人教A版必修4 1.1.2 弧度制 学案

1.1.2 弧度制Q 情景引入ing jing yin ru炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．X 新知导学in zhi dao xue1．弧度制(1)定义：以__弧度__为单位度量角的单位制叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O 的半径为r ，AB ︵的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角．[知识点拨] 一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．(3)记法：弧度单位用符号__rad__表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．2．弧度数一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__lr __.[知识点拨] 对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π6(k ∈Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π3(k ∈Z )．3．弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad ，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了． 弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad.(2)常用特殊角的弧度数0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0__π6__ __π4__ __π3__ π2__2π3__ __3π4__ __5π6__ π__3π2__ __2π____一一对应__每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．[知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad ”可以省略角的正负与方向有关十进制(1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝__|α|r __，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为lr rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．[知识点拨]弧长公式及扇形面积公式的两种表示方法对比名称角度制弧度制弧长公式l＝nπr180l＝|α|r 扇形面积公式S＝nπr2360S＝|α|2r2＝12lr 注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．Y预习自测u xi zi ce1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)用弧度制表示角时，都是正角．(×)(2)在大小不等的圆中，1弧度的圆心角所对弧的长度是不同的．(√)(3)用角度制和弧度制表示角时，单位都可以省略不写．(×)(4)π弧度的角大于π°的角．(√)(5)扇形的半径为5，圆心角是60°，则弧长为300.(×)2．－300°化为弧度是(B)A．－4π3B．－5π3C．－7π4D．－7π63．已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是__4__.4．α＝－2 rad，则α的终边在(C)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．H互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨有关“角度”与“弧度”概念的理解典例1 下列命题中，正确的命题是__①③④__.①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．[思路分析] 从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．[解析] 对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝360°360，1＝2π2π，所以①正确； 对于③，由弧度制规定知π rad ＝180°，故③正确． 『规律总结』 弧度与角度的概念的区别与联系区别(1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位． 联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.〔跟踪练习1〕在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角( D ) A ．为1弧度B ．各不相等，半径长则圆心角大C ．各不相等，半径长则圆心角小D ．都相等，为π3弧度命题方向2 ⇨角度制与弧度制的转化典例2 (1)将下列各角化为弧度：①112°30′；②－315°；(2)将下列各弧度化为角度：①－5π12 rad ；②193π.[思路分析][解析] (1)①∵1°＝π180 rad ，∴112°30′＝π180×112.5 rad ＝5π8rad. ②－315°＝－315×π180＝－7π4.(2)①∵1 rad ＝(180π)°，∴－5π12 rad ＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. ②193π＝(193π×180π)°＝1 140°. 『规律总结』 角度制与弧度制互化的关键与方法： (1)关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键．(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×(180π)°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数． 〔跟踪练习2〕设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝3π5、β2＝－π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限． [解析] (1)∵180°＝π rad ， ∴－570°＝－570π180＝－19π6，∴α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，β2＝－π3＝－60°，∴β1在第二象限，β2在第四象限．命题方向3 ⇨用弧度制表示区域角典例3 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．[思路分析] ①用弧度表示区域角时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．②在表示角的集合时，可以先写出如－π～π，0～2π范围内的角，再加上2k π，注明k ∈Z .③终边在同一条直线上的角的集合可以直接根据知识点4中的结论得出．[解析] (1)OA 是30°角的终边，30°＝π6rad ，所以以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；OB是240°角的终边，也是－120°角的终边，－120°＝－23π rad ，所以以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . (2)如图②，OA 是60°角的终边，60°＝π3 rad ，所以以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；OB 是120°角的终边，120°＝23π rad ，所以以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )；不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z ， M 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z . ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝⎩⎨⎧ α⎪⎪ 2k π<α<π3＋2k π ⎭⎬⎫或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z . 『规律总结』 解答本题时常犯以下三种错误． (1)弧度与角度混用．(2)终边在同一条直线上的角未合并．(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α|43π＋2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，这是一个空集．对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x 轴的正半轴，若区间跨越x 轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x 轴的正半轴，则无须这样写．〔跟踪练习3〕用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．[解析] (1)330°和60°的终边分别对应－π6和π3，所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2k π－π6<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)210°和135°的终边分别对应－5π6和3π4，所表示的区域位于－5π6与3π4之间且跨越x 轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2k π－5π6<θ<2k π＋3π4，k ∈Z }．(3)30°＝π6，210°＝7π6，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2k π<θ<2k π＋π6，k ∈Z }∪{θ|2k π＋π<θ<2k π＋7π6，k ∈Z }＝{θ|2k π<θ<2k π＋π6，k ∈Z }∪{θ|(2k ＋1)π<θ<(2k ＋1)π＋π6，k ∈Z }＝{θ|n π<θ<n π＋π6，n ∈Z }．X 学科核心素养ue ke he xin su yang求扇形面积最值的函数思想当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．典例4 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路分析] 正确使用扇形弧长公式及面积公式．[解析] 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20)∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．『规律总结』 1.运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题．(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r ，l ，S 中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运用．(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多．若角是以“度”为单位的，则必须先将其化成弧度，再计算．(3)在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式． ①l ＝αr ，α＝l r ，r ＝lα；②S ＝12αr 2，α＝2Sr2.2．解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值问题即可．〔跟踪练习4〕(1)一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为( D ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6(2)(2019·厦门期末)若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( C )A ．π4B ．π2C ． 2D ．2[解析] (1)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12θr 2＝15π，θr ＝5π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6，θ＝5π6.故扇形的圆心角为5π6.(2)设圆的直径的2r ，则圆内接正方形的边长为2r . ∵扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长， ∴扇子的弧长等于2r ， ∴圆心角α(0<α<π)的弧度数为2rr＝ 2. Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi角度和弧度混用致错典例5 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[错解一] {α|k ·360°＋330°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z }． [错解二] {α|2k π－30°<α<2k π＋60°，k ∈Z }．[错因分析] 错解一中，若给k 赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．[正解] {α|2k π－π6<α<2k π＋π3，k ∈Z }，也可写成{α|k ·360°－30°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z }．[误区警示]同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．〔跟踪练习5〕与1°角终边相同的角的集合是( C ) A ．{α|α＝k ·360°＋π180，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋π180°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k π＋π180，k ∈Z }D ．{α|α＝2k π＋π180°，k ∈Z }K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．在不等圆中1 rad 的圆心角所对的是( D ) A ．弦长相等 B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad 的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D ．2．－10π3转化为角度是( B )A ．－300°B ．－600°C ．－900°D ．－1 200°[解析] ∵1 rad ＝(180π)°，∴－10π3＝－(180π×10π3)°＝－600°.3．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为( C )A ．π3B ．23πC ． 3D ．2[解析] 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR＝3，故选C ． 4．(2018·沈阳铁路中学期末)已知扇形面积为38π，半径是1，则扇形的圆心角是( C )A ．316πB ．38πC ．34πD ．32π[解析] 设扇形圆心角为α，则S ＝12αR 2＝38π，∴α＝34π.5．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为__120__平方步．[解析] 由题意： S ＝14·l ·(2r )＝12lr ＝12×20×12 ＝120.。