第3章 区间估计和假设检验

2
(X
i 1
n
i
)2
(n 1) s 2 2 n1 ( 2)
2 n (1 2)
2 n ( 2)
已知
(n 1) s 2 2 n 1 (1 2)
未知
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
待 估 参数 置信下限 置信上限 备注
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2
区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
区间估计是通过构造两个统计量 , ，能以 100(1 )%的置信度使总体的参数落入 [ , ] 区间中，即 P{ } 1 。其中 称为显著性 水平或检验水平，通常取 0.05或 0.01 ； , 分别称为置信下限和置信上限
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计

例4 SAS程序为
data val2; input weight@@; cards; 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 n 2 ; ( x x ) i proc means data=val2; i 1 output out=tval1 css=ss n=n; Run; data tval2; set tval1; df=n-1; xlchi=cinv(0.025,df); xuchi=cinv(0.975,df); lchi=ss/xuchi; uchi=ss/xlchi; Run; proc print data=tval2;var lchi uchi; run; 21
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为 其输出结果为: LCL 25.5408 XBAR 26.56 UCL 27.5792

即总体均值的 95%的置信区间为[25.5408， 27.5792]；
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
其输出结果如下：
T-Tests Variable Method Variances fatpct Pooled Equal fatpct Satterthwaite Unequal DF t Value 21 -1.70 20.5 -1.73 Pr > |t| 0.1031 0.0980
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
SAS程序为:
data val1; xbar=26.56; sigma=5.2;n=100; u=probit(0.975); delta=u*sigma/sqrt(n); lcl=xbar-delta; ucl=xbar+delta; Run; proc print data=val1; var lcl xbar ucl; run;
[ p z p(1 p) / n , p z p(1 p) / n ]
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区间估计和假设检验
1 二项分布总体概率以及概率之差的区间估计* 二、二项分布总体概率之差的置信区间
设有两个二项分布B(π1,n1)和B(π2,n2)，当n1和n2是大样本时， 事件发生的频率P1和P2均近似地服从正态分布，两者之差P1P2也近似地服从正态分布，即
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计 SAS程序为：
data var22; input x fx@@; y=x-65; cards; 35.5 7 37.5 8 39.5 11 41.5 9 43.5 9 45.5 12 47.5 17 49.5 14 51.5 5 53.5 3 55.5 2 57.5 0 59.5 2 61.5 0 63.5 1 ; proc means data=var22 t prt clm; var y; freq fx; CLM表示要输出 run; 95%置信区间

1
2
4
区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
待估 参数 置信下限 置信上限 备注

单 个 子 样
X u / n
2
X u / n
2
2
已知
X t n1 ( n 2 )s /

2
2 X t n1 ( 2 )s / n
未知
(X
i 1
n
i
)

2
n 1
n 1
n1 1,n2 1
2
1
2
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计

例1 设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经 2 0 5.2 。为了判断 验服从正态 N (, 0 ) ， 其均值的置信区间，现抽取容量 n=100 的子样，其子样均值=26.56，求其均值 的95%的置信区间.
Equality of Variances Variable Method Num DF Den DF F Value fatpct Folded F 12 9 1.29
Pr > F 0.7182
其结论为：

所测不同性别的人的脂肪含量没有显著差别。
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计 注：例3的数据特点是独立组样本，检验方法是T检验。 独立组样本T检验要求数据符合以下3个条件： （1）观察值之间是独立的； （2）每组观察值是来自正态分布的总体； （3）两个独立组的方差相等。


例2
检验某种型号玻璃纸的横向廷伸率。测得的数据如下
横向廷伸率% 35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 47.5 49.5 51.5 53.5 55.5 57.5 59.5 61.5 63.5
频数
7 8 11
9 9 12 17 14 5 3
2
0 2
0
1
现在要检验假设 H 0 : 0 65 ，并求出其95%的置信区间。
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区间估计和假设检验 §3.1 正态总体的均值、方差的区间估计 §3.2 均值、方差的假设检验 §3.3 正态性检验 §3.4 非参数秩和检验
3.4.1 配对的符号检验 3.4.2 成组数据的秩和检验

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区间估计和假设检验


利用样本的信息对总体的特征进行统计推断，是统 计学要解决的主要问题之一。 它通常包括两类方面：一类是进行估计，包括参数 估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等；另 一类是进行检验。 在这里，首先利用SAS提供的MEANS、 UNIVARIATE和TTEST等过程对应用广泛的正态总 体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对 观测数据的正态性进行检验，最后介绍一些常用的 非参数检验方法。
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
输出结果如下：
LCHI UCHI 70687.19 406071.51
即方差的置信区间为：[70687.19， 406071.51]
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区间估计和假设检验
1 二项分布总体概率以及概率之差的区间估计* 一、总体概率的置信区间
从二项分布B(π,n)中随机抽取一份样本，若特定事件发生次数 记为X，该事件的样本频率记为P=X/n，则P因样本而异。 小样本时，可根据X的观察值查表确定总体概率π的95%或 99%的置信区间。 大样本时（n≥30），需利用P近似地服从正态分布的性质进行 估计，即P~N[p，p(1-p)/n]，其中p为样本频率。此时， 总体概率π的(1-α)置信区间为：
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
对于单个子样而言，设 X 1 , X 2 ,..., X n是取自 N (, 2 )的一个样本； Y1 , Y2 ,...,Yn 对两个子样而言，设 X 1 , X 2 ,..., X n ， 2 2 N ( , N ( , ) 2 )的样本 1 是分别取自 1 和 2 2 2 （ s x , s y 分别为二者的样本方差），则有 如下结论
2 2 y
(Y X ) t n1 n 2 2 ( ) 2 (n1 1) s
2 x
n1n2 (n1 n2 2) / n1 n2
(n2 ) s
2
y
1 22
2
s2x s y Fn1 1,n2 1 ( 2 )
2
n1n2 (n1 n2 2) / n1 n2
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计

输出结果：
分析变量 : Y
T- 统计量 Prob>|T| 95.0% 置信下界 95.0% 置信上界 --------------------------------------------------------------------34.29 <.0001 -21.0939999 -18.7860001 ------------------------------------------------------------------

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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
注：采用PROC CHART过程对独立组样本画直方图 直方图有两种形态：垂直条形图和水平条形图，下面对例3画水 平条形图，SAS程序为：
data bodyfat; input sex $ fatpct @@; cards; 男 13.3 女 22 男 19 女 26 男 20 女 16 男 8 女 12 男 18 女 21.7 男 22 女 23.2 男 20 女 21 男 31 女 28 男 21 女 30 男 12 女 23 男 16 男 12 男 24 ; PROC CHART DATA=BODYFAT ; hbar fatpct/group=sex; title “两组独立样本的水平条形图”; 本章目录 18 RUN;
据此则得出结论，该批玻璃纸没有达到横向廷伸 率的指标。
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计

例3 已知某次试验中测量不同性别的测 试者的脂肪含量，问不同性别人的脂肪 含量是否相同？（数据见程序）
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计 SAS程序为：
区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
运行结果为：
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计

例4
假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机 抽取12名新生婴儿，测其体重为3100，2520， 3000，3000，3600，3160，3560，3320， 2880，2600，3400，2540。试给出新生婴儿体 重方差的置信区间（置信度为95% ）。
data bodyfat; input sex $ fatpct @@; cards; 男 13.3 女 22 男 19 女 26 男 20 女 16 男 8 女 12 男 18 女 21.7 男 22 女 23.2 男 20 女 21 男 31 女 28 男 21 女 30 男 12 女 23 男 16 男 12 男 24 ; PROC TTEST DATA=BODYFAT ; CLASS SEX; VAR FATPCT; RUN;

s
2
2
x
s y Fn1 1,n2 1 (1 2 )

21 , 2 2未知
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
1 正态总体的均值、方差的区间估计 u ， ( ) ， F ( ) 分别表示标准正 t ( ) ， 注： -分布 态分布， t 分布（自由度为 n 1 ）， F分布（自由度 （ 自 由 度 为 n 1 ） ， 为 (n 1, n 1)）的上 分位点。
(Y X ) u
两 个 子 样
21
n1

22
n2
(Y X ) u
2
21
n1

22
n2
1 2
2
21 , 2 2已知
21 , 2 2未知

(Y X ) tn1 n2 2 ( ) 2 (n1 1)s x (n2 )s