人教A版必修4 1.1.2 弧度制 学案

1.1.2 弧度制

Q 情景引入ing jing yin ru

炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．

X 新知导学in zhi dao xue

1．弧度制

(1)定义：以__弧度__为单位度量角的单位制叫做弧度制．

(2)度量方法：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O 的半径为r ，AB ︵

的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角．

[知识点拨] 一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．

(3)记法：弧度单位用符号__rad__表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．

2．弧度数

一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.

如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__l

r __.

[知识点拨] 对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？

角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π

6(k ∈

Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π

3

(k ∈Z )．

3．弧度与角度的换算公式

(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad ，即

根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了． 弧度与角度的换算公式如下：

若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad.

(2)常用特殊角的弧度数

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0

__π

6

__ __π4

__ __π3

__ π2

__2π3

__ __3π4

__ __5π6

__ π

__3π

2

__ __2π__

__一一对应__每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

[知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与

方向有关 六十进制

弧度制

用弧度作为单位来度量角的单位制

角的大小与半径无关

单位“rad ”可以省略

角的正负与

方向有关

十进制

(1)弧长公式

在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝l

r ，变形可得l ＝__|α|r __，

此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．

(2)扇形面积公式

由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l

r rad ，故其

面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝1

2

|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．

[知识点拨]弧长公式及扇形面积公式的两种表示方法对比名称角度制弧度制

弧长公式l＝

nπr

180

l＝|α|r 扇形面积公式S＝

nπr2

360S＝

|α|

2r

2＝

1

2lr 注意事项

r是扇形的半径，n是圆心角

的角度数

r是扇形的半径，α是圆心角的弧度

数，l是弧长

弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．

Y

预习自测

u xi zi ce

1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．

(1)用弧度制表示角时，都是正角．(×)

(2)在大小不等的圆中，1弧度的圆心角所对弧的长度是不同的．(√)

(3)用角度制和弧度制表示角时，单位都可以省略不写．(×)

(4)π弧度的角大于π°的角．(√)

(5)扇形的半径为5，圆心角是60°，则弧长为300.(×)

2．－300°化为弧度是(B)

A．－

4π

3B．－

5π

3

C．－

7π

4D．－

7π

6

3．已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是__4__.

4．α＝－2 rad，则α的终边在(C)

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

[解析]∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．

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互动探究解疑

u dong tan jiu jie yi

命题方向1⇨有关“角度”与“弧度”概念的理解