高中数学讲义 第九章 圆锥曲线(超级详细)

4.椭圆 x 2 y 2 1上的点 P 到它的左准线的距离是 10，那么点 P 到它的右焦点的距离是
12
100 36
5.椭圆
x2 25
y 9
2
1上不同三点
Ax1，y1 ，
B 4，9 5
， Cx2，y2 与焦点
F 4，0 的距离成等差数列．
求证: x1 x2 8 ； 证明：由椭圆方程知 a 5 ， b 3 ， c 4 ．
最小值。
【分析】①列方程组求得 P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点
坐标的范围.
解：（1）由已知可得点 A(－6,0),F(0,4)
设点 P( x , y ),则 AP =（ x +6, y ）, FP =（ x －4, y ）,由已知可得
x
2
y2
1
36 20
(x 6)(x 4) y2 0
x2 9
y2
1.
②若焦点在
y 轴上，设方程为
y2 a2
x2 b2
1a
b
0 ，
9
∵点 P（3,0）在该椭圆上∴
b2
1即 b2
9又a
3b ，∴ a2
81 ∴椭圆的方程为
y2 81
x2 9
1
第 2页 【辅导专用】共 20页
方法二：设椭圆方程为 Ax2 By2 1 A 0, B 0, A B .∵点 P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即 A 1 ,
a2
a2b2 c2
。
∵0≤ x 2 ≤ a 2 ，∴0≤ a 2
a2b2 c2
≤
a
2
，即
0≤
a
2
c2
c
2
1
≤1，0≤
e2
1≤1，解得
2 ≤ e ≤1。 2
又∵0＜ e ＜1，∵ 2 ≤ e ≤1. 2
例 2.如图，已知某椭圆的焦点是 F1(－4，0)、F2(4，0)，过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，
x1
Hale Waihona Puke Baidu
2
x2
=4.
【反馈练习】
1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 2 2
2．已知 F1、F2 为椭圆 x2 y2 1的两个焦点，过 F1 作倾斜角为 的弦 AB，则△F2AB 的面积为 4
2
4
3
3.已知正方形 ABCD ，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的离心率为 2 1
路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本
途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数
法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
【知识图解】
高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线
定义
标准方程
椭圆
几何性质
圆
定义
标准方程
锥
曲 线
双曲线
几何性质
圆锥曲线应用
抛物线
定义
标准方程
几何性质
【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何
的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形 式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学 习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简 单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形 结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关 注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思
则 2 x2 +9 x －18=0, x = 3 或 x =－6. 2
由于 y >0,只能 x = 3 ,于是 y = 5
3
.
∴点 P 的坐标是(
3
5
,
3
)
2
2
22
m6
(2) 直线 AP 的方程是 x － 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是
.
2
于是 m 6 = m 6 ,又－6≤ m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有 2
d 2 (x 2)2 y2 x2 4x 4 20 5 x2 4(x 9)2 15 , 9 92
由于－6≤ m ≤6, ∴当 x = 9 时,d 取得最小值 15 2
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.
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x=
25 4
,离心率为
4 5
，根据椭圆定义，有
|F2A|=
4 5
(
25 4
－x1),|F2C|=
4 5
(
25 4
－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
4 5
(
25 4
－x1)+
4 5
(
25 4
－x2)=2×
9 5
,由此得出：x1+x2=8.
设弦
AC
的中点为
P(x0,y0),则
x0=
倍
4.若椭圆 x2 y2 1的离心率 e 5m
10 5
,则
m
的值为 3或
25 3
5.．椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点到直线 y 3x 的距离为 3
43
2
6. 与 椭 圆 x2 y2 1 具 有 相 同 的 离 心 率 且 过 点 （ 2 ， - 3 ） 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 x2 y2 1 或
4或k
5 4
【范例导析】
例 1.（1）求经过点 ( 3 , 5) ，且 9x2 4 y2 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 22
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，点 P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根
3
5 20
【范例导析】
x2
例 1.椭圆
a2
y2 b2
1（a>b>0）的二个焦点 F1(-c，0)，F2(c，0)，M 是椭圆上一点，且 F1M
F2 M
0。
求离心率 e 的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭
圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.
43
86
3y2 4x2 1 25 25
7.椭圆 x 2 y 2 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 的最大距离是 10 16 4
8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 4
52
和
5 ，过 P 点作焦点所
33
在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
据条件列出基本量 a、b、c 的方程组，解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在
y
轴上，故设椭圆的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1（ a
b
0 ），
由椭圆的定义知，
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 3 10 1 10 2 10 ，
22
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出 a 和 b （或 a2 和 b2 ）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为 F1 、 F2 ，且
PF1
45 3
，
PF2
25 3
．
从椭圆定义知 2a PF1 PF2 2 5 ．即 a 5 ．
从 PF1
PF2
知 PF2
垂直焦点所在的对称轴，所以在 RtPF2F1 中， sin PF1F2
9
又 a 3b ∴ B 1或 1 ， a2 81 ∴椭圆的方程为 x2 y2 1或 y2 x2 1.
81
9
81 9
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在
x
轴上，设方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，若
焦点在
y 轴上，设方程为
y2 a2
x2 b2
1a
b
0 ，有时为了运算方便，也可设为
且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析：第一问直接可有第一定义得出基本量 a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用 第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.
解：设点 M 的坐标为(x，y)，则 F1M (x c, y) ，F2 M (x c, y) 。由 F1M F2 M 0 ，得 x2-c2+y2=0，
即 x2-c2=-y2。
①
又由点 M 在椭圆上，得 y2=b2
b2 a2
x 2 ，代入①，得 x2-c2
b2 a2
x2
b 2 ，即 x 2
PF2 PF1
1， 2
可求出 PF1F2
6
， 2c
PF1
cos 6
2
5 3
，从而 b2
a2
c2
10 ． 3
∴所求椭圆方程为 x2 3y2 1或 3x2 y2 1．
5 10
10 5
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第 2 课 椭圆 B
【考点导读】 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】
由圆锥曲线的统一定义知： AF c ，∴
a2 c
x1
a
同理
CF
5
4 5
x2
．
∵ AF CF 2 BF ，且 BF 9 ， 5
AF
a
ex1
第 1 课 椭圆 A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性
质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的
实际问题.
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【基础练习】
1．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x2 y2 1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 3
【反馈练习】
1.如果 x 2 ky 2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，
则椭圆的离心率是 2 1
3.椭圆 x 2 y 2 =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的 7 12 3
例2 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 c 2 =3.
故椭圆方程为 x 2 y 2 =1. 25 9
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(2)由点
B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=
9 5
.因为椭圆右准线方程为
1.曲线 x2 y2 1m 6 与曲线 x2 y2 15 n 9 的（D）
10 m 6 m
5n 9n
A 焦点相同
B 离心率相等
C 准线相同
D 焦距相等
2.如果椭圆 x 2 y 2 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别是10，20
25 16
3
3 离心率 e 5 ，一条准线为 x 3 的椭圆的标准方程是 x2 9 y2 1
BC 边上，则△ABC 的周长是 4 3
2.椭圆 x 2 4 y 2 1的离心率为 3 2
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是
x2 y2 1 16 4
4.
已知椭圆 x2 k 8
y2 9
1 的离心率 e
1 ，则 k 的值为 k 2
Ax2
By2
1 ，其中
A 0, B 0, A B .
x2
例 2.点 A、B 分别是椭圆
y2
1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x
36 20
轴上方， PA PF 。
（1）求点 P 的坐标；
（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的
22
2
2
∴ a 10 ，又∵ c 2 ，∴ b2 a2 c2 10 4 6 ，
所以，椭圆的标准方程为 y2 x2 1。 10 6
（2）方法一：①若焦点在
x
轴上，设方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b
0，
9
∵点 P（3,0）在该椭圆上∴
a2
1即 a2
9又a
3b ，∴ b2
1∴椭圆的方程为