素都可以被赋予一个权值，权值表示该模糊元素在集合中的隶属程度。
隶属函数是指表示模糊集中元素隶属程度的函数。
通常表示为μ(x)，x表示模糊集中的元素，μ(x)的值在0~1之间，表示x在集合中的隶属程度。
所以，我们可以得出，模糊概念是指概念的概念，而模糊集和隶属函数是对模糊概念的具体化。
模糊集中的每个模糊元素都可以被赋予一个隶属程度，而隶属函数则是用来表示模糊集中元素隶属程度的函数。
所以，模糊集和隶属函数是模糊概念的具体体现，是对模糊概念进行具体化的方法。
举例来说，假设我们要建立一个模糊集来表示人的身高，这个模糊集的元素就是人的身高，模糊概念就是“高”。
那么，我们可以把身高分成若干个区间，每个区间代表一个模糊元素，如[165,170]代表身高在[165,170]之间的人，[170,175]代表身高在[170,175]之间的人，以此类推。
然后，我们可以为每个模糊元素赋予一个权值，权值表示该模糊元素在集合中的隶属程度。
例如，对于身高在[165,170]之间的人，我们可以赋予一个权值0.8，表示他们在“高”这个模糊集中的隶属程度是0.8；对于身高在170175之间的人，我们可以赋予一个权值0.9，表示他们在“高”这个模糊集中的隶属程度是0.9；以此类推。
最后，我们可以通过这些模糊元素和权值来构造隶属函数，用来表示人的身高在“高”这个模糊集中的隶属程度。
模糊控制隶属度函数
模糊控制隶属度函数模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它可以处理模糊的输入和输出，适用于一些复杂、不确定或难以精确描述的系统。
模糊控制的核心是隶属度函数，它描述了输入变量对应的模糊集合与隶属度的关系。
本文将详细介绍模糊控制隶属度函数的概念、分类、设计方法以及应用实例等方面。
一、概念隶属度函数是指将输入变量映射到它所属的模糊集合中的隶属度的函数。
在模糊控制中，输入变量可能是实数、离散值或者其他形式的数据。
隶属度函数将这些输入映射到0到1之间的隶属度值，表示输入数据与该模糊集合的匹配程度。
例如，在一个温度控制系统中，输入变量可能是当前温度，模糊集合可能是“冷”、“舒适”、“热”等，隶属度函数将当前温度映射到这些模糊集合对应的隶属度值，表示当前温度与这些状态的匹配程度。
二、分类根据隶属度函数的形式，可以将它们分为三类：三角形隶属度函数、梯形隶属度函数和高斯隶属度函数。
1. 三角形隶属度函数三角形隶属度函数的形状类似于一个等腰三角形，它的参数包括三个点：左侧界点、中心点和右侧界点。
这三个点定义了三角形的形状和位置。
三角形隶属度函数常用于描述输入变量的模糊集合，例如在上述温度控制系统中，可以将“舒适”状态定义为一个三角形的模糊集合，左侧界点为“稍凉”，中心点为“舒适”，右侧界点为“稍热”。
2. 梯形隶属度函数梯形隶属度函数的形状类似于一个梯形，它的参数包括四个点：左侧界点、左侧拐点、右侧拐点和右侧界点。
这四个点定义了梯形的形状和位置。
梯形隶属度函数常用于描述输入变量的模糊集合，例如在一个车速控制系统中，可以将“慢”状态定义为一个梯形的模糊集合，左侧界点为0，左侧拐点为20，右侧拐点为40，右侧界点为60。
3. 高斯隶属度函数高斯隶属度函数的形状类似于一个钟形曲线，它的参数包括两个点：中心点和标准差。
中心点定义了曲线的中心位置，标准差定义了曲线的宽度。
高斯隶属度函数常用于描述输入变量的模糊集合，例如在一个油门控制系统中，可以将“中等”状态定义为一个高斯隶属度函数，中心点为50，标准差为10。
隶属函数的确定方法[1]
![隶属函数的确定方法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d670944de45c3b3567ec8b23.png)
第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。
对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。
因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。
其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。
本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。
4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。
因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。
例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。
如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。
(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数模糊数学是一门研究现实中模糊信息和不完全信息的数学理论。
在模糊数学中，模糊集合和隶属度函数是其核心概念之一。
一、模糊集合模糊集合是对现实世界中模糊或不确定概念的数学抽象。
与传统的集合理论不同，模糊集合并不要求元素的成员关系是确定的，而是通过隶属度函数来描述元素与集合的隶属关系。
一个元素可以同时隶属于多个模糊集合，并且隶属程度可以是连续的。
在模糊集合中，隶属度函数是描述元素与集合之间的隶属关系的数学函数。
它将元素映射到[0,1]的隶属度区间，表示元素与集合的隶属程度。
例如，对于一个模糊集合A来说，元素x的隶属度可以表示为μA(x)，其中μA(x)的取值范围为[0,1]。
二、隶属度函数隶属度函数是描述元素与模糊集合之间隶属关系的数学函数。
它是模糊集合理论中的重要工具，常用于描述概念的模糊性和不确定性。
常见的隶属度函数包括三角形隶属度函数、梯形隶属度函数、高斯隶属度函数等。
三角形隶属度函数通过一个三角形的边界来表示元素的隶属度，具有对称性和简单性。
梯形隶属度函数通过一个梯形的边界来表示元素的隶属度，可以更精确地描述元素的隶属度。
高斯隶属度函数使用高斯曲线来表示元素的隶属度，具有光滑性和非对称性。
隶属度函数的选择需要根据具体情况来确定，可以根据实际需求和数学模型来选择最合适的隶属度函数。
三、模糊集合与隶属度函数的应用模糊集合与隶属度函数在实际应用中具有广泛的应用价值。
它们被广泛应用于模糊控制、人工智能、模式识别、决策分析等领域。
在模糊控制中，模糊集合与隶属度函数用于描述输入与输出之间的模糊关系，通过定义模糊规则和模糊推理来实现对系统的控制。
在人工智能中，模糊集合与隶属度函数用于处理模糊和不完全信息，进行模糊推理和模糊分类。
在模式识别中，模糊集合与隶属度函数用于进行特征提取和模式匹配，提高系统对不确定性和噪声的适应能力。
在决策分析中，模糊集合与隶属度函数用于处理决策变量的不确定性和模糊性，提供决策的支持和评估。
模糊控制第三讲
7
8
9
10
图 Z形隶属函数（M=6）
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4 5 6 trimf,P=[3 6 8]
7
8
9
10
图 高斯型隶属函数（M=1）
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4 5 6 trimf,P=[2 4 6]
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C) 5．吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
6．两极律
A∪E=E，A∩E=A A∪Ф=A，A∩Ф=Ф
模糊控制技术 第三讲
模糊集合运算的基本性质
7．复原律
A A
8．对偶律
A B A B
A B A B
模糊控制技术 第三讲
例：
求模糊集合M和H代数积和代数和
模糊控制技术 第三讲
模糊集合运算的基本性质
1．幂等律
A∪A=A，A∩A=A 2．交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A 3．结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
模糊控制技术 第三讲
模糊集合运算的基本性质
4．分配律
AB u A B
两个模糊集合的交，其隶属函数还有以下运算：
AB u A B
模糊控制技术 第三讲
模糊集合的逻辑运算
（7）模糊集合的补运算： 模糊集合补集的隶属函数 A 对所有u∈U被逐点定义为
C
，
A u 1 A u
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• ②推论： 若 ，则A A ，A A 1 2 1 2 1 2
• ③截集的性质及其证明
(1)( A B) A B ;( A B) A B (2)( A B) A B ;( A B) A B (3) A A (4)若A B, 则A B , A B (5)若1 2 , 则A1 A2 , A1 A2 (6)( A) A(1 ) ;( A) A(1 ) (7) A0 X , A1
• 解：根据三角形特性，三角形的内角和180°； 直角三角形的性质是由一个内角90°； 等腰三角形的性质是两个内角和相等； 正三角形则是三个内角相等，均为60°
设A,B,C是所考虑的三角形ABC的三个内角，且设A B C 则可选论域U为：U={(A,B,C)|A+B+C=180,A B C} (1)当A=90时，ABC肯定是直角三角形，隶属度为1； 当A由90逐渐减小， ， ， ，（因为A B C，所以A只能减到60） 89 88 60 ABC的形状偏离直角三角形就越大； 当A由90逐渐增大， ， ， ， ， 91 92 180 ABC偏离直角三角形也越大，直到极端情况180，认为隶属度为0 如果认为隶属函数随着A变化而线形变化， 则直角三角形R的隶属度函数可取为： 1 R(A,B,C)=1A 90 90
• ④定义
：设AF(X), 称A1={xX|A(x)=1}为 A 的核, 记为ker A . 称 A0 ={xX|A(x)>0}为 A 的支集, 记为supp A . 称supp A ker A 为 A 的边界。
• ⑤定义
： 设A F ( X )，若 ker A ，则称A为正规模糊集，
• 关于扩展定理的讨论： • ①思路： ⑴目的：把经典集上的运算过渡到模糊集的 运算 ⑵关键：确定模糊集上相应的隶属度函数的 计算乘除都可 以实现 • ②应用：
作业3：P41 28
§1.5隶属度函数的确定方法
• 在某种意义上，A 和 A( x)是等价的，没有隶属度函 数便没有模糊数学。 • 隶属度函数是对模糊性的数学描述，它在本质上 是客观的。 • 同样的模糊集，不同的人可能建立不同的隶属度 函数，它们都是对客观世界的一个近似。 • 建立隶属度函数的方法从实践中来，不同的情况 可以采用不同的方法，并不总是一种 固定的模式。
否则A称为非正规模糊集。
•
A 的截集、支集、核均为经典集合，一般有：
• 即：
ker A A sup pA X
A1 A A0 A0
• 2、分解定理
• ①定义： 设 [0，，A F ( X ),由、A构造一个新的模糊集，记为 A。 1] 称为与A的数乘，其隶属函数为： A( x) A( x), x X
• 试求出模糊集 A 。
• 3、扩展定理
• ①经典集的扩展定理
用S ( X )表示X 上的所有经典集合 设X , Y 是经典集合, 给定X 到Y的映射 : f : X Y x | f ( x)
f : S ( X ) S (Y ) f 1 : S (Y ) S ( X )
A | f ( A) { y | x A, y f ( x)} B | f 1 ( B) {x | f ( x) B}
基本隶属函数图形 (a)Z函数；(b)Π函数；(c)S函数
直线型隶属函数 (a)三角形函数；(b)梯形函数
确定隶属函数的一般原则：
• (1)若模糊集反映的是社会的一般意识，它是大量的可重复 表达的个别意识的平均结果，例如，年青人，经济增长快， 生产正常等；则此时采用模糊统计法较为理想； • (2)若模糊集反映的是某个时间段内的个别意识、经验和判 断，例如，某专家对某个项目可行性的评价；则可采用专 家法； • (3)若模糊集反映的模糊概念已经有相应成熟的指标，这种 指标经过长期实践检验已经成为公认的对事物的真实的又 是本质的描述，则可直接采用这种指标，或者通过某种方 式将这种指标转化为隶属函数；
• ②性质
a.若1 2，则1 A 2 A b.若A B，则 A B • ③分解定理Ⅰ
设A F ( X )，则A A [0,1]
x
• ④分解定理Ⅱ 设A F ( X )，则A A A [0,1] [0， 1] • ⑤分解定理的思路总结
• (4)对某些模糊概念，虽然直接给出其隶属函数比较困难， 却可以比较两个元素相应的隶属度；此时可用二元比较法 求得隶属函数； • (5)若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合而成的，则可 先求各因素模糊集的隶属函数，再综合出模糊概念的隶属 函数。
习题：P43-32
模糊控制
林舒萍
§1.4 截集和基本定理
• “截集”概念的引入
• 1、 截集
• ①定义：
设A F ( X ), [0,1], 记： A ( A) {x X | A( x) } 称为A的 截集，亦称水平截集，叫做置信水平。又记 A ( A) {x X | A( x) } 称为A的强截集，亦称开截集。
②模糊统计方法
• 用模糊统计方法确定模糊集合的隶属函数类似与 随机实践的概率统计方法。
事件发生频率=发生次数/实验总次数n
• 模糊统计方法要进行模糊统计实验。
u0对 A 的隶属频率= u0 A*的次数/模糊统计实验总次数n
• 例如：选取年龄作为论域，U=[0,100]，确定U上 A(u A 模糊集合“青年人” 的隶属 ) ，选定U中一元 素，如27岁，每次实验让不同的人判断27岁是否 为青年人 A* ，当实验次数大到一定程度时，隶属 频率趋于稳定，可取作 A(27) 。 • 同样，可以求出其它年龄的隶属度。
1 (2)类似的，可得E(A,B,C)= 1(A - C) 180 1 I (A, B, C) 1 ((A B) (B C)) 60
(3)非典型三角形T(A, B, C) R E I R E I (1 R(A,B,C)) (1 E(A,B,C)) (1 I(A,B,C)) 1 min(2 A 90 , (A C),3(A B),3(B C)) 180
• 经典扩展定理把两个论域中元素之间的对应关系 扩展到经典集合之间的对应关系。
• ②模糊集的扩展定理
• 定义：
设X , Y 为经典集合，映射： f : X Y x | f ( x) 可以诱导一个F ( X )到F (Y )的映射： f : F ( X ) F (Y ) A | f ( A) 以及一个由F (Y )到F ( X )的映射： B | f ( B ) 1 f ( A)和f ( B )的隶属函数分别定义为： 1 A( x) , f 1 ( y ) x f ( y ) f ( A)( y ) 0 , f 1 ( y ) 以上两个映射称为扩展映射。 f 1 : F (Y ) F ( X )
• 任取[0,1], 将模糊集 A 切成经典集合A,再用与 A作数 乘得模糊集A, 将所有的数A([0,1])拼起来, 组成 ∪[0,1] A, 此模糊集就是 A
作业2：P41 18
• 1、设 U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5}
{u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 0 0.2 {u , u , u , u } 0.2 0.5 1 2 3 5 A {u1 , u3 , u5 } 0.5 0.6 {u1 , u3} 0.6 0.7 {u3} 0.7 1
④模糊分布(指派方法)
• 当模糊集的论域为实数R时，其隶属函数称为模糊分布。 • 实数域上某些带有参数的函数可以作为模糊分布，在确立 模糊集合的隶属函数时可以根据模糊集的性质选择，并根 据实际应用的具体情况或通过实验确定所选函数中的参数。
• 根据模糊分布的变化趋势，可以大体分为三类：
• 偏小型（戒上型）：随x(xR)增大而减小 • 中间型（对称型）：在R的某一点或某一段取最大值，而 其两侧则对称地减小 • 偏大型（戒下型） ：随x增大而增大
①推理法
• 所谓推理法，顾名思义乃是依“理”推出隶属函 数的表达式。“理”是指所考虑的模糊集的特性。 • 步骤：
选定论域 确定隶属度为1和0的特殊点 根据隶属函数的大致形状来确定隶属函数的表达式
• 例1：假如我们把要考察的某一些三角形形状的几 何图形分成正三角形、等腰三角形、直角三角形 和其他非典型三角形四种，分别用模糊集合、、 R、T表示，建立它们的隶属函数。
③二元对比排序法
• 二元对比法是根据人类习惯于两两比较的心理特 点设计的。要求人们同时比较论域中所有元素并 由此确定各个元素的隶属度往往比较困难，但当 取U中的两个元素相比时，情况较为简单，容易 正确比较出两者中哪个属于某一模糊集合的程度 大。 • 以两两比较的结果为基础确定隶属函数的方法称 为二元对比排序法。